第三章 均值方差证券投资组合选择模型(金融数学-李向科)分析
第3章均值方差分析与资本资产定价模型郭多祚
3.1.2 联合线
投 资 组 合 的 预 期 收 益 率 %
证券A和B的联合线
wA 1.5
证券A和B的收益率不相关
卖空B投资于A
E ( RA )
10
wA 1.00
A
E ( RB )
0
4
wA 0.75 wA 0.05 wA 0.25 wA 0
B
卖空A投资于 B ) zc(p
wA 0.5
������������������ ������������
������������������ ������������ , ������������ ������ ������������ − ������������ ������������ − ������������ ������ ������������ ������������ − ������������ ������������ − ������������ ������������ + ������������ ������������ = = = ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������ ������������ ������������ − ������������ ������ ������������ − ������������ ������ ������������ + ������ ������������ ������ ������������ = ������������������ ������������������ ������ ������������ ������������ − ������ ������������ ������ ������������ − ������ ������������ ������ ������������ + ������ ������������ ������ ������������ = ������������������ ������������������ ������ ������������ ������������ − ������ ������������ ������ ������������ = ������������������ ������������������ 0.4 × −10% × 20% + 0.2 × 0% × 20% + 0.4 × 20% × 10% − 4% × 16% = 0.0184 0.0024 ≅ −0.96309
第3 章 均值方差分析与资本资产定价模型(CAPM)
由(3.1.2)，当 RB 和 RA 完全负相关时，相关系数为-1，此时
σ ( Rω ) = wAσ ( RA ) − (1− wA )σ ( RB )
(3.1.8)
与完全正相关情况下的计算方法一样，对于不同的 wA 值，可以求得不同的 E ( Rw ) 和
69
σ ( Rw ) ，如表 3.3 所示：
表示卖空 A 投资于 B 的情况。
图 3.1 中的联合线是这两种证券的收益率在不相关的前提下做出的，若相关系数不为零，
(3-1-4)不成立，将会得到形状不同的联合线。
（2）现在假设 RA 和 RB 完全正相关，在 ( RA, RB ) 坐标系内，是一条斜率为正的一条直
线，即
RB = a0 + a1RA
券
B
的金额为
600
元，易见，此时 wA
=
400 1000
=
0.4, wB
=
600 1000
=
0.6 ，满足
wA
+
wB
= 1。
当你卖空某证券时，是先从其他人手中（通常是从经纪人手中），借入一定数量的证券，一
定时间后，你必须归还同样数量的证券。
假设你借 100 股某公司的股票，市场价格为 10 元，那么将股票卖出，可获得 1000 元现 金。一段时间之后，该股票的价格 5 元，你在市场上购买 100 股，支付现金 500，两者之间 的差额为 500 元，你可以获利。
据表 3.1，表 3.2 和表 3.3 可画出 RB 与 RA 无关， RB 与 RA 完全正相关和 RB 与 RA 完全
负相关三种情形的联合线，如图 3.4 所示
图 3.4 3 种不同情形下的联合线
均值-方差模型理论及其在我国股票市场的应用
均值-方差模型理论及其在我国股票市场的应用一、引言均值-方差模型是现代投资组合理论的重要组成部分，它通过衡量资产的预期收益率和风险水平，援助投资者做出合理的资产配置决策。
本文将对均值-方差模型的理论基础及其在我国股票市场的应用进行探讨。
二、均值-方差模型的理论基础1.1 均值-方差模型的基本原理均值-方差模型是由美国经济学家马科维茨于1952年提出的一种金融投资组合选择方法。
其基本原理是通过计算资产的预期收益率和风险，以追求投资组合风险最小的预期收益率。
1.2 组合的风险与收益干系均值-方差模型假设资产的收益率听从正态分布，并通过方差衡量风险。
通过构建不同权重的资产组合，可以寻找到预期收益率最高，且方差最小的组合。
1.3 投资组合的有效边界均值-方差模型还引入了有效边界的观点。
有效边界是指在给定预期收益率水平下，最小化投资组合方差的全部可能投资组合的集合。
通过有效边界，投资者可以在风险和收益之间找到合适的平衡点。
三、均值-方差模型在我国股票市场的应用2.1 资产预期收益率的计算在我国股票市场，资产预期收益率可以通过对历史数据进行分析和对市场进步趋势的猜测来确定。
常用的方法包括股票收益率的历史平均值、市盈率、市净率等指标计算。
2.2 风险的器量均值-方差模型中，风险通过资产的方差来器量。
在我国股票市场，常用的风险器量方法有股票收益率的历史标准差、波动率等。
2.3 投资组合优化利用均值-方差模型，投资者可以计算不同权重下投资组合的预期收益和风险水平，并找到有效边界上的最优投资组合。
通过优化投资组合，投资者可以实现风险最小化与收益最大化的目标。
2.4 风险偏好和投资组合选择投资者的风险偏好对投资组合的选择有着重要影响。
依据投资者的风险承受能力和投资目标，可以选择不同风险水平下的投资组合，以达到最佳配置效果。
2.5 动态调整与重平衡在实际投资过程中，市场波动和投资者风险偏好的变化可能导致投资组合的变动。
投资组合选择的均值
信息技术前沿探究-投资组合选择的均值—方差理论摘要：利用马克维茨证券投资组合理论均值-方差模型，分别用均值和方差衡量投资组合的收益与风险，从客观和主观上描述了投资者对期望收益率和风险的偏好程度，从而建立起能够最大限度满足投资者需求的投资组合模型。
研究在三支股票的日收益率已知的情况下，求出已知期望收益率条件下的最优投资组合，并模拟出该模型的有效前沿。
关键词：均值-方差模型；投资组合选择；期望收益率；马克维茨理论；估计风险正文：经过了八周信息技术的讲座，在课堂上，我接收到老师教授给我们不同的关于信息科技和技术的前沿领域和话题，由信息技术这一目前热门话题可以发散至与证券投资联系起来，也可以利用信息技术去制造仿生机器人这样高科技、高生产力、高创造力的产物。
这些都可以称得上是人类不断利用科技创新，不断进化，信息技术早已成为我国生产力的重要表现手段。
接下来是我对这八周老师讲课内容的总结。
2.27日，肖启华老师讲的主题内容是投资组合选择的均值-方差理论，她主要讲述了有关股票与证券投资的基本概念和理论，在此基础上又以均值-方差模型分析了在某股日收益率已知情况下求其最优投资组合。
由于我本身对股票投资理财方面十分感兴趣，故在课下专门在网上搜索相关文献素材进行研究与运用相关模型和数学软件作图得出最优投资组合。
但是在传统的投资分析中，我们把参数估计值看作真实取值，忽略了估计风险在投资决策中的作用。
任何的数据分析只是反应大多数情况的大致走向，任何的投资都是有一定风险系数需要承担的，通过建立模型对它进行分析的确是可以减少承担风险的几率值。
3.6日是郑奕老师讲的数据包络分析理论与应用，他首先提出数据包络分析就是一个线形规划模型，表示为产出对投入的比率。
通过对一个特定单位的效率和一组提供相同服务的类似单位的绩效的比较，它试图使服务单位的效率最大化。
在这个过程中，获得100%效率的一些单位被称为相对有效率单位，而另外的效率评分低于100%的单位则称为无效率单位。
第三章_均值——方差模型(金融经济学导论,对外经济贸易大学 )
投资组合理论的基本思想：投资组合是一个 风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通 过分散化的投资来对冲掉一部分风险。 ——―nothing ventured, nothing gained‖ ——"for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“ ——“Don’t put all eggs into one basket”
2014-2-14 2
第一节 马科维兹投资组合理论的假设和主要 内容 第二节 证券收益与风险的度量 ——均值、方 差及协方差投资组合的风险分散效应与 第三节 证券投资组合的可行集、有效集与最 优投资组合 第四节 两基金分离定理——投资组合构建的 指数策略
2014-2-14 3
第一节 马科维兹投资组合理论 的假设条件和主要内容
0.2 -25
29
• 假定某投资者考虑下列几种可供选择的 资产，一种是持有A公司的股票，一种是 购买无风险资产，还有一种是持有糖凯 恩公司的股票。现已知投资者持有0.5的 A公司的股票，另外的0.5该进行如何选 择。无风险资产的收益率为5%。糖凯恩 公司的收益率变化如下表
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• 糖凯恩公司的股票情况分析
2014-2-14 13
再次，通过对某种证券的期望回报率、 回报率的方差和某一证券与其它证券之 间回报率的相互关系（用协方差度量） 这三类信息的适当分析，辨识出有效投 资组合在理论上是可行的。 最后，通过求解二次规划，可以算出有 效投资组合的集合，计算结果指明各种 证券在投资者的资金中占多大份额，以 便实现投资组合的效性——即对给定的 风险使期望回报率最大化，或对于给定 的期望回报使风险最小化。
金融经济学第3章组合前沿的数学
(3.9.4)
其中 g 1 D[B(V 11) A(V 1e)]
h 1 D[C(V 1e) A(V 11)]
从以上（3.9.4）式人们可以看出，g 是预期收益率为0
的前沿资产组合的权重向量； g w是预期收益率为1
的前沿资产组合的权重向量。
资产组合前沿
资产组合前沿：经济中所有的前沿资产组合之集合。
我们总可以将资产组合q 的收益率写成
~rq (1 qp )~rzc( p) qp~rp ~q
(3.17.1)
其中
Cov(~rp ,~q ) Cov(~rzc( p) ,~q ) E[~q ] 0
引入无风险资产的情形
现假定 p是一支由所有N＋1种资产组合而成的前沿资 产组合w， 表示这支前沿资产组合中的风险资产权重的 N 维向量。这样w， 是以下规划问题的解
合中，这一资产组合具有最小的方差值，则该资产组合就是 前沿资产组合。
资产组合p是一支前沿资产组合当且仅当是它的资产组合权 重wp 是下面二次规划问题的解
min 1 wTVw w 2
s.t.
wT e E[~rp ]和 。 wT i 1
其中：e表示N种风险资产的预期回报率所构成的向量，
rf
H (~rp ) 与风险资产的组合
e 线段 rf e 上任意一支资产组合都是风险资产组合 和无风险资产的凸组合。
在线段 rf e 之外的射线 rf H (~rp ) 上资产组合都涉及
e 卖空无风险资产并将收益买入风险资产组合 的投资行
为。
在射线 rf H (~rp ) 上的资产组合涉及卖空风险资产组
于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
金融数学—均值方差分析与资本资产定价模型(CAPM)
我给同学们建了公共邮箱，每次实验的数据，包括 例题和习题，都整理好发到公共邮箱里，并自编了实验 指导书，作为每次实验的参考。为了给同学们实践的机 会，还特意布置了课程论文，光是课程论文的题目我就 准备了2个星期，要选择同学们通过努力能完成的，又 要选择能够找到数据的，在写论文之前又要讲解论文的 写作发法，不过最终同学们都很努力，一共11小组，都 顺利的提交了论文，而且完成的都很出色。
总体感觉，老师教的累，学生学得累，原因就是任务量 大，但付出总会有回报，期末考试，同学们理论基础扎 实熟练，平均分80分以上，并且动手实践能力强，熟练 掌握EVIEWS软件，所写论文水平高，有些同学的论文 经过修改已经能够发表。同学们也对我的工作给予了肯 定，单这门课的评教成绩给出了94.93分，并且在各级 领导的支持下我还成功获批教改项目一项。下面我将课 程设计和改革方面做简单的介绍。
(3)
（1）假设 RA 和 RB 不相关，AB 0
由式（2）
1
Rw
wA2
0.052
1
wA
2
0.102
2
(4)
设自有资金1000元， 卖空证券收入为500元， 将这两种资金(共1500元)投资于证券，
计算得 wA 1.50, wB 0.50
代入式（3）和式（4）得
E Rw 1.50 0.10 0.5 0.04 0.13
投资组合的期望收益与方差
设w wA, wB T 是一投资组合， 投资组合的收益率为R wARA
均值和方差变动的马科维茨投资组合模型研究
约束条件为
WTR=Ep
（3.2）
其中，Ep 是期望收益率。
（3.3）
对模型进行求解，可以求出在收益率固定的情况下，所
对应的最低风险。把收益率和该收益率所对应的最低风险描在
股票的收益率以及收益率的均值和方差。本文所选取的数据来
自国泰安 CSMAR 数据库。
合模型所推导出的有效前沿曲线不动的马科维茨投资组合模型，为投资者提供更准
确的投资建议。
假设金融产品收益率的均值增加 ，变成 ，收益率
的方差增加 ，变成
。建立模型如下：
min 1/2WT（V+ ）W （4.1）
二、文献综述
自从 1952 年马科维茨提出了均值 - 方差模型，许多学者 开始研究均值 - 方差模型。何朝林等（2011）基于模型参数不 确定性，构建了稳健静态资产组合模型；周圣（2012）发现在 一定的限制条件下，无风险资产模型的有效前沿曲线和最初的 均值 - 方差模型的有效前沿曲线是一致的。张群等（2013）把 交易中的限制条件引入均值 - 方差模型，创建了风险偏好系 数均值方差模型。姚海祥等（2013）考虑通货膨胀因素，推导 出了均值 - 方差模型有效边界的表达式和有效的投资策略。 Lam,Jaaman 和 Isa（2013）放宽了均值 - 方差模型中的正态假 设条件，把概率分布的峰值和偏度加入均值 - 方差模型。
三、传统的马科维茨投资组合模型
传统的马科维茨投资组合模型有很多假设条件，假设投 资者是理性的、所掌握的信息是一致的、了解金融产品的一切 性质；假设金融产品收益率服从正态分布，每一种金融产品收 益率相关；假设金融市场是完全竞争的。根据上述假设条件， 马科维茨建立了投资组合的均值方差模型。假设在金融市场上 存在 N 种证券（本文不研究无风险资产），每种证券收益率 的均值用 R 表示。每种证券收益率的方差用 v 表示。用 V 表 示 N 种证券收益率的协方差，即表示每一种证券购买一个单
金融投资组合理论与实践
金融投资组合理论与实践一、引言金融投资组合理论是指通过合理配置资金来实现风险和收益的最优平衡，从而实现财富增长的理论和方法。
本文将从理论和实践两个方面探讨金融投资组合的相关内容。
二、金融投资组合理论1.1 马科维茨的均值-方差模型马科维茨的均值-方差模型是金融投资组合理论的核心。
该模型通过计算资产的收益率和风险，构建了一个投资组合的理论框架。
具体包括资产的相关性分析、有效边界的建立以及切线组合的确定等内容。
1.2 有效市场假说有效市场假说认为市场上的资产价格已经包含了所有可得到的信息，并且该信息是公平和迅速传播的。
根据有效市场假说，投资者应该选择规模较大且流动性较好的资产进行投资，以追求长期收益。
三、金融投资组合实践2.1 投资目标的确定在进行金融投资组合实践之前，我们需要确定自己的投资目标。
投资目标可以分为短期目标和长期目标，在确定投资目标时需要考虑个人的风险承受能力和投资时间。
2.2 资产配置在金融投资组合实践中，资产配置是一个重要的环节。
通过合理配置不同类别的资产，可以降低资产组合的整体风险，实现收益的最大化。
一般来说，资产可以分为股票、债券、房地产等不同类型。
2.3 风险管理金融投资组合实践中的风险管理是非常重要的。
投资者可以采取多种方法来管理风险，比如分散投资、设置止损点等。
通过有效的风险管理，可以降低投资组合的风险水平。
四、金融投资组合的案例分析3.1 股票与债券组合的投资案例分析通过对股票与债券进行组合投资，可以实现风险和收益的平衡。
本节将以某投资者在A股市场和债券市场进行投资的案例进行分析，并探讨其收益和风险水平。
3.2 多类别资产组合的案例分析在金融投资组合实践中，多类别资产组合的配置也是一种常见策略。
本节将以某投资者的股票、债券、黄金等多类别资产组合进行分析，并对其实验结果进行评估。
五、金融投资组合的风险控制4.1 风险评估与控制方法在金融投资组合实践中，风险评估和控制是必不可少的环节。
证券组合投资理论知识
3. 度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效 边界共同决定了最优的投资组合。
投资学 第6章
38
理性投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲线
同一条无差异曲线, 给投资者所提供的效用（即满足程度）是无差异的，无差异 曲线向右上方倾斜, 高风险被其具有的高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异 曲线位置越高，该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。
的乘积。
收益rp rf
非有效
不可行
投资学 第6章
风险σp
51
加入无风险资产后的最优资产组合
收益
新组合的 有效边界
无风险收益率rf来自FM 原组合 有效边界
风险
投资学 第6章
52
分离定理
❖ 无论投资者的偏好如何，直线FM上的点就是最 优投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风 险资产组合的有效边界分离了。
证券组合的风险为：
相关系数的求解
又称积差相关系数(coefficient of product-moment correlation)， 是衡量两个变量的相关性. 在-1到+1之间.如果为+1则指完全正相关.就 是两个变量变化完全一致.比如两个股票,变动完全一致. -1指完全负相关 ,就是变动完全相反.如果为0则指这两个数量完全不相关。
▪ 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
▪ 例：假设三项不相关的资产，其均值分别 为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产 构成的组合期望收益为2，求解最优的权重 。
投资学 第6章
35
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仅关心期望和方差 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰 最佳组合“必须来自”左上边界——有效边界 有效组合——有效边界对应的组合
资者的风险偏好态度 无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交
根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏 无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高 C＞A＝B＞D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合，如果它 在所有“等均值收益率”的证券组合中，方差最小
曲线。 由全体“前沿证券组合”构成的“集合” ——证券组合前沿（portfolio frontier）。 是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础
投资组合几何表示和可行域
选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σP
以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点
反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组
合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域 可行域（feasible set）
可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。
可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
可行域＝机会集
可行域必须满足的形状
左上边缘部分向外凸或直线—“凸集” 可以证明，边界是双曲线。
有效边界和有效组合
前沿组合的数学表述和求解
前沿组合权重向量Wp是下列二次规划问题的解
min 1 W TVW 2 W T R E ( ~rp )
W T 11
E(~rp ) 是前沿证券对应的收益率 用拉格朗日乘子法求解
Wp g hE(~rp )
g 1 (BV 11 AV 1R), h 1 (CV 1R AV 11)
每个投资者根据自己对收益和方差（风险） 的偏好，选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
分多种情况：双曲线、直线、折线 构建0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件 假设1：收益率的概率分布是已知的； 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示； 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； 假设4：投资者遵守占优原则，即， 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
两证券组合的期望收益率与方差计算方法
必须知道相关系数或协方差
E（rP）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB）
σ2P＝W2A×σ2A＋W2B×σ2B
＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB
选择不同的组合权数，得到不同的组合，从
而得到不同的期望收益率和方差。
WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种 证券组合可供选择。
“没有贡献”
ρAB＝0或cov（rA，rB）＝0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例，多组合类推
“两证券组合”的收益率数学表示法 证 WB券于AB和。BW，A＋以W总B资＝金1，的则WA拥的有比证例券投组资合于A，以 P＝（WA，WB） WA，WB为组合P中A的权数和B的权数 假设AB的收益率为rA和rB，则 P的收益率为rP＝WA×rA＋WB×rB 权数可以为负。 WA＜0，表示该组合投资者卖空证券A
每个前沿证券组合一定对应一个收益率 “前沿证券组合q”＝对应收益率q的前沿组合 前沿证券组合的数学表示 假定在无摩擦市场上存在N(＞1)种风险资产，允许
无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不 相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资 产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。 它们收益率的方差——协方差矩阵V是正定矩阵
方差代表风险（得到平均收益率的不确定性 ）
从分布函数（条件太强）计算收益和风险
从“历史”样本估计收益和风险
r1,...,rn
r 1
n
r n
t 1 t
2 1
n 1
n t 1
(rt
r)2
证券之间关联性——相关系数
某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格 的变动。关联性普遍存在。
需要度量关联性的方向和程度 随机变量的协方差和相关系数 从联合分布可计算。 用历史数据计算（3.10）(3.11)
cov(r1, r2 ) E(r1 r1)(r2 r1 2
三种相关程度：
1、完全线性相关：完全决定另一个
ρAB＝1或ρAB＝-1 rA＝a＋b×rB , σ2A＝b2×σ2B 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个
rA＝a＋b×rB＋ε σ2A＝b2×σ2B＋σ2（ε） 3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化
第三章 均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨Markowitz《证券组合选择》 投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平 衡” 基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得
最高的平均收益率
风险收益的“数量化” 前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
用随机变量表示未来的收益率
用期望代表：平均收益率
D
D
A 1T V 1R, B RTV 1R, C 1T V 11, D BC A2 0
证券组合前沿
任何前沿证券组合可以表示成上述形式。 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，
进而得到不同的前沿证券组合。 “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条
对风险补偿的偏好和无差异曲线
增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望 收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对 风险越厌恶
对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到
一系列满意程度相同（无差异）的组合
无差异曲线的特征 波动方向一定是从左下方向右上方，单调性 曲线将变得越来越陡，凸函数 无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投