基本不等式的应用教学设计说明

教学设计与反思

课题：3.4.3 基本不等式

2b

a a

b +

≤的应用（二）

科目：数学教学对象：高二(290)学生课时：1课时提供者：和安单位：安一中

一、教学容分析

本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.

根据本节课的教学容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

二、教学目标

（一）知识目标：构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；

（二）能力目标：让学生探究用基本不等式解决实际问题

（三）情感、态度和价值观目标：

通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

三、学习者特征分析

在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应

1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

教学重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.

2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

教学难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；

（一）导入新课

（二）推进新课

已知ab b a ≥+2，若ab 为常数k ，那么a +b 的值如何变化？

若a ＋b 为常数s ，那么ab 的值如何变化？ 老师用投影仪给出本节课的第一组问题

(１)求函数y ＝2x 2＋x 3

（x ＞0）的最小值. (２)求函数y ＝x 2＋41x （x ＞0）的最小值.

(３)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23

）的最大值. (４)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1）的最大值. (５)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋2

2b ＝1，求21b a +的最大值.

（三）合作探究 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间

的关系来解答这些问题.根据函数

当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值为2k. 当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值s 2

1

（或ab 有最大值241s ）. 学生完成 留五分钟的时间让学生思考，合作交流 （根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的 复习巩固

训练配凑

法

和积互化

和定积最

大，积定

和最小。

最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.

（四）例题精析

【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？完成情况再一次作

点评）

学生思考、回答，

分析：水池呈长方

体形，池底长、宽

没有确定.

设池底长、宽分别

为x m、y m.水池

总造价为z元.

根据题意有

z=150×

3

4800+120

(2×３x+2×3y)

=240000+720(x+y)

如何从实

际问题中

抽象出数

学问题

（五）达标检测——反馈矫正及时总结

1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形

的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？巩固

提高

举一反三

(六)、小结:基本不等式不但可以用于本函数的值域、最

值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.

(七)、作业布置：课本第114页，习题3.4,Ａ组第2、

４题.

七、教学评价设计

本节课的教学，较好的完成了三个教学目标。课堂教学始终以学生为中心，值得注意的是用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法

八、板书设计

基本不等式

2b

a a

b +

≤的应用（二）

复习引入课堂练习方法归纳

基本不等式例

2b

a a

b +

≤方法引导小结

实例剖析（知识方法应用）

九．教学反思

在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.