黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一数学下学期期中试题
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数，则（ ）1i z =+z =A ．B ．C ．D ．1i -+1i--1i+1i-【答案】D【分析】根据共轭复数的概念求解.【详解】因为复数，所以，1i z =+1i z =-故选:D.2．向量，，则（ ）()2,1a =-()1,2b =-()2a b a +⋅=A ．B ．65C ．D ．16-【答案】A【分析】利用向量加法和数量积的坐标运算直接求解即可.【详解】，.()23,0a b += ()()232016a b a ∴+⋅=⨯+⨯-= 故选：A.3．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若，，，则ABC b =45A =︒60B =︒（ ）=a A ．1B．C ．2D【答案】D【分析】利用正弦定理可得答案.【详解】由正弦定理得，sin sin a bA B =.sin sin b Aa B∴===故选：D.4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，ABO A B O '''1B A B O '=''='那么原三角形的周长是（ ）ABOA ．B ．14+C ．D 22+【答案】B【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可.【详解】由题意可得：A O ''===由直观图可得原图，如图所示，可知：，90,1,2AOB BO B O AO A O ''''∠=︒====可得，3AB ===所以原三角形的周长.ABO 134BO AO AB ++=+=+故选：B.5．正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ）1111ABCD A B C D -AC A ．3条B ．4条C ．6条D ．8条【答案】C【分析】由异面直线的定义即可得出答案.【详解】解：由图可知与直线为异面直线的棱分别是、、、、、共AC 1BB 1DD 11A D 11B A 11BC 11C D 条.6故选：C6．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）z 21i -z A ．B ．C ．D ．1i +1i --1i -1i-+【答案】D【分析】计算得，关于虚轴对称即关于轴对称，得出结果即可．21i 1i =+-y 【详解】由题意得，21i 1i =+-∵复数与对应的点关于虚轴对称对称，z 21i -∴．1i z =-+故选：D ．7．在中，点在线段上，且，则（ ）ABC D BC 2BD DC =AD =A ．B ．2133AD AB AC=+ 1233AD AB AC=+C ．D ．2AD AB AC =+ 2AD AB AC =+ 【答案】B【分析】根据向量的线性运算公式化简可得.【详解】由已知()22+++33AD AB BD AB BC AB AC AB===-所以，1233AD AB AC=+ 故选：B.8．在中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围为ABC ,,A B C ,,a b c cos 2cos B a bCc +-=a b c +A ．B ．(1,2)(1,2]C ．D ．【答案】C【详解】由正弦定理及得，化简可得，即，2cosB a b cosC c +-=2cosB sinA sinBcosC sinC +-=12cosC =-23C π=所以 ，得，所以a b c+sinA sinB sinC+===03A π<<2333A πππ<+<，所以.13sin A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭a b c ⎛+∈ ⎝故选C .二、多选题9．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ）,,a b c ,,αβγA ．若，则,a b a c ⊥⊥//b c B ．若，则//,//a b a c //b c C ．若，则,αβαγ⊥⊥//βγD ．若，则,////αβαγ//βγ【答案】BD【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若，则可能异面，A 选项错误.,a b a c ⊥⊥,b c B 选项，若，则，B 选项正确.//,//a b a c //b cC 选项，若，则可能相交，C 选项正确.,αβαγ⊥⊥,αβD 选项，若，则，D 选项正确.,////αβαγ//βγ故选：BD10．已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）,,a b c A ．若，则,a b b c∥∥a c∥B ．若，则a c a b ⋅=⋅b c = C ．()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D ．若且，则a b a c ⊥ ()c a b ⋅+= 【答案】AD【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量均为非零向量，若且，则，即A 正确；,,a b c //a b //b c //a c 对B ，若，则，又，所以，a c ab ⋅=⋅ cos ,cos ,ac a c a b a b ⋅=⋅ 0a ≠ cos ,cos ,b a b c a c= 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B 错误；,b c a b c = 对C ，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C 错误；()a b c ⋅⋅ c ()a b c ⋅⋅ a ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对D ，若且，则，，即D 正确.//a b a c ⊥ c b ⊥ ()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= 故选：AD ．11．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中使得有两个解的ABC ABC 是（ ）A ．， ，B ．，a =4b =π6A =a =4b =3cos 5A =C ．，，D ．，a =4b =π6C =a =4b =π6B =【答案】AB【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.【详解】A 选项，，，πsin 4sin26b A =⨯=sin b A a b <<所以有两个解，A 选项正确.ABC B 选项，为锐角，,cos 0,a b A A <>，，4sin 5A ==416sin 455b A =⨯=，所以有两个解，B 选项正确.sin b A a b <<ABCC 选项，由余弦定理得，4c ==所以有唯一解.ABCD 选项，1sin 2a B ==，所以有唯一解.sin a B a b <<ABC 故选：AB12．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）A ．该截角四面体一共有12条棱B ．该截角四面体一共有8个面C ．该截角四面体的表面积为D 【答案】BCD【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB ，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A 错误，B 正确；对于C ，边长为1的正三角形的面积，边长为1的正六边形的面积1112S =⨯⨯=，故该截角四面体的表面积为，故C 正确；16112S =⨯⨯⨯=44S =对于D ，棱长为1的正四面体的高h ==积为D 正确.1133311=4331122V ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.三、填空题13．已知，，若，则__________．()2,a k = ()1,2b = //a b k =【答案】4【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，且，()2,a k =()1,2b =//a b 所以，解得.122k ⨯=⨯4k =故答案为：414．写出一个模为5，且在复平面内对应的点在第三象限的复数__________.z =【答案】（答案不唯一）34i --【分析】根据复数的模、复数对应点所在象限确定正确结论.【详解】设，则满足即可.()i ,z a b a b =+∈R 220025a b a b <⎧⎪<⎨⎪+=⎩所以符合题意.34i --故答案为：（答案不唯一）34i --15．若圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________．2120【分析】计算出圆锥的底面半径，进而可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，扇形的圆心角为，由题意可得，解得，r 2π32π22π3r ⨯=23r =该圆锥的高为h ==因此，该圆锥的体积为.22112ππ333V r h ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.16．小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟B C 塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（，，三点A 30︒67︒180.8m D B C D 处于同一水平面），且点在点北偏东方向上，则该钟塔的高度为__________．（参考数据：B D 37︒m 取）sin530.8=【答案】113【分析】先利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出．BC AB 【详解】如图，，，则．67BCD ∠=︒90673760CDB ∠=︒-︒+︒=︒180606753CBD ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理，得，sin sin BC CD CDB CBD =∠∠sin 180.8sin 60sin sin 53CD CDB BC CBD ∠︒==∠︒所以．180.8sin 60180.8tan 30tan 30113msin 53 1.6AB BC ︒=⋅︒=⋅︒==︒故答案为：．113四、解答题17．已知向量的夹角为.,a b 2π,1,23a b == (1)求的值;a b ⋅(2)若和垂直，求实数t 的值.2a b -ta b + 【答案】(1)1-(2)2【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.【详解】（1）由题意可得：.2π1cos 12132a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ （2）若和垂直，则，2a b - ta b + ()()()222220a b ta b ta t a b b -⋅+=+-⋅-= 即，解得.()2240t t ---=2t =18．已知复数，其中i 为虚数单位，.()()2223232iz m m m m =--+-+R m ∈(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)z 在复平面内对应的点在第二象限，求m 的取值范围.【答案】(1)；12m =-(2)1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）z 是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.【详解】（1）因为z 是纯虚数，所以，222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩解得.12m =-（2）因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以，222320320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩解得，112m -<<所以m 的取值范围为.1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭19．如图，直三棱柱中，，，P 为线段上111ABC AB C -11BC AA ==AB =cos ACB ∠=1BC的动点．(1)当P 为线段上的中点时，求三棱锥的体积；1BC B PAC -(2)当P 在线段上移动时，求的最小值．1BC AP CP +【答案】【分析】（1）由余弦定理求出AC =AC =（2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可.AP CP +AC 【详解】（1）由已知可得sin ACB ∠=由余弦定理有，得到2212cosAC AC ACB =+-∠AC =在中，有ACB △11sin122ACBS AC BC ACB =⋅⋅⋅∠==△1111112236B PAC P ACB C ABC ACB V V V S ---===⨯⨯==△（2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），1ABC 1BC 1CBC △连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．AC BC 0P AP CP +AC 在中，，1ABC 1BC =AB =12AC =故，故，即，22211BC AB AC +=1AB BC ⊥190ABC ∠=︒又易知，故，145CBC ∠=︒135ABC ∠=︒由余弦定理得，所以21221cos1355AC =+-⨯︒=AC =（或者在中由勾股定理得1AC C △AC =故AP CP +20．在中，，，．ABC ∆3AB =1AC =60A ∠=︒（1）求；sinACB ∠（2）若为的中点，求的长度．DBC AD 【答案】（12【分析】（1）在中，根据余弦定理得到，再根据正弦定理ABC ∆BC ，即可得到的值.sin sinAB BC ACB A =∠sin ACB ∠（2）首先根据余弦定理求出，在中，由余弦定理即可得到的值.cos C =ACD ∆AD 【详解】（1）在中，，，．ABC ∆3AB =1AC =60A ∠=︒由余弦定理可得：∴BC ==由正弦定理：，可得：∴sin sin AB BC ACB A =∠sinsin AB A ACB BC ∠== （2）为的中点，可得：D BC∴12CD BC =又222cos 2AC BC AB C AC BC +-===在中，由余弦定理可得：∴ACD ∆AD ==【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.21．如图在平面四边形ABCD中，，，AC=3AB=DAC BAC∠=∠sin BAC∠=(1)求边BC；(2)若，求四边形ABCD的面积．2π3CDA∠=【答案】(1)1；【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长；（2）分别利用三角形面积公式求得的面积，进而求得四边形ABCD的面积．,ABC ACDS S△△【详解】（1）因为为锐角，sinBAC∠=BAC∠所以cos BAC∠==因为，，在中，AC=3AB=ABC由余弦定理得，2222cosBCAC AB AC AB BAC=+-⋅⋅∠即，得．279231BC=+-=1BC=（2）在中，由正弦定理得，ADC△sin sinCD ACDAC ADC=∠∠，所以．=1CD=在中，由余弦定理得，ADC△222cos2AD CD ACADCAD CD+-∠=⋅即，解得．211722ADAD+--=2AD=因为132ABCS==△12π12sin23ACDS=⨯⨯⨯=△所以ABCD ABC ACD S S S =+==△△22．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，ABC A B C a b c 222sin sin sin 1sin sin A A C C B --=且.A C ¹(1)求证：；2B C =(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.BD ABC ∠4a =BD 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角22b c ac =+2222cos b a c ac B =+-的关系；（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可4sin sin BD BDC C =∠ABC 2B C =求得线段长度的取值范围.BD 【详解】（1）由题意得，即.222sin sin sin sin sin sin A C A C C B --=21sin sin sin sin A C CB +=由正弦定理得，22b c ac =+又由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-所以，故，2cos c a c B =-sin sin 2sin cos C A C B =-故，整理得，()sin sin 2sin cos C B C C B =+-()sin sin C B C =-又为锐角三角形，则ABC ππππ0,,0,,,2222C B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，因此.C B C =-2B C =（2）在中，由正弦定理得，所以.BCD △sin sin a BD BDC C =∠4sin sin BD BDC C =∠所以，4sin 4sin 2sin sin2cos C C BD BDC C C ===∠因为为锐角三角形，且，所以，解得.ABC 2B C =π02π022π032C C C π⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩ππ64C <<.cos C <<BD <<因此线段长度的取值范围.BD。
黑龙江哈尔滨市第三中学2018-2019学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题及答案解析
考点：1．正余弦定理解三角形；2．解三角形在实际问题中的应用
19.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
．
（1）求角 的大小；
（2）若
，求 面积的最大值．
【答案】（1） 【解析】
;（2）
试题分析：（1）由平面向量的数量积定义与正弦定理进行化简 理与基本不等式进行求解．
试题解析：（1）由题意得（ a－c）cosB＝bcosC．
4.设 是两个不共线的 向量，若 A. 三点共线
C. 三点共线
【答案】A
【解析】
因为 + =
=2 ，故
故答案为：A.
三点共线.
则（ ） B. 三点共线 D. 三点共线
5.已知向量 与 的夹角为 120°，
A. 5
B. 4
【答案】B
【解析】
则（ ）
C. 3
D. 1
解得
即 （舍去）故选 B
6. 的三内角 所对边的长分别为 设向量
判断 D 选项有两个解.
【详解】根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等”可知 A 选项有一个解.根据“两边
对应相等，且这两边的夹角相等，则这两个三角形全等”可知 B 选项有一个解.由于 为锐角，且 ，故
C 选项有一个解.对于 D 选项，由于
，所以 D 选项有两个解.故选 B.
【点睛】本小题主要考查解三角形过程中，三角形解得个数的判断，属于中档题.
根据正弦定理有（ sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，
所以 sinAcosB＝sin（C＋B），即 sinAcosB＝sinA．
的值，进而求教 B;（2）利用余弦定
因为 sinA>0，所以 cosB＝ ，
黑龙江哈三中―度高一数学下学期期中考试试题【会员独享】
黑龙江哈三中2011—2012学年度高一下学期期中考试数学试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分,考试时间为120分钟．（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.等差数列36{},9,15,{}n n a a a a ==中则数列的公差d = A ． 1B ．2C ． 3D ．122.如图，在平行四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，P 为边BC 的中点，则AP =A ． 2b a +B ． 2b a -C ．2ab + D ．2ab - 3.若b a <,则下列不等式成立的是A ．11a b < B ．11a b > C ．11a b= D ．不确定 4.在等比数列{}n a 中，123a a +=，236a a +=，则34a a +=A ．12-B ．12C ．9D ．9-5.在ABC ∆中，60A ∠=︒，8AC =，面积S =AB =A ．3B ．2C ． 32D ．33 6.下列命题中正确的是A ．k R ∈，且0kb =，则0k =B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =C ．若两个非零向量⋅，满足||=||，则()()0=-⋅+D ．若a 与b 平行，则=⋅b a |a ||b |7.已知2||,1||==b a，且-和垂直，则与的夹角为A ．o60 B ．o90 C ．o45 D ．o308.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是A ． o90 B ． o120 C ． o135 D ． o1509.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a a 2001+=，且C B A ,,三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于A ． 100B ． 101C ． 200D ． 201 10.已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则a -2的最大值，最小值分别是 A ． 0,24 B ． 24,4 C ． 16,0 D ． 4,011.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD2=，1=,且 60=∠BAD ，则⋅的值为A ．165-B ．1615- C ．1625- D ．1627-12.已知b a ,是不相等的正数，且022=+-+-ab b b a a ，则b a +的取值范围是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1 C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0 D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知b =4B π=,3C π=,则c =_____________.14.设0,0>>b a ，且1a b +=，则ba 21+的最小值为___________. 15.已知公差为2-的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且17a =，则使0n S <成立的最 小的自然数n 的值为 .16.如果直角三角形周长为2，则它的最大面积为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）如图，为了测量哈尔滨市第三中学教学楼的高度，某人站在A 处测得楼顶C 的仰角为45，前进18m 后，到达B 处测得楼顶C 的仰角为60，试计算教学楼的高度.C18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， （1）若2n n a S +=，求n a ； （2）若111,21n n a a a +==+,求n a .19.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为c b a ,,.已知向量⎪⎭⎫⎝⎛=2sin ,2cos2A A ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 2,2cos A A ，1-=⋅.（1）求A cos 的值；（2）若32=a ，求△ABC 周长的最大值.20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，22a =，145a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）已知△ABC 三内角满足C B A B A 2sin 51)cos()cos(-=-+， （1）证明:2225c b a =+； （2）求cos C 的最小值. 22．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， （1）若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，证明{}n a 为等差数列； （2）在（1）的条件下，122,6S S ==，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）在（1）（2）的条件下，若存在实数λ使得对一切n N +∈,有12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求λ的最小值.参考答案一．选择题1．B 2．A 3．D 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．D 11．C 12．B二．填空题13．3 14．+322 15．9 16．-322 三．解答题 17．()139+18．（1）121-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a （2）12-=n n a19．（1）21cos -=A （2）324+ 20．（1）1=d ，n a n = （2）22)1(1+⋅-=+n n n S21．（1）略 （2）=+≥=-+=22222224242cos ba c abc ab c b a C 54 22．（1）略 （2）)1(+=n n S n ,111)1(11+-=+=n n n n S n ,=n T 1+n n （3）设()*,121265432112)(N n n nn n n f ∈≥-⋅⋅+=由1484384)()1(22<++++=+n n n n n f n f 得， 23≥λ。
黑龙江省xx市第三高级中学201X-201x学年高一数学下学期期中试题
2018—2019学年度第二学期期中试题高一数学试卷考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（5′×12＝60′）(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( )A. 21)1(+-n B.cos 2πnC.cos2)1(π+n D. cos 2)2(π+n 2. 已知集合M={x|-4≤x≤7}，N={x|x 2-x-12＞0}，则M∩N 为（ ） A.{x|-4≤x＜-3或4＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-3或4≤x＜7} C.{x|x≤-3或x ＞4} D.{x|x ＜-3或x≥4} 3. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（ ） A .2 B .3 C. 2- D.3- 4. 在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 （ ）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B5. 已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 （ ）A.22a b am bm >⇒> B.a ba b c c>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<6. 在数列﹛n a ﹜中，满足1a =1，n n n a a a -=-1 （n ≥2），则25a a +的值为（ ） A. 0 B. 169C. 5D. 18 7. 若,1>a 则11-+a a 的最小值是（ ） A. 2 B. a C. 3 D. 1-a a2 8. 在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形9．已知点P （a ，2）在直线l ：0432=-+y x 右上方（不包括边界）则a 的取值范围为（ ）A a ≤－1B a ＜－1C a ≥－1D a ＞－1 10. 用篱笆围成一个面积为196m 2的矩形菜园，所用篱笆最短为（ ）ｍA. 56B. 64C. 28D. 20 11. 数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．912. △ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ） A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+二、填空题（5′×4＝20′）(请把正确答案填在答题卡横线上)13. 关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣2|≤a 2+a+1的解集为空集，则实数a 的取值范围是 14. 在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sinC=23,则∠C= 15. 已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________16. 已知ｘ，ｙ满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤823040y x y x ，则2ｘ＋ｙ的最大值为________三、解答题（本题共12′×5+10′×1＝70′）(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分12分)（1）求12+与12-的等比中项；（2）等比数列{}n a 中，若0>n a ，252645342=++a a a a a a ，求53a a +18. （本题满分12分）在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一(下)月考数学试卷(3月份)(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若角θ满足sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=−1，则θ是( )A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2. 已知a ⃗ =(−3,4),b ⃗ =(−2,1)，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为( )A. −2B. 2C. −2√5D. 2√53. 若e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量，且a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，则a⃗ ⋅b ⃗ =( ) A. 1 B. −4C. −72D. 724. 若△ABC 为锐角三角形，则下列式子一定成立的是( )A. log cosC sinAcosB >0 B. log sinC cosAcosB >0 C. log sinC sinAsinB >0D. log sinC cosAsinB >05. 设a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2,x −3)，若当x =m 时，a ⃗ //b ⃗ ，当x =n 时，a ⃗ ⊥b ⃗ .则m +n =( )A. −2B. −1C. 0D. −2或−16. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2015cos2C −cos2A =2014−2sin 2B ，则tanC⋅(tanA+tanB)tanA⋅tanB=( )A. 12014B. 11007C.20152D. 220157. 已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为( )A. 12B. 23C. 13D. √338. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3c ，sinC =15，则sinA =( ) A. 15B. 25C. 35D. 459. 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心10. 在△ABC 中，已知a =4，b =x ，A =60°，如果解该三角形有两解，则( )A. x >4B. 0<x ≤4C. x ≤8√33 D. 4<x <8√3311. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PC 上一点．若PA =AC =a ，则当△MBD 的面积为最小值时，直线AC 与平面MBD 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π212. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为( ) A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知O 是△ABC 内部一点，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△OBC 的面积与△ABC 的面积之比为______ ．14. 已知正三棱锥A −BCD 的四个顶点在同一个球面上，AB =AC =AD =4，CD =6，则该三棱锥的外接球的表面积为______ ；该三棱锥的顶点B 到面ACD 的距离为______ ．15. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则：①若cosBcosC >sinBsinC ，则△ABC 一定是钝角三角形； ②若acosA =bcosB ，则△ABC 为等腰三角形；③a ⃗ =(tanA +tanB,tanC)，b ⃗ =(1,1)，若a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则△ABC 为锐角三角形；④若O 为△ABC 的外心，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−c 2)； ⑤若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=5 以上叙述正确的序号是______．16. 已知函数f(x)={xx+2,x ∈(12,1]−12x +14,x ∈[0,12],g(x)=asin(π3x +3π2)−2a +2(a >0)，给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,13]； ②函数g(x)在[0,1]上是增函数；③对任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解；④若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是59≤a ≤45． 其中所有正确结论的序号是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,2)，向量x ⃗ =k a ⃗ +b ⃗ ，y ⃗ =a ⃗ −3b ⃗(1)当k 为何值时，向量x ⃗ ⊥y ⃗ ；(2)若向量x⃗ 与y⃗的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2+c2=a2+bc．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)如果cosB=√6，b=2，求△ABC的面积．319.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为1，D为CC1中点．(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)求点C到平面A1BD的距离．20. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,cosx)，B(1+sinx,cosx)，且x ∈[0,π2]，A ，B ，C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若函数f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2的最小值为143，求实数m 的值．21. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sin x 4,cos x 4)，n ⃗ =(√3cos x 4,cos x4)，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． (1)若f(x)=1，求cos(x +π3)的值；(2)若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，求角B 的大小及函数f(A)的取值范围．22. 已知关于x 的函数f(x)=x 2−kx −2，x ∈R ．(1)若函数f(x)是R 上的偶函数，求实数k 的值；(2)若函数g(x)=f(2x −1)，当x ∈(0,2]时，g(x)≤0恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若函数ℎ(x)=f(x)+|x 2−1|+2，且函数ℎ(x)在(0,2)上两个不同的零点x 1，x 2，求证：1x 1+1x 2<4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：象限角θ满足sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=−1， ∴−sin 2θ−cos 2θ=−1， ∴{sinθ<0cosθ<0，∴θ是第三象限角． 故选：C ．根据同角的三角函数关系得出sinθ<0且cosθ<0，由此判断θ是第几象限角． 本题考查了同角的三角函数关系应用与三角函数值符号的判断问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：根据投影的定义可得：a⃗ ⋅b ⃗ |b ⃗ |=√(−2)2+12=√5=2√5，故选：D根据投影的定义a⃗ 在b ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |． 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．3.【答案】C【解析】解：∵a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )·(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=−6+2+1×1×12=−72，故选：C ．因为a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量，代入后根据向量的数量积运算法则可得答案．本题主要考查向量的数量积运算，要牢记数量积运算的定义和法则，属基础题．4.【答案】D【解析】解：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B>π2，即A>π2−B，则sinA>cosB>0，sinAcosB>1，又0<cosC<1，∴log cosC sinAcosB<0，A错误；∵0<sinC<1，当A=70°，B=80°时，cosAcosB >1，log sinC cosAcosB<0，B错误；当A=80°，B=70°时，sinAsinB >1，log sinC sinAsinB<0，C错误；由A+B>π2，即B>π2−A，则sinB>cosA>0，0<cosAsinB<1，log sinC cosAsinB>0，D正确．故选：D．由△ABC为锐角三角形，得A+B>π2，移向后利用三角函数的单调性借助于诱导公式可说明sinAcosB >1，0<cosAsinB<1，从而可得A错误，D正确；举例说明B，C错误．本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵当x=m时，a⃗//b⃗ ，∴2m−(m−3)=0，解得m=−3．∵当x=n时，a⃗⊥b⃗ .∴a⃗⋅b⃗ =2+n(n−3)=0，解得n=1或2．则m+n=−1或−2，故选：D．利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意，2015cos2C−cos2A=2014−2sin2B，∴2015(1−2sin2C)−(1−2sin2A)=2014−2sin2B，化简得sin2B+sin2A=2015sin2C，由正弦定理得：a2+b2=2015c2；那么cosC=a2+b2−c22ab =2014c22ab=1007c2ab；∴tanC⋅(tanA+tanB)tanA⋅tanB=tanC⋅(1tanA+1tanB)=sinCcosC⋅(cosAsinA+cosBsinB)=sinCcosC⋅sin(A+B)sinAsinB=sin2C cosCsinAsinB=ab 1007c2⋅c2ab=11007．故选：B．由题意，利用同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得cos C的值，再利用三角恒等变换化简tanC⋅(tanA+tanB)tanA⋅tanB，代入求值即可．本题考查了三角恒等变换以及三角函数求值问题，是中档题．7.【答案】D【解析】解：取CD中点E，连结BE，过A作AO⊥平面BCD，交BE于O，连结AO，设正四面体ABCD的棱长为2，则BE=√22−12=√3，BO=23BE=2√33，∵AO⊥平面BCD，∴∠ABO是AB与平面BCD所成角，cos∠ABO=BOAB =2√332=√33．∴AB与平面BCD所成角的余弦值为√33．故选：D．取CD中点E，连结BE，过A作AO⊥平面BCD，交BE于O，连结AO，则∠ABO是AB 与平面BCD所成角，由此能求出AB与平面BCD所成角的余弦值．本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：∵a =3c ，sinC =15， 因为ac =sinAsinC ； 则sinA =3sinC =35． 故选：C ．直接由正弦定理以及已知条件即可求得结论．本题考查三角形的正弦定理的应用，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵|OA −|=|OB −|=|OC −|，∴O 到三角形三个顶点的距离相等， ∴O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项， ∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵PA −⋅PB −=PB −⋅PC −=PC −⋅PA −，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理得到另外两个向量都与边垂直， 得到P 是三角形的垂心， 故选：C ．据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心．本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用．10.【答案】D【解析】解：如图所示：∵如果解该三角形有两解，则必须满足：CD <BC <AC ，既有：bsinA <a <b ，∴xsin60°<4<x．∴可解得：4<x<8√3．3故选：D．结合图象可得如解该三角形有两解，则必须有：bsinA<a<b，代入已知即可得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定定理，线面夹角的应用，菱形的性质定理，属于中档题．首先通过线面垂直进一步证明出BD⊥平面PAC，然后当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O点作OM⊥PC，可得CM⊥平面MBD，∠COM即为所求的角，由于PA=AC=a，进一步求出结果．【解答】解：连接AC，BD交于点O，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，AC⊥BD，因为PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为OM⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，所以BD⊥OM，BD⊥CP，当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O 点作OM ⊥PC 于M ， 又PA =AC =a ，所以∠ACP =π4，得∠COM =π4，因为CP ⊥BD ，CP ⊥OM ，OM ∩BD =O ，OM ，BD ⊂平面MBD ， 所以CM ⊥平面MBD ，点M 是点C 在平面MBD 上的投影， 所以∠COM 即为所求的角，且等于π4． 故选B ．12.【答案】C【解析】 【分析】本题考查三角形形状的判断，考查运算求解能力，是中档题． 推导出AB =AC ，∠BAC =90°，即可得解． 【解答】解：由题意，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的单位向量， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |为∠BAC 角平分线所在直线上的向量， ∵非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB =AC ，△ABC 为等腰三角形， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴∠BAC =90°，∴△ABC 是等腰直角三角形． 故选C ．13.【答案】1：2．【解析】解：根据题意，设E 在边BC 上，且BE =12EC ， 则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，变形可得：−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O 是AE 的中点， 故O 到边BC 的距离为A 到边BC 距离的12， 则△OBC 的面积与△ABC 的面积之比为1：2， 故答案为：1：2．根据题意，设E 在边BC 上，且BE =12EC ，分析可得OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，变形可得−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O 是AE 的中点，结合三角形面积公式计算可得答案．本题考查平面向量的线性运算，涉及三角形面积的计算，属于基础题．14.【答案】64π 6√217【解析】解：如图，设底面三角形BCD 的外心为G ，连接AG ，则该三棱锥的外接球的球心O 在AG(或其延长线)上，连接OB ．连接BG 并延长，交CD 于E ，连接AE ，由等边三角形BCD 的边长CD =6，得BE =√62−32=3√3， ∴BG =23BE =2√3，则AG =√16−12=2．设三棱锥的外接球的半径为R ，则(2−R)2+(2√3)2=R 2，解得R =4． ∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×42=64π．V A−BCD =13×12×6×3√3×2=6√3，S △ACD =12×6×√42−32=3√7， 设B 到面ACD 的距离为h ，由V A−BCD =V B−ACD ，得6√3=13×3√7×ℎ，∴ℎ=6√217．故答案为：64π；6√217．由题意画出图形，作出正三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半径，再由球的表面积公式求三棱锥外接球的表面积；利用等体积法求三棱锥的顶点B 到面ACD 的距离．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．15.【答案】①③④⑤【解析】解：①若cosBcosC >sinBsinC ，则cosBcosC −sinBsinC =cos(B +C)>0， 即−cosA >0，cosA <0，则∠A 为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形，正确． ②若acosA =bcosB ，则由正弦定理得2rsinAcosA =2rsinBcosB ，即sin2A =sin2B ，则2A =2B 或2A +2B =180，即A =B 或A +B =90°，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，错误；③a ⃗ =(tanA +tanB,tanC)，b ⃗ =(1,1)，则a ⃗ ⋅b⃗ =tanA +tanB +tanC =(1−tanAtanB)tan(A +B)+tanC >0 tan(A +B)+tanC >tanAtanBtan(A +B)⇒0>tanAtanBtan(A +B) ∴必有A +B >π2，且A ，B 都为锐角 ∴C 也必为锐角，∴△ABC 为锐角三角形，正确，④O 为△ABC 的外心，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >−|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12(b 2−c 2)，正确，⑤若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，则由正弦定理得a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形， ∴(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∵−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即结论成立．故答案为①③④⑤．对5个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查三角形中的有关知识，考查向量知识的运用，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：①当x ∈(12,1]时，f(x)=xx+2=1−2x+2单调递增，∴f(12)<f(x)≤f(1)，即15<f(x)≤13．当x ∈[0,12]时，由函数f(x)=−12x +14单调递减，∴f(12)≤f(x)≤f(0)，即0≤f(x)≤14． ∴函数f(x)的值域为[0,13].因此①正确．②g(x)=−acos π3x −2a +2，∵x ∈[0,1]，∴0≤πx 3≤π3，因此cosπx 3在[0,1]上单调递减，又a >0，∴g(x)在[0,1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，∴−3a +2≤g(x)≤−52a +2． 若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解， 则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}．∴−3a +2≤0，−52a +2≥13，解得a =23，因此③不正确；④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)maxg(x)max ≥f(x)min 由③可知：g(x)max =g(1)=−52a +2，g(x)min =g(0)=−3a +2， ∴−3a +2≤13，−52a +2≥0，解得59≤a ≤45，∴实数a 的取值范围是59≤a ≤45.正确． 综上可知：只有①②④正确． 故答案为：①②④．①当x ∈(12,1]时，利用f(x)=xx+2=1−2x+2单调递增，可得f(12)<f(x)≤f(1)． 当x ∈[0,12]时，函数f(x)=−12x +14，利用一次函数的单调性可得f(12)≤f(x)≤f(0)． 即可得到函数f(x)的值域．②利用诱导公式可得g(x)=−acos π3x −2a +2，利用余弦函数的单调性，进而得出g(x)在[0,1]上单调性．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解，则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}.解出判定即可．④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)maxg(x)max ≥f(x)min 解出即可． 本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．17.【答案】解：(1)x⃗ =k(1,2)+(−3,2)=(k −3,2k +2)， y⃗ =(1,2)−3(−3,2)=(10,−4)， ∵x ⃗ ⊥y ⃗ ，∴x ⃗ ⋅y ⃗ =10(k −3)−4(2k +2)=0，解得k =19． ∴当k =19时，向量x ⃗ ⊥y ⃗ ；(2)∵x ⃗ ⋅y ⃗ =2k −38，由cos <x ⃗ ,y ⃗ >=x ⃗ ⋅y ⃗|x ⃗ ||y ⃗ |<0，∴2k −38<0，解得k <19． 由−(2k −38)=√(k −3)2+(2k +2)2⋅√102+42，化为(3k +1)2=0，解得k =−13． ∴当k =−13时，x ⃗ 与y ⃗ 共线反向，为平角，应舍去． ∴当k <19且k ≠−13时，向量x ⃗ 与y ⃗ 的夹角为钝角．【解析】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量的垂直和夹角，属基础题，熟练掌握x ⃗ ⊥y ⃗ ，⇔x ⃗ ⋅y ⃗ =0，向量x ⃗ 与y ⃗ 的夹角为钝角⇔x ⃗ ⋅y ⃗ <0，并去掉共线反向的情况，是解题的关键．(1)利用x ⃗ ⊥y ⃗ ，⇔x ⃗ ⋅y ⃗ =10(k −3)−4(2k +2)=0，解得k 即可； (2)向量x ⃗ 与y ⃗ 的夹角为钝角⇔x ⃗ ⋅y ⃗ <0，并去掉共线反向的情况即可．18.【答案】解：(Ⅰ)∵b 2+c 2=a 2+bc ，即b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)， ∴A =π3；(Ⅱ)∵cosB =√63，B ∈(0,π)，∴sinB =√1−cos 2B =√33， 由正弦定理asinA =bsinB ，得a =bsinA sinB=3，∵b 2+c 2=a 2+bc ，即4+c 2=9+2c ，整理得：c2−2c−5=0，解得：c=1±√6，∵c>0，∴c=√6+1，则S△ABC=12bcsinA=3√2+√32．【解析】(Ⅰ)利用余弦定理表示出cos A，将已知等式变形后代入求出cos A的值，即可确定出A的大小；(Ⅱ)由cos B的值，求出sin B的值，利用正弦定理求出a的值，将a与b的值代入已知等式中求出c的值，由b，c，sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC中点O，连结AO．∵△ABC正三角形，∴AO⊥BC．∵正三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．连结B1O，在正方形BCC1B1中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)解：△A1BD中，BD=A1D=√52，A1B=√2，∴S△A1BD =√64，S△BCD=14．在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为√32．设点C到平面A1BD的距离为d．由V A1−BCD =V C−A1BD，得d=√32S△BCDS△A1BD=√24，.∴点C到平面A1BD的距离为√24．【解析】(Ⅰ)欲证AB 1⊥平面A 1BD ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB 1与平面A 1BD 内两相交直线垂直，而AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BD ，A 1B ∩BD =B ，满足定理所需条件；(Ⅱ)利用V A 1−BCD =V C−A 1BD ，可求点C 到平面A 1BD 的距离．本题考查线面垂直，考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20.【答案】证明：(1)∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,cosx)，B(1+sinx,cosx)，且x ∈[0,π2]，A ，B ，C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．解：(2)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(1,cosx)+13(1+sinx,cosx)=(1+13sinx +cos 2x)+m 2 =1+13sinx +cos 2x +(2m +13)⋅|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2 =(1+13sinx ⋅cosx)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+13sinx +cos 2x ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√sin 2x =sinx ，∴函数f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2 =1+13sinx +cos 2x +(2m +13)sinx +m 2，即f(x)=1+(2m +23)sinx +cos 2x +m 2=−sin 2x +(2m +23)sinx +2+m 2=−[sinx −(m +13)]2+2m 2+23m +199，∵x ∈[0,π2]，∴sinx ∈(0,1]，①当m +13≤12，即m ≤16时，当sinx =1时， f(x)min =−1+2m +23+2+m 2=m 2+2m +53=143，解得m =−3或m =1，又m ≤16时，∴m =−3．②当m +13>12，即m >16时，当sinx =0时， f(x)min =2+m 2=143.解得m =±2√63， 又m >16，∴m =2√63，∴综上所述，m 的值为m =−1或m =2√63．【解析】(1)推导出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ，由此能证明A ，B ，C 三点共线．(2)由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+13sinx ⋅cosx)，从而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+13sinx +cos 2x ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√sin 2x =sinx ，进而函数f(x)=1+13sinx +cos 2x +(2m +13)sinx +m 2=−[sinx −(m +13)]2+2m 2+23m +199，由此能求出m 的值．本题考查三点共线的证明，考查实数值的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sin x4⋅cos x4+cos 2x4 =√32sin x 2+1+cos x22=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin(x 2+π6)+12∵f(x)=1，∴sin(x 2+π6)+12=1∴sin (x 2+π6)=12∴cos(x +π3)=1−2sin 2(x2+π6)=1−2×14=12． (2)∵(2a −c)cosB =bcosC ，∴由正弦定理得(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB =sin(B +C)，∵A +B +C =π，∴sin(B +C)=sinA 且sinA ≠0，∴2sinAcosB =sinA∴cosB =12，又B ∈(0,π)，∴B =π3， ∴0<A <2π3，∴π6<A 2+π6<π2，∴12<sin(A2+π6)<1；又∵f(x)=sin(x 2+π6)+12， ∴f(A)=sin(A2+π6)+12， 故函数f(A)的取值范围是(1,32)．【解析】本题考查向量的数量积公式的运用，考查三角函数的化简，考查正弦定理，属于中档题．(1)利用向量的数量积公式，化简函数，结合f(x)=1，利用二倍角公式求cos(x +π3)的值；(2)先求出B =π3，可得0<A <2π3，π6<A 2+π6<π2，12<sin(A 2+π6)<1，即可求出函数f(A)的取值范围．22.【答案】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(−1)=f(1)，即1+k −2=1−k −2，解得k =0；(2)g(x)=(2x −1)2−k(2x −1)−2，当x ∈(0,2]时，g(x)≤0恒成立， 令t =2x −1，因为x ∈(0,2]，所以t ∈(0,3]， 则t 2−kt −2≤0在t ∈(0,3]上恒成立， 所以k ≥t −2t 在t ∈(0,3]上恒成立， 令ℎ(t)=t −2t 在t ∈(0,3]上是增函数， 所以ℎ(t)max =3−23=73， 所以实数k 的取值范围是[73,+∞)． (3)不妨设0<x 1<x 2<2，因为ℎ(x)={−kx +1,0<x <12x 2−kx −1,1≤x <2，若1≤x 1<x 2<2，则x 1x 2>0，而x 1x 2=−12<0，矛盾，所以ℎ(x)在(0,1)上至多有一个零点，另一根在(1,2)上，由ℎ(x1)=0，得k=1x1，由ℎ(x2)=0，得2x22−kx2−1=0，所以2x22−1x1⋅x2−1=0，即x1+x2=2x1x22，所以1x1+1x2=2x2<4，综上所述，1x1+1x2<4．【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以f(−1)=f(1)，即可解得实数a的值．(2)当x∈(0,2]时，g(x)≤0恒成立，令t=2x−1，t∈(0,3]⇔所以k≥t−2t在t∈(0,3]上恒成立，令ℎ(t)=t−2t在t∈(0,3]，只需求出ℎ(t)的最大值，即可得出答案．(3)先写出ℎ(x)的解析式，不妨设0<x1<x2<2，若1≤x1<x2<2，则x1x2>0，而x1x2=−12<0，矛盾，所以ℎ(x)在(0,1)上至多有一个零点，另一根在(1,2)上，得k=1x1，代入2x22−kx2−1=0，即可解出答案本题主要考查函数与不等式的关系，恒成立问题，属于中档题．。
2020-2021学年哈尔滨三中高一(下)期中数学复习卷(有解析)
2020-2021学年哈尔滨三中高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A(−1,1)，B(−3,4)，平面向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是( ) A. (2,3) B. (−2,−3) C. (2,−3) D. (−2,3)2. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若，则∠A =( )A. 2π3B. π3C. 5π6D. π63. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32，a 11+a 12+a 13=118，则a 4+a 10=( )A. 45B. 50C. 75D. 604. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 满足，|a ⃗ +2b ⃗ |=√3，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若c =2acosB ，则三角形一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形6. 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1,12a 3,2a 2成等差数列，则a 8+a 9a7+a 8=( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√27. 在等比数列{a n }中，S 3=72，S 6=7，则S 12等于( )A. 10B. 12C. 14D. 168. 数列{a n }满足a n+1={2a n ,0≤a n <122a n −1,12≤a n <1，若a 1=45，则a 2015=( ) A. 15B. 25C. 35D. 459. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F.若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( ) A. 1 B. 59 C. −13 D. −5910. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 15=a 6+7，则S 23=( )A. 121B. 161C. 141D. 15111. 在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若A =2B ，则a 2−b 2bc=( )A. √2B. 1C. 2√2D. √312. 在已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1,a 2=2,且a n+1−a n =a n −a n−1(n ≥2)，记T n =1S 1+1S 2+⋯1Sn，则T 2018= ( )A. 40342018B. 20172018C. 40362019D. 20182019二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量m⃗⃗⃗ =(2,1)，n ⃗ =(−3,2λ)，且(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，则实数λ=______． 14. 在等比数列{a n }中，a 2=1，a 3a 5=2a 7，则a n =______．15. 递增数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1，(n ∈N ∗,n >1)，其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10=______．16. 已知点P(3,4)和圆C ：(x −2)2+y 2=4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB|=2√3，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(O 为坐标原点)的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 7=5，S 5=−55．(1)求S n ； (2)设b n =S nn，求数列{1bn b n+1}的前19项和T 19．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(sinB +sinC,sinA +sinB)，n ⃗ =(sinB −sinC,sinA)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C 的大小；(2)若c=√3，求2a+b的取值范围．19.△ABC中，D为BC边上一点，且AB=2，AC=1．(Ⅰ)若AD为∠BAC平分线，且AD=1，求边BC的值；(Ⅱ)若D为BC边中点，且tan∠CAD=√3，求cos∠BAC的值．220.已知数列{a n}中，a1=2且a n=2a n−1−n+2(n≥2,n∈N∗).(1)证明{a n−n}是等比数列；(2)设b n=a n，求数列{b n}的前n项和S n．2n−121.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．22.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)求c n=3a nb n−11的最大项的值，并指出是第几项．【答案与解析】1.答案：D解析：解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)．故选：D．根据A，B两点的坐标即可求出向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．考查向量坐标的概念，根据点的坐标求向量坐标的方法．2.答案：A解析：本题考查余弦定理，属于基础题．直接由余弦定理可得结果．解：∵在△ABC中，a2−b2=c2+bc，∴b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，又A∈(0,π)，．故选A．3.答案：B解析：解：∵a1+a2+a3=3a2=32，a11+a12+a13=3a12=118，∴3(a2+a12)=150，即a2+a12=50，∴a4+a10=a2+a12=50．故选：B．根据等差数列的性质，结合已知，可得a2+a12=50，进而得到a4+a10的值．本题考查的知识点是等差数列的性质：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q．解析：此题考查利用平面向量数量积运算求向量夹角，考查计算能力，属于基础题．解：由题意得，∴设a→与b→的夹角为θ，|a⃗+2b⃗ |=√3，，∴a⃗2+4a⃗·b⃗ +4b⃗ 2=3，．故选C．5.答案：C解析：解：∵c=2acosB，由正弦定理可得sinC=2sinAcosB，所以sin(A+B)=2sinAcosB，可得sin(A−B)=0．又−π<A−B<π，∴A−B=0．故△ABC的形状是等腰三角形，故选：C．由题中条件并利用正弦定理可得2sinAcosB=sinC，转化为sin(A−B)=0；再根据A−B的范围，可得A=B，从而得出选项．本题主要考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到sin(A−B)=0，是解题的关键．6.答案：A解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q>0，∵a1,12a3,2a2成等差数列，∴a3=a1+2a2，∴a1q2=a1+2a1q，q2−2q−1=0，解得．则a8+a9a7+a8=q=1+√2．故选A．解析：本题考查等比数列的通项公式和前n 项和，属于基础题． 解：在等比数列{a n }中，S 3=72，S 6=7， 当q ≠1时，则{a 1(1−q 3)1−q=72a1(1−q 6)1−q=7，解得q 3=1,q =1(舍去)，则q =1，S 12=72×13×12=14． 故选C ．8.答案：A解析：解：由递推数列可得，a 1=45，a 2=2a 1−1=2×45−1=35， a 3=2a 2−1=2×35−1=15，a 4=2a 3=2×15=25， a 5=2a 4=2×25=45， … ∴a 5=a 1， 即a n+4=a n ，则数列{a n }是周期为4的周期数列， 则a 2015=a 503×4+3=a 3=15， 故选：A根据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论本题主要考查递推数列的应用，根据递推关系得到数列{a n }是周期为4的周期数列是解决本题的关键解析：本题考查了向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于基础题．首先利用向量加减法运算得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面向量基本定理得到x ，y 的值，得答案． 解：根据题意，得DFBF =DEAB =12， 所以DF =12FB ，所以DF =13DB ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x =133y =23，解得{x =13y =29所以x +y =13+29=59． 故选B ．10.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质与等差数列的前n 项和，属于基础题． 根据等差数列性质求解a 12=7，然后利用等差数列前n 项和公式求解S 23=23(a 1+a 23)2=23a 12．解：因为a 3+a 15=a 6+7，由等差数列性质可知a 3+a 15=a 6+a 12，所以a 12=7， 所以S 23=23(a 1+a 23)2=23a 12=161，故选：B ．11.答案：B解析：本题考查了余弦定理的应用及三角恒等变换，考查构造与计算能力，属于中档题．由A=2B，得到A−B=B，从而sin(A−B)=sinB，则有sinAcosB−cosAsinB=sinB，接着用余弦定理，正弦定理代换即可求出．因为A=2B，所以A−B=B，所以sin(A−B)=sinB，所以sinAcosB−cosAsinB=sinB，所以a·a2+c2−b22ac −b2+c2−a22bc⋅b=b，所以a2−b2=bc，所以a2−b2bc=1．故选B．12.答案：C解析：本题考查等差数列的判定及通项公式，同时等差的求和及裂项相法求和，属于中档题，由已知{a n}为等差数列，求出S n，然后裂项相消法求和即可．解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+1−a n=a n−a n−1(n≥2)，n=1时a1=1，也满足，则数列{a n}为等差数列，设公差为d，则：d=a2−a1=2−1=1，则a n=1+n−1=n，n=1时a1=1，也满足上式，故：S n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，则：1S n =2⋅(1n−1n+1)，所以：T n=1S1+1S2+⋯+1S n，=2⋅(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)，=2⋅(1−1n+1)， =2n n+1．所以：T 2018=2×20182018+1=40362019． 故选C ．13.答案：−34解析：解：2m⃗⃗⃗ −n ⃗ =(7,2−2λ)，m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ =(−7,1+6λ)， ∵(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，∴7(1+6λ)+7(2−2λ)=0， 解得λ=−34． 故答案为：−34．利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：12n−2解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2=1，a 3a 5=2a 7，∴a 1q =1，a 12q 6=2a 1q 6，∴a 1=2，q =12． 则a n =2×(12)n−1=12n−2． 故答案为：12n−2． 利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：35解析：解：∵2a n =a n−1+a n+1，(n ∈N ∗,n >1)， ∴数列{a n }为等差数列，又a 2+a 8=6，∴2a 5=6，解得：a 5=3，又a 4a 6=(a 5−d)(a 5+d)=9−d 2=8，∴d 2=1，解得：d =1或d =−1(舍去)∴a n =a 5+(n −5)×1=3+(n −5)=n −2．∴a 1=−1，∴S 10=10a 1+10×92=35．故答案为：35．由2a n =a n−1+a n+1，(n ∈N ∗,n >1)，知列{a n }为等差数列，依题意可求得其首项与公差，继而可求其前10项和S 10．本题考查数列的求和，判断出数列{a n }为等差数列，并求得a n =2n −1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．16.答案：[2,22]解析：解：设线段AB 的中点为D ，∵|AB|=2√3，∴|AD|=√3，CD =1，∴点D 在圆：(x −2)2+y 2=1上，可设点D(2+cosα,sinα)，则得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,8)⋅(2+cosα,sinα)=12+6cosα+8sinα =12+10sin(α+θ)，其中，sinθ=35，cosθ=45，∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为12−10=2，最大值为12+10=22， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的范围是[2,22]． 故答案为：[2,22]．设线段AB 的中点为D ，可得AD =√3，CD =1，即点D 在圆：(x −2)2+y 2=1上，可设点D(2+cosα,sinα)，求得OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+10sin(α+θ)，可得所求． 本题考查了直线与圆的位置关系、向量的数量积的坐标运算以及三角函数的最值求法． 17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=5，S 5=−55．∴a 1+6d =5，5a 1+10d =−55，联立解得a 1=−19，d =4，∴S n =−19n +n(n−1)2×4=2n 2−21n ． (2)设b n =S n n =2n −21，∴1b n b n+1=12(12n−21−12n−19)．∴数列{1b n b n+1}的前19项和T19=12(1−19−1−17+1−17−1−15+⋯+117−119)=12(−119−119)=−119．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a7=5，S5=−55.利用通项公式与求和公式即可得出．(2)设b n=S nn=2n−21，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗；∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0；∴sin2B−sin2C+(sinA+sinB)sinA=0；∴由正弦定理得，b2−c2+a2+ab=0；∴a2+b2−c2=−ab；∴cosC=a2+b2−c22ab =−12，且C∈(0,π)；∴C=2π3；(2)∵C=2π3，c=√3；∴△ABC外接圆直径2R=2；∴2a+b=4sinA+2sinB=4sinA+2sin(π3−A)=4sinA+√3cosA−sinA=3sinA+√3cosA=2√3sin(A+π6)；∵A∈(0,π3)，∴A+π6∈(π6,π2)；∴sin(A+π6)∈(12,1)，∴2a+b的取值范围是(√3,2√3)．解析：(1)根据m⃗⃗⃗ ⊥n⃗即可得出m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，进行数量积的坐标运算即可得出sin2B−sin2C+sin2A+ sinAsinB=0，由正弦定理即可得出a2+b2−c2=−ab，根据余弦定理即可求出cosC=−12，从而求得C=2π3；(2)根据C=2π3,c=√3即可求出△ABC的外接圆直径为2，根据正弦定理即可得出2a+b=4sinA+2sinB=2√3sin(A+π6)，而A∈(0,π3)，从而得出A+π6∈(π6,π2)，从而求出2√3sin(A+π6)的范围，即得出2a+b的范围．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，正余弦定理，三角形外接圆直径的求法，两角和差的正弦公式．19.答案：解：(Ⅰ)∵AD为∠BAC平分线，∴∠BAD=∠CAD记为角θ，则2sin∠BDA =BDsinθ,1sin∠CDA=DCsinθ，可得：BD=2DC，设DC=x，则BD=2x,BC=3x在ΔABD中，cosB=4+4x2−18x，在ΔABC中，cosB=4+9x2−112x，解得：x=√22，∴BC=3x=3×√22=3√22．(Ⅱ)记∠CAD=α，∠BAC=β，则由D 为BC 边中点可得ΔABD的面积与ΔADC相等，又tan∠CAD=√32，则sinα=√3√7cosα=√7，进一步可得2sin(β−α)=sinα，∴sin(β−α)=√32√7，∴cos(β−α)=2√7，∴cosβ=cos(β−α)cosα−sin(β−α)sinα=1014−314=12，即cos∠BAC=12．解析：本题考查正弦定理，余弦定理以及解三角形的应用，属于中档题．(Ⅰ)由AD为∠BAC平分线，可得∠BAD=∠CAD，利用正弦定理列出关系式可求得BC的值．(Ⅱ)由D 为BC 边中点可得ΔABD的面积与ΔADC相等，又tan∠CAD=√32，可得sinα=√3√7,cosα=2√7，利用两角和与差的三角函数公式，可求得cos∠BAC的值．20.答案：解：(1)由已知，可得：，，，即，因为，又因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得，即，所以，设，且前项和为，所以，①，②①−②得：12T n=1+(12+122+123+⋯+12n−1)−n2n=1+12⋅1−12n−11−12−n2n=2−2+n2n，所以，因此．解析：本题考查数列的递推关系、等比数列的判定以及错位相减法求和，属于中档题．(1)根据数列{a n}的递推公式利用待定系数法转换，即可证明{a n−n}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可求得{a n}的通项，从而得到{b n}的通项，利用错位相减法得出的表达式，从而求得S n．21.答案：证明：(Ⅰ)数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).则：当n≥2时，S n−S n−1=2S n22S n−1，整理得：S n−1−S n=2S n−1S n，所以：1S n −1S n−1=2(常数)．所以：数列{1Sn }是以1S1=1为首项，2为公差的等差数列．证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：1S n=1+2(n−1)=2n−1，所以：S n=12n−1，当n=1时，符合通项．故：12n+1⋅S n=12(12n−1−12n+1)，所以：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n，=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=12(1−12n+1)<12解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用列想想效法求出数列的和．本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式及应用，利用裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.答案：解：(1)当n=1时，a1=S1=3+8=11，当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n2+8n−3(n−1)2−8(n−1)=6n+5，又a n =6n +5对n =1也成立，所以a n =6n +5．又因为{b n }是等差数列，设首项为b 1，公差为d ，则由a n =b n +b n+1得：6n +5=(2d)n +(2b 1−d)，且该等式恒成立，所以：{2d =62b 1−d =5，所以{b 1=4d =3，所以b n =3n +1； 法二：当n =1时，2b 1=11−d ；当n =2时，2b 2=17−d ，相减可得d =3，所以数列{b n }的通项公式为b n =a n −d 2=3n +1． (2)c n =3a nb n −11=3(6n+5)(3n+1)−11=6+25n−103， 由n ≥4时，c n 递减，且c 4=872；又c 1<0，c 2<0，c 3<0，所以当n =4的时候取得最大值872．解析：(1)运用n =1，a 1=S 1；当n ≥2时，a n =S n −S n−1，可得a n ，再由等差数列的通项公式可得b n 的通项或由n =1，n =2，解方程可得b n 的通项；(2)求出c n ，变形，运用n ≥4时，c n 递减，且n =1，2，3均为负的，即可得到所求最大值．本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数列中的最大值，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市2020版高一下学期期中数学试卷C卷
黑龙江省哈尔滨市2020版高一下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共15分)1. （1分） (2019高一上·台州期中) 若函数，的值域为，则实数的取值范围是________．2. （1分）(2019高一上·舒城月考) 若函数，且，则中，正数的个数是________.3. （1分） (2019高一上·重庆月考) 以下命题中，正确的命题是：________.⑸ 是奇函数，则的值为0；⑵若，则（、且、）；⑶设集合，，则；⑷若在单调递增，则的取值集合为 .4. （1分） (2019高二上·四川期中) 若过点(1，2)总可以作两条直线与圆相切，则实数k的取值范围是________．5. （3分） (2016高一上·宁波期中) 0.5﹣1+40.5=________；lg2+lg5﹣（）0=________；（2﹣）﹣1+（2+ ）﹣1=________．6. （1分） (2016高二上·南通开学考) 已知α为锐角，满足，则sin2α=________．7. （1分） (2019高一上·郁南月考) 关于下列结论：①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.其中不正确的是________.8. （2分）(2017高一上·义乌期末) cos20°sin50°﹣cos70°sin40°=________；cos20°+cos100°+cos140°=________．9. （1分）(2018·虹口模拟) 已知函数，则 ________．10. （1分） (2016高一下·淄川开学考) =________．11. （1分）角θ其终边上一点P(x,)，且cosθ=x，则sinθ的值为________12. （1分） (2016高一上·右玉期中) 已知集合A={1，a，5}，B={2，a2+1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件14. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是（）A .B .C .D .15. （2分） (2016高一上·洛阳期中) 要得到函数y=8•2﹣x的图象，只需将函数的图象（）A . 向右平移3个单位长度B . 向左平移3个单位长度C . 向右平移8个单位长度D . 向左平移8个单位长度16. （2分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f[g（x）]=0有m个实数根，方程g[f（x）]=0有n个实数根，则m+n=（）A . 14B . 12C . 10D . 8三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2018高一下·枣庄期末) 已知，，．（1）求的值；（2）求的值．18. （10分） (2019高一上·涟水月考) 已知在半径为10的圆O中，弦的长为10.（1）求弦所对的圆心角的大小；（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积S.19. （10分） (2019高三上·常州月考) 如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记（1）若，求；（2）分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值.20. （10分） (2018高一上·衢州期中) 已知函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若的定义因为的定义域是，所以得恒成立.21. （10分）函数是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且．（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．参考答案一、填空题 (共12题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
黑龙江哈尔滨市2019-2020学年高一数学下册期中检测题-附答案(精校版)
哈32中2019-2020学年度下学期中测试高一数学试题一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共40分） 1、 15sin 75sin 15cos 75cos += （ ）A 、 100cosB 、 100sinC 、23 D 、21 2、已知41sin -=x ，则=x 2cos （ ）A 、87B 、87-C 、415D 、415- 3、函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 （ ）A 、π2B 、π4C 、4πD 、2π4、函数x x y 4cos 34sin 3+=的最大值是 （ ）A 、3B 、32C 、3D 、6 5、︒︒︒︒-+50tan 70tan 350tan 70tan = （ ）A 、3B 、33C 、33-D 、3- 6、关于零向量，下列说法中错误的是 （ ）A 、零向量是没有方向的B 、零向量的长度为0C 、零向量与任一向量平行D 、零向量的方向是任意的 7、BC DA CD AB +++= ( )A 、B 、C 、D 、8、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B9、已知)1,2(),,6(-=-=y ，且与共线，则y = （ ）A 、-6B 、6C 、3D 、-310、已知向量、满足4||,1||==b a ，且,2=∙b a 则与的夹角为（ ）A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π二、填空题（每空4分，共20分）11、已知33)6cos(=-απ，则=+)65cos(απ；12、已知2||||==，,2)()2(-=-∙+则a 与b 的夹角为 ；13．若3sin 5θ=，θ为第二象限角，则≡θ2sin _______.14．等差数列{}n a 中，若377,3a a ==，则10a = ．三、解答题（每题10分，共40分）15．求函数)32sin(π-=x y ，的周期及单调递减区间；16．已知πβαββαα<<<==0),sin ,(cos ),sin ,(cos b a ，（1）求||的值；（2）求证：+与-互相垂直。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z =2i1i-，则复数z 的虚部为（）A ．iB ．-iC ．1D ．-1【答案】C【分析】先通过复数的除法运算求出z ，进而求出虚部.【详解】由题意，()2i 1i 2i 1i 1i 2z +===-+-，则z 的虚部为1.故选：C.2．已知a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC ．若//αβ，//a α，则//a βD ．若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c 【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析．【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，故A 选项错误；若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ或α与β相交，故B 选项错误．若//αβ，//a α，则//a β或a β⊂，故C 选项错误；若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c ，正确，证明如下：//a b ，a γ⊄，b γ⊂，//a γ∴，又a α⊂，且c αγ⋂=，//a c ∴，则//b c ，故D 选项正确；故选：D ．3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A ．3B ．23C ．4D ．12【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为(2,0)a =，所以||2a = ，2a b +()2222||44||a ba ab b =+=+⋅+4421cos604=+⨯⨯⨯+ =23.故选：B4．已知向量(cos ,3)a α= ，(sin ,4)b α=- ，//a b，则3sin cos 2cos 3sin αααα+-的值是（）A ．12-B ．2-C ．43-D ．12【答案】A【分析】根据//a b ，可得4tan 3α=-，再利用同角之间的公式化简3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--，代入即可得解.【详解】因为向量(cos ,3)a α= ，(sin ,4)b α=- ，//a b 4cos 3sin a a ∴-=，即4tan 3α=-3sin cos 3tan 1412cos 3sin 23tan 2412αααααα++-+∴===--+-故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.5．已知,,A B C 均在球O 的球面上运动，且满足π3AOB ∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为（）A ．12πB ．48πC ．323πD ．643π【答案】C【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大,等体积法即可解决.【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故3243R =，则球O 的体积为34π323π3R V ==，故选:C.6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，3AB =，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，过BF 的平面α与直线1C E 平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（）A ．3B ．32C ．33D ．35【答案】D【分析】取1DD 中点G ，连接,,GA GF AF ，进而证明1//EC 平面ABFG 得到平面ABFG 即为所求的平面α，再求面积即可.【详解】解：如图，取1DD 中点G ，连接,,GA GF AF ，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，所以11//,AE C F AE C F =，所以四边形1AEC F 是平行四边形，所以1//EC AF ，因为G 为1DD 中点，F 为棱1CC 的中点，所以//,GF DC GF DC =，又因为//,AB DC AB DC =，所以//,AB GF AB GF =，所以四边形ABFG 是平行四边形，又因为1EC ⊄平面ABFG ，AF ⊂平面ABFG ，所以1//EC 平面ABFG ，所以平面ABFG 即为所求的平面α，又因为12AA AD ==，3AB =，所以面积为232135S =⨯+=故选：D7．圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIA CATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15315-m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30︒，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m【答案】D【分析】在在Rt ABM 中，求出AM ，在ACM △中，利用正弦定理求出CM ，再解Rt MCD △即可得解.【详解】由题意可知，在Rt ABM 中，15315,15AB AMB =-∠=︒，则()232162sin sin15sin 453022224AB AMB AM -∠==︒=︒-︒=⨯-⨯=，所以15315302624AM -==-，在ACM △中，301545,1806015105MAC AMC ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，则1804510530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin AM CMACM MAC=∠∠，所以230226012CM ⨯==，在Rt MCD △中，60CMD ∠=︒，则3sin 2CD CMD CM ∠==，所以3603032CD =⨯=，所以小明估算索菲亚教堂的高度为303m .故选：D.8．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3tan tan cos cA B a B=+，下列结论正确的是（）A ．6A π=B ．当2a =，4c =时，ABC 的面积为43C ．若AD 是BAC ∠的角平分线，且23AD =，则112b c+=D ．当33a b c -=时，ABC 为直角三角形【答案】D【分析】选项A ：先用正弦定理得3sin tan tan sin cos CA B A B=+，再利用三角恒等变换，求出3A π=，即可；选项B ：直接解三角，发现无解即可；选项C ：利用等面积法，的到,b c 的关系即可；选项D ：利用正弦定理得31sin sin sin 32B C A -==，然后利用三角形角的关系，计算出各个角的大小即可.【详解】选项A:因为3tan tan cos cA B a B=+，由正弦定理可得3sin tan tan sin cos CA B A B=+，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以()3tan tan sin cos sin cos cos sin A B A B B A A B =++，化简可得()3tan tan tan tan tan A B A B A+=+，因为3tan tan cos cA B a B =+，所以tan tan 0A B +≠可得tan 3A =，()0,A π∈，故3A π=，选项A 错误；选项B ：当2a =，4c =时，由选项A ，得3A π=，因为2222cos a b c bc A =+-，可得24120b b -+=，无解，故此时三角形不存在，选项B 错误；选项C ：因为若AD 是BAC ∠的角平分线，且23AD =，由选项A ，得3A π=故6BAD CAD π∠=∠=，而BAD CAD ABCS S S +=△△△得11123sin 23sin sin 262623c b bc πππ⨯⨯+⨯⨯=，得12c b bc +=，所以1112b c +=，选项C 错误；选项D ：因为33a b c -=，由正弦定理可得31sin sin sin 32B C A -==，又A B C π++=，3A π=，得23B C π=-，所以21sin sin 32C C π⎛⎫--=⎪⎝⎭，化简可得1cos 62π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得6C π=或2π，由条件可知C B <，故2C π=舍去，故6C π=，所以2B π=，所以ABC 为直角三角形，选项D 正确．故选：D二、多选题9．设复数12i z =-，22i z =（i 为虚数单位），则下列结论正确的为（）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12iz =+【答案】AD【分析】根据复数的概念判断A ；算出12z z -判断B ；算出12z z +判断C ；求出1z 判断D.【详解】对于A ：22i z =，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A 正确；对于B ：1223i z z -=-，其在复平面上对应的点为()2,3-，在第四象限，B 错误；对于C ：212i z z +=+，则12415z z +=+=，C 错误；对于D ：12i z =-，则12i z =+，D 正确.故选：AD.10．下列说法中错误．．的为（）．A ．已知()1,2a = ，()1,1b = 且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a ，b ，满足a b > 且a 与b 同向，则a b>D ．非零向量a 和b ，满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为30°【答案】AC【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断A ；向量的基本定理判断B ；向量的定义判断C ；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断D ．【详解】解：对于A ， (1,2),(1,1),a b a == 与a b λ+ 的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)142350a a b λλλλλλ+=++=+++=+>，且0(0λλ≠=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量124e e =，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；对于D ．因为||||a a b =- ，两边平方得，2||2·b a b =，则223()||||2a a b a a b a +=+= ，222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=++= ，故23||()32cos ,2||||||3||a a ab a a b a a b a a +<+>===+ ，而向量的夹角范围为[0︒，180]︒，得a与a b +的夹角为30︒，故D 项正确．故错误的选项为AC ．故选：AC ．11．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .下面四个结论正确的是（）A ．2a =，30A =︒，则ABC 的外接圆半径是4B ．若cos sin a bA B=，则45A =︒C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D ．若3AB =，1AC =，30B =︒，则ABC 的面积为34或32【答案】BCD【分析】由正弦定理有2sin aR A=判断A ；由正弦定理有cos sin A A =，结合三角形内角性质求角的大小判断B ；由题意得222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理边角关系、余弦定理即可判断三角形形状判断C ；利用余弦定理求BC ，应用三角形面积公式求面积判断D.【详解】A ：由外接圆半径为2212sin 22a R A ===⨯，错误；B ：由cos sin sin a b aA B A==，即cos sin A A =，故tan 1,0180A A =︒<<︒，则45A =︒，正确；C ：由222sin sin cos 1A B C ++<，则2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，正弦边角关系知：222a b c +<，而222cos 02a b c C ab+-=<，0180C ︒<<︒，所以C 为钝角，则ABC 为钝角三角形，正确；D ：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2320BC BC -+=，可得1BC =或2BC =，显然1BC =或2BC =都满足构成ABC ，故ABC 的面积1sin 2AB BC B ⋅为34或32，正确.故选：BCD12．在正三棱锥-P ABC 中，设APB APC BPC θ∠=∠=∠=，2PA =，则下列结论中正确的有（）A ．当π2θ=时，P 到底面ABC 的距离为233B ．当正三棱锥-P ABC 的体积取最大值时，则有π3θ=C ．当π6θ=时，过点A 作平面α分别交线段PB ，PC 于点E ，F （E ，F 不重合），则AEF △周长的最小值为22D ．当θ变大时，正三棱锥-P ABC 的表面积一定变大【答案】ACD【分析】利用等体积法求正三棱锥的高判断A ；分析得当π2θ=时三棱锥体积最大判断B ；利用平面展开图分析C ，写出表面积，利用三角函数的单调性判断D ．【详解】A ，当π2θ=时，22AB BC AC ===，1322222322ABC S =⨯⨯⨯=△，设正三棱锥-P ABC 的高为h ，111332P ABC ABC V S h PA PB PC -==⨯⋅⋅ ，得233h =，正确；B ，由P ABC A PBC V V --=，当正三棱锥-P ABC 的体积取最大值时，△PBC 面积及A 到面PBC 距离最大，而2PA =，则A 到面PBC 距离最大为2，此时PA ⊥面PBC ，易知π2θ=，错；C ，当π6θ=时，过点A 作平面α分别交线段PB ，PC 于E ，(,F E F 不重合)，将棱锥展开，如上图示，则AEF △周长的最小值为展开图的直线距离22，正确；D ，在APB △中根据余弦定理得2222cos 88cos AB AP BP AP PB θθ=+-⋅=-，所以()1πsin 231cos 23ABC S AB BC θ=⋅=- ，所以()21π3231cos 32sin 43sin 2326ABC PAB S S S θθθ⎛⎫=+=-+⨯⨯⋅=-+ ⎪⎝⎭ ，因为2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,662θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故函数πsin 6y θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，即当θ变大时，正三棱锥-P ABC 的表面积一定变大，正确．故选：ACD ．三、填空题13．已知()1,1a = ，()2,1b =- ，则b 在a上的投影向量的坐标为.【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据投影向量的定义求b 在a上的投影向量坐标即可.【详解】由b 在a上的投影向量为2111(1,1)(,)222||||a b a a a ⋅-+⋅=⋅=--.故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭14．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为93π，则该圆锥的母线长为.【答案】6【分析】利用圆锥侧面积、底面积及体积公式列方程求母线长即可.【详解】令圆锥母线、底面半径分别为,l r ，则2222π2π1π93π3rl r l r r ⎧=⎪⎨-⋅=⎪⎩，所以3227l r r =⎧⎨=⎩，可得6l =.故答案为：615．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，120BAC ∠=︒且∠BAC 的平分线交BC 于D ，若1AD =，则4b c +的最小值为．【答案】9【分析】先根据三角形面积关系列,b c 等量关系，再根据基本不等式求最值.【详解】因为AD 平分∠BAC ，所以60BAD CAD ∠=∠=︒，ABC ABD ACD S S S =+ ，即111sin120sin 60sin 60222bc cAD bAD ︒=︒+︒，又1AD =，整理得bc c b =+，故111b c+=所以()114445c bb c b c b c b c ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭4259c b b c ≥⋅+=，当且仅当4c b b c=，111b c +=，即3b =，32c =时等号成立，则4b c +的最小值是9．故答案为：9.四、双空题16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，如图所示，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，13AA =，则四面体1A A BC -的体积为，四棱锥111A BCC B -的外接球的表面积为．【答案】114π【分析】直接根据锥体的体积公式代入计算即可得到结果；根据题意找出球心所在位置为1OO 的中点位置，然后求得半径，根据球的表面积公式即可得到结果.【详解】由题意可得1121122ABC S AB AC =⨯⋅=⨯⨯=V ，且1h AA =，则11113133AB A A BC C V S h -=⋅=⨯⨯=V 因为ABC 外接圆的圆心即为BC 中点，设为O ，111A B C △外接圆的圆心即为11B C 中点，设为1O ，则1OO 的中点到六个顶点的距离相等，则1OO 的中点M 为外接球的球心，即CM 为半径，22115222OC BC AC AB ==+=，11322OM AA ==所以225914442CM OC OM =+=+=，即外接球的表面积为2144π4π14π4R =⨯=故答案为:1，14π五、解答题17．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N ，P 分别为AB ，BC ，B 1C 1的中点．(1)求证：AC ∥平面B 1MN ；(2)求证：平面ACP ∥平面B 1MN ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知，M ，N 分别为AB ，BC 的中点．所以MN ∥AC ，利用线面平行的判定定理即可证明AC ∥平面B 1MN ；（2）由已知，P 为B 1C 1的中点．可证B 1P ＝CN ，B 1P ∥CN ，从而证明四边形B 1PCN 是平行四边形，得到CP ∥B 1N ，利用线面平行的判定定理即可证明CP ∥平面B 1MN ，结合第（1）问AC ∥平面B 1MN ，利用面面平行的判定定理即可证明平面ACP ∥平面B 1MN.【详解】（1）证明：因为M ，N 分别为AB ，BC 的中点．所以MN ∥AC ，因为MN ⊂平面B 1MN ，AC ⊄平面B 1MN ，所以AC ∥平面B 1MN ，得证.（2）证明：因为P 为B 1C 1的中点．所以B 1P ＝CN ，又因为B 1P ∥CN ，所以四边形B 1PCN 是平行四边形，所以CP ∥B 1N ，又因为B 1N ⊂平面B 1MN ，CP Ë平面B 1MN ，所以CP ∥平面B 1MN ，由第（1）问，AC ∥平面B 1MN ，AC ∩CP ＝C ，AC ⊂平面ACP ，CP ⊂平面ACP ，所以平面ACP ∥平面B 1MN ．得证.18．已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及x 的范围求出26x π+的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：2(1)(2sin ,cos )a x x = ，(3cos ,2)b x = ，由2()23sin cos 2cos f x a b x x x=⋅=+ 3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，()f x \的最小正周期22T ππ==，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得：2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，()f x \的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；()2由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：72,,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为7210,6sin π+=当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为213,2sin π+=故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0．19．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=（1）求角A ；（2）若ABC ∆的周长为8，外接圆半径为3，求ABC 的面积.【答案】（1）60A =︒；（2）433.【解析】（1）由条件、三角形的内角和、三角函数的和差公式和正弦定理可化得答案；（2）由正弦定理求出a ，然后可得b c +，然后结合余弦定理可得bc ，然后可得答案.【详解】（1）由()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=和A B C π++=得即()()cos cos 23sin cos a B C a B C b C A --+=，所以()cos cos sin sin cos cos sin sin a B C a B C a B C B C+--23sin cos b C A =即sin sin 3sin cos a B C b C A =，因为sin 0C ≠，所以sin 3cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，所以tan 3A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）因为ABC 的外接圆半径为3，所以32sin 2332a R A ==⨯⨯=，所以5bc +=，由余弦定理得()22222cos 22cos 3a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=()23b c bc +-所以()22325916bc b c a =+-=-=，得163bc =，所以ABC 的面积1116343sin 22323S bc A ==⨯⨯=20．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，P 为1BB 的中点，M 为11B C 的中点，(1)求证：1D M ∥平面1A DP ；(2)若12,60AA AB BAD ==∠=︒，求M 到平面1A DP 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：取1CC 的中点N ，连接1,D N MN ，先证明四边形11A D NP 为平行四边形，得11D N A P ∥，再证明平面1D MN ∥平面1A DP ，利用面面平行的性质即可证明；方法二：连接1AD ，交1A D 于点O ，连接,OP PM ，证明四边形1OD MP 为平行四边形，得11D N A P ∥，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用等体积法即可求解.【详解】（1）方法一：取1CC 的中点N ，连接1,,D N MN PN ，因为M 为11B C 的中点，所以1MN B C ∥，而11B C A D ∥，所以1MN A D ∥，又1MN A DP ⊄平面,11A D A DP⊂平面所以//MN 平面1A DP ，又因为P 为1BB 中点，所以1111NP B C A D ∥∥，则四边形11A D NP 为平行四边形，则11D N A P ∥，又1111,D N A DP A P A DP⊄⊂平面平面所以1D N ∥平面1A DP ，且1D N MN N = ，所以平面1D MN ∥平面1A DP ，则1D M ∥平面1A DP ．方法二：连接1AD ，交1A D 于点O ，连接,OP PM ，因为M 为11B C 中点，所以112PM BC ∥，又因为11AD BC ∥，所以1PM OD ∥，所以四边形1OD MP 为平行四边形，则1D M OP ∥，又11D M A DP ⊄平面,OP ⊂平面1A DP所以1D M ∥平面1A DP（2）由（1）可知，M 到平面1A DP 的距离等于1D 到平面1A DP 的距离，设为h ，因为111D A DP P ADD V V --=，所以11111333A DP A DD S h S ⋅=⋅，而112,6ADD A DP S S ==，所以2h =21．某公园有一块三角形空地，如图，在ABC 中，1003AB AC ==，120BAC ∠= ，为了增加公园的观赏性，公园管理人员拟在ABC 中间挖出一个池塘AEF 用来放养观赏鱼，E 、F 在边BC 上，且60EAF ∠= ．(1)若100BE =，求EF 的长；(2)为节省投入资金，池塘AEF △的面积需要尽可能的小，记EAB θ∠=，试确定θ为何值时，池塘的面积最小．【答案】(1)100EF =(2)当30θ= 时，AEF △的面积最小【分析】（1）在ABE 中，利用余弦定理可求得AE 的长，分析可知AEF △为等边三角形，即可得出EF 的长；（2）分析可知060θ<< ，利用正弦定理求出AE 、AF ，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换化简AEF △的面积关于θ的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得当AEF △的面积取最小值时对应的θ值.【详解】（1）解：在ABC 中，1003AB AC ==，120BAC ∠= ，则ABC 为等腰三角形，所以，30ABC ACB ∠=∠= ，在ABE 中，1003AB =，30ABE ∠=o ，100BE =，由余弦定理可得2232cos 303000010000210031001002AE AB BE AB BE =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ，所以，AE BE =，则ABE 为等腰三角形，且30BAE ABE ∠=∠= ，所以，60AEF ABE BAE ∠=∠+∠= ，又因为60EAF ∠= ，所以，AEF △为等边三角形，故100EF AE ==.（2）解：因为EAB θ∠=，其中060θ<< ，在ABE 中，1003AB =，30ABE ∠=o ，EAB θ∠=，所以，150AEB θ∠=- ，由正弦定理sin sin AE AB ABE AEB =∠∠可得()()11003sin 5032sin sin 150sin 30AB ABE AE AEB θθ⨯∠===∠-+ ，在ACF △中，1003AC =，30ACF ∠= ，60CAF θ∠=- ，90AFC θ∠=+ ，由正弦定理sin sin AF AC ACF AFC =∠∠可得()11003sin 5032sin cos sin 90AC ACF AF AFC θθ⨯∠===∠+ ，所以，()11503503375003sin 22cos 2sin 30314cos sin cos 22AEF S AE AF EAF θθθθθ=⋅∠=⨯⨯⨯=⎛⎫++ ⎪⎝⎭△()27500375003750032sin 230123sin cos 2cos 3sin 2cos 21θθθθθθ===+++++ ，因为060θ<< ，所以，30230150θ<+< ，则()1sin 23012θ<+≤ ，所以，当23090θ+= 时，即当30θ= 时，AEF △的面积取最小值25003.22．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos 2cos c B b C a A +=.(1)求角A 的大小；(2)求11tan tan B C+的取值范围.【答案】(1)π3(2)23,33⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）根据正弦定理的边角转化，结合三角恒等变换求解；（2）切弦互化，结合（1）中的结果，利用三角恒等变换，将待求表达式用一个角来表示，运用三角函数的性质求解.【详解】（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，又()()sin cos sin cos sin sin πsin C B B C B C A A +=+=-=，则sin 2sin cos A A A =，又()0,πA ∈，则sin 0A ≠，则1cos 2A =，则π3A =；（2）()sin 11cos cos sin cos sin cos tan tan sin sin sin sin sin sin B C B C C B B C B C B C B C B C +++=+==sin 3sin sin 2sin sin A B C B C==，由π3A =可得2π3C B =-，又ABC 为锐角三角形，则π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得62B ππ<<，则22π3131sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin 32222B C B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3111π1sin 2cos 2sin 2444264B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，又ππ5π2666B <-<，则π61sin 212B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则11π13sin 222644B ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，即13sin sin 24B C <≤，则2131tan ,3ta 3n B C ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭+∈.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．若角θ满足sin |sin |cos |cos |1θθθθ+=-，则θ是 A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角【答案】C【分析】根据同角的三角函数关系得出sin 0θ<且cos 0θ<,由此判断θ是第几象限角. 【详解】角θ满足sin |sin |cos |cos |1θθθθ+=-,22sin cos 1θθ∴--=-,sin 0cos 0θθ<⎧∴⎨<⎩,θ∴是第三象限角.故选:C.【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号和同角三角函数的平方关系,难度较易. 2．已知(3,4)a =-，(2,1)b =-，则 a 在b 上的投影为（ ）A ．2-B ．2C ．-D ．【答案】D【分析】根据向量在向量上的投影的定义，利用坐标运算可得结果. 【详解】因为(3,4)a =-，(2,1)b =-，所以 a 在b 上的投影为||41a b b ⋅==+. 故选：D3．若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+,1232b e e =-+，则a b ⋅= A ．1 B ．4- C ．72- D ．72【答案】C 【详解】121212117,(2)(32)62.222e e a b e e e e ⋅=⋅=+⋅-+=-++=-故选C4．若ABC 为锐角三角形，则下列式子一定成立的是（ ）A ．cos sin log 0cos C AB > B ．sin cos log 0cos CAB >C ．sin sin log 0sin CAB> D ．sin cos log 0sin CAB> 【答案】D【分析】根据锐角三角形可推出22A B ππ-<<，可得0cos sin 1B A <<<，可得sin 1cos A B>，可知A 不正确；可得0cos sin 1A B <<<，所以cos 01sin AB <<，可知D 正确；当ABC 为等边三角形时，可知B C 不正确. 【详解】因为ABC 为锐角三角形，所以2A B ππ<+<，所以22A B ππ-<<，所以cos()cos 2A B π->，即0cos sin 1B A <<<，所以sin 1cos AB>， 又0cos 1C <<，所以cos sin log 0cos C AB<，故A 不正确； 由22A B ππ-<<得sin()sin 2A B π-<，得0cos sin 1A B <<<，所以cos 01sin AB<<， 又0sin 1C <<，所以sin cos log 0sin C AB>，故D 正确； 当ABC 为等边三角形时，1cos cos 2A B ==，cos 1cos A B =，sin cos log 0cos C AB=，故B 不正确；当ABC 为等边三角形时，sin sin A B ==，sin 1sin A B =，sin sin log 0sin CA B =，故C 不正确. 故选：D5．设(1,)a x =，(2,3)b x =-，若当x m =时，//a b ，当x n =时，a b ⊥.则m n +=（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．2-或1-【答案】D【分析】根据平面向量共线和垂直列式求出m 和n 即可得解.【详解】当x m =时，(1,)a m =，(2,3)b m =-，由//a b ，得320m m --=，即3m =-；当x n =时，(1,)a n =，(2,3)b n =-，由a b ⊥，得2(3)0a b n n ⋅=+-=，即2320n n ，解得1n =或2n =，所以2m n +=-或1m n +=-. 故选：D6．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 满足22015cos2cos220142sin C A B -=-，则tan (tan tan )tan tan C A B A B⋅+=⋅（ ）A ．12014 B ．11007C ．20152D ．22015【答案】B【分析】由22015cos2cos220142sin C A B -=-，利用二倍角的余弦公式以及正弦定理化为2222015a b c +=，根据同角公式切化弦、根据两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理将tan (tan tan )tan tan C A B A B ⋅+⋅化为22222c a b c+-，代入2222015a b c +=可得结果. 【详解】因为22015cos2cos220142sin C A B -=-， 所以2222015(12sin )(12sin )20142sin C A B ---=-， 所以222sin sin 2015sin A B C +=， 根据正弦定理可得2222015a b c +=， 所以tan (tan tan )tan tan C A B A B ⋅+=⋅sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos C A B C A B A B A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅()sin sin cos cos sin cos sin sin C A B A B C A B+=⋅⋅sin sin()cos sin sin C A B C A B ⋅+=2sin cos sin sin C C A B =22222c a b c ab ab=+-⨯22222c a b c=+- 222221201520141007c c c ===-. 故选：B【点睛】关键点点睛：熟练掌握二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理是解题关键.7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．3 【答案】D【分析】采用数形结合，点A 在等边BCD △的投影为BCD △的中心，可得到AB 与平面BCD 所成角为ABO ∠，然后计算,BO AB ，最后简单计算可得结果. 【详解】由题可知：如图所示在正四面体ABCD 中，点A 在等边BCD △的投影为BCD △的中心 则AB 与平面BCD 所成角为ABO ∠ 设ABa ，所以3=aBE 233a BO BE 所以3cos 3BO ABO AB ∠==故选：D【点睛】本题考查利用几何法求解线面角的余弦值，本题关键在于找到该线面角，考查计算，属基础题.8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a c =，1sin 5C =，则sin A =（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【分析】根据正弦定理可求出结果.【详解】由3a c =以及正弦定理可得sin 3sin A C =，因为1sin 5C =，所以1sin 35A =⨯35=. 故选：C9．点,,O N P 满足||||||,0,OA OB OC NA NB NC PA PB PB PC PC PA ==++=⋅=⋅=⋅则点,,O N P依次是ABC 的（ ） A ．重心，外心，垂心 B ．重心，外心，内心 C ．外心，重心，垂心 D ．外心，重心，内心【答案】C【分析】根据三角形四心的定义，判断即可.【详解】依题意，由||||||OA OB OC ==得，O 到ABC 的三个顶点的距离相等， 所以O 为外心；设AB 的中点为D ，则由0NA NB NC →++=得2ND NC =-，所以N 为重心； 由PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅得0PB CA ⋅=， 所以PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，所以P 为垂心. 故选：C10．在ABC 中，已知：4a =，b x =，60A =，如果解该三角形有两解，则（ ） A ．4x > B ．04x <≤C ．8343x ≤≤D ．8343x <<【答案】D【分析】根据三角形有两解可知sin b A a b <<，解出结果即可. 【详解】如图：CD AB ⊥，因为三角形ABC 有两解， 所以CD BC AC <<， 所以sin b A a b <<，所以34x x <<，得8343x <<. 故选：D11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，M 是PC 上一点，若PA AC a ==，则当MBD 的面积为最小值时，直线AC 与平面MBD 所成的角为 A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 【答案】B【详解】试题分析：连结,AC BD 交于 O ，在四棱锥P ABCD -中，底面 ABCD 是菱形， PA ⊥底面 ABCD ，所以 ,PA BD AC BD ⊥⊥，所以 BD ⊥平面 PAC ，进一步求出： BM DM =，过 O 点作 OM PC ⊥于 M ，则MBD 的面积为最小值，此时PC 与平面MBD 垂直，若 PA AC a ==，所以 4ACP π∠=即为所求，故选B.【解析】直线与平面所成的角.12．已知非零向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且2AB AB CB =⋅，则ABC 为（ ）A ．等腰非直角三角形B ．直角非等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】C【分析】由2AB AB CB =⋅推出0AB AC ⋅=，由0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭推出||||AB AC =，则可得答案.【详解】由2AB AB CB =⋅，得()0AB AB CB ⋅-=，得()0AB AB BC ⋅+=，得0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，因为0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，所以()0||||AB AC AC AB AB AC ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭， 所以22||||0||||||||AB AC AB AC AB ACAB AB AC AC ⋅⋅-+-=， 所以||||0AB AC -+=，即||||AB AC =， 所以ABC 为等腰直角三角形. 故选：C二、填空题13．已知 O 是ABC 内部一点，且320OA OB OC ++=，则OBC 的面积与ABC 的面积之比为___________. 【答案】1:2【分析】根据320OA OB OC ++=推出点O 在三角形ABC 的中位线EF 上，由此可得结果.【详解】因为320OA OB OC ++=， 所以2()0OA OB OA OC +++=，如图：设AB 的中点为E ，AC 的中点为F ，所以420OE OF +=，即2OF OE =-， 所以点O 在三角形ABC 的中位线EF 上，所以点O 到BC 的距离是点A 到BC 的距离的一半， 所以OBC 的面积是ABC 的面积的一半，即:1:2OBC ABC S S =△△. 故答案为：1:214．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则： ①若cos cos sin sin B C B C >，则ABC ∆一定是钝角三角形； ②若cos cos a A b B =，则ABC ∆为等腰三角形；③()tan tan ,tan a A B C =+，()1,1b =，若0a b ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形； ④若O 为ABC ∆的外心，()2212AO BC b c ⋅=-； ⑤若222sin sin sin A B C +=，且0OA OB OC ++=，则2225OA OB OC+=.以上叙述正确的序号是________． 【答案】①③④⑤【分析】依次判断每个选项：cos 0A <得到①正确；A B =或2A B π+=②错误；tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>③正确；计算得到④⑤正确，得到答案.【详解】①若cos cos sin sin B C B C >，即()cos cos 0B C A +=-> ，即cos 0A <，则ABC ∆是钝角三角形，①正确；②若cos cos a A b B =，则sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=，故A B =或2A B π+=，②错误；③()tan tan ,tan a A B C =+，()1,1b =，若tan tan t 0an A B a C b ++⋅=>，()tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B C A B C A B+=-+=-∴=++>-则tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，则ABC ∆为锐角三角形，③正确；④若O 为ABC ∆的外心，则2112cos 2AB AB AO AB AO AB AO AB AOα⋅=⋅=⋅=同理：212AC AO AC ⋅=故()()2212AO BC AO AC AB AO AC AO AB b c ⋅=-=⋅-⋅=-，④正确； ⑤若222sin sin sin A B C +=即222+=a b c ，且0OA OB OC ++=，则O 为重心()2222222222222222115334451243AE BD b a a b OA OB a b c OC cCF ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭====⎛⎫ ⎪⎝⎭，⑤正确故答案为：①③④⑤【点睛】本题考查了正弦定理，和差公式，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力.15．已知函数1,,122()111,0,242x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，3()sin 22(0)32g x a x a a ππ⎫⎛=+-+> ⎪⎝⎭，给出下列结论： ①函数()f x 的值域为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦②函数()g x 在[0,1]上是增函数；③对任意0a >，方程()()f xg x =在[0,1]内恒有解； ④若存在1x ，2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数 a 的取值范围是5495a ≤≤. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④【分析】对于①，根据解析式求出函数的值域，可知①不正确； 对于②，由x 的范围推出332x ππ+的范围，结合正弦函数的单调性可知②正确； 对于③，求出两个函数在[0,1]上的值域，利用两个函数的值域的交集可能为空集可知对于④，求出两个函数在[0,1]上的值域，利用两个函数的值域的交集不为空集可求出结果.【详解】对于①，当112x <≤时，222()1222x x f x x x x +-===-+++为增函数， 所以1()()(1)2f f x f <≤，即()1153f x <≤；当102x ≤≤时，11()24f x x =-+为减函数，所以1()()(0)2f f x f ≤≤，即10()4f x ≤≤，所以()f x 的值域为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①正确；对于②，当01x ≤≤时，33112326x ππππ≤+≤， 所以3sin()32y x ππ=+为增函数，又0a >， 所以3()sin 22(0)32g x a x a a ππ⎫⎛=+-+>⎪⎝⎭在[0,1]上为增函数，故②正确； 对于③，由①知，()f x 的值域为2[0,]3，由②知，()g x 在[0,1]上为增函数，所以(0)()(1)g g x g ≤≤，所以532()22a g x a -+≤≤-+，即()g x 在[0,1]内的值域为5[32,2]2a a -+-+， 当1323a -+>或5202a -+<，即509a <<或45a >时，()()f x g x =在[0,1]内无解，故③不正确；对于④，若存在1x ，2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立，则10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5[32,2]2a a -+-+≠∅，由③知，当509a <<或45a >时，2[0,]35[32,2]2a a -+-+=∅，所以当5495a ≤≤时，2[0,]35[32,2]2a a -+-+≠∅，所以实数a 的取值范围是5495a ≤≤，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：对于③和④，利用两个函数在[0,1]上的值域进行求解是解题关键.三、双空题16．已知正三棱锥A BCD -的四个顶点在同一个球面上，4AB AC AD ===，6CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥的顶点B 到面ACD 的距离为______. 【答案】64π621【分析】由题意画出图形，作出正三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半径，再由球的表面积公式求三棱锥外接球的表面积；利用等体积法求三棱锥的顶点B 到面ACD 的距离．【详解】设底面三角形BCD 的外心为G ，连接AG ，则该三棱锥的外接球的球心O 在AG （或其延长线）上，连接OB 连接BG BG 并延长，交CD 于E ，连接AE ， 由等边三角形BCD 的边长6CD =，得226333BE =-= 则2233BG BE ==,所以16122AG =-= 设三棱锥的外接球的半径为R ，则()()222223R R -+=,解得4R =.所以三棱锥的外接球的表面积为24464R ππ=⨯= 又21116sin 60263332A BCD BCDV S AG -==⨯⨯⨯︒⨯= 221643372ACDS=⨯⨯-= 设点B 到面ACD 的距离为h ，则11376333A BCDB ACD ACDV V S h h --===⨯⨯= 则得到6217h =故答案为：64π；6217【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．四、解答题17．已知向量(1,2),(3,2)a b ==-，向量,3x ka b y a b =+=-．（1）当k 为何值时，向量x y ⊥；（2）若向量,x y 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）19；（2）19k <且13k ≠-. 【分析】(1)利用x y ⊥打印机10(3)4(22)0x y k k ⋅=--+=,解得k 即可；(2)向量x 与y 的夹角为钝角等价于0x y ⋅<,并去掉共线反向的情况即可.【详解】(1) (1,2)(3,2)(3,22)x k k k =+-=-+,(1,2)3(3,2)(10,4)y =--=-,10(3)4(22)0x y x y k k ⊥∴⋅=--+=,解得19k =.当19k =时,向量x y ⊥; (2)238x y k ⋅=-,由cos ,0,2380||x yx y k x y ⋅<>=<∴-<‖,解得19k <.由2222(238)(3)(22)104k k k --=-+++化为2(31)0k +=,解得13k =-.当13k =-时, x 与y 共线反向,为平角,应舍去. 当19k <且13k ≠-时,向量x 与y 的夹角为钝角. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小； （2）如果6cos 2B b ==，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2323+【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。
黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
哈尔滨市2022-2023学年度下学期期中考试高一数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()22i 1i z -=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】应用复数除法化简复数，即可得复平面上对应点，进而确定所在象限.【详解】由题意得()()()()()22i 2i 1i 3i223i 1i1i 1i 2--++=⨯=⨯=+--+，所以z 在复平面内对应的点为(3,1)，位于第一象限.故选：A2.若α为平面，有下列命题，其中真命题的是（）A.若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l α∥B.若直线a 在平面α外，则a 平面αC.若直线a b ，直线b ⊂平面α，则a 平面αD.若直线,a b b ∥ 平面α，则a 平行于平面α内的无数条直线【答案】D 【解析】【分析】根据线面位置关系可直接判断.【详解】A 项还可能l ⊂α，故A 错误；B 项还可能a 与平面α相交，故B 错误；C 项还可能a α⊂，故C 错误；由直线与平面平行的性质以及平行的传递性可知D 正确.故选：D.3.已知圆锥的体积为13Sh ，其中S 为圆锥的底面积，h 为圆锥的高.现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为4cm ，高为8cm ），现向杯中以38cm /s 的速度匀速注入水，则注水()010s t t <<后，杯中水的高度为（）A.312cm πt B.332cm πt C.362cmπt D.3122cm πt 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件及圆锥的体积公式即可求解.【详解】假设注水()010s t t <<后，杯中水的水面半径为cm x ，则杯中水的高度82cm 4h x x ==，所以21π283x x t ⨯=，解得312πt x =，故杯中水的高度3122cm πth =.故选：D.4.如图，在正四棱锥O ABCD -中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30︒，E ，F 分别是线段OB ，OC 上的一点，则AE EF FD ++的最小值为（）A.4B.8C.22D.42【答案】D 【解析】【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知AE EF FD ++的最小值为AD ，然后在OAD △中求解即可【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开，则AE EF FD ++的最小值为AD ．在OAD △中，4OA OD ==，90AOD ∠=︒，则242AD OA ==．故选：D5.如图所示，A B C ''' 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中22O C O A O B ''''''===，则以下说法正确的是（）A.ABC 是钝角三角形B.ABC 的面积是A B C ''' 的面积的2倍C.B 点的坐标为(0,2)D.ABC 的周长是442+【答案】D 【解析】【分析】将'''A B C 还原成原图依次分析选项可得答案.【详解】根据题意，将A B C ''' 还原成原图，如图，对于A ，ABC 中，有2OC OA OB ===，AC OB ⊥，所以22BC AB ==，4AC =，故ABC 是等腰直角三角形，A 错误；对于B ，ABC 的面积是142⨯=AB OB ，A B C ''' 的高为2sin 452''⨯= O B ，所以A B C ''' 的面积为12222''⨯=A C ，ABC 的面积是A B C ''' 的22倍，B 错误；对于C ，因为2OB =，B 的坐标为()02，，C 错误；对于D ，ABC 的周长为442BC AB AC ++=+，D 正确故选：D.6.已知121212,,22,2,2z z z z z z ∈-===C ，则12z z +=（）A.22B.2C.1D.12【答案】A【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z m n =+，根据已知可得22a b +，22m n +，22+am bn ，代入()()2212+=+++z z a m b n 计算可得答案.【详解】设()1i ,z a b a b =+∈R ，()2i ,z m n m n =+∈R ，所以224a b +=，224m n +=，因为1222z z -=，所以()()228-+-=a m b n ，即220+=am bn ，所以()()222222122222+=+++=+++++=z z a m b n a b m n ab mn .故选：A.7.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是（）A.EF 与GH 平行B.EF 与GH 异面C.EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D.EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上【答案】D 【解析】【分析】根据题意，连接EH ，FG ，由线面的平行关系，即可得到结果.【详解】如图所示：连接EH ，FG .因为F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，所以//GF BD ，且23GF BD =.因为点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，所以//EH BD ，且12EH BD =，所以//EH GF ，且EH GF ≠，所以EF 与GH 相交，设其交点为M ，则M ∈平面ABC ，同理M ∈平面ACD .又平面ABC ⋂平面ACD AC =，所以M 在直线AC 上．故选:D.8.已知锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，22a b bc =+，若()cos cos C B A λ-+存在最大值，则实数λ的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,3C.()0,2 D.()2,4【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出2A B =，根据ABC 为锐角三角形可求得角B 的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出()22cos 2cos 21cos cos B C B A B λλ+=--++，求出cos 2B 的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数λ的不等式，解之即可.【详解】由余弦定理可得22222cos a b c bc A b bc =+-=+，则2cos c b A b -=，由正弦定理可得()sin sin 2sin cos sin 2cos sin B C B A A B A B=-=+-()sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B A B A B =+-=-=-，因为ABC 为锐角三角形，则π02A <<，π02B <<，所以，ππ22A B -<-<，又因为函数sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增，所以，A B B -=，可得2A B =，由于ABC 为锐角三角形，则π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π022π02π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得π6π4B <<，()()cos cos cos π4cos 2cos 2cos 4C B A B B B Bλλλ-+=-+=-22cos 2cos 21B B λ=-++，因为ππ232B <<，则10cos 22B <<，因为22cos 2cos 21B B λ-++存在最大值，则1042λ<<，解得02λ<<.故选：C.【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用sin x 和cos x 的最值直接求；②把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值；③利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值；④形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++转换成二次函数求最值.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知(1,3),(2,1),(3,5)a b c ==-=-，则（）A.()2a b c +⊥ B.()2//a b c+C.2a c+= D.2a c b+=【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.【详解】(1,3),(2,1),(3,5)a b c ==-=-对于A ，2(3,5)a b +=- ，(2)335(5)0a b c +⋅=-⨯+⨯-≠，2a b +与c不垂直，A 不正确；对于B ，2(3,5)a b c +=-=- ，有(2)//a b c +，B 正确；对于C ，(4,2)a c +=- ，有22||4(2)25a c +=+-=，C 不正确；对于D ，22||(2)15b =-+= ，由选项C 知||25a c += ，||2||a c b += ，D 正确.故选：BD10.如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,D E F 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面DEF 平行的是（）A. B.C. D.【答案】AC 【解析】【分析】对A ，C ，利用线面平行的判定定理即可判断；对C ，将平面DEF 扩展，即可得出AB 与平面DEF 相交；对D ，由DF 与其所在的对角线平行,而AB 与对角线相交，可知AB 与平面DEF 相交.【详解】解：对于A ，//,AB DE AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴直线AB 与平面DEF 平行，故A 正确；对于B ，如图，取正方体所在棱的中点G ，连接FG 并延长，交AB 延长线于H ，则AB 与平面DEF 相交于点H ，故B 错误；对于C ，//AB DF ，AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴直线AB 与平面DEF 平行，故C 正确；对于D ，AB 与DF 所在平面的正方形对角线有交点B ，DF 与该对角线平行，∴直线AB 与平面DEF 相交，故D 错误.故选：AC.11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B >B.若=cos cos a b B A，则ABC 为等腰直角三角形C.sin sin sin a b cA B C+=+ D.若tan +tan +tan <0A B C ，则ABC 为钝角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质的应用判断结论.【详解】对于A ，若A B >，所以a b >，利用正弦定理可得2sin 2sin R A R B >，所以sin sin A B >，故A 正确；对于B ，由于=cos cos a b B A ，利用正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，整理得11sin2=sin222A B ，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，所以=A B 或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，所以+2sin +2sin ==2=sin +sin sin +sin sin b c R B R C aR B C B C A ，故C 正确；对于D ，由于tan +tan +tan <0A B C ，所以()()tan tan tan tan +1tan tan tan A B C A B A B C++=-+=tan +tan +tan tan tan =tan tan tan <0C C A B C A B C -，因为0<,,<πA B C ，所以,,A B C 中必有一个钝角，故ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ACD.12.在ABC 中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC = ，BQ QC λ=，BD DP μ= ，AD mDQ =，则下列结论正确的为（）A.若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B.若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C.若121tλ-=时，则121t μ-=D.()()()()1111t m t m μλμλ=++++【答案】AD【解析】【分析】根据向量共线定理的推论，得到1111111t m m t m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB 选项，对上式变形得到1111t t t t λλλμ++=+++，假设121t λ-=成立，推导出10λ=，得到矛盾，故C 错误，根据向量共线定理的推论得到1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t mμμμ++⋅⋅+⋅=+++，变形得到()()()()1111t m t m μλμλ=++++.【详解】由题意得：1t AC AP t += ，1m AQ AD m += ，BQ QC λ=，()AQ AB AC AQ λ-=- ，即111AQ AC ABλλλ=+++即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅+++，所以111111t m m AD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为,,B D P 三点共线，所以1111111t m m t m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得：23m =，1BP BD μμ+= ，1BC BQ λλ+= ，AP tPC =，所以()BP BA t BC BP -=- ，即111t BP BC BA t t=+++，即11111t BD BQ BA t t μλμλ++=⋅+++ ，所以111111t BD BQ BA t t λμμλμμ+=⋅⋅+⋅++++ ，因为,,A D Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得：9μ=，故A 正确；若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，113112t t t λλ+⋅+=++，解得：11,23t λ==，B 错误；1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为：1111t t t t λλλμ++=+++，①若121tλ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得：1111t μ-=+假设121t μ-=成立，则121t t=+，解得：2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错误；同理可得：1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t mμμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以()()11111111t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，()()11111111m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++，所以()()()()1111t mt m μλμλ=++++D 正确.故选：AD【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后找到等量关系三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知||||3a b ==，e 是与向量b 方向相同的单位向量，向量a 在向量b 上的投影向量为32e ，则a 与b的夹角为_________【答案】60 ##3π【解析】【分析】根据向量a在向量b 上的投影向量为32e ，由cos ,32a b a b a b b b⋅⋅⋅==求解.【详解】解：因为向量a在向量b 上的投影向量为32e ，所以cos ,32a b a b a b b b⋅⋅⋅==，即1cos ,2a b = ，因为[],0,a b π∈，所以,60a b =，故答案为：6014.棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将,,,M N C D 四点两两相连，构成的几何体的表面积为__________．【答案】23【解析】【分析】在原正方体纸盒上，分别将,,,M N C D 四点两两相连，即可得出D MNC -为正四面体，求出表面积即可．【详解】在原正方体纸盒上，分别将,,,M N C D 四点两两相连，如图所示，因为,,,,,MN MC MD ND NC CD 为正方体的面对角线，所以2MN MC MD ND NC CD ======，所以D MNC -为正四面体，所以表面积为：23(2)4234⨯⨯=，故答案为：23．15.在ABC 中，D 是BC 边上一点，且π1,62AD B BD ==，若D 是BC 的中点，则AC AB=__________；若43AC =，则ADC △的周长的最大值为__________.【答案】①.213##1213②.843+##438+【解析】【分析】第一空，先在ABD △中利用余弦定理得到32AB BD =，再在ABC 中利用余弦定理得到72AC BD =，从而得解；第二空，先求得π3ADB ∠=，从而在ADC △中，利用余弦定理与基本不等式求得8AD CD +≤，从而得解.【详解】因为D 是BC 的中点，则24BD BC AD ==，π6B =，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD BD AB AB BD B =+-⋅⋅，即2223242BD BD AB AB BD =+-⋅⨯，整理得223304AB AB BD BD -⋅+=，解得302AB BD -=，所以32AB BD =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC BC AB AB BC B=+-⋅⋅22233274224224BD BD BD BD BD =+-⨯⨯⨯=，即72AC BD=，所以7212332BDAC AB BD ==，若43AC =，π6B =，2BD AD =，由上述知332AB BD AD ==，所以22224BD AD AB AD ==+，则DA AB ⊥，故π3ADB ∠=，则23ADC ∠=π，在ADC △中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即()22248AD CD AD CD AD CD AD CD=++⋅=+-⋅()()222324AD CD AD CD AD CD +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则()264AD CD +≤，即8AD CD +≤，当且仅当4AD CD ==时，等号成立，故843AD CD AC +++≤，即ADC △的周长的最大值为843+.故答案为：213；843+.【点睛】易错点睛：本题容易犯错的点是第一空的条件用于第二空，或者在第二空的解析过程中被第一空的条件D 是BC 的中点误导，导致走了弯路.16.已知ABC 中，2||29AB AB AC +⋅=，3BC = ，则ABC 面积的最大值是_________.【答案】3【解析】【分析】利用条件结合余弦定理，求出22218c b +=，cos 4bA c=，再求出22222211sin 1cos 11614491644b A A c b b c c c=-=-=⨯-=⨯-，代入面积公式1sin 2ABC S bc A = 转化为关于2b 的二次函数即可求解.【详解】由题知，ABC 如图所示：因为2||29AB AB AC +⋅=，所以22cos 9c cb A +=，由余弦定理得：222222cos 92cos a b c bc A b c bc A =+-⇒=+-，联立解得：22218c b +=，cos 4b A c=，所以22222211sin 1cos 11614491644b A A c b b c c c=-=-=⨯-=⨯-，所以2241111sin 144914492248ABC S bc A b c b b b c ==⨯⨯⨯⨯-=⨯- ，()2219857638b =⨯--+≤.故答案为：3.【点睛】考查了解三角形中余弦定理，面积公式等相关知识点，对于范围问题可尝试转化为二次函数或基本不等式来分析求解.四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．（1）求证：EF ∥平面BDC 1；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）点G 不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点M ，根据AF =14AB ，得到F 为AM 的中点，又E 为AA 1的中点，根据三角形中位线定理得EF ∥A 1M ，从而在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1DBM 为平行四边形，进一步得出EF ∥B D ．最后根据线面平行的判定即可证出EF ∥平面BC 1D ．（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC 上存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG 与AC 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【小问1详解】证明：取AB 的中点M ，∵AF =14AB ，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点，∴A 1D ∥BM ，A 1D =BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD ∴EF ∥BD ．∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，∴EF ∥平面BC 1D ．【小问2详解】设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=，∵111111sin 321sin 2E AFGABC A B CAF AG GAF AE V V AB AC CAB AA --⨯⋅∠⋅=⋅∠⋅111134224AG AG AC AC=⨯⨯⨯=⋅∴112416AG AC ⋅=，∴32AG AC =，∴AG =32AC >AC ．所以符合要求的点G不存在．18.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222222sin sin b c a a c b B A+-+-=．（1）证明：A B =．（2）若D 为BC 的中点，从①4=AD ，②1cos 4C =，③2CD =这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证A B =；（2）三种情况，在ACD 中，利用余弦定理证明即可.【小问1详解】已知222222sin sin b c a a c b B A+-+-=，由余弦定理可得2cos 2cos sin sin bc A ac B B A =，即cos cos sin sin b A a B B A=，又由正弦定理sin sin b aB A =，得cos cos A B =，角A ，B 为△ABC 中内角，所以A B =.【小问2详解】△ABC 中,A B =，D 为BC 的中点，如图所示，()1①②⇒③已知4=AD ，1cos 4C =，求证2CD =.证明：2AC CD =，ACD 中，2222224161cos 244AC CD AD CD CD C AC CD CD +-+-===⋅，解得2CD =.()2①③⇒②已知4=AD ，2CD =，求证1cos 4C =.证明：24AC CD ==，所以ACD 中，222164161cos 22424AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯.()3②③⇒①已知1cos 4C =，2CD =，求证：4=AD .证明：24AC CD ==，在ACD 中，由余弦定理，22212cos 164242164AD AC CD AC CD C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以4=AD 19.在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知在13a =，b c >，(cos ,cos )m C A =，(2)n a c b =- ，且m ⊥ n .（1）求角A 大小；（2）若ABC 面积为33，12BD DC =，求AD 的长.【答案】（1）π3（2）2193【解析】【分析】（1）利用向量垂直充要条件及两角和的正弦公式即可求得cos A 的值，进而求得角A 大小；（2）先利用题给条件求得b c 、的值，再利用向量的数量积求得AD，进而得到AD 的长【小问1详解】(cos ,cos )m C A = ，(2)n a c b =- ，且m ⊥ n ，则0m n ⋅=，则cos (2)cos 0a C c b A +-=，∴sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A +-=，则sin 2sin cos 0B B A -=又sin 0B >，∴1cos 2A =，又∵(0,π)A ∈，∴π3A =.【小问2详解】由11sin 33324ABC S bc A bc ===△，可得12bc =又由22213a b c bc ==+-，可得2225b c =+联立222512b c bc ⎧+=⎨=⎩，解之得43b c =⎧⎨=⎩或34b c =⎧⎨=⎩又b c >，则43b c ==，因为12BD DC = ，所以1233AD AC AB=+所以2221441441761693499999929AD AC AB AC AB =++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯=所以2193AD = ，即2193AD =20.在ABC 中，,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，已知23cos S bc A =.（1）求角A 大小；（2）若3a =，求223b c bc ++的取值范围.【答案】（1）π3（2）(]3,15【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可得1sin 2S bc A =，结合题设化简即可求解；（2）由正弦定理可得2sin ,2sin b B c C ==，由余弦定理可得223b c bc +=+，进而结合三角恒等变换化简可得22π378sin 26b c bc B ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】根据题意，23cos S bc A =，且1sin 2S bc A =，则12sin 23cos bc A bc A ⨯=，即tan 3A =，在ABC 中，有()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =，可得3sin 2A =，2ππ3BC A +=-=，由3a =，则根据正弦定理有2sin sin sin a b c A B C===，得2sin ,2sin b B c C ==，根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得223b c bc +=+，所以2222π334316sin sin 316sin sin 383sin cos 8sin 3b c bc bc B C B B B B B ⎛⎫++=+=+=+-=++⎪⎝⎭π743sin24cos278sin 26B B B ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]22π378sin 23,156b c bc B ⎛⎫++=+-∈ ⎪⎝⎭.21.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=，已知4CD =m ，2CE =m ．（1）当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．【答案】（1）732；（2）1033.【解析】【分析】（1）先由余弦定理求出ME ，再求出cos CME ∠，进而求出sin ENM Ð，最后根据正弦定理求出答案；（2）先用等面积法求出,,MN EM EN 间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立,,MN EM EN 之间的不等式，两者结合即可得到答案.【详解】（1）当M ，D 重合时，由余弦定理知，222cos 27ME CM CE CM CE MCE =+-⋅⋅∠=所以22257cos 214CM ME CE CME CM ME +-∠==⋅，因为π2CME EMN ∠+∠=，所以57sin cos 14EMN CME ∠=∠=因为cos 0EMN ∠>，所以221cos 1sin 14EMN EMN ∠=-∠=，因为π3MEN ∠=，所以2πsin sin 3ENM EMN ⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭3127cos sin 227EMN EMN =∠+∠=，∴在EMN 中，由正弦定理可知，sin sin MN EM MEN ENM =∠∠，解得732MN =m .（2）易知E 到地面的距离2ππ42sin 532h m ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以1135222EMN S MN EM EN =⋅⋅=⋅⋅⋅，所以103MN EM EN =⋅又由余弦定理可知，2221222MN EM EN EM EN EM EN EM EN EM EN =+-⋅⋅≥⋅-⋅=⋅，当且仅当EM EN =时“=”成立.所以2103MN MN ≥，解得1033MN ≥m ．答：（1）路灯在路面的照明宽度为732m ；（2）照明宽度MN 的最小值为1033m ．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.【答案】（1）2B π=；（2）()22,+∞；（3）2324-.【解析】【分析】（1）由题目条件可证得222sin sin sin A C B +=,可得ABC 为直角三角形，可求出2B π=.（2）由数量积的定义可求得2102c <<，设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则11sin cos sin cos a c θθθθ++=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()21122,1,211t t a c t t t +==∈--，判断出21y t t=-的单调性，即可得出答案.（3）用PO 分别表示出PM PN ⋅，结合均值不等式即可求出答案.【小问1详解】因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以2B π=.【小问2详解】221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< ，所以2102c <<，而221a c +=，所以设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为()22sin cos 12sin cos ,t θθθθ=+=+所以21sin cos 2t θθ-=，所以()2112,1,21t t a c t +=∈-，令()222,1,211t y t t t t ==∈--，因为1t t -在()1,2t ∈上单调递增，所以21y t t =-在()1,2t ∈上单调递减，所以222122y >=-.所以11a c +的取值范围为()22,+∞【小问3详解】ABC 的外接圆的半径为r ，12r OA OC ===，设(),P m n ，则2222214PN PM PO ON PO ==-=-，其中214PO >，所以()2cos ,2cos 1PM PN PM PN PM PN PM PN NPO ⋅=⋅⋅=⋅⋅∠- ，而2222214cos PO PN NPO PO PO -∠==，222114214PO PM PN PO PO ⎛⎫- ⎪⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2213238424PO PO +-≥-=，当且仅当342PO -=取等.所以PM PN ⋅ 的最小值为2324-.【点睛】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.。
黑龙江省哈尔滨高一下学期期中数学试题(解析版)
高一数学期中考试试卷（考试时间：70分钟，试卷满分：100分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）{1,0,1}A =-{0,1,2}B =A B = A.B. {0,1}{1,0,1}-C.D. {0,1,2}{1,0,1,2}-【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义可求.A B ⋂【详解】，{}0,1A B = 故选：A.2. 复数为纯虚数，则实数的值为（ ） ()()211i z m m m =-+-m A. 1B. 0C.D. 0或11-【答案】B【解析】 【分析】由纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0即可求解.【详解】因为为纯虚数，所以， z 2(1)0010m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩故选：B.3. 若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为（ ）A. B. C. D. 313163【答案】D【解析】【分析】根据球的表面积、体积公式计算可得.【详解】设球的半径为，依题意可得，显然，所以. R 324π4π3R R =0R >3R =故选：D 4. 已知，，且，则等于 ）(,2)a x = (2,1)b =- a b ⊥ xA. 4B. －4C. 1D. －1 【答案】C【解析】【分析】根据，由求解.a b ⊥ 0a b ⋅= 【详解】解：因为，，且，(,2)a x = (2,1)b =- a b ⊥ 所以，解得，220x -=1x =故选：C5. 在中，若，，则的形状是（ ）ABC A 60C ︒=2c ab =ABC A A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】 【分析】利用余弦定理可得，将，代入解得，进而判断三角222cos 2b a c C ab+-=60C ︒=2c ab =b a =形形状.【详解】由余弦定理知， 222cos 2b a c C ab+-=因为，，2c ab =60C ︒=所以， 221cos 6022b a ab ab ︒+-==所以，所以，()20a b -=b a =因此，所以，B A =60B AC ︒===即是等边三角形，ABC A 故选：D. 6. 若，，则等于（ ）()2,3AB = ()1,2AC =- CB A . B. C. D.()3,1()3,1--()3,1-()3,1-【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算法则计算即可.【详解】因为，，()2,3AB = ()1,2AC =- 所以.()()()2,31,23,1CB AB AC -=-==- 故选：A7. 一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ）A. B. C. D.2π3π【答案】B【解析】【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，SO ==故体积为. 21π13⨯=故选：B8. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）A.B. C. D. 334π3R 33R 【答案】C【解析】【分析】求出球的内接正方体棱长，再求正方体体积即可.【详解】半径为R 的球内接一个正方体，设正方体的棱长为，a 该球即为正方体的外接球，直径长度为正方体的体对角线长，则，即， R ==a R =所以正方体的体积为. 333a R ⎫==⎪⎪⎭故选：C 二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于直线，和平面，下列命题中错误的是（ ）m n αA. 如果，，那么.m α⊂//n α//m n B. 如果，，，是异面直线，那么.m α⊂n α⊄m n //n αC. 如果，，那么.//m α//n α//m n D .如果，，，那么. //m n //m αn α⊄//n α【答案】ABC【解析】【分析】A 中还有异面，B 中可能相交，C 中可能相交或异面，根据线面平行的判断定理,m n ,n α,m n 可得D 正确.【详解】A 中，如果，，那么或异面，故A 错误；m α⊂//n α//m n ,m n B 中，如果，，，是异面直线，那么或相交，故B 错误；m α⊂n α⊄m n //n α,n αC 中，如果，，那么或异面或相交，故C 错误；//m α//n α//m n D 中，由线面平行的判定定理可得一定成立，故D 成立，//n α故选：ABC.10. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）a b c ||||1a b == ||2= c ||a b c +-= A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】AC【解析】 【分析】就夹角为、分类计算后可求. 02π3a b c +- 【详解】如果，，两两的夹角为，则，a b c 00a b c +-= 当，，两两的夹角不为，则，，两两的夹角为， a b c 0a b c2π3故a b c +-=3==故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11. 计算：=____. 11i i-+【答案】i -【解析】【详解】， ()()()()1112i 1112i i i i i i i ----===-++-故答案为i -点睛：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类i 项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的i 共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．i 12.________ 1cos 2x x -=【答案】 πsin 6x ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】根据辅助角公式计算即可. . 1πππcos cos sin sin cos sin 2666x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故答案为： πsin 6x ⎛⎫-⎪⎝⎭13. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为，则它的表面积是__________．2【答案】【解析】【详解】每个等边三角形面积为，故表面积为，故答案为122⨯⨯=4=14. 已知，则与平行的单位向量的坐标为_________.()2,1a = a 【答案】或⎛ ⎝【解析】【分析】与共线的单位向量为即可得解. a a a± 【详解】与共线的单位向量为， a a a± 因为，所以()2,1a =a ==，，)2,1a a ∴==)2,1a a⎛-==⎝ 即与平行的单位向量的坐标为或. a⎛ ⎝故答案为：或⎛ ⎝四、解答题：本题共4小题，每小题10分，共40分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知，，，是第三象限角，求，，3cos 5α=-π(,π)2α∈12sin 13β=-βsin()αβ+cos()αβ-的值.tan()αβ+【答案】，， 16sin()65αβ+=()33cos 65αβ-=-()16tan 63αβ+=【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得到的正弦及，进而利用正余弦及正切的α512cos ,tan 135ββ=-=和差公式进行计算 【详解】因为，， 3cos5α=-π(,π)2α∈所以， 4sin 5α==因为，是第三象限角， 12sin 13β=-β所以， 512cos ,tan 135ββ==-=所以， ()4531216sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3541233cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()412tan tan 1635tan 4121tan tan 63135αβαβαβ-+++===-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭16. 已知，，与的夹角是，计算： ||4a = ||3b = a b120︒（1）；(23)(2)a b a b -⋅+ （2）.||a b + 【答案】（1）61（2【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律可求的值..(23)(2)a b a b -⋅+ （2）利用的大小.a b +=||a b + 【小问1详解】 2221(23)(2)443416434332a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯ .64242761=+-=【小问2详解】a b +==. ==17. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点.a 1111ABCD A B C D -P 1DD（1）求的长；1BD （2）求证：平面.1//BD APC【答案】（1）1BD =（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理计算可得；BD （2）设交于，连接，即可得到，从而得证.BD AC O PO 1//BD PO 【小问1详解】连接，则， BD BD ==又正方体中平面，平面，所以1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD BD ⊂ABCD ，1DD BD ⊥所以.1BD ==【小问2详解】设交于，连接．BD AC O PO 在中，、分别为、的中点，1BDD A P O 1DD BD ，∴1//BD PO 平面，平面，PO ⊂APC 1BD ⊄APC 平面.∴1//BD APC18. 已知分别为锐角三个内角的对边，且.,,a b c ABC A ,,A B C 2sin a B =（1）求A ；（2）若，，求.2a =ABC A ,b c 【答案】（1）π3（2） 22，==b c【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合角的范围化简求解；（2）先由三角形面积公式得到，再用余弦定理得到，联立两个方程求解即可.4bc =228b c +=【小问1详解】在中，由正弦定理：， ABC A sin sin a b A B=因为，2sin a B =所以，2sin sin A B B =因为是锐角三角形，所以， ABC A ππ0,022B A ＜＜＜＜所以，所以， sin 0B ≠sin A =所以. π3A =【小问2详解】由，得 1sin 2ABC S bc A ===△4bc =在中，由余弦定理：，ABC A 222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-因为，所以，2a =228b c +=又因为，解得. 0b c ,＞22，==b c。
哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
，①正确；
,则 是 中的最大项，②正确；
,③正确.
若 ，则 ,又 ,故 ，
所以 ，即 ，④正确.
故选D.
方法二：若 ，则 ，
而 ，则 ，③正确；
，①正确；
若 ，由 可得 单调递增,不合题意，故 ，
等差数列的前 项和是关于 的二次函数，
由对称性可得当 时, 取得最大值，②正确.
【答案】（1）证明见详解；（2） 。
【解析】
【分析】
(1）由 （ 为非零常数）且 可证得 为等比数列.
(2）可得 ，则可由错位相减法求和。
【详解】(1)证明：由 可得 .
而 ，所以 .
又 ，所以数列 为等比数列。
(2)由(1）得 为首项是 ，公比是 的等比数列，
所以 .
由 可得 。
所以 ,
则 。
以上两式相减得
19.已知 中, ．
（1）求边 的长;
(2）若边 的中点为 ，求中线 的长．
【答案】（1） ;(2） .
【解析】
【分析】
(1)先由 求 ,再由余弦定理求 。
(2)方法一：先在△ 中由正弦定理（余弦定理也可）求 ，再在△ （或△ )中由余弦定理求 。
方法二：由 求向量 的模长。
【详解】(1)因为 ， ，
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由 求出 ，再求 与 夹角的余弦值，进而可得夹角.
【详解】因为 ，所以 ，则 。
由 是单位向量，可得 , ，
所以 。所以 。
所以 .故选B.
【点睛】本题考查平面向量的数量积、模、夹角的综合问题.利用 可以把模长转化为数量积运算.
黑龙江哈尔滨市 高一数学下册期中检测题【精编】.doc
哈32中2015～度下学期中考试高一数学试题一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共40分） 1、οοοο15sin 75sin 15cos 75cos += （ ） A 、ο100cos B 、ο100sin C 、23 D 、21 2、已知41sin -=x ，则=x 2cos （ ） A 、87 B 、87- C 、415 D 、415-3、函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 （ ） A 、π2 B 、π4 C 、4π D 、2π4、函数x x y 4cos 34sin 3+=的最大值是 （ ）A 、3B 、32C 、3D 、6 5、︒︒︒︒-+50tan 70tan 350tan 70tan = （ ） A 、3 B 、33 C 、33- D 、3- 6、关于零向量，下列说法中错误的是 （ ） A 、零向量是没有方向的 B 、零向量的长度为0C 、零向量与任一向量平行D 、零向量的方向是任意的 7、+++= ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 8、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B9、已知)1,2(),,6(-=-=y ，且与共线，则y = （ ）A 、-6B 、6C 、3D 、-310、已知向量a 、b 满足4||,1||==b a ，且,2=•b a 则a 与b 的夹角为（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 二、填空题（每空4分，共20分） 11、已知33)6cos(=-απ，则=+)65cos(απ； 12、已知2||||==，,2)()2(-=-•+则a 与b 的夹角为 ；13．若3sin 5θ=，θ为第二象限角，则≡θ2sin _______. 14．等差数列{}n a 中，若377,3a a ==，则10a = ． 三、解答题（每题10分，共40分）15．求函数)32sin(π-=x y ，的周期及单调递减区间；16．已知πβαββαα<<<==0),sin ,(cos ),sin ,(cos ， （1）求||的值；（2）求证：+与-互相垂直。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2018-2019学年高一下学期第二次阶段性考试数学试题
绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第三中学2018-2019学年高一下学期第二次阶段性考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知向量a =（k ，6），b =（﹣2，3），且a ⊥b ，则k 的值是（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．4D ．92．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 3．设α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，下列选项正确的是（ ） ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ②若a ⊂α，α∥β，则a ∥β ③若α∥β，a ∥β，则a α⊂④若a ∥α，则a 与平面α内的无数条直线平行 ⑤若a ∥b ，则a 平行于经过b 的所有平面 A ．①②B ．③④C ．②④D ．②⑤4．若a ，b ∈R ，①（a +b ）2≥a 2+b 2；②若|a |＞b ，则a 2＞b 2；③a +b 正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin sin =B A ，则(a =)…………○………………○………※※请※※※在※※装※※订※※线※…………○………………○………A B．2C．1D．6．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（）A．10 B．15 C．30 D．457．已知数列{}n a为等比数列，若2588a a a=，则191559a a a a a a++A．有最小值12 B．有最大值12C．有最小值4 D．有最大值48．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为（）A．B．3C．3D9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24+8πB．18+8πC．24+4πD．18+4π10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则点E在侧面ADD1A1内的轨迹长度为（）A B．1 C D11．对于任意实数x，符号[x]表示不超x的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{a n}满足a n＝[log2n]，其前n项和为S n，若n0是满足S n＞2018的最小整数，则n0的值为（）……○…………学校:_________……○…………12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ）A ．8B ．C ．D ．第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．等差数列{a n }中，a 1+a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为_____.14．在△ABC 中，已知A ＝90°，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝6，则△ABC 的周长的最大值为_____15．已知一个正方体的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为72，则这个球的表面积为_____16．在数列{a n }中，a 125=，a n +1＝a n 2+a n ，n ∈N *，b n 11n a =+，P n ＝b 1b 2b 3…b n ，S n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ，则5P n +2S n ＝_____ 三、解答题17．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，G ，H 分别为棱CD ，BD ，AD 的中点，F 为ED 的中点.（1）求异面直线AE 和BC 所成角的余弦值； （2）求证：PF ∥平面ABE.18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，CC 1，AD 的中点.线…………○……线…………○……（1）求异面直线EG 与B 1C 所成角的大小；（2）棱CD 上是否存在点T ，使AT ∥平面B 1EF ？若存在，求出DTDC的值；若不存在，请说明理由.19．（1）若a ＞0，b ＞0，且1149a b +=，求a +b 的最小值； （2）若k 为（1）中a +b 的最小值，且a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2＝k ，求证：22211131235a b c ++≥+++. 20．已知数列{a n }和{b n }满足，a 1＝2，b 1＝1，且对任意正整数n 恒满足2a n +1＝4a n +2b n +1，2b n +1＝2a n +4b n ﹣1.（1）求证：{a n +b n }为等比数列，{a n ﹣b n }为等差列； （2）求证2111111122334567n nn n a b -++++++-+＜＜（n ＞1）.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据a b ⊥时0a b =，列方程求出k 的值． 【详解】解：向量(,6)a k =，(2,3)b =-， 当a b ⊥时，0a b =， 即2630k -+⨯=， 解得9k =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题． 2．D 【解析】 【分析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论. 【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得112a =-，11b =-，11a b∴>，故A 不正确.可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确. 可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】在①中，a 与b 相交、平行或异面；在②中，由线面平行的判定理得//a β；在③中，a α⊂或//a α；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，从而a 与平面α内的无数条直线平行；在⑤中，若//a b ，则a 包含于由a ，b 确定的平面． 【详解】解：由α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，知： 在①中，若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若a α⊂，//αβ，则由线面平行的判定理得//a β，故②正确； 在③中，若//αβ，//a β，则a α⊂或//a α，故③错误；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，故a 与平面α内的无数条直线平行，故④正确；在⑤中，若//a b ，则a 可能含于由a ，b 确定的平面，故⑤错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 4．A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及举反例的方法可判断. 【详解】 解：222()2a b a b ab +=++，0ab <时，得出222()a b a b +<+，∴判断①错误；||a b >，且||||a b <时，得出22a b <，∴判断②错误；只有0a >，0b >时，a b +…∴判断③错误． 故选：A ． 【点睛】考查完全平方式的展开式，不等式的性质，基本不等式成立的条件，属于基础题． 5．B【解析】 【分析】由已知利用正弦定理化简即可求解． 【详解】解：sin sin B A =，∴由正弦定理可得：b =，∴解得a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 6．D 【解析】 【分析】根据题意列出总费用之和等于81004x x+，然后利用基本不等式求出最小值即可． 【详解】解：由题知一年总运费为90081009x x⨯=；∴一年的总运费与总存储费用之和为81004360x x +…，当且仅当81004x x =即45x =时，等号成立，∴当45x =时一年的总费用与总存储费用之和最小．故选：D ． 【点睛】本题主要考查基本不等式、函数模型及其应用，属于基础题． 7．A 【解析】3258558,2a a a a a ===,所以()22221915595519555524812a a a a a a a a a a a a a a ++=++≥+⋅=+=+=,故选A.8．C 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的母线长和底面圆的半径，计算底面圆的面积和圆锥的高，从而求出圆锥的体积． 【详解】解：圆锥侧面展开图是圆心角为23π，半径为3的扇形； 则圆锥的母线长为3l =，底面周长即扇形的弧长为2323ππ⨯=， 所以底面圆的半径为1r =， 所以底面圆的面积为2r ππ⨯=，圆锥的高为h ==所以圆锥的体积为13V π=⨯⨯．故选：C ． 【点睛】本题考查了弧长公式及圆锥的体积计算问题，也考查了空间想象能力和运算能力，属于基础题． 9．A 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个直三棱柱和一个半圆柱构成，如图所示所以2114342424822V ππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+．故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10．C 【解析】 【分析】连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，11//D B DB ，由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ，则点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ． 【详解】解：连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ， 又1AD ⊂/平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ， 同理可证11//D B 平面1BDC ，又1AD 和11D B 为平面11AB D 内的两条相交直线， 所以由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ， 因为1//B E 平面1BDC ，所以点E 在直线1AD 上，所以点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ，故轨迹长度为1AD =故选：C ．【点睛】本题考查了面面平行的判定定理及轨迹知识点，属于中档题． 11．D 【解析】 【分析】由题意，求解2[log ]n a n =的通项，即可求解前n 项和为n S ，即可求解满足2018n S >的最小整数0n 的值． 【详解】解：由题意，2[log ]n a n =，当1n =时，可得10a =．(1项） 当1222n <…时，即231a a ==．(2项）当2322n <…时，即4572a a a ==⋯⋯==．(4项） 当3422n <…时，即89153a a a ==⋯⋯==．(8项） 当4522n <…时，即1617314a a a ==⋯⋯=．(16项）⋯⋯当122n n n +<…时，即122121n n n a a a n ++-==⋯⋯=，(2n 项）前n 项和为：1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯．⋯⋯① 231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯+⨯．⋯⋯② 由①-②可得：23122222n n n S n +-=+++⋯⋯+-即1112222(1)22018n n n n S n n +++=-+=-+>此时：8n …． 对应的项为83162a a =． 即0316n …． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”、递推式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 12．B 【解析】 【分析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值． 【详解】 解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 2243ab ab cd ab cd ab cd +++=++…44+=+…，当且仅当a b =，c d =，3ab cd =，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ． 【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题． 13．2. 【解析】 【分析】由等差数列的性质，结合1510a a +=求出3a ，由等差数列的定义求得公差．【详解】解：在等差数列{}n a 中，由1510a a +=，得3210a =，35a ∴=．又47a =，∴数列{}n a 的公差d 为43752a a -=-=． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项的概念，是基础题．14．. 【解析】 【分析】直接利用勾股定理和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：在ABC ∆中，已知90A =︒，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，所以22236b c a +==，故222()2()b c b c ++…，所以c b +…利用三角形的周长6a b c +++…，故答案为：6+ 【点睛】本题考查的知识要点：勾股定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 15．36π 【解析】 【分析】首先求出正方体的棱长，进一步求出球体的外接球半径，最后求出求出球体的表面积． 【详解】解：设正方体的棱长为a ， 因为正方体的表面积为72， 所以2672a =，所以212a =，设球的半径为r ，则2222(2)36r a a a =++=， 则29r =，即3r =， 所以4936S ππ=⋅=球， 故答案为36π 【点睛】本题考查的知识要点：正方体的表面积公式和球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 16．5 【解析】 【分析】根据n P 与n S 的表达式，分别将n b 表示为1n n n a b a +=，以及111n n n b a a +=-，求出n P 与n S 即可．【详解】 解：21(1)n n n n n a a a a a +=+=+；∴111n n n n a b a a +==+； ∴1211232311n n n n n a a a aP b b b b a a a a ++=⋯=⋯=； 21(1)n n n n n a a a a a +=+=+；∴11111n n n a a a +=-+，即111n n n b a a +=-； ∴12122311111111111n n n n n S b b b a a a a a a a a ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-； ∴1121155252525n n n n P S a a ++⎛⎫⎪+=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案为：5． 【点睛】本题考查了数列递推式的灵活变形，以及数列的求和、求积，属中档题．17．（1（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先作出异面直线AE 和BC 所成角，再求出即可，（2）先证明面//GFH 面ABE ，又PF ⊂面GFH ，故可证//PF 面ABE ，得解． 【详解】解：（1）连接EG ，AG ， 因为//EG BC ，则AEG ∠（或其补角）为异面直线AE 和BC 所成角， 设2AB =，则1EG =，AE AG =所以12cos EG AEG AE ∠===，故异面直线AE 和BC（2）连接GF ，GH ，HF ， 由题意有：//GF BE ，//GH AB ，GF ⊂面GFH ，GH ⊂面GFH ，GF GH G =，BE ⊂面ABE ，AB Ì面ABE ，BE AB B =I即面//GFH 面ABE ， 又PF ⊂面GFH ， 故//PF 面ABE ．【点睛】本题考查了异面直线所成角及线面平行的判定，属中档题． 18．（1）60°；（2）存在，14DT DC = 【解析】 【分析】（1）连接BD ，1B D ，1CD ．推导出//EG BD ，11//B D BD ．从而11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角．由此能求出异面直线EG 与1B C 所成角的大小．（2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ，推导出四边形AEKT 为平行四边形，由此推导出//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =． 【详解】解：（1）连接BD ，1B D ，1CD ．因为E ，G 分别是AB ，AD 的中点，所以//EG BD ．又因为11//B D BD ．所以11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角． 在△11CB D 中，因为1111CB B D CD ==，所以异面直线EG 与1B C 所成角的大小为1160CB D ∠=︒．（2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，则//AT 平面1B EF ． 证明如下：延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ． 因为11//CC BB ，F 为1CC 中点，所以C 为BH 中点． 因为//CD AB ，所以//KC AB ，且1124KC EB CD ==．因为14DT DC =，E 为AB 中点，所以//AE TK ，且TK AE =， 即四边形AEKT 为平行四边形， 所以//EK AT ，即//EH AT ． 又EH ⊂平面1B EF ，AT ⊂/平面1B EF ， 所以//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．19．（1）9；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可得911()()4a b a b a b+=++，然后利用基本不等式可求出+a b 的最小值；（2）由（1）可得9k =，从而得到222(1)(2)(3)15a b c +++++=，然后可由2222222221111111[(1)(2)(3)]()12315123a b c a b c a b c ++=+++++++++++++，利用基本不等式求出222111123a b c +++++的最小值，从而证明结论． 【详解】 解：（1）0a >，0b >，且1149ab+=，91199()()(2)(2)9444b a a b a b a b a b a b∴+=++=+++=…，当且仅当b aa b =，即92a b ==时取等号， a b ∴+的最小值为9；（2）证明：由（1）可得9k =，则2229a b c k ++==，222(1)(2)(3)15a b c ∴+++++=，∴222111123a b c +++++ 2222221111[(1)(2)(3)]()15123a b c a b c =++++++++++ 2222222222221213132(3)15121323b ac a c b a b a c b c ++++++=++++++++++++ 22222222213132[322]15121323c a c b b a c b c ++++++++++++ (3)5=，当且仅当24a =，23b =，22c =时取等号， ∴22211131235a b c +++++…． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题． 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+．又113a b +=，111a b -=，化简即可证明结论．（2）由（1）可得：3n n n a b +=．利用数学归纳法，通过放缩即可证明结论． 【详解】证明：（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+． 113n n n na b a b +++=+，11()()1n n n n a b a b ++---=．又113a b +=，111a b -=，{}n n a b ∴+为等比数列，首项为3，公比为3． {}n n a b -为等差列，首项为1，公差为1．（2）由（1）可得：3n n n a b +=． 利用数学归纳法先证明：21111133453n n -<+++⋯⋯+． ()2i n =时，21111161345339+++⋯⋯+>+=，成立．()ii 假设2n k =…时成立，即11112134533k k -+++⋯⋯+>．1n k =+时，11111111345331323k k k k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 121111331323k k k k +->+++⋯⋯+++ 1121332122(1)133333k k k k k k ++---+->+=+=，因此左边不等式成立．利用数学归纳法先证明：1111223453n n +++⋯⋯+<-．()2i n =时，21111162222345334+++⋯⋯+<+<=⨯-，成立．()ii 假设2n k =…时，1111223453k k +++⋯⋯+<-．则1n k =+时，11111111345331323k kk k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 11112231323k k k k +<-+++⋯⋯+++ 1332322222(1)2313k k kk k k k k +-⨯<-+<-+=+-+，∴右边不等式成立．综上可得：2111111122(1)334567n nn n n a b -<+++++⋯+<->+ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数学归纳法、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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A
D
B
黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一数学下学期期中试题
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1． 已知向量(
)
3,1a =
，则||a =
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
2．
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2223b c a bc +-=，则A =
A ．
6π B ．56π C ．3π D ．23
π
3． 在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 4． 已知12,e e 是单位向量，若12|4|13e e -=则1e 与2e 的夹角为
A ． 30°
B ． 60°
C ． 90°
D ． 120° 5．
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 0a A b B -=，则ABC 的形状
一定是
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6． 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且
132
a ，3
4a ，2a 成等差数列，则20
191817a a a a +=+ A ．9 B ．6 C ．3 D ．1
7． 在等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，23S =，49S =，则6S =
A ．12
B ．18
C ．21
D ． 27
8． 在数列{}n a 中，已知14a =，25a =，且满足21(3)n n n a a a n --=≥，则2019a =
A ．1
4 B ．54 C ．1
5 D ．45
9． 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用
勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵
爽
弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,AB a AD b ==，E 为BF 的中点，则AE = A 4255a b
+B ．2455a b + C ．4233a b + D ．24
33
a b + 10．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为*
()n S n ∈N ．有下列命题：
①若315S S =，则180S =；②若315S S =，则9S 是n S 中的最大项；③若315S S =，则
9100a a +=；④若910S S >，则1011S S >．其中正确命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．已知锐角
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2
c a a b =+，则
2cos cos()
A
C A -
的取值范围是 A ．
B ．1(,
2 C
． D ．1(,1)2
12．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n N *
>=+∈,
1
121(2)(2)
n n n n n n b a a +++=++，对任意的,n n N k T *
∈>恒成立，则k 的最小值是 A ．1 B ．
12
C ．13
D ．16
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13．已知向量(2,1),(1,3),(3,2)a b c =-==，若()//a b c λ+，则λ=___________． 14．已知等比数列{}n a 满足14652,21a a a a ==-，则9a =____________． 15．已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n
项和为n S ．
若*,n a n =
∈N
2)n ≥，
则数列1
1
{
}n n a a +的前15项和为_______________． 16．已知,A B 是单位圆O 上的两点，120AOB ∠=︒，点C 是平面内异于,A B 的动点，MN
是
O 的直径．若0AC BC ⋅=，则CM CN ⋅的取值范围是_______________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．在等差数列{}n a 中，已知567,24a S ==．
（1）求n a ；
（2）若(1)n
n n b a =-，求数列{}n b 的前10项和10T ．
18．已知A ,B ,C 是
ABC 的三个内角，向量(cos ,sin 2sin ),m B B C =-
(2cos cos ,sin )n C B B =+，且m n ⊥．
（1）求A ； （2
）若BC =，求AB AC +的取值范围．
19．已知
ABC
中，45,cos 5
B A
C C =︒==
． （1）求边BC 的长；
（2）若边AB 的中点为D ，求中线CD 的长．
20．已知数列{}n a 满足112(1),2n n na a n a +=+=，设n
n a b n
=
． （1）证明数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
21．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2
112,32 2.n n n a S a ++==-+
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明
12
1111118
n a a a +++
<．
22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
111,2n n a S S n n p +=+=++．
（1）若0p =，求234,,a a a ；
（2）若数列{}n a 为递增数列，求实数p 的取值范围．
哈三中2018—2019学年度下学期 高一学年第一模块数学考试试卷答案
一、选择 DABBD ACBAD CC 二、填空 13. 1-
14. 12 15. 1531
16. 3[(0,]22
-
三、解答题
17. （1） 23n a n =- （2） 1010T =
18. （1） 3
A π
=
（2）
19. （1） BC =（2）CD =20. （1）略 （2）1
(1)22n n S n +=-+ 21. （1）42n n
n a =- （2）略
22. （1） 2341,4,3a a a === （2）13(,)22。