“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)

“PA+k·PB”型的最值问题 当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处

理，即可以转化为轴对称问题来处理。

当k 取任意不为1的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 其中 点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

一、“将军饮马”模型

“将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称

点A′（或B′），连接A′B （或B′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是

将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。

例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线

交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小

值是 。

例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝

31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 ．

例3. 如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动

点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，△PMN 的周长最小值为 ；

当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 。

变式：“造桥选址”模型

例4. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a

的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302．试在直线a 上找

一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度

和最短，则此时AM+NB 的值为 。

例5. 如图，CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点A

（4，0），连接AC 、AD ，设C 点横坐标为m ，求m 为何值时，△ACD

的周长最小，并求出这个最小值。

二、“胡不归”模型

有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回

家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”

早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A 是出发地，

B 是目的地；A

C 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择

了直线路程AB 。

但是，他忽略了在驿道上（V 1）行走要比在砂土地带（V 2）行走快的这一因素。如果他

能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

解题步骤：

①将所求线段和改写为“BD ＋12V V AD”的形式（0＜1

2V V ＜1）； ②在AD 的一侧，BD 的异侧，构造一个角度α，使得sinα＝1

2V V ； ③过B 作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值．

例6. 如图，△ABC 中，BC=2,∠ABC=30°，则2AC+AB 的最小值为 。

例7. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线

BD （不含B 点）上任意一点,则 AM+

21BM 的最小值为 。

例8. 如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO ，点D 为

射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD-DC 运动，动点P 在AD 上运

动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=

时，运动时间最短为 秒。

[中考真题]

1. （2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像经过点

A （-1，0），

B （0，- 3）、

C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点

D 。若P 为y 轴

上的一个动点，连接PD ，则

PD PB +2

1的最小值为 。 2. （2014.成都）如图，已知抛物线()()429

38y -+=x x 与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33433+-

=x y 与抛物线的另一个交点为 D （-5，33）。设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出

发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速

度运动到D 后停止，当点F 的坐标为 时，点M 在整个运动过程中用时最少？

三、“阿氏圆”模型

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A 、B ，则所有满足PA=kPB

（k ≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，

故称“阿氏圆”。

如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r,点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，已知 r=k ·OB.连接 PA 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？

图 2-1-1 图 2-1-2 图 2-1-3

本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k ·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k ·PB=PC 。

∴本题求“PA+k ·PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共

线时最小（如图 2-1-3），本题得解。

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心O （将系数不为1的线段两个端点分别与圆心相连接），则

连接OP 、OB ；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、OB 长度；

第三步：计算这两条线段长度的比

k OB

OP =； 第四步：在OB 上取点C ，使得k OB OP OP OC ==； 第五步：连接AC ，与圆O 交点即为点P ．

例9. 如图，点A 、B 在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA ⊥OB ，点

C 是OA 的中点，点

D 在OB 上，且OD=4，动点P 在⊙O 上，

则2PC+PD 的最小值为 ．