人教课标版高中数学必修2基础训练：圆的一般方程
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程问题导学一、圆的一般方程的定义活动与探究1判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．迁移与应用1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 2．下列方程能表示圆的是________． (1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ay －1＝0； (3)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0；(4)x 2＋y 2＋2ax ＝0．3．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围及圆心坐标和半径．形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F ＞0，则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4求解． 二、求圆的一般方程活动与探究2△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程．迁移与应用求经过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程．用待定系数法求圆的方程：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r ．(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F ．三、求动点的轨迹方程活动与探究3已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．迁移与应用1．到两个点A (－1,2)，B (3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________． 2．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．求动点的轨迹方程就是建立动点的横、纵坐标x ，y 的方程，因而，在求动点的轨迹方程时，先设出动点的坐标(x ， y )，再代入题目中给出的等量关系，化简即得动点的轨迹方程．当堂检测1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长为( )A ．2πB ．2πC ．22πD ．4π2．若圆x 2＋y 2－2kx －4＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称，则k 等于( ) A ．32 B ．－32C ．3D ．－33．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)4．过三点O (0,0)，A (4,0)，B (0，－2)的圆的一般方程为________________．5．已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．定点定长圆心半径2．(x－a)2＋(y－b)2＝r2预习交流1提示：圆的标准方程是由圆心坐标与半径确定的，因此求圆的标准方程只需求出圆心坐标与半径．3．点在圆外点在圆上点在圆内预习交流2提示：判断点与圆的位置关系有两种方法：①将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内．②可利用圆的标准方程来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：第(1)题可直接利用圆的标准方程求解，第(2)题可先利用两点间距离公式求出半径，再用圆的标准方程求解．解：(1)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4．(2)方法一：∵圆的半径r＝|CP|＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心在点(8，－3)，∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．方法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2．又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．迁移与应用 1．B2．解：设圆心C (a ，b )，半径为r ，则由中点坐标公式，得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6．再由两点距离公式，得r ＝|CP 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10．∴所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10．活动与探究2 思路分析：先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程，求出A ，B ，C 各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝|MP |＝52＋(1－6)2＝52．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． 点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外． 迁移与应用 1．B 2．(1，＋∞)活动与探究3 思路分析：解答本题，可用待定系数法，设出圆的标准方程求解，也可根据圆的几何性质求出圆的圆心坐标和半径．解：方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．方法二：由A (2，－3)，B (－2，－5)得，AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝(2＋1)2＋(－3＋2)2＝10．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． 方法三：设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C (2b ＋3，b )． 又∵|CA |＝|CB |，∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2，解得b ＝－2，∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．迁移与应用 1．x 2＋(y ＋4)2＝52．解：方法一：由题意得圆心在x 轴上．设圆心坐标为M (a,0)，则|MA |＝|MB |，即(a －5)2＋(0－2)2＝(a －3)2＋(0＋2)2， 解得a ＝4．所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5． 所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5．方法二：线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，即x ＋2y －4＝0．令y ＝0，得x＝4，所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5．所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5． 【当堂检测】 1．D 2．C 3．A 4．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 5．(x －2)2＋y 2＝10 4．1．2 圆的一般方程 课前预习导学 【预习导引】1．x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 r ＝D 2＋E 2－4F 2预习交流1 提示：不是．只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程才表示圆； 当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； 当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．坐标(x ，y )预习交流2 提示：求动点轨迹方程的步骤是： (1)设出动点M 的坐标为(x ，y )；(2)根据条件列出关于x ，y 的关系式f (x ，y )＝0； (3)化简f (x ，y )＝0． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2． 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|．方法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝5|m －2|．迁移与应用 1．C 2．(2)(4)3．解：将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，由1－5m ＞0得m ＜15．所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，15，圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m ．活动与探究2 思路分析：由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D ，E ，F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求圆的方程．解：方法一：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．方法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x ＝2，BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0． ∴圆心P 是两条中垂线的交点(2,1)．∴半径r ＝|AP |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．∴所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25， 即x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．迁移与应用 解法一：设方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋D ＋3E ＋F ＝0.∴D ＝E ＝－2，F ＝－2．∴方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．解法二：线段CD 的垂直平分线方程为x ＋y －2＝0． 又∵圆心在直线y ＝x 上，∴解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x得圆心坐标为(1,1)．则半径r ＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2．∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则一般方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．活动与探究3 思路分析：(1)已知动点M 到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M 的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．(2)N 点随M 点运动而运动，将M 点坐标用A ，N 两点坐标表示，再将M 点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N 的轨迹方程，从而得点N 的轨迹．解：(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A (2,0)，B (8,0)，|MA |＝12|MB |，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]．化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16．(2)设点N 的坐标为(x ，y )， ∵A (2,0)，N 为线段AM 的中点， ∴点M 的坐标为(2x －2,2y )． 又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4．∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 迁移与应用 1．2x －3y －5＝02．解：设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，当x ≠0时，OP ⊥AP ，即k OP ·k AP ＝－1，∴y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0．①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．【当堂检测】 1．C 2．B 3．D 4．x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0 5．x 2＋y 2＝4。
高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程 作业(系列四)
圆的一般方程A 组 基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)． 答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0，故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________． 解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________． 解析：所给圆的半径长为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0.则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组 能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D.答案：D12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(定值)．。
最新人教版高中数学必修2第四章圆的一般方程2
2 2
5 2 2 5 2 x+y = , 4 4
为圆心, 为半径的圆.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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S 随堂练习 典型考题 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
题型一
题型二
题型三
判断一个二元二次方程是否表示圆的方法是先看这个方程是否具 备圆的一般方程的特征,即:(1)x2 与 y2 的系数相等;(2)不含 xy 的项.当它具有 圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看 D2+E2-4F 是否大于零;二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
首 页
基础知识 J课堂互动 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITAN置关系 剖析:已知点 M(x0,y0)和圆的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则其 位置关系如下表:
D2 + E 2 -4F =
36 + 64=5.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
1 2
自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2.轨迹方程 点 M 的坐标(x,y)满足的关系式称为点 M 的轨迹方程.求符合某种条件 的动点 M 的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将 其转化为关于变量 x,y 之间的方程. 当动点 M 的变化是由点 P 的变化引起的,并且点 P 在某一曲线 C 上运动时,常用中间量法(又称为相关点法)来求动点 M 的轨迹方程,其步 骤是:(1)设动点 M(x,y);(2)用点 M 的坐标来表示点 P 的坐标;(3)将所得点 P 的坐标代入曲线 C 的方程,即得动点 M 的轨迹方程. 【做一做 2】 到两定点 A,B 的距离相等的点的轨迹 是 . 答案:线段 AB 的垂直平分线
人教新课标版数学高一-人教数学B版必修二2.3.2圆的一般方程
1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则有 ( )A ．m ≤2B ．m <2C ．m <12D ．m ≤12解析：依题意：D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋12－4m >0， 即m <12. 答案：C2．方程x 2＋y 2＋2ax －2by ＋c ＝0表示圆心为C (2，－3)，半径为3的圆，则a 、b 、c 的值依次为 ( )A ．2、3、4B ．－2、3、4C ．2、－3、－4D ．－2、－3、4 解析：将x 2＋y 2＋2ax －2by ＋c ＝0配方得(x ＋a )2＋(y －b )2＝a 2＋b 2－c ，依题意，得－a ＝2，b ＝－3，a 2＋b 2－c ＝9，∴a ＝－2，b ＝－3，c ＝a 2＋b 2－9＝4.答案：D3．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，即a ＝1.答案：B4．圆(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0的圆心坐标为________．解析：整理配方，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454， 所以圆心为(－12，－1)． 答案：(－12，－1)5．过A(0,0)，B(4,0)，C(0,6)三点的圆的一般方程是____________________．解析：由已知得△ABC为直角三角形，∴圆心为(2,3)，半径r＝1242＋62＝13，∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，即x2＋y2－4x－6y＝0.答案：x2＋y2－4x－6y＝06．当m是什么实数时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？解：欲使方程Ax2＋Cy2＋F＝0表示一个圆，需A＝C≠0.所以2m2＋m－1＝m2－m＋2，整理得m2＋2m－3＝0，所以m＝－3或m＝1.①当m＝1时，原方程为x2＋y2＋32＝0，不符合题意，舍去．②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝114，表示以原点为圆心1414为半径的圆．。
人教版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程2
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程； 3. 解方程组，求出a、b、r或D、E、F的
值，代入所设方程，就得要求的方程．
例2. 圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆 x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的 交点的圆的方程．
例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端 点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程．
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化 为圆的标准方程情势吗？
讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为 圆的标准方程情势，则圆心、半径 分别是？
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化 为圆的标准方程情势吗？
探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么 条件下表示圆？
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①xD 2 yE2
D2
E2
4F
②
2 2
4
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
人教新课标版数学高一必修二练习 4.1.2圆的一般方程
第四章 4.1 4.1.2一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0 D ．4x －3y ＋7＝0[答案] C[解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C.2．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( ) A ．2 B ．－32C ．±32D ．不存在[答案] A[解析] 由题意得直线kx －y ＝4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k2－3＋4＝0，解得k＝2.故选A.3．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( ) A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上 B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上 C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上 D ．这些圆的圆心不在同一条直线上 [答案] A[解析] 圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上． 4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D.5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面只为()A．5 2 B．10 2C．15 2 D．20 2[答案] B[解析]圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝210.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可是|BD|＝2|BM|2－|ME|2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝10 2.6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π[答案] B[解析]设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________．[答案]x2＋y2＋6x－8y－48＝0[解析]只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________．[答案]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0[解析]设M(x，y)，A(2，－1)，则P(2x－2,2y＋1)，将P代入圆方程得：(2x－2)2＋(2y ＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即为：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.[答案]－2[解析]由题意可知直线l：x－y＋2＝0过圆心，＋2＝0，∴a＝－2.∴－1＋a2三、解答题10．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[分析]本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[解析]解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝12＋E2－4F＝5|m－2|.2D解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝5|m－2|.[点评](1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r＝5(m－2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．[分析]由题目可获取以下主要信息：①点A(4,0)是定圆外一点；②过A的直线交圆于B，C两点．解答本题可先设出动点P的坐标(x，y)，然后由圆的几何性质知OP⊥BC，再利用k OP·k AP ＝－1，求出P(x，y)满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点P与定点M(2,0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P点的轨迹方程．[解析] 方法1：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ， 当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)． 方法2：(定义法)由方法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．规律总结：针对这个类型的题目，常用的方法有(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M 满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．12．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．[解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.规律总结：在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便．。
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1(II)卷
人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·西安期中) 圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（）A . r=1；（﹣2，1）B . r=2；（﹣2，1）C . r=1；（2，﹣1）D . r=2；（2，﹣1）2. （2分）要使与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有A . ,且F<0B . D<0,F>0C .D . F<0·3. （2分） (2016高二上·射洪期中) 过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A . x2+（y﹣1）2=2B . x2+（y﹣1）2=1C . （x﹣1）2+y2=4D . （x﹣1）2+y2=14. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 过点且与圆，相切的直线有几条（）A . 0条B . 1条C . 2 条D . 不确定5. （2分） (2018高二下·泸县期末) 的焦点到渐近线的距离为（）A .B . 2C . 1D .6. （2分）若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线l过点（﹣1，2）且与直线y=x垂直，则直线l的方程是（）A . 3x+2y﹣1=0B . 3x+2y+7=0C . 2x﹣3y+5=0D . 2x﹣3y+8=08. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018高二上·哈尔滨月考) 若点满足，点在圆上，则的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝0二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的面积为________．12. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是________．13. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________14. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2016高二上·忻州期中) 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y ﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．16. （10分） (2018高一上·深圳月考) 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．17. （15分） (2019高二下·上海月考) 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为： .（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）① ，，；② ，，；③ ，， .（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.①到，两点“直角距离”相等；②到，两点“直角距离”和最小.18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上；若动点M满足：|MA|=2|MO|，且M的轨迹与圆C有公共点．求圆心C的横坐标a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、。
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故所求外接圆的方程为 x2+y 2- y-16= 0 或 x2+y 2+ y-16= 0.
4
.
解析 :由题意知 -
解得 m<- 13.
答案 :(-∞,-13)
22
6.若使圆 x +y + 2x+ay-a- 12=0( a 为实数 )的面积最小 ,则 a=
.
解析 :由已知得圆的半径 :
r=
- --
=
3
=
,
所以当 a=- 2 时 ,r min=
=2 ,
即此时圆的面积最小 .
答案 :-2
22
7.点 P 是圆 C:x +y -4x+ 2y-11= 0 上的任一点 ,PC 的中点是 M ,试求动点 M 的轨迹方程 . 解 :设 M (x,y),由已知得圆心 C(2,-1),则 P(2x-2,2y+ 1).
4.1.2 圆的一般方程
课时过关 ·能力提升
2
2
1.圆 (x+ 1) + (y- 3) = 2 化为一般方程是 (
基础巩固
)
A. x2+y 2= 6 B.x2+y 2+ 8= 0 C.x2+y 2-2x+ 8y+ 6= 0 D.x2+y 2+ 2x-6y+ 8= 0
答案 :D
2.若方程 x2+y 2-4x+ 2y+ 5k= 0 表示圆 ,则实数 k 的取值范围是 (
22
B .x +y = 4
22
22
C.x +y = 9(y≠0) D .x +y = 9(x≠0)
人教课标版(B版)高中数学必修2基础练习-圆的一般方程
2.3.2 圆的一般方程一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <233．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在5．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]6．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F7．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 8．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________10．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.11．若x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，则点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的12．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．三、解答题13．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．14．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．15．求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程．1. [答案] D[解析] 圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 2. [答案] D[解析] 由题知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即(3a －2)(a ＋2)<0，因此－2<a <23.3. [答案] C[解析] 圆的方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝2，故周长l ＝2πr ＝22π.4. [答案] A[解析] 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．5. [答案] D[解析] 可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.6. [答案] B[解析] 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .7. [答案] A[解析] l 过圆心C (1,3)，且不过第四象限．由数形结合法易知：0≤k ≤3.8. [答案] A[解析] 圆的半径r ＝124－3k 2，要使圆的面积最大，即圆的半径r 取最大值，故当k ＝0时，r 取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1)．9. [答案] 在圆C 外部[解析] 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0，∴点P 在圆C 外部．10. [答案] 4[解析] 由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4. 11. [答案] 外部[解析] ∵x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，∴点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部．12. [答案] 30－10 5[解析] 原点到圆心的距离为5，半径r ＝5，则a 2＋b 2最小值为(5－5)2＝30－10 5.13. [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36，③①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8， 或⎩⎨⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.14. [解析] 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎨⎧ D ＝－(k ＋2)F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1，∴2k ＋12－0k ＋22－k＝－1，即k ＝－3，从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.15. [解析] 解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2，由k CB ·k l ＝－1，得6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③由①②③联立可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.解法二：设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由于A (－2，－4)、B (8,6)，则AB 的中点坐标为(3,1)，又k AB ＝6＋48＋2＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0②由①②联立后，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝112y ＝－32.即圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32 ∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋322＝1252. ∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252. 16. [解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，∴⎩⎨⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0 ①2D ＋6E －F －40＝0 ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Dy ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③.由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.。
高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的一般方程
圆的一般方程【知识梳理】圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2)，半径长为12D 2＋E 2－4F . 【常考题型】题型一、圆的一般方程的概念辨析【例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15， 故m 的取值范围为(－∞，15)． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .【类题通法】形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．【对点训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)；(3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．解：(1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1，∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a 2)， 半径r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝22|a |. 题型二、圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形，∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【对点训练】2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ∵圆与x ＋3y －26＝0相切，∴6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D ＋4E －F －20＝0，②8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.题型三、代入法求轨迹方程【例3】 已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．用代入法求轨迹方程的一般步骤【对点训练】3．过点A (8,0)的直线与圆x 2＋y 2＝4交于点B ，则AB 中点P 的轨迹方程为________________． 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，即为所求．答案：(x －4)2＋y 2＝1【练习反馈】1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D.2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－32，＋∞) 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．3．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＝2，－－b 2＝2，12 4a 2＋b 2－4c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，c ＝4.答案：－2,4,44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|P A |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心相同的圆的方程． 解：设所求的圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＝3，－E 2＝4， 解此方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.。
(完整版)高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)
专题：直线与圆1．圆 C1 : x2＋ y2＋ 2x＋ 8y－ 8＝0 与圆 C2 : x2＋ y2－ 4x＋4y－ 2＝ 0 的地点关系是 () ．A ．订交B．外切C．内切D．相离2．两圆 x2＋ y2－4x＋ 2y＋ 1＝ 0 与 x2＋ y2＋ 4x－4y－ 1＝ 0 的公共切线有 () ．A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条3．若圆 C 与圆 ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1关于原点对称，则圆 C 的方程是 () ．A ． ( x－ 2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1B． ( x－ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝1C． ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 2) 2＝ 1D．( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 14．与直线 l : y＝ 2x＋ 3平行，且与圆x2＋ y2－2x－ 4y＋ 4＝0 相切的直线方程是 () ．A ． x－ y± 5 ＝ 0B． 2x－ y＋ 5 ＝ 0C． 2x－ y－ 5 ＝ 0D．2x－ y± 5 ＝ 05．直线 x－ y＋ 4＝ 0 被圆 x2＋ y2＋ 4x－4y＋ 6＝ 0 截得的弦长等于 () ．A ． 2B． 2C．2 2D． 426．一圆过圆 x2＋ y2－ 2x＝0 与直线 x＋ 2y－ 3＝0 的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是() ．A ． x2＋ y2＋4y－ 6＝ 0B． x2＋ y2＋ 4x－ 6＝ 0C． x2＋ y2－ 2y＝ 0D． x2＋ y2＋ 4y＋ 6＝ 07．圆 x2＋ y2－ 4x－4y－ 10＝ 0 上的点到直线 x＋y－ 14＝ 0 的最大距离与最小距离的差是() ．A．30B． 18C．6 2D． 528．两圆 ( x－ a) 2＋ ( y－b) 2＝ r 2和 ( x－ b) 2＋( y－ a) 2＝ r 2相切，则 () ．A ． ( a－ b) 2＝ r2B． ( a－ b) 2＝ 2r2C． ( a＋ b) 2＝ r 2D．( a＋ b) 2＝ 2r 29．若直线 3x－ y＋ c＝ 0，向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位，平移后与圆 x2＋ y2＝ 10相切，则 c 的值为 () ．A．14 或－ 6B．12 或－ 8C．8 或－ 12D．6 或－ 1410．设 A( 3，3，1) ，B( 1，0，5) ，C( 0，1，0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 | CM| ＝() ．53B．5353D．13A ．C．242211．若直线 3x－ 4y＋ 12＝ 0 与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x＝ a 与圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1 相切，则a 的值是 _________．13．直线 x＝ 0 被圆 x2＋ y2― 6x― 2y―15＝ 0 所截得的弦长为_________．14．若 A( 4，－ 7， 1) ，B( 6， 2， z) ， | AB| ＝ 11，则 z＝ _______________ ．15．已知 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点， PA，PB 是圆 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为．三、解答题16．求以下各圆的标准方程：( 1) 圆心在直线y＝0 上，且圆过两点A( 1， 4) ， B( 3， 2) ； ( 2) 圆心在直线2x＋ y＝0 上，且圆与直线x＋y－ 1＝ 0 切于点 M( 2，－ 1) ．第1页共6页17．棱长为 1 的正方体ABCD － A1B1C1D 1中， E 是 AB 的中点， F 是 BB1的中点， G 是 AB1的中点，试建立合适的坐标系，并确立E， F，G 三点的坐标．18．圆心在直线5x― 3y― 8＝ 0 上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆 C :( x－ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 2，点 P 坐标为 ( 2，－ 1) ，过点 P 作圆 C 的切线，切点为A， B．( 1) 求直线 PA， PB 的方程； ( 2) 求过 P 点的圆的切线长； ( 3) 求直线 AB 的方程．20．求与 x 轴相切，圆心 C 在直线 3x－ y＝ 0 上，且截直线x－ y＝ 0 得的弦长为 2 7 的圆的方程．第2页共6页参照答案一、选择题1． A分析：C1的标准方程为 ( x＋ 1) 2＋ ( y＋ 4) 2＝ 52，半径 r1＝5； C2的标准方程为( x－ 2) 2＋ ( y＋2) 2＝ ( 10 ) 2，半径 r2＝10 ．圆心距d＝( 2＋ 1) 2＋( 2－ 4) 2＝13 ．因为 C2的圆心在 C1内部，且r1＝ 5＜ r 2＋d，因此两圆订交．2． C分析：因为两圆的标准方程分别为( x－2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 4， ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 9，因此两圆的圆心距d＝( 2 ＋ 2)2＋(－ 1－ 2)2＝ 5．因为 r 1＝ 2， r2＝ 3，因此 d＝r 1＋ r2＝ 5，即两圆外切，故公切线有 3 条．3． A分析：已知圆的圆心是( －2， 1) ，半径是1，所求圆的方程是( x－2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1．4． D分析：设所求直线方程为y＝2x＋ b，即 2x－ y＋ b＝0．圆 x2＋ y2― 2x―4y＋ 4＝ 0 的标准方程为 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 1．由2 － 2 ＋ b5 ．＝ 1 解得 b＝±22＋12故所求直线的方程为 2x－ y± 5 ＝0．5． C分析：因为圆的标准方程为 ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 2，明显直线 x－ y＋4＝ 0经过圆心．因此截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于 2 2 ．6． A分析：如图，设直线与已知圆交于 A，B 两点，所求圆的圆心为C．依条件可知过已知圆的圆心与点 C 的直线与已知直线垂直．因为已知圆的标准方程为( x－ 1) 2＋ y2＝ 1，圆心为 ( 1， 0) ，因此过点 ( 1， 0) 且与已知直线x＋ 2y－3＝ 0 垂直的直线方程为y＝ 2x－2．令 x＝ 0，得C( 0，－ 2) ．(第 6题)联立方程 x2＋ y2－ 2x＝ 0 与 x＋ 2y－ 3＝ 0 可求出交点 A( 1，1) ．故所求圆的半径 r ＝|AC|＝ 12＋32＝ 10．因此所求圆的方程为x2＋ ( y＋ 2) 2＝10，即 x2＋ y2＋ 4y－6＝ 0．7． C分析：因为圆的标准方程为( x－ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝ ( 3 2 ) 2，因此圆心为 ( 2， 2) ，r＝3 2 ．设圆心到直线的距离为d，d＝10＞r，2因此最大距离与最小距离的差等于( d＋ r ) － ( d－ r ) ＝ 2r ＝ 6 2 ．第3页共6页8． B分析 ：因为两圆半径均为 | r | ，故两圆的地点关系只好是外切，于是有( b － a) 2＋ ( a － b) 2＝ ( 2r) 2．化简即 ( a － b) 2＝ 2r 2．9． A分析 ：直线 y ＝ 3x ＋c 向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位．平移后的直线方程为 y ＝ 3( x － 1) ＋ c － 1，即 3x －y ＋ c － 4＝ 0．由直线平移后与圆x 2＋ y 2＝ 10 相切，得 0 － 0＋ c － 4 ＝ 10 ，即 | c － 4| ＝10，32 ＋12因此 c ＝ 14 或－ 6．10． C分析 ：因为 C( 0， 1， 0) ，简单求出 AB 的中点 M 2， 3，3 ，2253 ．因此|CM| ＝ (2－0)2＋ 3－1 ＋(3－0)2 ＝22二、填空题11．x 2＋ y 2 ＋4x － 3y ＝ 0．分析： 令 y ＝ 0，得 x ＝－ 4，因此直线与 x 轴的交点 A( － 4，0) ．令 x ＝ 0，得 y ＝ 3，因此直线与 y 轴的交点 B( 0，3) ．因此 AB 的中点，即圆心为－2，3．2( x ＋2) 2＋ y －32 因为 | AB| ＝ 42 ＋ 32 ＝ 5，因此所求圆的方程为＝25．2 4即 x 2＋ y 2＋ 4x － 3y ＝ 0．12．0 或 2．分析： 画图可知，当垂直于 x 轴的直线 x ＝ a 经过点 ( 0， 0) 和( 2， 0) 时与圆相切，因此 a 的值是 0 或 2．13． 8．分析： 令圆方程中 x ＝ 0，因此 y 2―2y ― 15＝ 0．解得 y ＝ 5，或 y ＝－ 3．因此圆与直线 x ＝ 0 的交点为 ( 0， 5) 或( 0，－ 3) ．因此直线 x ＝ 0 被圆 x 2 ＋ y 2―6x ― 2y ― 15＝ 0 所截得的弦14． 7 或－ 5．分析：由 (6－4) 2＋(2＋7) 2 ＋( z － 1) 2 ＝11 得 ( z － 1) 2－ 5．15．2 2．长等于 5－( － 3) ＝ 8．＝36．因此 z ＝ 7，或第4页 共6页(第15题)分析 ：如图， SPACB ＝2S PAC ＝ 1 | PA| · | CA| ·2＝| PA| ，又 | PA| ＝ 2－1 ，故求 | PA| 最小值，只需求 | PC| 最四边形 | PC|△2小值，另 | PC| 最小值即 C 到直线 3x ＋4y ＋8＝0 的距离，为|＋＋|3 4 8＝3．32＋42于是 S 四边形 PACB 最小值为 32－1 ＝ 2 2 ．三、解答题16． 解： ( 1) 由已知设所求圆的方程为 ( x － a) 2＋ y 2＝ r 2，于是依题意，得(22a ＝ － ，1－ a) ＋16＝ r ，122解得2．(r ＝3－ a) ＋4 ＝r ．20故所求圆的方程为 ( x ＋ 1) 2＋ y 2＝ 20．( 2) 因为圆与直线 x ＋ y － 1＝ 0 切于点 M( 2，－ 1) ，因此圆心必在过点M ( 2，－ 1) 且垂直于 x ＋ y － 1＝ 0 的直线 l 上．则 l 的方程为 y ＋ 1＝ x － 2，即 y ＝x －3．y ＝ － ，x ＝ ，由x 312x解得y＋ ＝ ．＝ － ．y 02即圆心为 O 1( 1，－ 2) ，半径 r ＝ ( 2 － 1) 2 ＋( －1＋ 2)2 ＝2 ．故所求圆的方程为 ( x － 1) 2＋ ( y ＋2) 2＝ 2．17． 解：以 D 为坐标原点，分别以射线 DA ， DC ，DD 1 的方向为正方向，以线段 DA ， DC ， DD 1 的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面 xDy 中，且 EA ＝ 1．2因此点 E 的坐标为1，1，0 ，2又 B 和 B 1 点的坐标分别为 ( 1，1，0) ，( 1，1，1) ， 因此点 F 的坐标为 1，1，1，同理可得 G 点的坐标为218． 解：设所求圆的方程为 ( x － a) 2＋ ( y － b) 2＝ r 2，因为圆与两坐标轴相切，因此圆心满足 | a| ＝ | b| ，即 a － b ＝ 0，或 a ＋ b ＝ 0．又圆心在直线 5x ―3y ― 8＝0 上，1 1 1，， ．2 25a － 3b － ＝ ， 5a － 3b － ＝ ，因此 5a ―3b ― 8＝0．由方程组或－ ＝ ， ＋ ＝ ，a b 0 a b 0， ，＝＝ 解得 或因此圆心坐标为 ( 4， 4) ， ( 1，－ 1) ． ＝ ， ＝－ ． b 4 b1故所求圆的方程为 ( x － 4) 2＋ ( y －4) 2＝ 16，或 ( x － 1) 2＋ ( y ＋1) 2＝ 1．19． 解： ( 1) 设过 P 点圆的切线方程为 y ＋ 1＝ k( x － 2) ，即 kx ― y ― 2k ― 1＝ 0． 因为圆心 ( 1， 2) 到直线的距离为2， － k － 3 ＝ 2 ， 解得 k ＝ 7，或 k ＝－ 1．k 2 ＋ 1第5页 共6页故所求的切线方程为7x― y― 15＝ 0，或 x＋ y－ 1＝ 0．( 2)在 Rt△PCA 中，因为 | PC| ＝ ( 2 － 1) 2＋( － 1－ 2) 2＝ 10，| CA| ＝ 2 ，因此 | PA| 2＝ | PC| 2－ | CA| 2＝8．因此过点 P 的圆的切线长为 2 2 ．( 3)简单求出 k PC AB 1 ．＝－ 3，因此 k ＝3如图，由 CA 2＝CD · PC，可求出 CD＝CA2＝ 2 ．PC10设直线 AB 的方程为y＝1x＋ b，即 x－ 3y＋ 3b＝0．3由2＝1－6＋3b解得 b＝ 1 或 b＝7( 舍 ) ．101＋323(第 19题)因此直线 AB 的方程为x－ 3y＋ 3＝0．( 3) 也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心 C 在直线3x－ y＝0 上，设圆心坐标为( a， 3a) ，圆心 ( a，3a) 到直线 x－ y＝0的距离为 d＝－ 2a．2又圆与 x 轴相切，因此半径r ＝3| a| ，设圆的方程为 ( x－ a) 2＋ ( y－ 3a) 2＝ 9a2，设弦 AB 的中点为 M，则 | AM| ＝ 7 ．在 Rt△ AMC 中，由勾股定理，得－ 2a 2＋ ( 7 ) 2＝ ( 3| a|) 2．2(第 20题)解得 a＝± 1， r2＝ 9．故所求的圆的方程是( x－ 1) 2＋( y－ 3) 2＝ 9，或 ( x＋ 1) 2＋( y＋ 3) 2＝ 9．第6页共6页。
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_圆的方程_提高
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C -∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++=又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r =∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．（2015秋 湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线y =0上，且圆过两点A （1，4），B （3，2）；（2）圆心在直线2x +y =0上，且圆与直线x +y ―1=0切于点M （2，―1）． 【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C 的方程；（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x +y =0上得出一个方程；再由圆心到直线x +y ―1=0的距离即半径得出另一个方程．【答案】（1）22(1)20x y ++=；（2）22(1)(2)2x y -++= 【解析】（1）∵圆心在直线y =0上， ∴设圆心坐标为C （a ，0）， 则|AC |=|BC |，= 即 22(1)16(3)4a a -+=-+， 解得a =―1，即圆心为（―1，0），半径||r AC ===， 则圆的标准方程为 22(1)20x y ++=， （2）设圆心坐标为（a ，b ），则20a b +=⎧⎪=解得a =1，b =－2，∴r =∴要求圆的方程为 22(1)(2)2x y -++=． 举一反三：【圆的方程370891 典型例题1】【变式1】（1）过点(2,3),(2,5)A B ---且圆心在直线230x y --=上；（2）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为 【答案】（1）22(1)(2)10x y +++=（2）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++= 【解析】（1）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得：21,2,10a b r =-=-= 所求圆的方程为：22(1)(2)10x y +++=（2）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()222230142r b a b a b r ⎧=⎪⎪-=⎨⎪-+=⎪⎩解得：2139a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或2139a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩ 所求圆的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．类型二：圆的一般方程例3．已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆． （1）求t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．【答案】（1）117t -<<（2）（t+3，4t 2－1）3222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）已知方程表示一个圆⇔D 2+E 2―4F ＞0，即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t―1＜0117t ⇔-<<． （2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t―7t 2． ∴它的圆心坐标为（t+3，4t 2－1）．（3）由7r ===≤． ∴r的最大值为7，此时圆的标准方程为 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】 在本例中，当t 在1,17⎛⎫-⎪⎝⎭中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2341x t y t =+⎧⎨=-⎩得y=4(x―3)2―1，再由117t -<<，知2047x <<，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的圆系方程． 举一反三：【圆的方程370891 典型例题2】【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径； （2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程． 【答案】（1）()224(1)5x y -+-= （4，1）（2）22113300x y x y +-+-=【解析】（1）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为：228220x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=，所以圆心为（4，1），法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫⎪⎝⎭，321523AB k -==-线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩所以所求圆的方程为（4，1），半径r ==所以()224(1)5x y -+-=．（2）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=， 线段AB 的中垂线为40x y +-=，由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由两点间距离公式得半径21252r =，所以圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式2】判断方程ax 2+ay 2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．【答案】表示圆，圆心坐标2(1)2,a aa -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2222||a a r a -+= 【变式3】方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 A ．2a <-或23a > B ．203a -<< C ．20a -<< D ．223a -<< 【答案】D【解析】方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0转化为2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭，所以若方程表示圆，则有23104a a --+>，∴ 23440a a +-<，∴ 223a -<<． 例4．（1）△ABC 的三个顶点分别为A （―1，5），B （―2，―2），C （5，5），求其外接圆的方程； （2）圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C 的方程． 【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D 、E 、F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．【答案】（1）x 2+y 2―4x―2y―20=0（2）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25 【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意有5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩． 故所求的圆的方程为x 2+y 2―4x―2y―20=0．解法二：由题意可求得AC 的中垂线的方程为x=2，BC 的中垂线方程为x+y―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径22(21)(15)5r =++-=，∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即x 2+y 2―4x―2y―20=0．（2）解法一：如右图所示，由于圆C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，∴Rt △ABC ≌Rt △GFC ，∴|BC|=|FC|． 设C （a ，b ），则|a|=|b|． ①又圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3）， ∴圆心在PQ 的垂直平分线上，即51322y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即y=3x+4，∴b=3a+4． ②由①知a=±b ，代入②得11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩．∴22(1)(2)5r a b =-+-=或5．故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．即x 2+y 2+2x―2y―3=0或x 2+y 2+4x+4y―17=0． 解法二：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0． ∵圆C 过点P （1，2）和Q （－2，3），∴22122049230D E F D E F ⎧++++=⎨+-++=⎩，解得38117E D F D =-⎧⎨=-⎩．∴圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x 2+Dx+11―7D=0． ∴圆C 在x 轴上截得的弦长为212||4(117)x x D D -=--．将x=0代入得y 2+(3D―8)y+11―7D=0，∴圆C 在y 轴上截得的弦长为212||(38)4(117)y y D D -=---．由题意有224(117)(38)4(117)D D D D --=---，即D 2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．故所求的圆的方程为x 2+y 2+4x+4y―7=0或x 2+y 2+2x―2y―3=0．【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．举一反三：【变式1】如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．【答案】30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，233，223433x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭ 类型三：点与圆的位置关系例5．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系． 【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内 【解析】∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10， 分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得 (6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上； (3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ |＜r ；点P 在圆上⇔|PQ |=r ；点P 在圆外⇔|PO |＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a )2+(y ―b )2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2＜r 2．举一反三：【变式1】点（a +1，a ―1）在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是________． 【思路点拨】直接把点（a +1，a ―1）代入圆的方程左边小于0，解不等式可得a 的范围． 【答案】（－∞，1） 【解析】∵点（a +1，a ―1）在圆22240x y ay +--=的内部（不包括边界）， ∴ 22(1)(1)2(1)40a a a a ++----<，整理得：a ＜1． 故答案为：（－∞，1）． 类型四：轨迹问题 例6．（2016 广东中山市模拟）已知曲线C 上任意一点到原点的距离与到A （3，―6）的距离之比均为12． （1）求曲线C 的方程． （2）设点P （1，―2），过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于B ，C 两点，且直线PB 和直线PC 的倾斜角互补，求证：直线BC 的斜率为定值．【思路点拨】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C 的方程．（2）直线与圆的方程联立，求出A ，B 的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC 的斜率为定值．【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=；（2）直线BC 的斜率为定值12-． 【解析】（1）曲线C 上的任意一点为Q （x ，y ），221(1)(2)202x y =⇒++-= （2）证明：由题意知，直线PB 和直线PC 的斜率存在，且互为相反数，P （1，―2）， 故可设P A ：y +2=k （x ―1）， 由2222222(1)(1)2(14)830(1)(2)20y k x k x k k x k k x y +=-⎧⇒++--++-=⎨++-=⎩因为点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得22831A k k x k +-=+， 同理，22831B k k x k --=+，所以(1)(1)2()12B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====----故直线BC 的斜率为定值12-． 【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M （x ，y ）； （2）几何点集：写出满足题设的点M 的集合P ={M |P (M )}；（3）翻译列式：将几何条件P （M ）用坐标x 、y 表示，写出方程f (x ,y )=0； （4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 例7．已知定点A （4，0），P 点是圆x 2+y 2=4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程． 【答案】(x―2)2+y 2=1【解析】 设Q 点坐标为（x ，y ），P 点坐标为（x ＇，y ＇），则4'2x x +=且0'2y y +=，即x ＇=2x―4，y ＇=2y ．又P 点在圆x 2+y 2=4上，∴x ＇2+y ＇2=4，将x ＇=2x―4且y ＇=2y 代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y 2=1．故所求的轨迹方程为(x―2)2+y 2=1．【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法——代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x ，y ），在已知曲线上运动的点的坐标为（x ＇，y ＇），用x ，y 表示x ＇，y ＇，即x ＇=f (x,y)，y ＇=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．举一反三：【变式1】已知定点A （2，0），点Q 是圆x 2+y 2=1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程．【答案】222439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【圆的方程370891 典型例题5】【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆．【解析】以两定点所在的直线为x 轴，以两定点所在线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设两定点分别为()1,0,(1,0)A B -，设动点(,)P x y ，则||(1)||PA c c PB =≠，c =，整理得：()2222221(1)(22)10cxc y c x c -+-+++-=所以222222101c x y x c ++++=-，即()22222221411c c x y c c ⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭- 所以动点的轨迹是一个圆．。
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第2课时圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 2 2 ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋E 2 2 ＝D 2＋E 2－4F 4 ，(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示圆，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2 ，半径为12D 2＋E 2－4F ．(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2 ．(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0都表示圆吗？ 提示：不一定，当D 2＋E 2－4F ＞0时才表示圆． 2．圆的一般方程当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．(1)圆的一般方程有什么特征？提示：①x 2和y 2的系数相同且不为0；②没有xy 项．(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＋Dx 0＋Ey 0＋F ＜0；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＋Dx 0＋Ey 0＋F＞0.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆的标准方程与一般方程可以互化．( √)(2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．( ×)(3)方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．( ×)提示：(1)圆的标准方程与一般方程可以互化．(2)方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－32x＝0，是圆的一般方程．(3)因为(－1)2＋12－4×1＝－2＜0，所以方程不表示任何图形．2．圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的圆心坐标是( )A．(2，3) B．(－2，3)C．(2，－3) D．(－2，－3)【解析】选C.将x2＋y2－4x＋6y＋3＝0配方得(x－2)2＋(y＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3).3．(教材例题改编)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．R【解析】选A.由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0，可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k＞0，解得k＜1，故实数k的取值范围是(－∞，1).类型一二元二次方程与圆的关系(数学抽象、数学运算)1．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a，b，c的值依次为( ) A．－2，－4，4 B．2，－4，4C．2，－4，－4 D．－2，4，－4【解析】选B.根据题意，圆心为(1，2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，－b 2＝2，14（a 2＋b 2－4c ）＝1， 解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝4.2．以下直线中，将圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0平分的是( ) A ．x －y －1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．2x －y ＝0D ．2x －y ＋3＝0【解析】选A.圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的方程可化为()x －2 2＋()y －1 2＝4， 所以圆心坐标为A ()2，1 ，若直线平分圆，则A ()2，1 必在直线上． 因为2－1－1＝0，点A 在直线x －y －1＝0上，故A 正确； 因为2－1＋1≠0，点A 不在直线x －y ＋1＝0上，故B 错误； 因为2×2－1≠0，点A 不在直线2x －y ＝0上，故C 错误； 因为2×2－1＋3≠0，点A 不在直线2x －y ＋3＝0上，故D 错误． 3．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.【解析】若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则⎩⎨⎧a 2＝a ＋2≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a ＋22－4aa ＋2＞0，解得a ＝－1. 答案：－14．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围． (2)圆心坐标和半径．【解析】(1)据题意知，D 2＋E 2－4F ＝(2m)2＋(－2)2－4(m 2＋5m)＞0， 即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15 ，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 . (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m)2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m .方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的两种判断方法(1)配方法．对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．(2)运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断D 2＋E 2－4F 是否为正，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D 2＋E 2－4F ＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x 2及y 2的系数．【补偿训练】圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16【解析】选C.将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方，易得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16.类型二 待定系数法求圆的方程(数学抽象、数学运算)【典例】已知△ABC 的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．【思路导引】利用待定系数法先求出圆的一般方程，然后再求出圆心坐标、半径即可． 【解析】设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A ，B ，C 在圆上，所以⎩⎨⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，所以⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，所以△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．1．已知三点A(1，0)，B(0， 3 )，C(2， 3 )，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．213 C ．253 D ．43【解析】选B.设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 ， 故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332 ＝213 .2．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上． 【解析】A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．证明如下：方法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎨⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D 的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上， 故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．方法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0 ×1＋60－7＝－1，所以AB ⊥BC ，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝（1－7）2＋（2＋6）2 ＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2). 因为|DM|＝（4－4）2＋（3＋2）2 ＝5＝12 |AC|，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)角度1 代入法求方程【典例】已知动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动，点B(3，0)，则AB 的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝14 D ．⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32 2 ＋y 2＝12【思路导引】利用要求的中点坐标表示点A 的坐标，代入圆的方程． 【解析】选C.设A(x 0，y 0)，AB 的中点的坐标为(x ，y)， 由中点坐标公式得⎩⎨⎧x 0＋3＝2x ，y 0＝2y ， 即⎩⎨⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y.因为动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以x 20 ＋y 20 ＝1.则(2x －3)2＋(2y)2＝1，整理得：(2x －3)2＋4y 2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝14 .将本例的条件改为“过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，点P 在线段AC 上，且2|AP|＝|PC|”，求点P 的轨迹方程．【解析】设A(x 0，y 0)，点P 的坐标为(x ，y)，因为点P 在线段AC 上，且2|AP|＝|PC|，所以⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝23y 0， 则⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，因为点A 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 2＋94y 2＝1.角度2 定义法求方程【典例】已知等腰三角形ABC 的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C 的轨迹方程．【思路导引】由等腰三角形可求得AC 的长度为定值，即点C 的轨迹为圆，同时注意三角形ABC.即点C 不能在直线AB 上．【解析】设另一底角顶点为C(x ，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即（x －3）2＋（y －20）2 ＝（3－3）2＋（5－20）2 ，整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225. 当x ＝3时，A ，B ，C 三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3).求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：若动点P(x ，y)依赖圆上的某一个动点Q(x 0，y 0)而运动，找到两点的关系，把x ，y用x0，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．1．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A．π B．4π C．8π D．9π【解析】选B.设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π.2．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是( )A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)【解析】选C.根据题意，易知点A在以D为圆心、半径为3的圆上，其中D为原点．又因为A，B，C构成三角形，故点A的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).3．点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y).因为点P 在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。
【高考特训】专题4.1.2 圆的一般方程-高一数学人教版(必修2)(Word版含解析)
一、选择题1．圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为A．（4，–6），r=16 B．（2，–3），r=4C．（–2，3），r=4 D．（2，–3），r=16【答案】C【解析】将圆x2+y2+4x–6y–3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y–3）2=16，∴圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心为C（–2，3），半径r=4，故选C．2．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线【答案】D3．已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是A．a=–1，b=2，r=2 B．a=–1，b=2，r=4C．a=1，b=–2，r=2 D．a=1，b=–2，r=4【答案】A【解析】圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，它的标准方程为（x+1）2+（y–2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a，b），半径为r，可得a=–1，b=2，r=2，故选A．4．方程x2+xy=x表示的曲线是A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线【答案】C【解析】方程x2+xy=x即x（x+y–1）=0，化简可得x=0或x+y–1=0．而x=0表示一条直线，x+y–1=0也表示一条直线，故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，故选C．5．已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为A1B C．3-D．2【答案】C【解析】圆x2+y2–2x–2y+1=0，即（x–1）2+（y–1）2=1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x2+y2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO2=2，∴x2+y2的最小值为)21=3–C．6．过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为A．x2+y2+4y–21=0 B．x2+y2–4y–21=0C．x2+y2+4y–96=0 D．x2+y2–4y–96=0【答案】A7．已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是A．（2，+∞）B．（–2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，1）【答案】C【解析】∵方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，∴22+22–4a>0，∴4a<8，∴a<2，故选C．8．曲线x2+y2––4=0关于A．直线x B．直线y=–x轴对称C．点（–2D0）中心对称【答案】B【解析】曲线x2+y2––4=0于圆心在直线y=–x上，∴曲线关于直线y=–x对称．∴A、C、D都不正确．故选B．9．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（–∞，–2）D．（–∞，–1）【答案】B10．已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=A．8 B．16 C．12 D．13【答案】D【解析】圆x2+y2–4x+6y=0化为：（x–2）2+（y+3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a2+b2=4+9=13．故选D．二、填空题11．圆x2+y2–2x+4y=0的面积为___________．【答案】5π【解析】圆的方程即（x–1）2+（y+2）21，–2的圆，故圆的面积为π•r2=5π，故答案为：5π．12．圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为___________．【答案】【解析】圆x2+y2–2x+6y+8=0，即圆（x–1）2+（y+3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，．13．圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是___________．【答案】（–3，2）【解析】圆x2+y2+6x–4y+12=0，即（x+3）2+（y–2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）．14．若直线3x –4y +12=0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为___________．【答案】x 2+y 2+4x –3y =0【解析】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r 52=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15．若方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】（0，12） 【解析】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r ．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0<m <1．∴实数m 的取值范围是0<m <12．故答案为：（0，12）． 三、解答题16．若方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆，求：（1）实数m 的取值范围； （2）圆心坐标和半径．17．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有420 1640 240D FD FE F++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，②–①得：12+2D=0，∴D=–6，代入①得：4–12+F=0，∴F=8，代入③得：2E+8+4=0，∴E=–6，∴D=–6，E=–6，F=8，∴圆的方程是x2+y2–6x–6y+8=0．18．求下列满足条件的圆的方程（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．【解析】（1=故圆的方程为（x–2）2+（y+2）2=41；（2）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，–3），即圆心的坐标，r=故圆的方程为（x–1）2+（y+3）2=29．19．已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．（2）令y–x=t，即x–y+t=0对应直线l，将直线l平移，当l与圆C：（x–2）2+y2=3相切时，t达到最大或最小值，由d=t=–2∴t的最小值为–2（3）满足x2+y2–4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0x2+y2=|OP|2，∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值，∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC得到x2+y2的最大值为（2当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|得到x2+y2的最大值为（22=7–综上所述，x2+y2的最大值为7–20．m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．。
《圆的一般方程》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.1.2课时)
y M(x,y)
O
C
x
新知探究
问题探究1 圆的一般方程 1.圆的标准方程
展开得 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
新知探究
D2 E 2 4F 2
5
2
2
课堂练习
练习3： 已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为
1 2 的点的轨迹，求出曲线的轨迹.
解析：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，
点M在曲线上的条件是 | MO | 1 | MA | 2
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
二、自主学习 探究新知
二、自主学习 探究新知
如果用C表示圆的周长，就有：
C ＝πd 或
C＝2πr
三、巩固提高
1、计算下面各圆的周长。
C=πd =3.14×4 =12.56(cm)
C=2πr =3.14×1.5×2 =9.42(cm)
三、巩固提高
2、选择。
（1）圆周率是一个（ B ）。 A.有限小数 B.无限小数
（2）求车轮滚动一周前进的距离，是求车轮的 （ C ）。 A.半径 B.直径 C.周长
（3）圆的周长是直径的（ B ）倍。 A.3.14 B.π C.3
三、巩固提高
3、判断。 （1）大圆的周长一定比半圆的周长大。（× ）
（2）半径不相等的两个圆，周长一定不相等。 （ √ ）
三、巩固提高
4、一个圆形喷水池的半径是5m，它的周长是多少？ 3.14×5×2＝31.4（米） 答：它的周长是31.4 米。
人教新课标版数学高一A版必修2知识必备 4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程
知识网络4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程知识梳理1.到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.当圆心与半径确定后,圆就唯一确定了.3.设圆的圆心为C(a,b),圆的半径为r,则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,当圆的圆心在坐标原点时,圆的方程为x 2+y 2=r 2.4.方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.(1)当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点,该点的坐标为(2,2E D --). (2)当D 2+E 2-4F<0时,方程不表示任何图形.(3)当D 2+E 2-4F>0时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为(2,2E D --),半径等于2422F E D -+. 5.圆的标准方程与一般方程各有特点:圆的标准方程指出圆心与半径,几何特征明显;圆的一般方程表明圆的代数特征明显,是一种特殊的二元二次方程.(1)x 2、y 2项系数相等;(2)没有xy 项.6.求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r 或D,E,F 的方程组;(3)解出a,b,r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程.知识导学要学好本节内容,可从回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上,回顾确定圆的几何要素——圆心位置和半径入手. 要求圆的标准方程,只需求出圆心坐标和半径.若借助于弦心距、弦、半径之间的关系或三角形外接圆的相关性质,可大大简化求解的过程与难度.圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中也含有三个参数,必须具备三个独立的条件才能确定一个圆.在用待定系数法求圆的方程时,要注意结合题目的条件先选择好圆的方程,再确定参数.要注意圆的一般方程与标准方程的互化.疑难突破1.确定圆的方程的方法有哪些？剖析:①直接法:根据已知条件,直接求出圆心坐标和圆的半径,进而写出圆的方程.②待定系数法:实际上是求a 、b 、r 或D 、E 、F 三个字母系数值,故需要三个独立条件.只要把三个独立条件化为三个方程,就可求值.求圆的方程的步骤:①设出所求方程(要根据题意选择所求方程的形式);②列方程组;③解方程组,求出待定系数;④把解出的待定系数代回所设方程.2.点和圆有几种位置关系？分别是什么？剖析:一旦在坐标平面上确定一个圆之后,平面就被圆分成三个部分,即圆上的点,圆内的点及圆外的点,那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？可有两种方法:(1)将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较:若|CM|=r,则点M 在圆C 上;若|CM|>r,则点M 在圆外;若|CM|<r,则点M 在圆内.(2)可利用圆的方程来确定点M(m,n)在圆上,则(m-a)2+(n-b)2=r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F=0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆外,则(m-a)2+(n-b)2>r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F>0(D 2+E 2-4F>0);点M(m,n)在圆内,则(m-a)2+(n-b)2<r 2,或m 2+n 2+Dm+En+F<0(D 2+E 2-4F>0).由于圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹(或集合),所以判定点与圆的位置关系的依据是圆的定义.由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2⇔22)()(b y a x -+-=r;圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(24)2()2(2222F E D E y D x -+=-+-, 所以,也可直接利用圆的方程判断点与圆的位置关系.。
人教新课标版数学高一人教A版必修2练习4-1-2圆的一般方程
双基达标 (限时20分钟)1．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )．A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析 由题意配方得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )．答案 D2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )．A ．－2或2B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0解析 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案 C3．已知圆x 2＋y 2－mx ＋y ＝0始终被直线y ＝x ＋1平分，则m 的值为( )．A ．0B ．1C ．－3D ．3解析 圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－12在直线y ＝x ＋1上，所以－12＝m 2＋1，m ＝－3. 答案 C4．(2012·合肥高一检测)设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线方程是________________．解析 由圆x 2＋y 2－2x －3＝0，可得(x －1)2＋y 2＝4.圆心坐标为(1,0)，k AB ＝－23，∴AB 垂直平分线的斜率为32.从而由点斜式，得y －0＝32(x －1)．∴直线方程为3x －2y －3＝0.答案 3x －2y －3＝05．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是________．解析 将x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0配方，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝16，则圆心A (2，－1)，设PA 的中点M (x ，y )，则P (2x －2,2y ＋1)，代入方程x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，化简，得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.答案 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝06．若 A (5,0)、B (－1,0)、C (－3,3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m,3)在⊙M 上，求m 的值．解 设过A (5,0)、B (－1,0)、C (－3,3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.依题意有⎩⎨⎧ 52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，(－1)2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，(－3)2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为点D (m,3)在⊙M 上，所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0.解得m ＝－3或m ＝7.综合提高 (限时25分钟)7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋k x ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析 ∵x 2＋y 2＋k x ＋2y ＋k 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，∵k 2＝0时面积最大，∴圆心坐标为(0，－1)．答案 D8．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( )．A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2解析 已知圆的圆心为(1,0)，它关于直线2x －y ＋3＝0的对称点为(－3,2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径未变，故选C.答案 C9．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________．解析 由题意可化圆为(x －2)2＋(y －2)2＝18，圆心为(2,2)，r ＝32，则圆心到直线x ＋y －14＝0的距离d ＝102＝5 2.∵d ＞r ，∴直线与圆相离． 故最大距离与最小距离的差是半径的两倍，即6 2.答案 6 210．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.解析 由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F ＞0的条件．答案 －1011．(2012·菏泽学院附中高一检测)已知Rt △ABC 中，A (－1,0)，B (3,0)，求(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)设C (x ，y )，则k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3. ∵AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即y x －3·y x ＋1＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.由于A 、B 、C 不共线，∴y ≠0.故顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，由(1)知(x 1－1)2＋y 21＝4(y ≠0)．①又B (3,0)，M 为BC 中点，由中点坐标公式，知x ＝x 1＋32，y ＝y 12，即x 1＝2x －3，y 1＝2y .代入①式，得中点M 的轨迹方程为(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．12．(创新拓展)已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0.即7t 2－6t －1＜0，解得－17＜t ＜1.(2)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167.当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大， 对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当⎩⎨⎧ －7t 2＋6t ＋1＞0，(3－t －3)2＋(4t 2＋1－4t 2)2＜－7t 2＋6t ＋1，时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t ＜0，即0＜t ＜34.显然⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1， ∴t 的取值范围是0＜t ＜34。
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4.1.2 圆的一般方程
1.方程064222=--++y x y x 表示的图形是【 】
A.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆
B.以)2,1(为圆心，11为半径的圆
C.以)2,1(--为圆心，11为半径的圆
D.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆
2.方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是【 】
A. 114
m << B. 1m > C. 14m < D. 1m < 3.已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么通过圆心的一条直线方程是【 】
A.012=--y x
B.012=++y x
C.012=+-y x
D.012=-+y x
4.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为【 】
A . 2 B. C. 1 D.
5.与圆0352:22=--+x y x C 同圆心，且面积为其一半的圆的方程是【 】
A.3)1(22=+-y x
B.6)1(22=+-y x
C.9)1(22=+-y x
D.18)1(22=+-y x
6.圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .
7.已知方程042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是 .
8.已知圆C ：(x -1)2+y 2=1，过坐标原点O 作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是 .
9.求经过三点(1,1)A -，(1,4)B ，(4,2)C -的圆的方程,并求出圆的圆心与半径.
参考答案
1. D
2. D
3. B
4. D
5. D
6. x +y －4=0
7.
14+
8. 2211()24x y -+=（x ≠0）
9. 设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ (1,1)A -、(1,4)B 、(4,2)C -三点在圆上，代入圆的方程并化简，得
24174220D E F D E F D E F -+=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.
∴ 所求圆的方程为227320x y x y +--+=.。