两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦教学设计-精品教案(优选推荐)
课题：两角和与差的余弦重点：两角和与差的余弦公式及其推导.难点：灵活运用余弦公式进行求值、化简.一、问题情境目前可以直接写出30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，利用诱导公式还可进一步求出120°，225°，390°等角的三角函数值.问题：不用计算器，求cos15°的值. cos15°＝cos60°－cos45°吗？ cos15°＝cos45°－cos30°吗？二、探究活动观察：cos(90°－30°)＝cos(60°－30°)＝猜想：对任意角α，β，都有 .三、建构数学如图，在坐标系内作单位圆，作角α，β，和α－β (令0≤α－β≤π)，使终边分别交单位圆于P1，P2，P3 . 此时，0P (1，0) ，1P (cos α，sin α), 3P (cos(α－β)，sin(α－β) )，2P (cos β, sin β).公式推导如下：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝ .思考：cos(α＋β)＝？两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝.注意：记清公式的结构特征四、数学运用例1、利用两角和（差）的余弦公式，求cos15°，cos75°.例2、化简：（1）cos100°cos40°+sin80°sin40°；（2）cos80°cos55°-cos10°cos35°.例3、233sin=cos=-cos-3252πααπββππαβ∈∈已知，（，），，（，），求（）的值.五、课堂小结1、两角和与差的余弦公式2、知识结构3、数学思想六、课后作业课本第106页，练习1-6。
(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.
《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。
二、教学目标：1、知识目标：①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
2、能力目标：①、培养学生逆向思维的意识和习惯；②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3、情感目标：①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。
三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。
四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。
给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。
从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。
由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。
学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。
(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。
)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。
五、教学过程cos(2-sin(2-六、板书设计。
两角和与差的正弦、余弦公式教案
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式一、教学目标1．知识与技能：(1).理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。
(2).能够利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简和证明。
2．过程与方法：(1).在换元的思想指导下推导出公式()C αβ+；(2).根据()C αβ+、()C αβ-及诱导公式五（或六），推导出公式()S αβ±；(3).根据公式()C αβ±、()S αβ±和同角三角关系，探究公式()T αβ±；(4).熟练掌握公式()C αβ±、()S αβ±、()T αβ±的正用、逆用、变形用。
3．情态与价值（1）能运用联系的观点解决问题。
（2）认识事物之间的相互联系与相互转化。
（3）通过探究两角和与差的三角公式，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用 意识，提高数学素质教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.学法与教学用具(1)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程.(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑.教学过程设计：（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？()[]()()βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin cos cos cos )cos(-=-+-=--=+即：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （()C αβ+）问题2：请大家再思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．即：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ （()S αβ+）()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）（三）例题讲解例3、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 思考：在本题中，)4cos()4sin(απαπ+=-，那么对任意角α，此等式成立吗？若成立，你能否证明？练习：P131 1，2小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，熟练掌握公式()C αβ±、()S αβ±的正用、逆用、变形用。
最新两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案
两角和与差的余弦公式一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。
二、学情分析：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。
他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
三、教学目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。
2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
四、教学重点和难点:教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。
五、教学工具：多媒体六、教学方法：讲授法，探究法七、教学过程：cos(120—60)。
cos120° cos60° si n120* sin 60°1 1 1灵22222猜想： cos (:; 『■) =cos ：. ・cos ，；' 1 sin ：・sin ： ?通过探究我们猜想得出cos （：. 一 ：）的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。
提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何 研究：.一 ■:的三角比呢？设〉、1是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图 1它们的终 边0A 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。
Q2 AOB 角度能用〉、1表示吗？Q3我们要研究• AOB 的三角比，必须要把• AOB 位置放在什 么地方？怎样达到目的？答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。
通过旋转达到目的。
两角和与差的余弦教案
3.1.1两角差的余弦公式汤阴一中张文霞【教材分析】《两角差的余弦公式》是普通高中实验教科书人教版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
【教学目标】知识与技能目标：理解两角差的余弦公式的推导过程及其结构特征并能灵活运用。
过程与方法目标：应用已学知识和方法思考问题，分析问题，解决问题的能力。
3．情感态度和价值观目标：通过公式推导引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识和学习数学的兴趣。
【教学重点】通过探索得到两角差的余弦公式以及公式的灵活运用【教学难点】两角差余弦公式的推导过程【学法】1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距【教学用具】多媒体【教学过程】【板书设计】3.1.1 两角差的余弦公式1.三角函数线法2.向量法例 1 变式训练例 2变式训练当堂训练1. 2.【教学反思】本节主要考察如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，回顾公式 C αβ-（） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、猜想、论证的数学化的过程）的理解。
两角和与差的余弦教案
两角和与差的余弦一、教学目标1、了解两角和与差的余弦公式的推导2、熟练掌握两角和与差的余弦公式以及两个诱导公式，并能灵活应用3、培养学生代换及凑角的思想4、训练学生思维的灵活性5、激发学生的内在动机与学习兴趣6、养成良好的学习习惯并设定合理的学习目标二、教学的重难点击教学设计（一）教学重点1、两角和与差的余弦公式的推导及应用2、用整体代换及凑角的思想解题3、各公式适合的范围（二）教学难点1、两角差的余弦公式的推导2、凑角、整体代换的思想3、对各公式的灵活应用（三）教学设计要点1、新课引入设计带领同学们回顾前面学习的特殊角的三角函数，指出其与现实计算的不足之处，并以105 、15 等为例，从分析角度之间的关系入手探讨其函数值之间的关系，并将其推广到一般情况，引入新课。
2、 教学内容设计（1） 引入两点间的距离公式（2） 通过例题推导出诱导公式并稍作提醒（3） 作业中，补充思考题：请同学们根据本堂课所学推导)sin(βα+、)sin(βα-3、 教学方法自主探究、分组讨论、合作交流及启发式教学三、 教具准备彩色粉笔、圆规、直尺 四、 教学过程（一） 创设问题情境引入新课带领同学们回顾30 、45 、60 等特殊角的三角函数，从分析角度入手，探究105 、15 等一般角与以上特殊角的函数值的关系，并推广到一般情况，将问题转化为：已知任意角βα、的三角函数，如何求βα+、βα-或α2的三角函数，引入新课。
揭示课题：两角和与差的余弦（板书课题） （二） 层层递进、探索新知1、 知识准备（两点间的距离公式）验收上堂课给同学们布置的思考题，板书两点之间的距离公式：设两点),(111y x p ，),(222y x p ，如下图：则)()(21212221y y x x p p --+=并稍作提示其计算方法2、 两角和的余弦公式及其推导在单位圆内作ββα-、、角，如下图所示：得))sin(),(cos()),sin(),(cos(),sin ,(cos ),0,1(4321βββαβααα--++p p p p 根据圆的性质：圆心角相等对应的弦长相等得p p pp 4231=运用两点间的距离公式易得：[][])sin(1)cos(22βαβα+-++=[][]αβαβsin )sin(cos )cos(22----+（请一位同学到黑板上化简该式）化简得：cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β，简记为C βα+ 3、 两角差的余弦公式的推导用β-换C βα+中的β，得cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β，并提醒同学们注意两个公式中βα、角是任意的。
两角和与差的余弦公式教案
OA OB ______ ______
3、 思考:如何用、 的正弦、余弦表示cos( - )？ 辨析： cos( - )=cos -cos 吗? （二）新课学习 1、结论： cos( - )= ________________________________. 2、练习：不通过查计算器，求 cos15 的值. 试举例说明.
例 2.已知 cos , (
3 , ), 求 cos( ) 的值； 5 2 4 3 解： cos , ( , ), 5 2
sinα = 1 cos α
2
4 5
cos( -α ) cos cosα + sin sinα 4 4 4 2 3 2 4 2 5 2 5 2 10
练一练：已知 sin 值
4 5 , ( , ), cos 是第三象限角，求 cos( ) 的 5 2 13
本节小结： 两角差的余弦公式： cos( ) cos cos sin sin 两角和的余弦公式： cos( ) cos cos sin sin
cos15 cos 45 30
cos 45 cos30 sin 45 sin 30 2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
cos75 cos 30 45 由学生独立完成
练一练： （1） cos(
2
) sin ；
（2） cos(2 ) cos .
（一）复习引入： 1、已知点 P（x，y）为角α 的终边与单位圆的交点，则 cosα ＝______，sinα ＝_______， 即点 P 的坐标为___________. 2、 a=(x1,y1 ), b=(x2 ,y2 ),则a b=________=___________;若a 与b的夹角为 , 已知角 终边与单位圆交于点 A， 则 A 点坐标 ______， 那么向量 OA 的坐标是______， 角 终边与单位圆交于 B 点，则 B 点坐标______，向量 OB 的坐标是 ______。
两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦公式教案【授课课题】 1.1.1两角和与差的余弦公式（一）【设计思想】数学源于生活，数学服务与生活，专业中需要数学。
【学情分析】本课面对旅游专业二年级的学生，旅游专业的学生对数学表达能力和逻辑推理能力比较薄弱，但他们好动，对探索未知世界有主动意识，对新事物充满探求的渴望。
经过一年半的数学学习储备了一定数学知识，掌握了一些高中的数学学习方法，为本节课的学习，建立的良好的知识基础。
【教材分析】本节内容是中等职业教育课程改革国家规划新教材，拓展模块第一章《三角公式及应用》第一节《两角和与差的余弦公式》，学生在基础模块掌握了任意角的三角函数的概念，向量坐标表示及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角三角函数表示两角和与两角差的三角函数，两角差的余弦公式在推导，采用易于教学的推导方法，及借助于单位圆中的三角函数线推导。
【教学目标】知识目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。
2、能正确运用公式进行简单的三角函数式的计算和化简．3、使部分学生能够从正反两个方向运用公式解决简单的问题能力目标：1、培养学生严密而准确的数学表达能力，逆向思维和发散思维能力，2、体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，及灵活选用公式解决问题的能力。
情感目标：1、通过观察对比公式体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达能力和思考能力。
2、学会从已有的知识出发，主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用．【教学难点】难点是公式的推导【突破措施】先由特殊情形引入，再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探索能力已达到对公式的深入理解和灵活运用。
【学法设计】独立思考、师生交流【知识链接】特殊角的三角函数、诱导公式、向量数乘积、向量坐标表示【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒−︒≠︒−︒，然后提出如何计算cos()αβ−的问题．利用矢量论证cos()αβ−的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα−=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα−=，然后再利用公式cos()αβ−，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α−．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ−是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．课后练习题【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为行为 意图*创设情境 兴趣导入问题1：======00000060cos 60sin 45cos 45sin 30cos 30sin问题2：→→→→→→=•b a b a b a ,cos问题3：),(11y x a =→),(22y x b =→则=•→→b a问题4：单位圆上的坐标表示问题5：诱导公式()ααπ−+k 2我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然 ()cos 6030cos60cos30︒−︒≠︒︒-． 由此可知()cos cos cos αβαβ−≠-． 播放 课件 质疑观看 课件 思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知过 程行为行为 意图在单位圆（如图11−）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅−=−， 又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=−−cos cos()sin sin()αβαβ=⋅−+⋅−cos cos sin sin αβαβ=⋅−⋅．（2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．实际上βα−为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可以转换到[]π2,0，使)cos(cos βαθ−=。
两角和与差的余弦教案
两角和与差的余弦教案教案标题：两角和与差的余弦教案教案目标：1. 理解两角和与差的余弦公式；2. 掌握利用两角和与差的余弦公式解决相关问题；3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教案、投影仪、计算器、白板、笔；2. 学生准备：教科书、练习题、笔和纸。
教学过程：引入：1. 利用投影仪或白板展示一个直角三角形，并引导学生回顾正弦、余弦和正切的定义。
2. 提问：如果我们已知一个直角三角形的两个角度，我们能否利用余弦公式求得第三个角度呢？讲解：1. 引导学生回顾余弦公式：对于一个三角形ABC，已知边长a、b和夹角C，余弦公式为c² = a² + b² - 2abcosC。
2. 介绍两角和与差的余弦公式：- 两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB；- 两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB。
3. 解释两角和与差的余弦公式的推导过程，并与学生一起进行推导演练。
示范：1. 通过一个具体的例子来演示如何利用两角和与差的余弦公式求解问题。
2. 教师解答学生提出的疑问，并引导学生思考和讨论。
练习：1. 学生个人或小组完成练习题，巩固两角和与差的余弦公式的运用。
2. 教师巡视并指导学生，及时纠正他们的错误，解答他们的疑问。
总结：1. 教师总结本节课的重点和难点，强调两角和与差的余弦公式的重要性和应用价值。
2. 学生回答教师提出的总结问题，巩固所学知识。
拓展：1. 引导学生思考：如果我们已知三角形的两条边和夹角，能否利用两角和与差的余弦公式求解第三条边的长度？2. 鼓励学生自主学习和探索，拓展他们的数学思维。
教学反思：1. 教师根据学生的表现和反馈，对本节课的教学进行评估；2. 教师总结教学经验，为下一次的教学做好准备。
两角和与差的余弦教案许秋云
两角和与差的余弦教案-许秋云一、教学目标1. 理解两角和与差的余弦概念。
2. 掌握两角和与差的余弦公式。
3. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：两角和与差的余弦概念及公式的理解和运用。
2. 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导和灵活运用。
三、教学准备1. 教师准备：讲解稿、PPT、例题及练习题。
2. 学生准备：笔记本、笔、计算器。
四、教学过程1. 导入：通过复习单一角余弦的概念，引导学生思考两角和与差的余弦概念。
2. 讲解：讲解两角和与差的余弦概念，引导学生理解并掌握两角和与差的余弦公式。
3. 例题：给出例题，引导学生运用两角和与差的余弦公式进行计算，巩固知识点。
4. 练习：让学生自主完成练习题，检测学习效果。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角和与差的余弦概念的理解程度。
2. 例题解答：评价学生对两角和与差的余弦公式的运用能力。
3. 练习题完成情况：评价学生对知识点的掌握程度。
六、教学拓展1. 引导学生思考：除了两角和与差的余弦公式，还有哪些相关的公式？2. 介绍二倍角公式、和差化积公式等与余弦相关的公式，让学生自主学习并尝试运用。
七、实际应用1. 给出实际问题，让学生运用两角和与差的余弦公式进行解决。
2. 引导学生思考：余弦公式在现实生活中的应用场景有哪些？八、课堂小结1. 让学生总结本节课所学的主要内容和知识点。
2. 强调两角和与差的余弦公式的运用方法和注意事项。
九、作业布置1. 让学生完成课后练习题，巩固本节课所学知识。
2. 鼓励学生自主寻找相关的实际问题进行练习，提高运用能力。
十、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，思考哪些地方讲解得清晰，哪些地方需要改进。
2. 学生对本节课的学习效果进行反思，总结自己的学习收获和需要加强的地方。
十一、课程标准1. 了解两角和与差的余弦概念及公式。
2. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。
必修4教案3.1.1两角和与差余弦公式
cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( )
例 1．①利用差角余弦公式求 cos15 的值 ②利用和角余弦公式求 cos75 的值 例 2． 已知 sin
角，求 cos( ) 的值。
4 5 , ( , ), cos , 是第三象限 5 2 13
例 5．已知 , 都是锐角， cos 求 cos 的值
两角差与和的余弦公式学案 一、阅读课本 124 页到 127 页 任务一：差角的余弦公式：对于任意角 , 有 cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( ) 你能根据差角的余弦公式推导和角的余弦公式吗？ cos( ) 任务二：根据上面的两个公式试解决下列问题 例 1．①求 cos15 的值 ②求 cos75 的值
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
④ sin164 sin 224 sin 254 sin 314
例 4．化简：① 3 15 sin x 3 5 cos x ② 3 sin
x x cos 2 2
课题 教 学 目 标 知识与能力 过程与方法
情感态度与价值观
两角差与和的余弦公式（一） 两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的应用
顺序课时
1
教学重点 教学难点 教学方法
两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的逆用 双案教学，预习、提问、讲授法 知 识 流 程 有 教师活动 学生活动
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
(完整版)两角和与差的余弦公式教案
课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。
2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。
3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学基本流程：。
两角和与差的余弦教案(优质教案)
两角和与差的余弦教案(优质教案)第三章：三角恒等变换第一节：两角和与差的余弦一、三维目的：1.知识与技能：学生需要理解两角和与差的余弦公式的推导过程，并掌握它的初步应用（公式的正用和逆用）。
此外，教师需要着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。
2.过程与方法：教学过程中需要启发、讲练结合，合作交流，突破难点。
3.情感、态度与价值观：教师需要培养学生的探索与创新意识，激发学生研究兴趣，提高学生解题的灵活性。
教学重点：余弦的差角公式的推导和应用。
教学难点：余弦的差角公式的推导。
二、教学过程：一）问题情境问题一：我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，但如果不想查表，如何求诸如cos75°、cos15°的值？设问：cos75°=cos（45°+30°）与cos45°+cos30°是否相等？cosl5°=cos（45°-30°）与cos45°-cos30°是否相等？由于cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，所以我们需要研究这个问题。
问题二：一般地，cos(α-β)≠cosα-cosβ，那么cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？如何表示？我们可以把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）和P2（cosβ，sinβ）。
则∠P1OP2=α-β。
设向量a=OP1=（cosα，sinα）。
b=OP2=（cosβ，sinβ）。
则a•b=a·b·cosθ=cos(α-β)。
另一方面，a•b=x1x2+y1y2.因此，我们可以得到两角差的余弦公式。
两角和与差的余弦的教案
§3.1.1两角和与差的余弦南通市小海中学曾荣一、教学目标1、经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；2、用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3、能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。
二、教材分析1、重点：余弦的差角公式的推导；2、难点：余弦的差角公式的推导。
三、教学方法引导探究、合作交流四、教学过程（一）情景创设引例1、点Q在半径为1的圆P上运动的同时，圆心P又在另一个半径也为1的圆O上运动，O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示（见教科书），其中OP⊥QP，且P，Q两点以相同的角速度逆时针方向运动.建立如图直角坐标系，设P（cosx,sinx）,探求点Q的坐标。
（必修4 P92引例）引例2、设向量a＝(cos75°,sin75 °),向量b=(cos15 °, sin15 °),试分别计算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2.比较两次计算的结果，你能发现什么？(必修4 P83 ，15 )（二） 学生活动合作交流、解决引例1、引例2（三） 建构数学1、 在引例2的基础上发现并证明余弦的差角公式；2、 利用β的任意性得出余弦的和角公式；3、 探究余弦的和角公式的证明方法。
（四） 数学运用1、 简单运用问题1.若用特殊角分别代替公式中α、β，你会求哪些非特殊角的余弦值呢？问题2.在公式C （α-β）中，若β固定, 用2π代替α,你将发现什么结论？2、 进一步运用2π33π1 sin α=,α(,π),cos β=-,β(π,),cos(α+β).3252∈∈例已知求的值 cos cos cos cos cos sin sin cos()cos()sin()sin()2 124366654;25837122sin53;3.αβαβαβαβ-+-++-+例化简（）（）（）（五） 回顾小结（六） 课外作业1、必做题：P96 习题（2）（3）（4)2、选做题：P96 习题（5）（6）3、探究题：你还能找出两角和与差的余弦公式的其它证法吗？。
(完整版)两角和与差的正余弦公式教案
一、情境引入
探究已知 ， ,下列各式是否成立？
（1） ．
（2) ．
你能得出什么结论？
二、新课讲授
1．两角和与差的余弦公式
如图1—1所示，设角 的终边与单位圆的交点为 ，角 的终边与单位圆的交点为 。
记向量 ,向量 ，则
。
应用向量数量积的坐标公式，可得到
。
因此，有
。 (1。1)
2掌握两角和与差的正弦、余弦公式,会运用公式求非特殊角的三角函数值、化简三角函数式,体会三角变换的思想与方法.
3初步学会运用两角和与差的正弦、余弦公式解决简单的专业问题。
(二）方法与过程：经历公式推导过程，感受和体会实际问题中体会思想方法。通过对比观察、公式多方面应用培养辩证思维解决问题的能力．
(三）情感态度与价值观：感受大自然的变化发展的内在规律
探究在前面的公式“问题解决",中，若将 换成 ，你能得出什么结果？
由上述探究,可得
。 (1。3）
我们把（1.3)叫做两角和的正弦公式.
由公式（1。3）可得
,
即 。 （1。4)
公式（1。4）叫做两角差的正弦公式.
例3不用计算器，求 和 的值.
解
。
.
例4已知 ， ，并且 为第二象限角， 为第三象限角，求 的值。
练习
1．不用计算器，求下列各式的值：
（1） ； (2) ；
(3) ；
(4) .
2．已知 ， ，求 ， 的值.
三、课堂小结
通过具体实例，强化学生对公式的理解与记忆
我们把（1.1)叫做两角差的余弦公式。
由公式（1.1）可得,
，
即 。 (1。2)
我们把（1。2）叫做两角和的余弦公式.
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课题：两角和与差的余弦公式授课教师：北京市陈经纶中学黎宁授课时间： 2007 年 11 月 21 日教学目标：1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。
2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。
3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：两角和与差的余弦公式教学难点：两角和与差的余弦公式的探究教学方式：发现式、探究式教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪教学基本流程：创设问题情景，引入研究课题由特殊值探索公式结构引导学生证明公式通过例题体会公式的应用课堂小结布置作业教学情景设计：问题疑问1：函数y sin x cos x的最大值是多少？师生活动教师引导学生思考：函数 y sin x 与y cosx 的最大值都是 1 ，那么y sin x cos x 的最大值是不是2呢？（不是，当 y sin x 取得最大值1时，y cosx等于 0）若能把 y sin x cos x 转化成一个角的一个三角函数的形式就好了！设计意图这是学生学习第一章三角函数时曾经提过的问题，将此问题在这里提出，目的在于说明学习本节知识的必要性，同时激发学生学习本节知识的兴趣。
疑问 2：cos15等于多少？15°= 45-30°，我们知道 45°与 30°的三角函数值，能否求出 cos15 的值呢？是否有 cos15 = cos45cos30 成立呢？cos() = coscos是否恒成立？学生自主研究得出结论（不恒成立，但也不是总不成立）。
能否用角、引导学生探索两角差的余弦公式的结构的正、余弦（1）研究cos（90° -30°）与 cos90°、来表示sin 90°、 cos30°、 sin 30°之间的关系；（2）研究cos（120°-60°）与cos()cos120°、 sin 120°、 cos60°、 sin 60°呢？之间的关系；（3）研究cos（ 135° -45°）与 cos135°、sin 135°、cos45°、sin45°之间的关系；发现规律： cos() =coscos +sin sin凭直觉得出cos() = coscos 是学生容易出现的错误，通过讨论弄清结论，使学生明确“恒等”的含义，同时为进一步明确本节课的探索目标奠定了基础，使得教学过程自然流畅。
(完整版)两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦公式教案【教学三维目标】1。
知识目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式,运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题.2能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3。
情感目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【高考等级要求】 C 级【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。
【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。
【教材分析】 这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。
教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式"在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线,推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时,补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。
他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
【学具准备】 小黑板 圆规【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】 诱导公式平面向量的数量积一、 产生对公式的需求 引入新课 （1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos （α—β)=cos α-cos β”的误解，说明两角和(差）的三角函数不能按分配律展开.并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索.二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论 (8分钟） 独立思考以下问题： （1)向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅ （2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：==→a OP 1（ ） , ==→b 2OP （ )则=⋅b a_____________a =→ _____________b =→问题1 ： =︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP问题2 :由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？ 问题3 :两角和与差的余弦公式推导(一）两角差的余弦公式设),sin ,cos a αα（=),sin ,cos b ββ（= βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θcos b a b a =⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-,那么βαθ-=故 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 实际上，当βα-为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。
《两角和与差的余弦》教学设计
《两角和与差的余弦》教学设计
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能
力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
（四）教学过程
从知识、方法
３.1(２)
（一）教学目标
１．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．
２．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．３．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程
．围，三角函数值的正负．
（３）代入时，从左至右依次代入．
02,2π，再进一步参11
cos()14αβ+=-．确。
12.1.1 两角和与差的余弦公式教案
12.1.1 两角和与差的余弦公式教案12.1.1两角和与差的余弦公式教案【教学目标】知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。
能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
．【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导。
【教学过程】教学过程一创设情境，引入课题问题1 ：我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习。
教师学生教学时行为行为意图间质疑观察思考主动求解理解领会利用同角三角函数基本关系进行三角式的求值与化简应用来 15 a?b?abcos? a?（x1,y1),a?b?x1x2?y1y2 练习已知b?（x2,y2) 则说明 a?(cos45?,sin45?)，讲解引领介绍分析 b?(cos30?,sin30?) ，则a?b? 二自主探究，引发思考教学过程问题2 ：由教师学生教学时行为行为意图间讲解求解明确巩固公式强调符号问题 15cos(45??30?)?cos45?cos30??sin45?sin30? 出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？三层层深入，得出结论问题3 ：强调 ?cos??cos?cos??sin?sin? （一）两角差的余弦公式设a?（cos?,sin?),b?（cos?,sin?),a?b?cos?cos??sin?sin? ?a?b?abcos? ?cos??cos?cos??sin?sin? 如果????[0,?]，那么?????。
故，cos(???)?cos?cos??sin?sin? 实际上，当???任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化??[0,2?)，使cos??cos(???)。
综上所述，cos(?-?)?cos?cos??sin?sin? ，对于任意的角?,?都成立。
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1.教材第94页，感受理解第 1，2. 3 题
2. 探究：知道了 ，你觉得 也有类似的规律吗？
九． 板书设计
课题：3.1.1两角和与差的余弦
两角差的余弦公式
两角和的余弦公式
例题
变式练习
十． 教后反思：
请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？
（选择的特殊角可以是30°60°45°等）主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至可能有的同学会说他验证了cos30°=sin60°…….（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初学公式的应用，我选择其中之一作示范。
（3）cos215°-sin215°，为二倍角公式埋下伏笔。
（4）cos80°cos35°+cos10°cos55°，逐步学会把不符合公式结构变形使之符合。
（5）（2004全国高考题）设 ，若 ，则 ，利用高考题的引用让学生串连三角函数的相关知识。
⑴. ⑵.- ⑶. ⑷. ⑸.
六．学习反思
知识网建构：
【知识链接】诱导公式
平面向量的数量积
一、 产生对公式的需求 引入新课
引入：我们曾经学过乘法对减法的分配律： ，余弦也是一种运算，那么 是否成立呢？
对这个问题我们目前几乎没有办法直接证明，但我们可以用特殊值检验其成立的可能性
故 不恒成立
那么 到底等于什么呢？是否与 角的三角函数有关呢？这便是我们这节课要研究的问题！
（首先让学生通过具体实例消除对“cos(α-β)=cosα-cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。）
二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论
独立思考以下问题：
(1)向量的数量积
则
（2）单位圆上的点的坐标表示
图（1） 图（2）
由图（1）可知： () , ()则
问题1：
问题2：由 出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？
问题3：两角和与差的余弦公式推导
（一）两角差的余弦公式
设 夹角为 ， 为任意角
1当点 在直线 上或上方时
角 与角 终边相同，
2当点 在直线 下方时
角 与角 终边相同，
综上所述， ，对于任意的角 都成立。
根据两角差的余弦公式，你可以猜猜
【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
【学法设计】独立思考，生生交流探究，小组合作
提示：令
（二）两角和的余弦公式（学生回答）
结论：
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
3.式子中α、β是任意的。
4 式子的逆用，变形用
正因为α、β的任意性，所以赋予C(α+β)公式的强大生命力
三．互相交流，小组活动 公式应用闯关
第一关：小试身手
(1) ；(2)
(3)
(4)
……
问题预测：可能有的同学发现cos2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α，这是以后要学的二倍角公式，还有的同学发现：cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ，甚至有调皮的同学发现cos0=cos(α-α)=cos2α+sin2α=1，这就无意中证明了平方关系，……，（据此，让同学感受到C(α±β)公式的强大功能）。（必要时，教师可适当提示）。
注：按课本编排未必能让同学注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才赋予C(α+β)公式的强大生命力）。于是我设计上述三个有层次的A ,B,C级的问题，留时间先让同学用特殊角自由赋值，逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，并掌握赋值法。
四．师生共同活动 数学运用
第二关：再接再厉
若β固定，分别用 代替α，你将会发现什么结论呢？
设计意图：引导同学发现余弦的诱导公式可用C(α±β)公式得到证明： 初步让学生发现C(α±β)公式是诱导公式的推广。（从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）
第三关：各显神通
倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？
【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。
【突破措施】先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。
【教材分析】这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
1.例题：知 ，求 的值。
解：由 ，得
又由 ，得
由余弦的和角公式得
注意：注意角 、 的象限，也就是符号问题.
2.变式练习 能力提高
解：由 ，得
又由 ，则 得
由余弦得差角公式得
五．达标检测：
（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°，初步学会逆用公式。
（2） cos130°cos5°-sin130°sin5°
两角和与差的余弦公式教案
执教教师：陈亮时间：2010年1月13日
授课班级：高一（G）班节次：第2节
学科及册别：数学必修4课本页码：91——93
章节：第三章第一节课时安排：第一课时
【教学三维目标】
1.知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。
七．课时总结:
1、牢记公式的结构特点，学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合。
2、强调公式中α、β的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。
注：逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用，引导学生积极参与思维，培养学生观察，比较等思维能力，同时渗透了一种化归思想。
2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【高考等级要求】C级