2020-2021 中考数学(相似提高练习题)压轴题训练及详细答案

2020-2021 中考数学(相似提高练习题)压轴题训练及详细答案

一、相似

1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s 的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出

发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：

（1）当t为何值时，∠ANM=45°？

（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；

（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？

【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，

解得：t=3（s），

所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形

（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA•DC= （9-t）•18=81-9t．

在△AMC中，AM=2t，BC=9，

∴S△AMC= AM•BC= •2t•9=9t．

∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）．

由计算结果发现：

在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）

（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当NA：AB=AM：BC 时，△NAP∽△ABC，那么有：

（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），

即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；

②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：

（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），

即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；

所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似

【解析】【分析】（1）根据题意可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。

（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，利用三角形的面积公式，可得S△NAC= =81-9t，S△AMC=9t．就可得出S四边形NAMC=81，因此在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变。

（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为①当NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC；②当NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。

2．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

【答案】（1）8-2t；

（2）解：不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴，即，

∴AD= ，

∴BD=AB-AD=10- ，

∵BQ∥DP，

∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，

即8-2t= ，解得：t= ．

当t= 时，PD= ，BD=10- ，

∴DP≠BD，

∴▱PDBQ不能为菱形．

设点Q的速度为每秒v个单位长度，

则BQ=8-vt，PD= ，BD=10- ，

要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，

当PD=BD时，即 =10- ，解得：t=

当PD=BQ，t= 时，即，解得：v=

当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）解：如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．

设直线M1M2的解析式为y=kx+b，

∴，

解得

，

∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．

∵点Q（0，2t），P（6-t，0）

∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．

把x= 代入y=-2x+6得y=-2× +6=t，

∴点M3在直线M1M2上．

过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．

∴M1M2=2

∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．

【解析】【解答】（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8-2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA= ，

∴PD= ．

【分析】CQ=2t，PA=t，可得QB=8﹣2t，根据tanA=，可以表示PD；易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形；求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q 的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD PD=BQ，列方程即可求得答案．以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出直线M1M2解析式，证明M3在直线M1M2上，利用勾股定理求出M1M2.

3．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；

（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．

【答案】（1）解：如图1，