第三章 均值方差证券投资组合选择模型(金融数学-李向科)分析
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曲线。 由全体“前沿证券组合”构成的“集合” ——证券组合前沿（portfolio frontier）。 是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础
合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域 可行域（feasible set）
可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。
可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
可行域＝机会集
可行域必须满足的形状
左上边缘部分向外凸或直线—“凸集” 可以证明，边界是双曲线。
有效边界和有效组合
每个前沿证券组合一定对应一个收益率 “前沿证券组合q”＝对应收益率q的前沿组合 前沿证券组合的数学表示 假定在无摩擦市场上存在N(＞1)种风险资产，允许
无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不 相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资 产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。 它们收益率的方差——协方差矩阵V是正定矩阵
投资组合几何表示和可行域
选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σP
以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点
反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组
资者的风险偏好态度 无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交
根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏 无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高 C＞A＝B＞D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合，如果它 在所有“等均值收益率”的证券组合中，方差最小
cov(r1, r2 ) E(r1 r1)(r2 r2 )
12
cov(r1, r2 )
1 2
三种相关程度：
1、完全线性相关：完全决定另一个
ρAB＝1或ρAB＝-1 rA＝a＋b×rB , σ2A＝b2×σ2B 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个
rA＝a＋b×rB＋ε σ2A＝b2×σ2B＋σ2（ε） 3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化
D
D
A 1T V 1R, B RTV 1R, C 1T V 11, D BC A2 0
证券组合前沿
任何前沿证券组合可以表示成上述形式。 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，
进而得到不同的前沿证券组合。 “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条
每个投资者根据自己对收益和方差（风险） 的偏好，选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
分多种情况：双曲线、直线、折线 构建0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件 假设1：收益率的概率分布是已知的； 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示； 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； 假设4：投资者遵守占优原则，即， 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
方差代表风险（得到平均收益率的不确定性 ）
Baidu Nhomakorabea
从分布函数（条件太强）计算收益和风险
从“历史”样本估计收益和风险
r1,...,rn
r 1
n
r n
t 1 t
2 1
n 1
n t 1
(rt
r)2
证券之间关联性——相关系数
某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格 的变动。关联性普遍存在。
需要度量关联性的方向和程度 随机变量的协方差和相关系数 从联合分布可计算。 用历史数据计算（3.10）(3.11)
对风险补偿的偏好和无差异曲线
增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望 收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对 风险越厌恶
对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到
一系列满意程度相同（无差异）的组合
无差异曲线的特征 波动方向一定是从左下方向右上方，单调性 曲线将变得越来越陡，凸函数 无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投
判断组合好坏的公认标准——投资者共同偏好 第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，
仅关心期望和方差 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰 最佳组合“必须来自”左上边界——有效边界 有效组合——有效边界对应的组合
两证券组合的期望收益率与方差计算方法
必须知道相关系数或协方差
E（rP）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB）
σ2P＝W2A×σ2A＋W2B×σ2B
＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
选择不同的组合权数，得到不同的组合，从
而得到不同的期望收益率和方差。
WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种 证券组合可供选择。
第三章 均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨Markowitz《证券组合选择》 投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平 衡” 基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得
最高的平均收益率
风险收益的“数量化” 前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
用随机变量表示未来的收益率
用期望代表：平均收益率
前沿组合的数学表述和求解
前沿组合权重向量Wp是下列二次规划问题的解
min 1 W TVW 2 W T R E ( ~rp )
W T 11
E(~rp ) 是前沿证券对应的收益率 用拉格朗日乘子法求解
Wp g hE(~rp )
g 1 (BV 11 AV 1R), h 1 (CV 1R AV 11)
“没有贡献”
ρAB＝0或cov（rA，rB）＝0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例，多组合类推
“两证券组合”的收益率数学表示法 证 WB券于AB和。BW，A＋以W总B资＝金1，的则WA拥的有比证例券投组资合于A，以 P＝（WA，WB） WA，WB为组合P中A的权数和B的权数 假设AB的收益率为rA和rB，则 P的收益率为rP＝WA×rA＋WB×rB 权数可以为负。 WA＜0，表示该组合投资者卖空证券A
合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域 可行域（feasible set）
可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。
可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
可行域＝机会集
可行域必须满足的形状
左上边缘部分向外凸或直线—“凸集” 可以证明，边界是双曲线。
有效边界和有效组合
每个前沿证券组合一定对应一个收益率 “前沿证券组合q”＝对应收益率q的前沿组合 前沿证券组合的数学表示 假定在无摩擦市场上存在N(＞1)种风险资产，允许
无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不 相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资 产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。 它们收益率的方差——协方差矩阵V是正定矩阵
投资组合几何表示和可行域
选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σP
以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点
反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组
资者的风险偏好态度 无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交
根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏 无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高 C＞A＝B＞D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合，如果它 在所有“等均值收益率”的证券组合中，方差最小
cov(r1, r2 ) E(r1 r1)(r2 r2 )
12
cov(r1, r2 )
1 2
三种相关程度：
1、完全线性相关：完全决定另一个
ρAB＝1或ρAB＝-1 rA＝a＋b×rB , σ2A＝b2×σ2B 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个
rA＝a＋b×rB＋ε σ2A＝b2×σ2B＋σ2（ε） 3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化
D
D
A 1T V 1R, B RTV 1R, C 1T V 11, D BC A2 0
证券组合前沿
任何前沿证券组合可以表示成上述形式。 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，
进而得到不同的前沿证券组合。 “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条
每个投资者根据自己对收益和方差（风险） 的偏好，选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
分多种情况：双曲线、直线、折线 构建0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件 假设1：收益率的概率分布是已知的； 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示； 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； 假设4：投资者遵守占优原则，即， 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
方差代表风险（得到平均收益率的不确定性 ）
Baidu Nhomakorabea
从分布函数（条件太强）计算收益和风险
从“历史”样本估计收益和风险
r1,...,rn
r 1
n
r n
t 1 t
2 1
n 1
n t 1
(rt
r)2
证券之间关联性——相关系数
某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格 的变动。关联性普遍存在。
需要度量关联性的方向和程度 随机变量的协方差和相关系数 从联合分布可计算。 用历史数据计算（3.10）(3.11)
对风险补偿的偏好和无差异曲线
增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望 收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对 风险越厌恶
对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到
一系列满意程度相同（无差异）的组合
无差异曲线的特征 波动方向一定是从左下方向右上方，单调性 曲线将变得越来越陡，凸函数 无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投
判断组合好坏的公认标准——投资者共同偏好 第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，
仅关心期望和方差 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰 最佳组合“必须来自”左上边界——有效边界 有效组合——有效边界对应的组合
两证券组合的期望收益率与方差计算方法
必须知道相关系数或协方差
E（rP）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB）
σ2P＝W2A×σ2A＋W2B×σ2B
＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
选择不同的组合权数，得到不同的组合，从
而得到不同的期望收益率和方差。
WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种 证券组合可供选择。
第三章 均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨Markowitz《证券组合选择》 投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平 衡” 基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得
最高的平均收益率
风险收益的“数量化” 前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
用随机变量表示未来的收益率
用期望代表：平均收益率
前沿组合的数学表述和求解
前沿组合权重向量Wp是下列二次规划问题的解
min 1 W TVW 2 W T R E ( ~rp )
W T 11
E(~rp ) 是前沿证券对应的收益率 用拉格朗日乘子法求解
Wp g hE(~rp )
g 1 (BV 11 AV 1R), h 1 (CV 1R AV 11)
“没有贡献”
ρAB＝0或cov（rA，rB）＝0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例，多组合类推
“两证券组合”的收益率数学表示法 证 WB券于AB和。BW，A＋以W总B资＝金1，的则WA拥的有比证例券投组资合于A，以 P＝（WA，WB） WA，WB为组合P中A的权数和B的权数 假设AB的收益率为rA和rB，则 P的收益率为rP＝WA×rA＋WB×rB 权数可以为负。 WA＜0，表示该组合投资者卖空证券A