2015年东北育才学校分流考试数学试题及答案

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辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次阶段考试数学(理)试题

2014—2015学年度上学期第一阶段考试高二数学科（理科）试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高二数学备课组使用时间：10月15日一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.平面内有一长度为4的线段，动点满足，则的取值范围是A．B. C. D.2.以下命题正确的个数为①命题“若”的否命题为“若”；②命题“若则”的逆命题为真命题；③命题“”的否定是“”；④“”是“”的充分不必要条件.A．1 B.2 C.3 D.43.设为坐标原点，点坐标为，若满足不等式组：，则的最大值为A. 12B. 8C. 6D. 44．已知命题p：x∈R，使sin x=；命题q：x∈R，都有x2+x+1>0.给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题；其中正确的是A．②③B．②④C．③④D．①②③5.方程表示椭圆，则的取值范围A. B.C. D.6. a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M＝N”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件7.各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为,若, , 则等于A．150 B．-200 C．150或-200 D．-50或4008. 已知x,不等式恒成立,则实数a的取值范围为A．B．C．D．9. 给定正整数按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第行）只有一个数.例如时数表如图所示，则当时最后一行的数是A．B．C．D．10. 设等差数列｛｝{ }的前n 项和为，，若，则=A. B. C. D.11.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.12.已知为正实数，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为14.设数列满足，则.15.已知正数满足，则最小值是______16.已知在平面直角坐标系下，点分别为轴和轴上的两个动点，满足，点为线段的中点，已知点，，则的最小值为______三、解答题:本大题共6小题，共70分.17.(本小题满分10分)设有两个命题：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题为真，为假，则实数a的取值范围是多少？18.（本小题满分12分）已知数列的前n项和．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设为数列的前n项和，求19.（本小题满分12分）在中，.(Ⅰ)求重心G的轨迹方程(Ⅱ)设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求的最小值.20.（本小题满分12分）东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏。

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含答案

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一下学期开学考试数学试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．集合A =｛0，1,2｝，B ={}12x x -<<，则A B =（）A.｛0｝ B ．｛1｝ C ．｛0，1｝ D ．｛0，1,2｝2．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a +的值是（） A ．10 B ．－14C ．14D ．－103．已知幂函数()αf x kx =),(R R k ∈∈α的图像过点1(2，则α+k ＝（）A ．12B ．1C ．32D ．24．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（）A.x ＋2y －1＝0B.2x ＋y －1＝0C.2x ＋y －3＝0D.x ＋2y －3＝05．方程20142log 21-=xx 的实数根的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（）A.6+6+C.6+7．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）A ．2B ． 1+2C ．221+ D ．1+228．已知()()log 2a f x ax =-)10(≠>a a 且在[]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,1 B ．()1,0 C ．()2,0 D ．[)+∞,29．已知三个互不重合的平面α,β,γ，且a =βα ，b =γα ，c =γβ . 给出下列命题：①,a b a c ⊥⊥，则b c ⊥；②p b a = ，则p c a = ；③若,a b a c ⊥⊥，则αγ⊥；④若b a //，则c a //. 其中正确命题的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为（） A ．)0,(-∞ B ． ()+∞,0 C ．)1,(-∞ D ．()+∞,111．函数|}2|,2min{)(-=x x x f ，其中⎩⎨⎧>≤=ba b ba ab a ,,},min{，若动直线m y =与函数)(x f y =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3，则321x x x ++的取值范围是（）A ．()324,0-B ．()326,2-C ．()13,2+D ．()328,4-12．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个判断：①若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；②若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；③存在实数δ，使点N 在直线l 上；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述判断中，正确的是（）A. ①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 点（2，3，4）关于平面xOz 的对称点为．14．圆心在直线2x +y ＝0上，且与直线x +y －1＝0切于点（2，－ 1）的圆的方程是 .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中 m 、n ∈N *，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，k ∈Z ，则k = .16．对于四面体ABCD ，以下说法中，正确的序号为 . ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1； ④若以A 为端点的三条棱两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）已知函数)1(log )(2-=x x f 的定义域为集合A ，函数x x g )21()(=，)01(≤≤-x 的值域为集合B .（1）求B A ；（2）若集合{}12-≤≤=a x a x C ，且C B C = ，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，O 为AD 中点，M 是棱PC 上的点， BC AD 2=．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱PC 的中点，求证：//PA 平面BMO .19. （本题满分12分）如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求证：//AC 平面BEF ；（3）求四面体BDEF 的体积.20．（本题满分12分）已知函数(32)1xf x -=- ([0,2])x ∈，函数3)2()(+-=x f xg .（1）求函数()y f x =与()y g x =的解析式,并求出(),()f x g x 的定义域；（2）设22()[()]()h x g x g x =+，试求函数()y h x =的最值.21.（本题满分12分）已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线022:1=--y x l 相切. （1）求直线0534:2=+-y x l 被圆C 所截得的弦AB 的长；（2）过点G (1,3)作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M ,N ,求直线MN 的方程；CD F E（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且POQ ∠为钝角，求直线l 纵截距的取值范围．22.（本题满分12分）已知函数)1)1((log )(2++-=x a ax x f a . （1）求函数)(x f 的定义域；（2）若对任意),2[+∞∈x 恒有0)(>x f ，试确定a 的取值范围.高一数学试题参考答案1-5：CBADB 6-10：ABACC 11-12：DB13、（2，-3,4） 14、(x －1)2＋(y+2)2=2 15、0 16、①②④18. 略19. 证明：（1）证：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=，所以DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE .…4分（2）设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE . 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //.因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .……8分（ 3 ）四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143.……12分20．解（1）设32xt =-∈（t [-1,7],则3log (t 2)x =+, 于是有3()log (t 2)1f t =+-，[1,7]t ∈- ∴3()log (2)1f x x =+-([1,7]x ∈-)， (4)分根据题意得3()(2)3log 2g x f x x =-+=+又由721≤-≤-x 得91≤≤x ∴2log )(3+=x x g ([1,9]x ∈)………6分（2）∵3()log 2,[1,9]g x x x =+∈∴要使函数22()[()]()h x g x g x =+有意义，必须21919x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩∴13x ≤≤，………………………8分∴222223333()[()]()(log 2)2log (log )6log 6h x g x g x x x x x =+=+++=++ (13x ≤≤)………………………10分设x t 3log =,则66)(2++=t t x h ()332-+=t )10(≤≤t 是()1,0上增函数,∴0=t 时min )(x h =6,1=t 时13)(max =x h ………………………12分 ∴函数()y h x =的最大值为13，最小值为6. ………12分21. .解（1）由题意得，圆心（0,0）到直线1l :0x y --=的距离为圆的半径，r=2,所以圆C 的标准方程224x y +=（1）……1分所以圆心到直线2l 的距离d=1……2分所以AB =……3分。

辽宁沈阳东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次段考理数学卷(解析版)

辽宁沈阳东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次段考理数学卷（解析版）一、选择题1．平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足6||||=+PB PA ，则||PA 的取值范围是 A ．]5,1[ B ．]6,1[ C ．]5,2[ D ．]6,2[【答案】A 【解析】试题分析：由椭圆的定义可将题目条件转化为动点P 在以A 、B 为焦点、长轴等于6的椭圆上，且3,2a c ==，又根据椭圆的性质知PA 的最小值为1a c -=，最大值为5a c +=，所以正确选项为A ．考点：①椭圆的定义和性质；②数形结合的思想． 2．以下命题正确的个数为①命题“若21,1x x >>则”的否命题为“若21,1x x ≤≤则”； ②命题“若,αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为真命题；③命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≥都有”；④“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：命题的否命题分别否定命题的条件和结论，①正确；命题“若αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为“若tan tan αβ>，则αβ>”，当αβ、处于不同单调区间上时显然为假命题，②错误；特称命题和全称命题的否定，③正确；()()22021021x x x x x x +->⇒+->⇒<->或，④正确，所以正确选项为C ．考点：①简易逻辑；②命题的真假判断．3．设O 为坐标原点，点M 坐标为()2,1，若(,)N x y 满足不等式组：43021201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则OM ON 的最大值为A ．12B ．8C ．6D ．4【答案】A 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，如下图所示：因为(2,1)(,)2OM ON x y x y ⋅=⋅=+，故可设设2,z x y =+则当直线2z x y =+经过交点A (1,10)时，z 取得最大值，最大值为12，所以正确选项为A ．考点：①简单线性规划的应用；②向量的数量积运算． 4．已知命题p ：∃x ∈R ，使sinx=25；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x+1>0．给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q p ⌝∨⌝”是假命题； ③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝∧”是假命题；其中正确的是A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③ 【答案】C 【解析】试题分析：命题p 中，sin 122x =>=，超出了正弦函数的值域[]1,1-，显然不存在这样的x 值，p 为假命题；命题q 中，二次项系数10>且0∆<，显然为真命题；所以p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，由复合命题的真假判断规则得③④正确，所以正确选项为C ．考点：①复合命题的真假判断；②正弦函数的性质；③一元二次不等式的解法． 5．方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则θ的取值范围 A ．)22,2(πππ+k kB ．)2,(πππ+k kC ．)62,2(πππ+k kD ．(2,2)(2,2)k Z 662k k k k πππππππ+⋃++∈【答案】D【解析】试题分析：方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则必须满足的条件为：sin 20,cos 0θθ>>，且sin 2cos θθ≠解不等式：sin 20cos 0θθ>⎧⎨>⎩，解得：(2,2)2k k πθππ∈+，由于26k πθπ≠+，(2,2)(2,2)662k k k k πππθππππ∈+++ Z k ∈，故正确选项D ．考点：①椭圆的简单性质；②三角函数不等式．6．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b ca b c ==”是“M ＝N ” 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】D 【解析】试题分析：若“1112220a b c a b c ==<”时，则不等式21110a x b x c ++<⇔22220a x b x c ++>，则“M N ≠”，即“111222a b c a b c ==”是“M N =”的不充分条件；但当“M N ==∅”，如：210x x ++<和220x x ++<，“111222a b c a b c ==”不成立，即“111222a b c a b c ==”是“M N =”的不必要条件；故“111222a b c a b c ==”是“M N =”的既不充分也不必要条件，所以正确选项为D ．考点：①必要条件、充分条件的判断；②不等式的基本性质．7．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =, 3070S =, 则40S 等于 A ．150 B ．-200 C ．150或 -200 D ．-50或400 【答案】A 【解析】试题分析：这类题的处理通常就是用求和公式将条件转化为1a 和q 的方程组，当用求和公式一定要注意对1q =的检验．若1q =，由1010S =可得303070S =≠，故公比1q ≠，1011030130(1)101(1)701a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪∴⎨-⎪==⎪-⎩①② ②/①可得301020101171q q q q-=++=-，解得102q =，或103q =-，等比数列{}n a 的各项均为实数，102q ∴=，代回（1）可得1101a q=-- 404140(1)10(12)1501a q S q-∴==-⨯-=-，故正确选项为A ．考点：①等比数列的前n 项和公式；②方程思想．8．已知x (]1,∞-∈,不等式()04212>⋅-++x x a a 恒成立,则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,2 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41, C ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,21 D ．(]6,∞-【答案】C【解析】试题分析：设2xt =，则22222111()0()1()1()t a a t a a t t a a t t a a t t⎛⎫++->⇒->--⇒-<+⇒-<+ ⎪⎝⎭恒成立，由(,1]x ∈-∞得11(0,2],2t t ⎡⎫∈⇒∈+∞⎪⎢⎣⎭，此时问题可转化为求211t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值问题，因为2111f t t t⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开口向上，对称轴为112t =-，所以1f t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，故min 11324f f t ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()22313443021230|422a a a a a a a a ⎧⎫-<⇒--<⇒+-<⇒-<<⎨⎬⎩⎭，所以正确选项为C ．考点：①不等式恒成立问题；②换元法；③等价转化思想．9．给定正整数(2)n n ≥按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1,2,3,,n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数．例如6n =时数表如图所示，则当2007n =时最后一行的数是A ．20072512⨯B ．200620072⨯C ．20082512⨯D ．200520072⨯【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，观察图表中每一行的第一个数，依次为1、3、8、20、48、…，结合数列的知识，可得变化的规律：()2,n k k k N =≥∈时，最后一行的数是2(1)2k k -+⨯，可得正确选项为C ．考点：观察归纳推理能力．10．设等差数列｛n a ｝{ n b }的前n 项和为n S ，n T ，若1n n S nT n =+ ，则 57a b = A ．910 B ．914 C ．1314 D ．1311【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 和{}n b 的公差分别为1d 和2d ，则111112S a T b ==，即112b a =，由2112122223S a d T b d +==+得112232a d d =-①，同理311312333334S a d T b d +==+得112243a d d =-② 由①②联解得112d a =，12d d =．故11511712114492+6614d d a a d b b d d d ++===+，所以正确选项为B ．考点：①等差数列的通项公式及前n 项和公式；②方程思想．11．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是A ．21 B ． 22 C ．23D ．41【解析】试题分析：如下图所示设21F PF ∆的内切圆半径为r ，根据内心的性质，有111||2IPF S PF r ∆=⋅，221||2IPF S PF r ∆=⋅，12121||2PF F S F F r ∆=⋅． 12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，即1212111||||2||222PF r PF r F F r ⋅+⋅=⨯⋅1211||||2||PF PF F F ∴+=故椭圆的离心率1212||212||||2F F c c e a a PF PF ====+，所以正确选项为A ．考点：①三角形内切圆的性质；②椭圆的定义和性质． 12．已知z y x ,,为正实数，则222z y x yzxy +++的最大值为A ．32 B ．22 C ．54 D ．532 【答案】【解析】试题分析：由所求代数式的结构分析，应根据基本不等式222a b ab +…着手解题，难点在于需将222x y z ++化为222211()()22x y y z +++，而2212x y +，2212y z +，于是2222222()()22xy yz xy yz x y z x y y z ++==+++++…，当且仅当2x z y ==时，等号成立，故正确选项B ．考点：基本不等式的灵活应用．13．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为．【答案】4【解析】试题分析：根据椭圆的定义a AF AF 2||||21=+,||321AF AF =，∴2||2a AF =，23||1a AF =， 1290F AF ∠=︒,∴勾股定理得 222)2()2()23c a a =+（，化简得2285c a =，即2258c a =，所以离心率c e a ===考点：①椭圆的定义和性质；②勾股定理． 14．设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则=2014a ．【答案】8052【解析】试题分析：()()()123n n n n a a a a ---=+-，()()()123n n n n a a a a ---∴-=-，∴20142013201220112010200921...413a a a a a a a a -=-=-==-=-=，即：偶数项－奇数项＝3，且20132012201120102009200832...945a a a a a a a a -=-=-==-=-=，即：奇数项－偶数项＝5，∴201420133a a -=，201320125a a -=, 201220113a a -= 201120105a a -=,………………，433a a -=，325a a -=， 213a a -=，将以上各式累加得：20041201431007510068051805118052a a a -=⨯+⨯=⇒=+=．考点：①数列的递推公式；②累加法．15．已知正数c b a ,,满足5262+=+++bc ac ab a ，则c b a 23++最小值是______．【答案】【解析】试题分析：由已知()()()()26a ab bc ac a a b c a b a b a c +++=+++=++=+①2⨯得：()()2212a b a c ++=+=∴()()3222a b c a b a c ++=+++≥=．考点：①基本不等式；②等价变形的构造思想．16．已知在平面直角坐标系下，点B A ,分别为x 轴和y 轴上的两个动点，满足10||=AB ，点M 为线段AB 的中点，已知点)0,10(P ，)3,6(A ，则||||21AM PM +的最小值为______．【答案】【解析】试题分析：试题有误，无法给出解析和答案．考点：三、解答题 17．（本小题满分10分）设有两个命题：:p 关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；:q 函数f （x ）＝－（4－2a ）x在（－∞，＋∞）上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，则实数a 的取值范围是多少？【答案】(]3,2,22⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：解决本题只需分别求出命题p 和命题q 为真时a 的取值范围，然后将两者的交集去掉，即将使两者同时为真的a 值去掉，剩下的部分即为所求．试题解析：当命题p 为真时，命题中一元二次不等式对应方程的判别式(){}222241441604|22a a a a a ∆=-⨯⨯=-<⇒<⇒-<<,令{}|22P a a =-<<；当命题q 为真时，根据指数型函数的单调性分析知其底数3342123|22a a a a a ⎧⎫->⇒<⇒<⇒<⎨⎬⎩⎭，令3|2Q a a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，将集合P 、Ｑ在数轴上表示如下：由上图可知，当(],2a ∈-∞-时，命题p 为假，命题q 为真，当3,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，命题p 为真，命题q 为假所以当命题p q ∨为真，p q ∧为假时，实数a 的取值范围是(]3,2,22⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭．考点：①命题与简易逻辑；②集合；③不等式和指数型函数；④简易逻辑与集合间关系的内在联系．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ．（Ⅰ）求列数}{n a 列的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T【答案】（Ⅰ） 122(31),n N*n n n n a b n -==-∈；（Ⅱ） 12(37)14,*n n T n n N +=-+∈．【解析】试题分析：（Ⅰ）本题已知n s 的表达式，而且是唯一的条件，所以切入口非11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩莫属，但在具体的求解过程中需注意观察并正确构造辅助数列方可顺利解题；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论结合已知条件不难得出42(34),n N*n n S n -=-∈，显然符合错位相减法的特征，则n T 可求．试题解析：（Ⅰ）当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=，当2≥n 时，1--=n n n S S a ，11232--⨯+=n n n a a ，于是232211+=--n n n n a a ，令n n n a b 2=，则数列}{nb 是首项11=b 、公差为23的等差数列，故213-=n b n ， ∴122(31),n N*n n n n a b n -==-∈；（Ⅱ）由1232442(34),n N*2(31)nn n nn n n S a S n a n -⎧=-⋅+⎪⇒-=-∈⎨=-⎪⎩， ∴()()()123421122252823102372342n n nn T n n n --=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯ ……①①2⨯得：()()()2345112122252823102372342n n n n T n n n -+=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯ ……② ①－②得：()123421112323232323232342n n n n n T n --+-=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯--⨯，∴()()()2111321223422(37)14,*12n n n nn T n T n n N -++⨯--=-+--⨯⇒=-+∈-．考点：①n a 与n s 的关系；②错位相减法；③辅助数列的构造和应用． 19．（本小题满分12分）在ABC∆中，(5,)(5,0),9B A B AC 、、边上的中线长之和为．（Ⅰ）求ABC ∆重心G 的轨迹方程（Ⅱ）设P 为（1）中所求轨迹上任意一点，求cos BPC ∠的最小值．【答案】（Ⅰ）22194x y +=；（Ⅱ）19-．【解析】试题分析：（Ⅰ）因为AB 、AC 边上的中线长为定值9，由重心G 的性质,知2963GB GC +=⨯=，即动点G 到两定点B 、C 的距离之和为定值6，且62BC >=，所以G 点轨迹符合椭圆轨迹定义，根据椭圆定义相关性质易求得G 点轨迹方程；（Ⅱ）据已知，点P 在椭圆上，由椭圆定义可得6PB PC +=（定值），BC =，由余弦定理可得cos BPC ∠的表达式，结合相关等价变形和基本不等式可得所求．试题解析：（Ⅰ）设AB AC 、的中点分别为M N 、（如下图所示），则据题意()229633GB GC BM CN +=+=⨯=,即动点G 到两定点B 、C 的距离之和为定值6，6BC >=,∴G 点轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，∴据题意可设椭圆方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则26a =，2c =,即3,a c =，根据椭圆的相关性质得2222234b a c =-=-=，所以G 点的轨迹方程为22194x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P 在椭圆上（如上图所示），由椭圆定义可得6PB PC +=（定值），BC =，由余弦定理可得()222222206202cos 222PB PC PB PC PB PC BC PB PC BPC PB PC PB PC PB PC+-⋅-+---⋅∠===⋅⋅⋅1612PB PC=-⋅，显然当PB PC ⋅取得最大值时cos BPC ∠最小，63922PB PC PB PC +≤==⇒⋅≤，即PB PC ⋅的最大值为9，所以cos BPC ∠的最小值为1681112999-=-=-⨯．考点：①椭圆的定义和性质；②椭圆的标准方程；③基本不等式；④最值求解的基本思想．20．（本小题满分12分）东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0．5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）设闯过n *(n 12)n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的货币依次为,,n n n A B C 试分别求出,,n n n A B C 的表达式；（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案．【答案】（Ⅰ）()40,12,*n A n n n N =≤∈，()222,12,*n B n n n n N =+≤∈，()112,12,*2n n C n n N -=-≤∈；（Ⅱ）当19(*)n n N ≤≤∈时选择第一种方案，当()1012*n n N ≤≤∈时选择第三种方案．【解析】试题分析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案构成首项为40常数列；第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列；第三种奖励方案构成首项为12，公比为2的等比数列；正确应用等差、等比数列的前n 项和公式不难得出所求；（Ⅱ）首先令12n =，得出三种奖励方案的最高奖额，然后根据所得大小关系列出不等式并解出相关n 的取值范围，得出具体选择方案．试题解析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案是首项为40的常数列，所以()40,12,*n A n n n N =≤∈；第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列,所以由等差数列的前n 项和公式得：()()214422,12,*2n n n B n n n n n N -=+⨯=+≤∈；第三种奖励方案构成首项为12，公比为2的等比数列，所以由等比数列的前n 项和公式得： ()()()1112112212,12,*1222n n n n C n n N --==-=-≤∈-；（Ⅱ）令12n =则124012480A =⨯=，212212212312B =⨯+⨯=，1112122047.52C =-=， ∴由()2240222380238038n n A B n n n n n n n n >⇒>+⇒-<⇒-<⇒<， 1124092n n n C A n n ->⇒->⇒>，所以在12关内，第二种方案没有选择的价值，能过10关及以上选第三种方案，否则选第一种方案，即当19(*)n n N ≤≤∈时选择第一种方案，当()1012*n n N ≤≤∈时选择第三种方案．考点：①等差、等比数列的定义和前n 和公式；②数列知识在解决实际问题中的运用；③不等式在方案决策中的应用．21．（本小题满分12分）数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析，()2212,*n b n n n N =+-=∈；（Ⅱ） (1,1),(2,1),(2,2)．【解析】试题分析：（Ⅰ）本题的落脚点在{}n b 上，所以首先从条件1*3(1)()n n n b a n N -=+∈的特征入手，里面有因式(1)n a +，提示我们可以考虑在条件11122333n n n a a --=+-中构造(1)n a +，从而使条件特征显现出，成为解题的突破口；（Ⅱ）充分利用（Ⅰ）中的结论并结合已知求出1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求得n s ，将之代入题设中的不等式，通过一系列推理、化简、变形即可得出所求，变形过程应特别注意不等号两边的结构相似性．试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时，由1211111122121(1)3(1)3(1)233333n n n n n n n n n n a a a a a a -------=+-⇒+=++⇒+=++， 1*3(1)()n n n b a n N -=+∈，即2n ≥时，1122n n n n b b b b --=+⇒-=，又()()1111311112b a -=+=⨯+=，∴数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，由等差数列的通项公式得：()2212,*n b n n n N =+-=∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，11123(1)23n n n n n a b a n n --+=+=⇒=，所以12(1)133(1)313n n n S -==--，则111111323331111(3)313333n n n n nn n nm S m S m m m m --+----==-=--------，由13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得212111(3)3131(3)3131n m n m m m -<-⇒>--+--+， *(3)310,,1,2n m m N m -∴-∈=∴>当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110nn >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)．考点：①根据递推公式，构造性求解数列通项；②等差数列的定义和通项公式；③等比数列的前n 项和公式；④不等式的基本性质；⑤变形、运算、比较的能力和技巧．22．（本小题满分12分）已知椭圆116222=+y a x ，离心率为53．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过4>a 的椭圆的右焦点F 任作一条斜率为k （0≠k ）的直线交椭圆于A ，B 两点，问在F 右侧是否存在一点D )0,(m ，连AD 、BD 分别交直线325=x 于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好过F ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2212516x y +=或2225125616x y +=；（Ⅱ）5m =．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义及其,,,a b c e 间的基本关系易求得“a ”值（不一定是定义中的a ），从而得到椭圆的方程，求解时注意分焦点在x 轴和y 轴上两种情况进行讨论；（Ⅱ）本题属于解析几何的综合性题型，解题的关键在于将“形”的特征用“数”的形式定量地刻画出，由与点D 有直接关系的A B 、、M 、N 四点着手，通过共线关系找到彼此的内在联系和数量关系；其次通过直径所对圆周角是直角构造向量垂直也是解决本题的一个关键所在，是对已知条件的深层次的挖掘；在些基础上，充分运用方程思想和精确的运算及推理不难得出所求．试题解析：（Ⅰ）当焦点在x 轴上时，由2222221616161625332555a c a c a a c c aa ⎧⎧-=-=⎪⎪⇒⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2212516x y +=．当焦点在y 轴上时，由22222161625631225455a c a c a c c ⎧⎧-==-⎪⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2225125616x y +=．综上所述，所求椭圆方程为2212516x y +=或2225125616x y +=．（Ⅱ）如图所示：设直线AB 的方程为()()3,0y k x k =-≠，()()1122342525,,,,M ,,,33A x y B x y y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由()()222222316515025400012516y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，根据韦达定理（根与系数的关系）得：21221501625k x x k +=-，21222254001625k x x k -=+，∴由()()()()2112121222232563316253y k x k y y k x x k y k x =-⎧-⎪⇒=--=⎨+=-⎪⎩ …… ① M D A 、、三点共线，即//MD DA ,且325,3MD m y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,DA x m y =-,∴()()()1311313252533y m y x m y m y m x -⎛⎫--=-⇒= ⎪-⎝⎭,同理可得()()2423253y m y m x -=-, ∴()()()21234123259m y y y y m x m x -=-- ……②根所题意,2MFN π∠=（直径所对圆周角），即0FM FN FM FN ⊥⇔⋅=，∴233434416,y 31625603916,3FM y y y y FN y ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⇒+=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩……③ 由①、②、③得：()()()()()22222123252562561164000916259m k k m m x m x k --⨯=-⇒+-=--+， 210k +>，∴由21640005m m -=⇒=±，点D 在()3,0F 的右侧，∴3m >，5m =．∴存在满足条件的D 点，且5m =．考点：①椭圆的方程和性质；②直线方程；③向量共线和垂直的动用；④根下系数的关系；⑤数形结合思想；⑥方程思想；⑦推理和运算能力．。

辽宁省沈阳市东北育才学校14—15学年上学期高一第一次阶段考试数学(附答案) (1)

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次阶段考试数学试题一、选择题1.若集合{}0123A =,,,，{}124B =,,，则集合AB =A.{}01234,,,,B.{}1234,,,C.{}12,D.{}0 2.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是 A.直线与平面平行 B.直线与平面相交C.直线上至少有一个点在平面内D.直线上有无数多个点都在平面外3.如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB α⊥，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥，则ABC ∆为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定4.若l 、m 、n 是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中正确的是 A.若αβ⊥，l α⊂，n β⊂，则n l ⊥ B.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C.若l n ⊥，m n ⊥，则//l n D.若l α⊥，//l β，则αβ⊥5.正方体与其外接球的表面积之比为 A.3:π B.2:π C.3:π D.6:π9.已知平面α⊥平面β，l αβ=，A α∈，B β∈，AC l ⊥，垂足为C ，BD l ⊥，垂足为D （点C ，D 不重合），若AC BD >，则 A.AD BC >，ABC BAD ∠>∠B.AD BC >，ABC BAD ∠<∠αβCDlA BC.AD BC <，ABC BAD ∠>∠D.AD BC <，ABC BAD ∠<∠10.已知正三棱锥P ABC -M ，N 分别为PA ，AB 的中点. 若MN CM ⊥，则球心到平面ABC 的距离为1 11.如图，设平面α平面EF β=，AB α⊥，CD α⊥，垂足分别为B ，D ，如果再增加一个条件，就可以推出BD EF ⊥. 现有：①AC β⊥；②//AC EF ；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上. 那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个12.若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是．．．．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，平面////αβγ，直线l 、m 分别与α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F . 若13AB BC =，20DF =，则EF = . 14.在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现. 记圆柱的体积是球的体积的m 倍，圆柱的表面积是球表面积的n 倍，则m 与n 的大小关系是 . 15.水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .16.已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}22|280A x x ax a =--≤. （Ⅰ）当1a =时，求集合R C A ；（Ⅱ）若0a >，且(1,1)A -⊆，求实数a 的取值范围.βαAEFBDCαβγlmABC D EF18.（本题满分12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，PA AD ⊥ ，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//BC 平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥A EFG -的体积.19.（本题满分12分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 为AD 中点，F 为11B C 中点. （Ⅰ）求证:1//A F 平面1ECC ；（Ⅱ）在CD 上是否存在一点G ，使BG ⊥平面1ECC ？若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）已知m 为常数，函数2()12xxm f x m -=+⋅为奇函数.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若0m >，试判断()f x 的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当0m >时，若存在[2,2]x ∈-，使得()(2)0x f e x k f +-+≤能成立，求实数k 的最大值．21.（本题满分12分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的A1A点，且//DE BC . 将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）当点D 在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．22.（本题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（Ⅰ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．注：函数1y x x=+在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDADB ABCAC CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.15 14.m n = 15.3 16.2a <三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）解：（Ⅰ）当1=a 时，解不等式0822≤--x x ，得42≤≤-x …………………3分∴{}|4R C A x x =>或x<-2 ………………………………………4分（Ⅱ）∵22280x ax a --≤，∴0)2)(4(≤+-a x a x又∵0a > ∴24a x a -≤≤∴[]2,4A a a =- ……………………………………………7分又∵()1,1A -⊆ ∴1214aa -≥-⎧⎨≤⎩…………………………………………9分解得21≥a ，故实数a 的取值范围是1[,)2+∞ …………………………………10分18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵E ，F 分别是线段PA ，PD 的中点∴//EF AD……………………2分又∵ABCD 为正方形，∴//BC AD ∴//BC EF……………………4分又∵BC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG∴//BC 平面EFG ………………………………………………6分（Ⅱ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥∴CD ⊥平面PAD ，即GD ⊥平面AEF ……………………………………8分又∵//EF AD ，PA AD ⊥，∴EF AE ⊥ ……………………………………10分又∵112AE EF AD ===，112CD CD ==∴13A EFG G AEF AEF V V S CD --∆==⨯⨯=111111326⨯⨯⨯⨯= …………………12分 19.（本题满分12分）（Ⅱ）在CD 上存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC取CD 中点G ，连结BG ……………………………………………7分在正方形ABCD 中，DE GC =，CD BC =，ADC BCD ∠=∠ ∴CDE BCG ∆≅∆ ∴ECD GBC ∠=∠ ∵90CGB GBC ∠+∠=︒ ∴90CGB DCE ∠+∠=︒∴BG EC ⊥ ……………………………………………10分 ∵ABCD BG 平面⊂且1CC BG ⊥,1EC CC C =∴BG ⊥平面1ECC .故在CD 上存在中点G ，使得BG ⊥平面1ECC …………………………12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由()()0f x f x -+=得2201212x xx xm m m m ----+=+⋅+⋅ 即2120212x xxxm m m m ⋅--+=++⋅ ∴(21)(12)(2)(2)0x x x x m m m m ⋅-+⋅+-+= ∴22(1)(21)0x m -+=∴21m =，故1m =± …………………………4分（Ⅱ）若0m >，则1m =此时122()11212x x xf x -==-++在R 上单调递增减 …………………………6分（Ⅲ）∵()f x 为奇函数∴()(2)0x f e x k f +-+≤即()(2)(2)x f e x k f f +-≤-=- 由（Ⅱ）知()f x 在区间[2,2]-上单调递减∴2x e x k +-≥-即2xk e x ≤++ …………………………9分令()2x g x e x =++，则()g x 在区间[2,2]-上为增函数∴[2,2]x ∈-时，()g x 的最大值为2(2)4g e =+ …………………………11分∴24k e ≤+，故k 的最大值为24e + …………………………12分21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，90C ∠=，//DE BC∴AD DE ⊥∴1A D DE ⊥，又1A D CD ⊥，CDDE D =∴1A D ⊥平面BCDE 由BC ⊂平面BCDE ∴1A D BC ⊥ ∴BC CD ⊥， CDBC C =∴BC ⊥平面1A DC …………………………6分（Ⅱ）设DC x =，则16A D x =-由（Ⅱ）可知，1ACB ∆，1A DC ∆均为直角三角形1A B =1A B =当3x =时，1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时，1A B的长度最小，最小值为…………………12分22.（本题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22x x m m -+=--即222210x x m +⋅+=在区间[1,1]-内有解令2x t =，∵[1,1]x ∈- ∴1[,2]2t ∈则2210t mt ++=在区间1[,2]2内有解 …………………………………3分令2()21g t t mt =++，则(0)10g =>由15()024(2)440g m g m ⎧=+≥⎪⎨⎪=+≤⎩或244012215()024(2)440m m g m g m ⎧∆=-≥⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪=+≥⎪⎪=+≥⎩…………………………………5分得514m -≤≤-或1m =- 即514m -≤≤- …………………………………6分或解：依题意，22x x m m -+=--即222x x m -+=-在区间[1,1]-内有解令2x t =，∵[1,1]x ∈- ∴1[,2]2t ∈则12t m t +=-在区间1[,2]2内有解 …………………………………3分 ∵1t t +在区间1[,1]2上单调递减，在区间[1,2]上单调递增∴15[2,]2t t +∈ …………………………………………5分 ∴52[2,]2m -∈，故514m -≤≤- …………………………………6分（Ⅱ）若12()423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”则()()f x f x -=-即2442(22)260xxx x m m --+-++-=令22x x t -=+，则2442xxt -=++，故2442x x t -+=-，2t ≥∴222280t mt m -+-=在区间[2,)+∞内有解 ……………………8分令22()228h t t mt m =-+-（2t ≥）则有2(2)2440h m m =--≤或22244(28)02 (2)2440 m m m h m m ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪=-->⎩……………10分解得11m ≤≤+1m <≤综上，1m ≤≤………………………………………12分。

辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高二数学下学期第一阶段考试(期中)试题文

2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若17(,),2i a bi a b R i i+=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是 A.15- B.3 C.3- D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++= 其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→hf h f h ，则a 的值为 A.2- B.2 C.π2 D.π2-6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ．010.若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（） A ．8M ≥ B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．108M ≤< 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<x f x e 的解集为A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞eD.4(,)+∞e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是．14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，AC =2,AD =3,则∠CAD 的弧度数为.15.参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R =．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若11,32EC ED EB EA ==，求DC AB的值；（Ⅱ）若2EF FA FB =⋅，证明：//EF CD ．18.(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A 等（优秀），在[60，80）的学生可取得B 等（良好），在[40，60）的学生可取得C 等（合格），在不到40分的学生只能取得D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生 a=12 b=女生 c= d=34合计 n=100附：．P （k 2≥k 0） 0.150.10 0.05 0.01 k 02.072 2.7063.841 6.63519．(本小题满分l2分)设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +->对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．20．(本小题满分l2分)设函数2()f x ax bx c =++且(1)2a f =-，322.a c b >> （1）试用反证法证明：0a >（2）证明：33.4b a -<<-21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C ．（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ，切点为T ，求||||TM TN ⋅的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若17(,),2i a bi a b R i i+=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是 C A.15- B.3 C.3- D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 AA ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++= 其中正确命题的序号是( )CA.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（）DA ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x a x f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→h f h f h ，则a 的值为 B A.2- B.2 C.π2 D.π2-6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（）c A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-解析：A 线性回归直线一定过样本中心点()2.5,3.5，故选A ．8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．若12ω=-+,则等于421ωω++=( )DA ．1B ．1-+C ．3D ．010.若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（）B A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（）A A ．8M ≥ B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．108M ≤< 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为 B A.(,0)-∞ B.(0,)+∞ C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是．2 14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，AC =2,AD =3,则∠CAD 的弧度数为. 15.512π15.参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.)2(116422≥=-x y x 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径22a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R =．222a b c ++ 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF 2=FA •FB ，证明：EF ∥CD ．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．18(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=女生c= d=34合计n=100附：．P（k2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.01k0 2.072 2.706 3.841 6.635解：（Ⅰ）抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1﹣10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人）．…（4分）（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=48 60女生c=6 d=34 40合计18 82 n=100 …（10分）∵，所以，没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．…（12分）19．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．20．(本小题满分l2分)设函数f（x）=ax2+bx+c且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b．（1）试用反证法证明：a＞0（2）证明：﹣3＜．【解答】证明：（1）假设a≤0，∵3a＞2c＞2b，∴3a≤0，2c＜0＜，2b＜0，将上述不等式相加得3a+2c+2b＜0，∵f（1）=﹣，∴3a+2c+2b=0，这与3a+2c+2b＜0矛盾，∴假设不成立，∴a＞0；（2）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；∵a＞0，∴﹣3＜＜﹣．21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．22．(本小题满分l2分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）…。

辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高一上学期第一次统一作业数学试题

东北育才高中部高一年级第一次统一作业一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|2},{(,)|4},S x y x y T x y x y =+==-=那么集合S T =A.{3,1}-B.(3,1)-C.3,1x y ==-D.{(3,1)}-2. 已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是A .3B .4C .5D .63.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②x x x f -+-=23)(是函数；③函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线；④函数x x x f -⋅+=11)(与21x y -=的定义域相同.其中真命题有A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知])3,1[(log 2)(3∈+=x x x f ，则函数)()]([22x f x f y +=的值域A.]437,6[ B.]13,6[ C.]12,6[ D.]18,6[ 5.已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]5,1，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为A.8B.6C.4D.26.设函数=≠=-+-)(,,2)23()32()(22x f b a x x bf x af x f 则且满足A ．ba x - B.b a b a x ++-3 C.b a b a x ++-13 D.b a x b a ++-3 7．若定义域为b a bx ax x f a a -++=+-2)(]1,12[22的函数是偶函数，则点),(b a 的轨迹是A ．一个点B ．两个点C ．线段D ．直线8．已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[1)0,1[1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是 1 2 x -1 1 x -1 1 x -1 1 x y 2 1 O y21Oy 21 O y2 1 O闭中每一个关于乘法是封法是封闭中有且只有一个关于乘是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中至少有一个关于乘法则下列结论恒成立的是有有且集的两个不相交的非空子是若关于数的乘法是封闭的则称有如果的非空子集是整数集设V D.T, V T, C.V B.T, V T, A.:.,,,,,,,.,,.,,,,.9V xyz V z y x T abc T c b a Z V T Z V T S S ab S b a Z S ∈∈∀∈∈∀=∈∈∀10.已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38f f += A. 1 B. 32 C. 2 D.5211.对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]208.1,3-=-=π，定义函数[]x x x f -=)(，给定下列命题①函数)(x f 的最大值为1；②函数)(x f 的最小值为0；③函数21)()(-=x f x G 有无数个零点；④函数)(x f 是增函数.其中正确的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（A ）y ＝[10x ] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[510x +] 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f 等于 14.关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，则k 的取值范围是 15.若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是16.若,,3x y R x y xy +∈++=则x y +的最小值是__________．三、解答题：（本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设集合}4232/1{≤≤=-x x A ，{}012322<--+-=m m mx x x B .(1)当Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B=φ，求m 的取值范围；(3)若B A ⊇，求m 的取值范围.18.函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.参考答案1-12 D ABA CB B D AB B B13-16 26- ， 052<≤-k ， [223,2]- ， 217. 解：化简集合A={}52≤≤-x x ，集合B 可写为{}0)12)(1(<--+-=m x m x x B(1){}5,4,3,2,1,0,1,2,--=∴∈A Z x ,即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为 254228=-（个）.(1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=φ.(2)当B=φ即m=-2时，A B ⊆=φ；当B φ≠即2-≠m 时（ⅰ）当m<-2 时，B =(2m+1,m-1),要A B ⊆只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤--≥+62351212m m m ，所以m 的值不存在；（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要A B ⊆ 只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤+-≥-2151221m m m . 综合，知m 的取值范围是：m=-2或.21≤≤-m18. （1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}.。

辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学(文)试题含答案

2015—2016学年度下学期高二第二次阶段测试数学（文科）试卷答题时间:120分钟满分:150分命题人:杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1。

已知集合B A x xx B x xx A 则},02|{},034|{2≤-=>+-=等于( ）A ．}21|{<<x xB ．}321|{><<x x x 或C ．}10|{<≤x xD ．}310|{><≤x x x 或 2。

下列命题中,真命题是（） A ．,20xx R ∀∈>B ．1,lg 0x x ∃><C ．1,02xx R ⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭D ．110,log0x R x ∀∈<3。

函数20.4log(34)y x x =-++的值域是（）．A ．(0,2]-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞-D ．[2,)+∞ 4。

下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 A ．1y x= B ．xy e -= C ．21y x =-+ D ．lg ||y x =5。

“22a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列说法正确．．的是 A ．命题",0"xx R e∀∈>的否定是",0"x x R e ∃∈>。

B ．命题 “已知,,x y R ∈若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠"是真命题。

C ．“22xx ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立"⇔2min max "(2)()x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立”。

D ．命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题.7．记函数212131)(23+-=x xx f 在()+∞,0的值域a x x g M ++=2)1()(,在()+∞∞-,的值域为N ,若M N ⊆,则实数a 的取值范围是( ）A ．21≥aB ．21≤aC ．31≥aD ．31≤a 8．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=。

数学理卷·2015届辽宁省东北育才学校、省实验中学、大连二十高(新疆部)三校高二下学期期末联考(2014.06)

【试卷综析】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.3i 等于( ) A. -3i B ．－32 i C ． i D ．－i【知识点】复数代数形式的乘除运算．【答案解析】A 解析：解：==﹣3i ．故答案选：A ．【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出． 2．用数学归纳法证明1＋a ＋2a ＋…＋1n a +＝-211n a a+--(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋2aD ．1＋a ＋2a +4a 【知识点】数学归纳法．【答案解析】C 解析：解：当n=1时，易知左边=1+a+a 2，故答案选C【思路点拨】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案． 3 在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那么2K 的一个可能取值为( )A ．6.635B ．5.024C ．7.897D ．3.841【知识点】独立性检验．【答案解析】C 解析：解：∵计算出P （Χ2≥6.635）≈0.01，这说明两件事情无关的可能性不足1%，即判断吸烟与患肺炎有关，合理的程度约为99%以上，由此可得C 正确．故答案选：C ．【思路点拨】同临界值表进行比较，得到假设两件事情无关不合理的程度约为99%，即无关的可能性不足1%，由临界值表可得答案．【典型总结】本题是一个独立性检验，熟练掌握临界值表及独立性检验的思想方法是解题的关键．4 在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点M （2，6π）的直角坐标是（）A ．（2，1）B ．，1）C ．（1）D ．（1,2）【知识点】极坐标刻画点的位置；简单曲线的极坐标方程．【答案解析】B 解析：解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ、y=ρsin θ，可得点M （2，）的直角坐标为（，1），故答案选：B ．【思路点拨】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把点M （2，）化为直角坐标．5.在一个投掷硬币的游戏中，把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )A.12B.14C.16D.18【知识点】条件概率与独立事件．【答案解析】A 解析：解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，∴P （B|A ）=故答案选A ．【思路点拨】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果．【典型总结】本题解题的关键是看出事件AB 同时发生的概率，正确使用条件概率的公式． 6．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353【知识点】定积分在求面积中的应用．【答案解析】C 解析：解：直线y=2x 与抛物线y=3﹣x 2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x 2与x 轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s ，则==所以阴影部分的面积为，故答案选：C ．【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．7 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种【知识点】排列、组合及简单计数问题．【答案解析】C 解析：解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：=24故答案选C【思路点拨】分两大步：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得答案．8.81(3)x x+(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项为第( )项A ．4B ．5C ．6D ．7 【知识点】二项式定理的应用．【答案解析】B 解析：解：由于81(3)x x+（n ∈N +）的展开式的通项公式为8821881)33(r r n r r rr r T xC x C x +==⋅﹣﹣﹣（），令8﹣2r=0，则r=4，∴81(3)x x+（n ∈N +）的展开式中含有常数项为第5项．故答案选：B ．【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，即可求得结论．9. 口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，则n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【知识点】等可能事件的概率．【答案解析】C 解析：解：P （X=2）=即7n 2﹣55n+42=0，即（7n ﹣6）（n ﹣7）=0．因为n ∈N *，所以n=7．故答案选：C ．【思路点拨】x=2 说明第一次取出的是红球，第二次取出的是白球，取球方法数为A 31•A N 1，所有的取球方法数23n A +．10 有四辆不同特警车准备进驻四个编号为1,2,3,4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车的方法共________种．A ．144 B.182 C.106 D.170【知识点】排列、组合及简单计数问题．【答案解析】A 解析：解：由题意，四辆不同特警车准备进驻四个编号为1，2，3，4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车，说明必须恰有一个地方有2辆特警车，再从四辆不同特警车中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C 42A 43=144种不同的放法．故答案选：A【思路点拨】要保证恰好有一个地方没有特警车，则必须恰有一个地方有2辆特警车．先选两个元素作为一组再排列，再从四辆不同特警车中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果【典型总结】本题的考点是排列、组合的实际应用，主要考查分步计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.11直线的参数方程为0sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ (t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．040B ．050C ．0140D ．0130 【知识点】直线的倾斜角．【答案解析】C 解析：解：由直线的参数方程为（t 为参数），可得，∴α=1400，故答案选：C ．【思路点拨】利用直线斜率的计算公式、正切函数的诱导公式即可得出． 12. 已知函数()f x ＝2x x ⋅，则下列结论正确的是( )A ．当x ＝1ln2时()f x 取最大值B ．当x ＝1ln2时()f x 取最小值C ．当x ＝－1ln2时()f x 取最大值D ．当x ＝－1ln2时()f x 取最小值【知识点】利用导数求最值. 【答案解析】D 解析：解：()()2,()21ln 2xx f x x f x x '=⋅∴=+，11()0,()0ln 2ln 2f x x f x x ''>⇒>-<⇒<-，故当x ＝1ln 2-时()f x 取最小值故答案选:D.【思路点拨】先对原函数求导，借助导数与单调性的关系判断出最值.卷II二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的基本性质．【答案解析】0.8 解析：解：∵ξ服从正态分布N （1，σ2），ξ在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知ξ在（1，2）内的取值概率也为0.4， ∴P （0＜ξ＜2）=P （0＜ξ＜1）+P （1＜ξ＜2）=0.4+0.4=0.8 故答案为：0.8【思路点拨】根据变量符合正态分布和ξ在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知ξ在（1，2）内的取值概率也为0.4，根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率． 14 复数z 满足方程(1)z i --+＝4，那么复数z 在复平面内对应的点P 的轨迹方程____________【知识点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【答案解析】22(1)(1)16x y ++-=解析：解：设z=x+yi ，则由|z ﹣（﹣1+i ）|=4得|（x+1）+（y ﹣1）i|=4，即，则（x+1）2+（y ﹣1）2=16，故答案为：22(1)(1)16x y ++-=.【思路点拨】根据复数模长的公式，建立方程即可得到结论． 15下列五个命题①任何两个变量都具有相关关系 ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系 ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究正确命题的序号为____________．【知识点】命题的真假判断与应用．【答案解析】③④⑤解析：解：①任何两个变量不一定具有相关关系，故①错； ②圆的周长与该圆的半径是函数关系，而不是具有相关关系，故②错； ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系，故③正确； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的，故④正确；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究，故⑤正确．故答案为：③④⑤【思路点拨】客观现象之间存在的互相依存关系叫相关关系，全称为统计相关关系．有如下两个特点：1．现象之间确实存在着数量上的依存关系．2．现象之间数量上的关系是不确定、不严格的依存关系．根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进行判断．16 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高二上学期第二次段考数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二(上）第二次段考数学试卷（理科)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤12．设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设f（x)=e x,0＜a＜b，若p=f（），q=f（），，则下列关系式中正确的是（）A．q=r＞p B．q=r＜p C．p=r＞q D．p=r＜q4．在等比数列{a n｝中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±35．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为(）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,AC1与BD1相交于点O，则有（)A．B．C．D．7．若｛a n｝是等差数列,首项a1＞0，a2014+a2015＞0,a2014•a2015＜0,则使前n项和S n＜0成立的最小正整数n是()A．2015 B．2014 C．4029 D．40288．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若,则=（）A．45°B．60°C．90°D．120°10．若正数x,y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是(）A．B．C．D．11．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．e12+e22=2 B．e12+e22=4C．D．12．如图，过抛物线C：y2=2px(p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1、B1，已知△AA1F与△BB1F的面积分别为9和1,则△A1B1F 的面积为（）A．4 B．6 C．10 D．12二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知向量，，满足，则x=．14．已知数列｛a n｝满足a1=1，（n∈N＊),则a n=．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且｜PF1|=4|PF2｜,则此双曲线的离心率e的最大值为．16．已知x，y为正实数,则+的最大值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax(a∈R)．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证:AC⊥PB；(Ⅱ）若AB=AC=AP=2,设D，E分别为棱AC，AP的中点，F为△ABD内一点，且满足，求直线BD与EF所成角的大小．19．已知{a n｝是等差数列,{b n}是各项均为正数的等比数列,且a1=b1=1,a2+a3=2b3，b5﹣3a2=7．（Ⅰ）求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N＊,求数列{c n｝的前n项和S n．20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点．(Ⅰ）求证:MN∥平面ABCD（Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；(Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长．21．如图，椭圆E: +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1),且离心率为．(Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A）,证明：直线AP与AQ斜率之和为2．22．已知双曲线C：x2﹣=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．（Ⅰ)设点P、T的横坐标分别为x1、x2,证明：x1x2=1;(Ⅱ）设△TAB与△POB(其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤9，求S1•S2的最大值．2015-2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

辽宁省沈阳市东北育才学校2014_2015学年高一数学上学期第一次段考试卷(含解析)

辽宁省沈阳市东北育才学校201 4-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1 D．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D （点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．AD＞BC，∠ABC＞∠BAD B．AD＞BC，∠ABC＜∠BADC．AD＜BC，∠ABC＞∠BAD D．AD＜BC，∠ABC＜∠BAD10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k 的最大值．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∩B={0，1，2，3}∩{1，2，4}={1，2}，故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或平行．解答：解：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或直线与平面平行，∴直线上有无数多个点都在平面外．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：通过证明AC⊥平面PBC，得出AC⊥BC，即可得出△ABC是直角三角形．解答：解：△ABC是直角三角形，说明如下；∵A∈α，C∈α，∴AC⊂α；又∵PB⊥α，∴PB⊥AC；又∵PC⊥AC，PB∩PC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC；∴△ABC是直角三角形．故选：A．点评：本题考查了空间中的垂直关系的判断问题，解题时应明确线线垂直和线面垂直的判断与性质是什么，是基础题．4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D，考虑面面垂直的判定定理．解答：解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．故选D．点评：本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性质，要综合判定定理与性质定理解决问题．5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得半径R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．解答：解：设正方体的棱长为a，不妨设a=1，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=a，即R==；所以外接球的表面积为：S球=4πR2=3π．则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：6：3π=2：π．故选B．点评：本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算．6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和函数取值的是否对应进行判断即可．解答：解：∵函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴排除B，D．∵f（0）=1﹣0=0＞0，∴排除C，故选：A．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性和函数取值符合是否对应是解决函数图象的基本方法．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α考点：空间点、线、面的位置．专题：空间位置关系与距离．分析：对两条不相交的空间直线a与b，有a∥b 或a与b是异面直线，从而得出结论．解答：解：∵两条不相交的空间直线a和b，有a∥b 或 a与b是异面直线，∴一定存在平面α，使得：a⊂α，b∥α．故选B．点评：本题主要考查立体几何中线面关系问题，属于基础题．8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：求出棱柱的体积，然后求解棱锥的体积即可．解答：解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，棱柱的底面面积为：=．棱柱的体积为：SH==3．由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥A1﹣B1BC的体积为：V三棱柱=×3=1．故选：C．点评：本题考查棱锥的体积的求法，三棱锥与三棱柱的体积关系，基本知识的考查．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D （点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．AD＞BC，∠ABC＞∠BAD B．AD＞BC，∠ABC＜∠BADC．AD＜BC，∠ABC＞∠BAD D．AD＜BC，∠ABC＜∠BAD考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，由∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，从而AD＞BC．由已知得sin，sin∠ABC=，从而∠ABC＞∠BAD．解答：解：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，∵∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，∴AD＞BC．∵平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，BD⊥l，垂足为D，∴BD⊥α，∴sin，∵AC⊥l，垂足为C，∴AC⊥β，∴sin∠ABC=，∵AC＞BD，∴sin∠ABC＞sin∠BAD，∵∠ABC和∠BAD都是锐角，∴∠ABC＞∠BAD．故选：A．点评：本题考查线段大小的比较，考查角的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高，由此能求出球心到截面ABC的距离．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，∴PA，PB，PC两两垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，如右图，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高，∵球半径r=，∴正方体的棱长为2，∴正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高为，∴球心到截面ABC的距离为．故选：C．点评：本题考查球心到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF．又AB⊥α，且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以②不可以成为增加的条件．AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．故选：C．点评：本题考查能成为增加条件的命题个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由于该四面体不是正四面体所以可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2，由于运算量较大，故用排除法求解．解答：解：由于四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体体，可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2进一步来求它们的体积相对较麻烦，故使用排除法求出当侧棱长为2，2，2时底边长为1，1，1时利用锥体上顶点在下底面上的射影在中心位置，进一步求得h=V==故选：C点评：本题考查的知识点：正四面体的定义，及体积的运算公式，排除法在实际问题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=15．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．解答：解：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内，连结AD，BE，CF 平面α∥β∥γ，AD∥BE∥CF，，DF=20，求得：EF=15；（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面，过D作DH∥AC，平面α∥β∥γ，∴AB=DG，BC=GH，进一步得GE∥HF，利用平行线分线段成比例得：，DF=20，求得：EF=15，故答案为：15．点评：本题考查的知识要点：面面平行的性质定理，直线的位置关系，平行线分线段成比例定理．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是m=n．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设球的半径为R，利用圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，可得πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2，即可得出结论．解答：解：设球的半径为R，则∵圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，∴πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2∴m=n．故答案为：m=n．点评：本题考查球的体积和表面积，考查学生的计算能力，比较基础．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是3．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知：球心的连线组成底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，即可顶点小球的球心到水平桌面α的距离．解答：解：由题意，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，求得它的高为1，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3．故答案为：3．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，球的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是基础题．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用．分析：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．解答：解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）点评：本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接把a=1代入x2﹣2ax﹣8a2≤0，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；（Ⅱ）求解不等式x2﹣2ax﹣8a2≤0化简A，然后由（﹣1，1）⊆A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤4．∴A={x|﹣2≤x≤4}．∁R A={x|x＜﹣2或x＞4}；（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．由（﹣1，1）⊆A，得，解得a．∴实数a的取值范围是．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合包含关系的判断与应用，是基础题．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）由E，F分别是线段PA、PD的中点，得到EF∥AD，由ABCD为正方形，得到BC∥AD，再由直线平行于平面的判定定理得到BC∥平面EFG．（2）由平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，得到GD⊥平面AEF，由此先证明EF⊥AE，再由题设条件求三棱锥E﹣AFG的体积．解答：（1）证明：∵E，F分别是线段PA、PD的中点，∴EF∥AD．…又∵ABCD为正方形，∴BC∥AD，∴BC∥EF．…又∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴BC∥平面EFG …（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF．…又∵EF∥AD，PA⊥AD，∴EF⊥AE．…又∵AE=EF==1，GD==1，．∴×GD=．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的计算．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）利用平行四边形和四棱柱的性质，证出FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形，从而FA1∥AM．再根据平行四边形ABCD中，E、M分别为AD、BC中点，得四边形AMCE是平行四边形，所以CE∥AM．由此可得CE∥A1F，结合线面平行判定定理，得到A1F∥平面ECC1．（II）取CD中点G，连接BG，利用正方形的性质结合三角形全等，可得BG⊥EC．由CC1⊥平面ABCD，得CC1⊥BG，结合线面垂直判定定理，得BG⊥平面ECC1．说明在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．解答：解：（Ⅰ）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，取BC中点M，连接AM，FM．∵平行四边形BB1C1C中，F、M分别是B1C1、BC的中点，∴FM∥B1B且FM=B1B．…∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥B1B且AA1=B1B∴FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形．∴FA1∥AM．∵平行四边形ABCD中，E为AD中点，M为BC中点，∴AE∥MC且AE=MC．得四边形AMCE是平行四边形．…∴CE∥AM，可得CE∥A1F．∵A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，∴A1F∥平面ECC1．…（Ⅱ）结论：在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1取CD中点G，连接BG…在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，∴△CDE≌△BCG，得∠ECD=∠GBC．…∵∠CGB+∠GBC=90°，所以∠CGB+∠DCE=90°，得BG⊥EC．…∵CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴CC1⊥BG，又∵EC∩CC1=C．EC、CC1⊆平面ECC1．∴BG⊥平面ECC1．故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．…点评：本题给出正四棱柱，求证线面平行并探索线面垂直，着重考查了空间线面垂直、平行的判定与性质等知识，属于中档题．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k 的最大值．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接由f（﹣x）=﹣f（x）恒成立整理得到（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立，由此求得m的值；（Ⅱ）当m＞0时有m=1，代入原函数借助于指数函数的单调性判断f（x）的单调性；（Ⅲ）判断出函数f（x）的奇偶性，结合单调性把存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f （2）≤0能成立，转化为存在x∈[﹣2，2]，使得k≤e x+x+2能成立．利用导数求出函数g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上的最大值得答案．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=为奇函数，∴对于其定义域内的任意x有f（﹣x）=﹣f（x），即，整理得：（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立．∴m2=1，m=±1；（Ⅱ）若m＞0，则m=1，函数f（x）==．∵2x为增函数，∴f（x）==为减函数；（Ⅲ）当m＞0时，函数f（x）为减函数，又f（﹣x）=，∴f（x）为奇函数．由存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，得存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）≤﹣f（2）=f（﹣2）能成立．即e x+x﹣k≥﹣2，也就是k≤e x+x+2能成立．令g（x）=e x+x+2．则g′（x）=e x+1＞1．∴g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上为增函数．．∴若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，则实数k的最大值为e2+4．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，解答此题（Ⅲ）的关键在于对题意的理解，是中档题．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线线平行⇒线面平行证明（1）；根据线面垂直⇔线线垂直可证（2）；设AD=x或设DC=x，利用垂直关系判定△，△A1CB，△A1DC的形状，构造以A1B为变量，x 为自变量的函数，求函数的最小值即可．解答：解：（本小题共14分）（1）证明：∵DE∥BC，DE⊂面A1DE，BC⊄面A1DE∴BC∥面A1DE…（2）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．由BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，∴BC⊥面A1DC．…（3）设DC=x则A1D=6﹣x由（Ⅱ）知，△A1CB，△A1DC均为直角三角形．，即==…当x=3时，A1B的最小值是．即当D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．…点评：本题考查线面平行、垂直的判定与空间中点、点距离的最值问题．设出变量，构造函数利用求函数最值的方法求解，是此类题的常用方法．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由局部奇函数的定义：存在x∈[﹣1，1]，f（﹣x）=﹣f（x），这样求出m=，所以要求m的取值范围，只要求函数的值域，而该函数的值域，根据利用导数求函数最值的方法求解，即先求该函数在[﹣1，1]上的极值，比较端点值，从而求出最值；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义：f（x）+f（﹣x）=0，得到4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，令2x+2﹣x=n（n≥2），带入上式得n2﹣2mn+2m2﹣8=0，关于n的方程有解，所以求出n=m，所以需要m+≥2，即，同过讨论m和2的关系解该不等式便得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）根据局部奇函数的定义，存在x∈[﹣1，1]，使f（﹣x）=2﹣x+m=﹣2x﹣m；∴，令g（x）=，则g′（x）=；∴﹣1≤x＜0时，，∴，g′（x）＜0；0＜x≤1时，，∴，g′（x）＞0；∴g（0）=2是g（x）在[﹣1，1]上的最小值，又g（﹣1）=g（1）=，所以g（x）的最大值是；∴2，∴，∴；即实数m的取值范围为；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义知，存在x∈R，使f（x）+f（﹣x）=0；∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0；令2x+2﹣x=n（n≥2），则：n2﹣2mn+2m2﹣8=0，可将该式看成关于n的方程，n在[2，+∞）有解；∴，m∈；∴（1）；①当2≤m≤，时（1）式恒成立；②当时，，将该不等式整理成m2﹣2m﹣2≤0，解得；∴；综上得m的取值范围为[1﹣，2]．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极值的概念，利用导数求函数最值的过程，以及解一元二次不等式．。

辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高二上学期第一次统一作业数学试题(原卷版)

A．2B． C．4D．
二、填空题（共6道题，每题5分，共20分）
13.设向量，若，则实数．
14.已知tanα＋cotα＝－2，则tannα＋cotnα＝_．
15.已知函数，其中实数随机选自区间，则对，都
有恒成立的概率是．
16.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是．
三、解答题（第22题10分，其余每题12分；共70分）
C. ， D. ，
6．当时，函数的最小值是( )
A．4B． C．2D．
7.设 ,若在方向上的投影为 ,且在方
向上的投影为3,则和（）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，若，则△ABC必是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角
9.已知平面直角坐标系内的两个向量 , ,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（）
（Ⅱ）若| |= ，且与垂直，求与的夹角 .
20.（本小题12分）已知在中，，，求角的大小．
21.（本小题12分）已知函数的图象过点 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在△ 中，若，求的取值范围．
22.（本小题12分）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
高考一轮复习：
A． B． C． D．
10.大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（）
A． B． C． D．

辽宁省东北育才学校2015-2016学年高一下学期第二阶段考试数学试题含答案

2015—2016学年下学期高一年级第二次阶段性考试数学试卷考试时间：120分钟总分:150分命题人：高一数学组一、选择题：（每题5分，满分60分) 1.与sin 2016最接近的数是（） A ．211 B ．21- C ．22 D ．1-2。

执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为52,则实数k 的取值范围为（）A. [)16,64B. [)32,64C. [)16,32D. ()32,643．设向量a 、b 、c 满足0=++c b a ，且0=⋅b a ,4||,3||==c a 则||b 的值为（） A 。

7 B. 5 C 。

7 D. 54.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生人数为（ )A. 2700 B 。

2400 C. 3600 D. 30005。

ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222a c b -=，且sin 6cos sin B A C =⋅，则b 的值为（ ) A ． 4 B. 3 C. 2 D 。

16.已知C B A 、、是平面上不共线三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则P 一定为ABC ∆的（ )A ．AB 边中线的三等分点（非重心)B ．AB 边的中点C ．AB 边中线的中点D ．重心 7。

已知,31)tan(,54sin ,20-=-=<<βααπα则=βtan （）A.3- B. 3C.31D.31-8。

如图，ABC ∆的AB 边长为2,P Q ，分别是AC BC ，中点，记AB AP BA BQ m ⋅+⋅=，AB AQ BA BP n ⋅+⋅=，则( ） A 。

31m n ==， B 。

24m n ==， C. 26m n ==， D 。

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高二数学上学期第二次阶段考试试题理

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高二数学上学期第二次阶段考试试题理一、选择题:本大题共12小题,每一小题5分,共60分.在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1、命题“存在0x ∈R ，02x ≤0〞的否认是.A.不存在0x ∈R,02x>0 B.存在0x ∈R,02x ≥0C.对任意的R x ∈0,02x ≤0 D.对任意的R x ∈0,02x >02、函数(),y f x x R =∈，数列{}n a 的通项公式为*(),n a f n n N =∈，那么“函数()y f x =在[1,)+∞单调递增〞，是“数列{}n a 为单调递增数列〞的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3、命题1:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<成立；2:p 对任意的[]1,2x ∈，210.x -≥以下命题为真命题的是A. 12p p ⌝∧⌝B. 12p p ∨⌝C. 12p p ⌝∧D. 12p p ∧ 4、{}n a 为等差数列，135246105,99.a a a a a a ++=++=以n S 表示{}n a 的前n 项和，如此是n S 达到最大值的n 是A. 21B.20C.19D. 185、双曲线2213x y -=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且满足12||||PF PF +=12PF F 的面积为A.126、假设a b a ->>>0，0<<d c ，如此如下命题成立的个数为 ①bc ad >；②0<+cbd a ；③d b c a ->-；④)()(c d b c d a ->-。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7、假设数列{}n a 的通项公式*25,27n n a n N n -=∈-，数列{}n b 满足1(1)(1)n n n b a a +=--，如此{}n b 的前10项和为A. 125-B.85-C.712-D. 815-8、抛物线22(0)y px p =>，直线AB 经过抛物线的焦点为F ，如此AOB ∠的可能值为 A.2πB .23πC .34πD .56π9、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，假设椭圆上存在一点P ，满足线段2PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段2PF 的中点，如此该椭圆的离心率为235910、实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，如此918222y x z x y --=+--的最小值为〔〕 A.132B.372C.12D.211、数列{}n a 满足：1a m =，m 为正整数，1,231nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，，当为奇数时.假设61a =，如此m 所有可能的取值为〔〕A. {}4,5B.{}4,32C.{}4,5,32D. {}5,3212、直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点，||4,AF =3CB BF =，如此p =A.2B.43 C.83D. 4 二、填空题:本大题共4小题,每一小题5分,共20分.13、向量a ),3,1,2(-=b ),2,4(x -=，假设//a b ,如此=x ______.14、12,F F 分别是双曲线221y x m-=的两个焦点，过点2F 作与x 轴垂直的直线，假设这条直线和双曲线的一个交点为A ，满足212||||AF F F =，如此m 的值为_______________.15、设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且n a 和n S 满足24(1)(1,2,3),n n S a n =+=如此_________.n S =16、实数a ，b ，c 满足22114a b c +≤≤，如此a b c ++的最小值是.三、解答题:本大题共6小题，共70分. 17、(本小题总分为10分)如图1，O 的直径4AB =，点C D 、为O上任意两点，=45=60CAB DAB ∠︒∠︒，，F 为BC 的中点，沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直。

辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三数学第五次模拟考试试题理

E =100E =300…………12分
20.（Ⅰ）已知则，
，由题意知，∴ ∴ ……………4分
（II）令
则
i)当时，，
当时，，即
∴函数在上为增函数
∴ ，即当时，
ii)当时，，
∴ 时，，
从而，即
从而函数在上为减函数
∴ 时，这与题意不符
综上所述当时，，的取值范围为 ……………12分
A． B． C． D．
10.已知数列为等比数列，且，则的值为
A． B． C． D．
11.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为
A． B． C． D．
12.已知 R，且 ≥ 对 ∈R恒成立，则的最大值是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
所以①号面需要更换的概率为：P=1- = …………3分
(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：
P6(2)= …………6分
(3)因为，又P6(0)= ，P6(1)= ，P6(2)= ，
P6(3)= ，P6(4)= ，P6(5)= ，P6(6)= …………9分
的分布列为：
0
1
2
3
21.解：（I）由题意知，设，则FD的中点为，
因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.
由，解得 .所以抛物线C的方程为 .
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
因为，则，
由得，故，故直线AB的斜率为，
因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，

辽宁省东北育才学校2015届高三联合考试数(理)试题 Word版含答案

2014-2015学年度高三联合考试数学(理科)试卷时间:120分钟满分:150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 设全集}4,3,2,1,0{=U ，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则=⋃B A C U )(A ． φB ． }4,3,2{C ．}4,3,2,1{D ．{0,1,2,3,4}2. 已知集合{}11A =-，,{}10B x ax =+=,若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为 A ．{}1-B ．{}1C ．{}11-，D ．{}101-，，3. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于A ．64B ．100C ．110D ．1204. 已知函数)12(log 1)(21+=x x f ,则)(x f 定义域为A ．)0,21(-B ．]0,21(-C ．),21(+∞- D ．),0(+∞5. 已知2a1()12b >，12log 1c >，则A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>6.已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π37. 在正方体1111D C B A ABCD -中,M 、N 分别1BC 、1CD 的中点,则下列判断错误．．的是 A ． MN 与11B A 平行 B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行 D ． MN 与1CC 垂直 8. “232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的 A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 9. 已知1,0b a t >>>, 若x a a t =+,则x b 与b t +的大小关系为A ．x b <b t +B ．x b =b t +C ．x b >b t +D ．不能确定10. 已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,成公差为正的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高二上学期第二阶段考试数学(文)试卷Word版含答案

2015—2016学年度上学期第二阶段考试高二年级数学科试卷（文科）答题时间：120分钟满分：150分命题人：高二数学备课组校对人：高二数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在实数，使”的否定是A.对任意实数，都有B.不存在实数，使C.对任意实数，都有D.存在实数，使2. 已知，则下列结论不正确的是A．B．C．D．3.设，，若，，，则下列关系式中正确的是A. B. C. D.4.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是A. B. C. D.5.已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.6. .函数f（x）=的导数是A．（x>0）B．（x>0）C．（x>0）D．（x>0）7.若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是A. B. C. D.8.已知函数的导函数为,且满足,则A．1 B．C．D．9.若正数，满足，则的最小值是A. B. C. D.10.已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A. B. C. D.11.设函数,对任意成立,则A．B．C．D．的大小不确定12.如图，过抛物线：（）的焦点作直线交于、两点，过、分别向的准线作垂线，垂足为、，已知与的面积分别为9和1，则的面积为A.4B.6C.10D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程是．14.设函数，（、、是两两不等的常数），则= ．15.已知数列满足，（），则 .16.已知双曲线（，）的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知,;是的必要不充分条件,求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知曲线，（1）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（2）求斜率为4的曲线的切线方程。

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一数学下学期第一次阶段考试试题

2014-2015学年度下学期第一阶段考试高一年级数学科试卷1.已知α是第二象限角，5sin 13α=，则cos α=BA.513-B.1213-C.513D.1213 2.集合|,24k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,42k N x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则有C A.M N = B.M N≠⊃ C.M N≠⊂ D.M N =∅3.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象 A A.向左平移6π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移3π个单位4.在等腰直角三角形ABC 中，若M 是斜边AB 上的点，则AM 小于AC 的概率为CA.14B.12C.2D.2 5.函数sin()cos()44y x x ππ=--是B A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数6.设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 DA.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.b a c << 7.按如下程序框图，若输出结果为170，则在判断框内应补充的条件为CA.7i ≥B.9i >C.9i ≥D.10>i8.已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是DA.4sin(4)6y x π=+B.2sin(2)23y x π=++ C.2sin(4)23y x π=++ D.2sin(4)26y x π=++9.已知2()sin ()4f x x π=+，若(lg5)a f =，1(lg )5b f =，则C A.0a b += B.0a b -= C.1a b += D.1a b -=10.函数11y x =-的图象与曲线2sin (24)y x x π=-≤≤的所有交点的横坐标之和等于CA.2B.3C.4D.611.已知函数()2sin2xf x = 的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的值不可能是DA.43πB.2πC.83πD.143π 12.函数sin (1tan tan )2xy x x =+⋅的最小正周期A A.π B.π2 C.2πD.23π13.sin 300=.14.已知x ，y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.2 4.3 4.8 6.7若y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a∧=+，则a = . 2.615.已知523sin cos =-x x ，则5sin 2cos()4xx π=+ .7316.已知函数)6sin(3)(πω-=x x f （0>ω）和1)2cos(2)(++=ϕx x g （20πϕ<<）的图象的对称轴完全相同. 若]2,0[,21π∈x x ，则)()(21x g x f -的取值范围是 . 7[,4]2-17.如图，点A ，B 是单位圆上的两点， A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. （Ⅰ）求1＋sin2α1＋cos2α的值；（Ⅱ）求cos ∠COB 的值．[来解：（Ⅰ）∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sinα＝45，cosα＝35 ∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sinαcosα2cos2α＝4918. …………………………………5分（Ⅱ）∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°.＝35×12－45×32＝3－4310 …………………………………10分18.已知21)4tan(=+απ.（Ⅰ）求αtan 的值；（Ⅱ）求2sin 2cos 1cos 2a αα-+的值.解：（Ⅰ）αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan 1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα，解得31tan -=α ………………6分（Ⅱ）1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα2sin cos 1tan 2cos 2αααα-==- 115326=--=- ………………………………………12分19.进入2014年金秋，新入职的大学生陆续拿到了第一份薪水. 某地调查机构就月薪情况调查了1000名新入职大学生，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月薪在[1000,1500) 单位：元）．（Ⅰ）求新入职大学生的月薪在[3000,4000)的频率，并根据频率分布直方图估计出样本数据的中位数；（Ⅱ）为了分析新入职大学生的月薪与其性别的关系，必须按月薪再从这 1000人中按分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，已知月薪在[3500,4000)的被抽取出的人中恰有2位女性. 若从月薪在[3500,4000)的被抽取出的人随机选出2人填写某项调查问卷，求这2 人中至少有一位男性的概率.解：（Ⅰ）新入职大学生的月薪在[3000,4000)的频率为(0.00030.0001)5000.2+⨯= ………………………………………………………………………3分估计中位数x 为0.0002500⨯+0.0004500⨯+0.0005(2000)x ⨯-0.5= 解得2400x = ……………………………………………………………………6分（Ⅱ）依题意，月薪在[3500,4000)的被抽取出10010000.000150051000⨯⨯⨯=人，且恰有2位女性. 记3位男性为1a 、2a 、3a ，2位女性为1b 、2b . 从这5人中抽取2人的所有取法有：12(,)a a 、13(,)a a 、11(,)a b 、12(,)a b ，23(,)a a 、21(,)a b 、22(,)a b ，31(,)a b 、32(,)a b 、12(,)b b 共10种. ……………………………………………10分记事件A =“2人中至少有一位男性”，则事件A 含9个基本事件故9()10P A =……………………………………………………………………12分20.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π.（Ⅰ）求ω，ϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=⋅-，求函数()g x 的单调递增区间. 解：（Ⅰ）由最小正周期为π可知22==T πω,由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=, 又0ϕπ<<,333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=,2πϕ=,（Ⅱ）由（Ⅰ）知()s i n (2)c o s 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x= 解24222k x k ππππ-≤≤+得 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈21.已知函数xx x x x f cos sin 2)62cos()62cos()(+-++=ππ.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]3,3[ππ-上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.解：（Ⅰ）()cos 2cos 22sin cos 66f x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6sin2sin 6cos2cos ππx x -=+6sin2sin 6cos2cos ππx x +x x cos sin 2+x 2cos 232⨯=x 2sin + x 2cos 3=x 2sin +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 212cos 232 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 3cos 2cos 3sin 2ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx ………………………………4分∴()f x 的最小正周期为ππ==22T ……………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx ，由33ππ≤≤-x ，得πππ≤+≤-323x ，∴当232ππ=+x ，即12π=x 时，()f x 取得最大值2； ………………………10分当332ππ-=+x ，即3π-=x 时，()f x 取得最小值3- …………………12分22.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（Ⅰ）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（Ⅱ）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.。

2015年辽宁省东北育才学校九年级分流考试数学试卷

2015年辽宁省东北育才学校九年级分流考试数学试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．（3分）实数π，，0，3中是无理数的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（3分）某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的俯视图不可能是（）A． B． C．D．3．（3分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a﹣c＞﹣b﹣c C．﹣a＜﹣b＜﹣c D．|a﹣b|=a﹣b4．（3分）为了响应国家“节约用水”的号召，在东北育材学校某班级中，随机调查了6名同学的家庭一年用水量（单位：吨），记录如下：10，9，8，9，9，12，则这组数据的平均数和中位数是分别是（）A．9.5；9 B．9.5；8.5 C．9；9.5 D．9.5；105．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交边AD于点E，且BE=12，CE=5，则点A到BC的距离是（）A．B．4 C．D．6．（3分）关于x的方程﹣a=+的解大于33，则实数a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＞3 C．a＜2 D．a＜37．（3分）如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若AB=6，∠CBA=15°，则CD的长是（）A．B．2 C．3 D．48．（3分）如图，在Rt△ABC中，BC=a，AB=c，CD为斜边上的高，DE⊥AC．设△AED、△CDB、△ABC的周长分别为p1，p2，p，则当取最大值时，sinA=（）A．B．C．D．9．（3分）如图，点A是函数y=的图象上的点，点B、C的坐标分别为B（﹣，﹣）、C（，），试利用性质：“函数y=的图象上任意一点A都满足|AB ﹣AC|=2”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE 于F，已知当点A在函数y=的图象上运动时，点F总在一个圆上运动，则这圆的半径为（）A．1 B．C．D．10．（3分）已知关于x的方程x|x|﹣2x+c=0，下面四个结论，正确的是（）①当c=0时，方程有3个解②只有c=1时，方程有2个解③方程至少有1个解④方程可以有4个解．A．①④B．②③C．①③D．②④二、填空题(每题3分，共30分)11．（3分）（﹣π）0+2sin60°+|1﹣|=．12．（3分）从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是．13．（3分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+m2+1=0的两个实数根的平方和为5，则实数m的取值是．14．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．15．（3分）关于x，y的方程组的解满足x﹣2y2＞﹣4，则实数k的取值范围为．16．（3分）将实数1，，，，按如图所示方式排列，若用（m，n），表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（11，7）表示两数之积是．17．（3分）如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=（x＞0）于C，D两点，若2BD=5AC，则OC2﹣OD2的值为．18．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为．19．（3分）对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v．函数y=[（a+1）x]*x，其函数图象与直线y=﹣有两个不同的交点，则满足条件的实数a的取值范围是．20．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长并CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③AB=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤BH=HF，其中正确的序号有．三、解答题21．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AC=3cm，则BE=cm．22．（6分）当a为何值时，关于x的方程=无解？23．（6分）如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，反比例函数y=（x＞0）经过边OB的中点C和AE中点D，已知等边△OAB的边长为8．（1）求反比例函数的解析式；（2）求等边△AFE的周长．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，CD=AD，分别延长CD、BA相交于点E，且AE=OA，若BC=6，求⊙O的半径．25．（6分）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西方向30°的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？26．（10分）若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图1，当∠C=90°时，△ABC与△DCF的面积．（请在横线上填写“相等”或“不等”）（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的正方形ACDE、BCFG和ABMN，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=4，BC=5．运用（2）中的结论，当∠ACB为何值时，图中阴影部分的面积和有最大值是？并求出最大值．（4）拓展：如图4，分别以▱ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE，BCHG，CDJI，DALK，若▱ABCD的周长为20，∠DAB=60°，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．27．（10分）设t是实数，二次函数y=2x2+3tx﹣t的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．（1）求证：2x22﹣3tx1+3t＞0；（2）若A，B两点之间的距离不超过|t﹣1|，求t的最大值．28．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D，设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）设Q是平面内一点，若以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等，求出所有点Q的坐标；（3）若满足（2）中条件的点Q均在抛物线y=9（x﹣t）2﹣7外（不含点Q在抛物线上），求点t的取值范围．2015年辽宁省东北育才学校九年级分流考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分，共30分)1．（3分）（2015•辽宁校级模拟）实数π，，0，3中是无理数的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：无理数有π，共2个．故选C．2．（3分）（2012•莆田）某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的俯视图不可能是（）A． B． C．D．【解答】解：∵某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，可以得出此图形是一个球体与立方体组合图形，球在上面，∴俯视图中一定有圆，只有C中没有圆，故C错误，故选：C．3．（3分）（2015•辽宁校级模拟）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a﹣c＞﹣b﹣c C．﹣a＜﹣b＜﹣c D．|a﹣b|=a﹣b【解答】解：A、因为a＜b，c＞0，所以ac＜bc，所以此选项错误；B、因为a＜b，c＞0，所以﹣a＞﹣b，﹣a﹣c＞﹣b﹣c，所以此选项正确；C、因为a＜b＜c，所以﹣a＞﹣b＞﹣c，所以此选项错误；D、因为a＜b，所以a﹣b＜0，|a﹣b|=b﹣a，所以此选项错误；故选B．4．（3分）（2015•辽宁校级模拟）为了响应国家“节约用水”的号召，在东北育材学校某班级中，随机调查了6名同学的家庭一年用水量（单位：吨），记录如下：10，9，8，9，9，12，则这组数据的平均数和中位数是分别是（）A．9.5；9 B．9.5；8.5 C．9；9.5 D．9.5；10【解答】解：这组数据的平均数是（10+9+8+9+9+12）÷6=9.5，这组数据按大小排序后为：8，9，9，9，10，12，故中位数是=9．故选（A）5．（3分）（2015•辽宁校级模拟）如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交边AD于点E，且BE=12，CE=5，则点A到BC的距离是（）A．B．4 C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC、∠BCD的角平分线的交点E落在AD边上，∴∠EBC+∠ECB=×180°=90°，∴∠BEC=90°，∵BE=12，CE=5，∴BC==13，作EM⊥BC于M，则EM==，∴点A到BC的距离是；故选：C．6．（3分）（2015•辽宁校级模拟）关于x的方程﹣a=+的解大于33，则实数a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＞3 C．a＜2 D．a＜3【解答】解：去分母得：3x﹣3﹣6a=2x+4a，移项合并得：x=10a+3，由方程的解大于33，得到10a+3＞33，解得：a＞3，故选B7．（3分）（2015•辽宁校级模拟）如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若AB=6，∠CBA=15°，则CD的长是（）A．B．2 C．3 D．4【解答】解：连结DA、DB，作DE⊥BC于E，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠ABD=∠BCD=45°，∴△ABD和△CDE都为等腰直角三角形，∴DB=AB=3，∵∠CBA=15°，∴∠DBC=60°，在Rt△BDE中，BE=BD=，DE=BE=，在Rt△CDE中，CD=DE=3．故选C．8．（3分）（2015•辽宁校级模拟）如图，在Rt△ABC中，BC=a，AB=c，CD为斜边上的高，DE⊥AC．设△AED、△CDB、△ABC的周长分别为p1，p2，p，则当取最大值时，sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵CD⊥AB，DE⊥ACRt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC．令BC=a，AB=c，则DB=，AD=c﹣．于是得=+=﹣（）2++1，由二次函数性质知，当=﹣=，即=时，取最大值时，此时∠A=30°．所以sinA=，故选A．9．（3分）（2009•普陀区模拟）如图，点A是函数y=的图象上的点，点B、C 的坐标分别为B（﹣，﹣）、C（，），试利用性质：“函数y=的图象上任意一点A都满足|AB﹣AC|=2”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y=的图象上运动时，点F总在一个圆上运动，则这圆的半径为（）A．1 B．C．D．【解答】解：如图：过C作CD⊥AF，垂足为M，交AB于D，∵AF平分∠BAC，且AM是DC边上的高，∴△DAC是等腰三角形，∴AD=AC，∴BD=AB﹣AC=2，即BD长为定值，过M作MN∥BD于N，则四边形MNBD是个平行四边形，∴MN=BD，在△MNF中，无论F怎么变化，有两个条件不变：①MN的长为定值，②∠MFN=90°，因此如果作△MNF的外接圆，那么F点总在以MN为直径的圆上运动，因此F 点的运动轨迹应该是个圆．∴圆的直径为MN，且MN=BD，BD=AB﹣AC=2，∴圆的半径为．故选C．10．（3分）（2015•辽宁校级模拟）已知关于x的方程x|x|﹣2x+c=0，下面四个结论，正确的是（）①当c=0时，方程有3个解②只有c=1时，方程有2个解③方程至少有1个解④方程可以有4个解．A．①④B．②③C．①③D．②④【解答】解：①当c=0时，x|x|﹣2x=0，则x2﹣2x=0或x2+2x=0，所以x=2或x=0或x=﹣2，共3个解，故①正确；②当c=1时，x|x|﹣2x+1=0，则x2﹣2x+1=0或x2+2x﹣1=0，根据△=0或△=8＞0可以判定，该方程有3个解，故②错误；③由原方程得到x2﹣2x+c=0或x2+2x﹣c=0，则△=4﹣4c或△=4+4c，所以无论实数c去何值，都有4﹣4c≥0或4+4c≥0，所以原方程至少有1解．故③正确；④由原方程得到x2﹣2x+c=0或x2+2x﹣c=0，则△=4﹣4c或△=4+4c，所以无论实数c去何值，都有4﹣4c≥0或4+4c≥0，所以原方程可以有2个解或3个解．故③错误；故选：C．二、填空题(每题3分，共30分)11．（3分）（2015•辽宁校级模拟）（﹣π）0+2sin60°+|1﹣|=2．【解答】解：原式=1+2×+﹣1=2，故答案为：212．（3分）（2014•襄阳）从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是．【解答】解：∵从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；∴能构成三角形的概率是：=．故答案为：．13．（3分）（2015•辽宁校级模拟）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+m2+1=0的两个实数根的平方和为5，则实数m的取值是1．【解答】解：设方程x2﹣（m+2）x+m2+1=0的两个实数根为x1，x2，则有：x1+x2=m+2，x1•x2=m2+1，∵=﹣2x1•x2=（m+2）2﹣2（m2+1）=5，解得：m1=1，m2=3．∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+m2+1=0有两个实数根，∴△=[﹣（m+2）]2﹣4（m2+1）=﹣3m2+4m＞0，解得：0＜m＜，∴m=1．故答案为：1．14．（3分）（2016•皇姑区二模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2，∴CH=，故答案为：．15．（3分）（2015•辽宁校级模拟）关于x，y的方程组的解满足x ﹣2y2＞﹣4，则实数k的取值范围为﹣＜k≤﹣1．【解答】解：，①×2得：4x+2y2=6k﹣2③，③﹣②得：3x=6k，x=2k，②×2得：2x+4y2=﹣4④，④﹣①得：3y2=﹣3k﹣3，y2=﹣k﹣1，∵x﹣2y2＞﹣4，∴2k﹣2（﹣k﹣1）＞﹣4，2k+2k+2＞﹣4，解得：4k＞﹣6，k＞﹣．∵2x+y2=3k﹣1，∴y2=3k﹣1﹣2x=3k﹣1﹣4k=﹣1﹣k，∵y2≥0，∴﹣1﹣k≥0，解得：k≤﹣1，∴﹣＜k≤﹣1．故答案为：﹣＜k≤﹣1．16．（3分）（2015•辽宁校级模拟）将实数1，，，，按如图所示方式排列，若用（m，n），表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（11，7）表示两数之积是．【解答】解：1+2+3+…+10+7=+7=62，62÷4=15 (2)∴（11，7）表示的数为，由图可知：（5，4）表示的数为，×=，则（5，4）与（11，7）表示两数之积是，故答案为：．17．（3分）（2015•辽宁校级模拟）如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=（x＞0）于C，D两点，若2BD=5AC，则OC2﹣OD2的值为．【解答】解：延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，∵点A、B为直线y=x上的两点，∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．∵C、D两点在交双曲线（x＞0）上，则CE=，DF=．∴BD=BF﹣DF=b﹣，AC=a﹣．∵2BD=5AC∴（b﹣）=（a﹣），两边平方得：b2+﹣2=（a2+）﹣，∴b2+=（a2+）﹣，在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2=a2+，同理OD2=b2+，∴OC2﹣OD2=（a2+）﹣（b2+）=，故答案为：．18．（3分）（2015•辽宁校级模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为110°．【解答】解：如图，取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ 与BC相交于点M，与DE相交于点N，则AM=PM，AN=QN，所以，∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，所以，△AMN周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，∵∠BAE=125°，∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．故答案为：110°．19．（3分）（2015•辽宁校级模拟）对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v．函数y=[（a+1）x]*x，其函数图象与直线y=﹣有两个不同的交点，则满足条件的实数a的取值范围是a＜0且a≠﹣1．【解答】解：y=[（a+1）x]x+x=（a+1）x2+x．∵其函数图象与直线y=﹣有两个不同的交点，∴方程（a+1）x2+x=﹣有两个不相等的实数根．∴12﹣4×（a+1）×＞0且a+1≠0，解得：a＜0且a≠﹣1．故答案为：a＜0且a≠﹣1．20．（3分）（2015•辽宁校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD 的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长并CD于点F，连结DE 交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③AB=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤BH=HF，其中正确的序号有①②③④．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB，∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又∵BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°在△BEH和△HDF中，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，故④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题21．（6分）（2013•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AC=3cm，则BE=6cm．【解答】（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，∴CD=CE，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵AC=BC=3，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=3，又∵DB=AB，∴AD=2AB=6，∵△ACD≌△BCE；∴BE=AD=6，故答案为：6．22．（6分）（2015•辽宁校级模拟）当a为何值时，关于x的方程=无解？【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1）得：a（x﹣1）=x+2，整理得：（a﹣1）x=2+a，（i）当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a﹣1≠0，原方程有增根x=0或1，当x=0时，2+a=0，即a=﹣2；当x=1时，a﹣1=2+a，无解，即当a=1或﹣2时原方程无解．23．（6分）（2017•红桥区模拟）如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x 轴上，反比例函数y=（x＞0）经过边OB的中点C和AE中点D，已知等边△OAB的边长为8．（1）求反比例函数的解析式；（2）求等边△AFE的周长．【解答】解：（1）过C作CM⊥OA，∵△OAB为边长为8的等边三角形，C为OB中点，∴OC=4，∠BOA=60°，在Rt△OCM中，CM=OC•sin60°=2，OM=OC•cos60°=2，∴C（2，2），代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=；（2）过点D作DH⊥AF，垂足为点H，设AH=a（a＞0）．在Rt△DAH中，∵∠DAH=60°，∴∠ADH=30°．∴AD=2AH=2a，由勾股定理得：DH=a．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（8+a，a）．∵点D在反比例函数y=的图象上，∴把x=8+a，y=a代入反比例函数解析式，解得a=2﹣4 （a=﹣2﹣4＜0不符题意，舍去）．∵点D是AE中点，∴等边△AFE的边长为8﹣16，∴△AEF的周长=24﹣48．24．（6分）（2015•辽宁校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，CD=AD，分别延长CD、BA相交于点E，且AE=OA，若BC=6，求⊙O的半径．【解答】解：连接AC，OD交于F，∵CD=AD，∴=，∴OD⊥AC，AD=CF，∵AO=BO，∴OF∥BC，∵OD∥BC，∴△ODE∽△BEC，∴，∵AE=OA，∴，∴OA=3．∴⊙O的半径是3．25．（6分）（2015•辽宁校级模拟）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西方向30°的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？【解答】解：连结A1B2，如图，A1A2=30×=10（海里）∵∠A1A2B2=60°，A1A2=A2B2=10，∴△A1A2B2为等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°，∵∠1=30°，∴∠B1A1B2=180°﹣30°﹣60°=90°，在Rt△B1A1B2中，B1B2===10，∴乙船航行的速度==30（海里/时）．答：乙船每小时航行30海里．26．（10分）（2015•辽宁校级模拟）若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图1，当∠C=90°时，△ABC与△DCF的面积相等．（请在横线上填写“相等”或“不等”）（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的正方形ACDE、BCFG和ABMN，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=4，BC=5．运用（2）中的结论，当∠ACB为何值时，图中阴影部分的面积和有最大值是？并求出最大值．（4）拓展：如图4，分别以▱ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE，BCHG，CDJI，DALK，若▱ABCD的周长为20，∠DAB=60°，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．【解答】（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC与△DFC的面积相等；故答案为：相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．=BC•AP，S△DFC=FC•DQ，又∵S△ABC∴S=S△DFC；△ABC（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3××4×5=30．（4）解：过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD，∵四边形ABGF和四边形ADLE是正方形，∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°，∴∠EAF+∠BAD=360°﹣90°﹣90°=180°，∵∠EAF+∠EAM=180°，∴∠EAM=∠DAN，∴sin∠EAM=，sin∠DAN=，∵AE=AD，∴EM=DN，∵S△AEF=AF×EM，S△ADB=AB×DN，∴S△AEF=S△ABD，同理S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，∴阴影部分的面积S=S△AEF +S△BGH+S△CIJ+S△DLK=2S平行四边形ABCD，∵▱ABCD的周长为20，∠DAB=60°，设AD=x，则AB=10﹣x，∴DN=ADsin∠BAD=x×sin60°=x，∴S平行四边形ABCD=AB×DN=（10﹣x）×x=﹣（x﹣5）2+（0＜x＜10），∴阴影部分的面积S=2S平行四边形ABCD=2[﹣（x﹣5）2+]=﹣（x﹣5）2+25（0＜x＜10），当x=5，即：AD=AB=5时，阴影部分的面积S最大=25．27．（10分）（2015•辽宁校级模拟）设t是实数，二次函数y=2x2+3tx﹣t的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．（1）求证：2x22﹣3tx1+3t＞0；（2）若A，B两点之间的距离不超过|t﹣1|，求t的最大值．【解答】解：∵二次函数y=2x2+3tx﹣t的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．∴令y=0，得2x2+3tx﹣t=0，∴△=（3t）2+8t=9t2+8t＞0，根据根与系数的关系有，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，（1）x2是2x2+3tx﹣t=0的一根，∴2x22+3tx2﹣t=0，∴2x22﹣3tx1+3t=2x22+3tx2﹣t﹣3tx1﹣3tx2+3t+t，=﹣3t（x1+x2）+4t=﹣3t×（﹣）+4t=（9t2+8t）＞0，即：2x22﹣3tx1+3t＞0；（2）∵二次函数y=2x2+3tx﹣t的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（﹣）2+2t=t2+2t，∵A，B两点之间的距离不超过|t﹣1|，∴AB≤|t﹣1|，且AB＞0，∴AB2≤|t﹣1|2，∴t2+2t≤|t﹣1|2∴t≤，∴t的最大值为．28．（10分）（2015•辽宁校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D，设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）设Q是平面内一点，若以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等，求出所有点Q的坐标；（3）若满足（2）中条件的点Q均在抛物线y=9（x﹣t）2﹣7外（不含点Q在抛物线上），求点t的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得a=，∴抛物线的解析式为y=（x2﹣2x﹣9）=x2﹣x﹣3∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3．（2）如图所示，点Q位置存在4种情况；连接AC，∵tan∠OAC==，tan∠OBC==，∴∠OAC=60°，∠OBC=30°，∴∠OCB=60°，∵DA=DB，∴∠DAB=∠DBA=30°，∴∠ADC=∠DAB+∠DBA=60°，∵AE=2，DE=2，D（，4），∴DP=2，CD=CB﹣BD=6﹣4=2，∴CD=DP，∵∠CDP=60°，∴△CDP是等边三角形，①当∠Q1CD=120°，QC=AD=4时，△Q1CD≌△ADP，此时Q点在y轴上，则点Q1坐标（0，﹣7）；②当∠Q2DC=120°，Q2D=AD=4时，△Q2DC≌△ADP 此时Q2在对称轴上，Q2（，2）；③当∠Q3DC=120°，DQ3=AD=4时，△Q3DC≌△ADP，此时Q2，Q3关于BC对称，Q3（3，﹣4）；④当∠Q4CD=120°，Q4C=AD=4时，△Q4CD≌△ADP，此时Q4，Q1关于BC对称，Q4（﹣2，﹣1）；（3）①点Q1坐标（0，﹣7）代入y=9（x﹣t）2﹣7得到t=0；②点Q1坐标（，2）代入y=9（x﹣t）2﹣7得到t=±1③点Q1坐标（3，﹣4代入y=9（x﹣t）2﹣7得到t=或④点Q1坐标（﹣2，﹣1）；代入y=9（x﹣t）2﹣7得到t=﹣2+或﹣2﹣．综上所述，点Q均在抛物线y=9（x﹣t）2﹣7外时，t≠0，t，t≠，t≠，t≠﹣2．参与本试卷答题和审题的老师有：zhjh；gbl210；tcm123；szl；家有儿女；sks；gsls；wd1899；sjzx；dbz1018；zcx；曹先生；zjx111；sd2011；知足长乐；守拙；梁宝华；sdwdmahongye；ZJX；王学峰；星月相随；弯弯的小河（排名不分先后）菁优网2017年4月6日。

沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 Word版含答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 设},4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则（） A.Q P ⊆ B.Q P ⊆ C.Q C P R ⊆D.P C Q R ⊆2. 过两点(11)-，和(0,3)的直线在x 轴上的截距为（） A.32-B.32C.3D.3-3. 若)12(log 1)(5.0+=x x f ，则函数)(x f 的定义域为 ( )A.),21(+∞-B. ),0(+∞C. )0,21(-D. ]0,21(- 4. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a ，乙运动员的众数为b ，则=-b a （） A. 4 B. 6 C. 8 D. 125. 设n m 、是两条不同的直线,βα、是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 6. 如果实数y x 、满足等式3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值是（） A ．21 B ．33 C ．23D ．37. 若函数)1,0()(≠>=a a a x f x为增函数，那么11log )(1+=x x g a的图象是（）8. 如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图 (左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )． A ．318 B ．312 C ．39 D ．36 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m 的取值范围是( )．A. ]20,12(B. ]30,20(C. ]42,30(D. )42,12( 10. 已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆:2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是（）A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=11. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是（） A.32 B.23 C.6D.612. 设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-,0,440,15)(21x x x x x f x ，若关于x 的方程0)()12()(22=++-m x f m x f 有7个不同的实数解，则=m （）A.6=mB.2=mC.26或=mD.6-=m第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 直线(21)m y mx +=+（m R ∈）恒过一定点，则此点是.14. 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 .15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤---=)1()1(,5)(2x ＞x a x ax x x f 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 .16. 如图,四面体ABCD 中，1===DC DB DA ,且DC DB DA 、、两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ,不等式2230x x --≤的解集为N .(Ⅰ)当1a =时,求集合M ；(Ⅱ)若M N ⊆,求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）某班n 位学生一次考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是)50,40[, )60,50[, )70,60[ , )80,70[,)90,80[,)100,90[. 若成绩在区间)90,70[的人数为34人.(1) 求图中x 的值及n ；(2) 由频率分布直方图，求此次考试成绩平均数的估计值.C19.（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，ο90=∠ADC ,AB CD //，4=AB ，2==CD AD ，将A D C ∆沿AC 折起，使平面ABC ADC 平面⊥，得到ABC D -三棱锥，如图2所示．(1)求证：ACD BC 平⊥； (2)求ABC D -三棱锥的体积．20. （本题满分12分）关于y x ,的方程042:22=+--+m y x y x C （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线两点，，相交于N M y x l 042:=-+且554=MN ，求实数m 的值.21.（本题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. (Ⅰ)求证://EF 平面1BDC ；(Ⅱ)在棱AC 上是否存在一个点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为151：,若存在, 指出点G 的位置;若不存在,说明理由.22.（本题满分12分）设函数()()f x x x a a R =-∈（1）讨论)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当[0,1]x ∈时，)(x f 的最大值为24a ，求实数a 的取值范围．2014-2015学年度上学期高一年级第一次阶段性考试数学科试卷一、选择题BACCD DCCBD DB二、填空题13. (21)-， 14.[)+∞∈,2a 15. 3-≤a ≤2-.三、解答题 17.19.(1)证明在图中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，----------（2分）取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，---------（6分）又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .---------（8分）(2)解由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝13S △ACD ·BC＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423. ---------- （12分）20.解：（1）方程C 可化为：()m y x -=-+-5)2(122要使该方程表示圆，只需5-m>0.即m<5.所以方程C 表示圆时，实数m 的取值范围是()5,∞-。

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2015年东北育才学校分流考试数学试题及答案一、选择题1. 实数0.3π中是无理数的有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2. 某几何组合体的主视图和左视图为同一视图，如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）3. 实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.ac>bcB.-a-c>-b-cC.-a<-b<-cD.|a-b|=a-b4. 为了响应国家“节约用水”的号召，在东北育才学校某班级中，随机调查6名同学的家庭一年用水量（单位：吨），记录如下：10、9、8、9、9、12，则这组数据的平均数和中位数是分别是（） A.9.5；9 B.9.5；8.5 C.9；9.5 D.9.5；105. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交边AD 于点E ，且BE=12，CE=5，则点A 到BC 的距离是（）A. 125B.4C. 6013D. 6076. 关于x 的方程x 1x 2a a=233--+的解大于33，则实数a 的取值范围是（） A.a>2 B.a>3 C.a<2 D.a<37. 如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若AB=6，∠CBA=15°，则CD 的长是（）A. 8. 如图，在Rt △ABC 中，BC=a 、AB=c ，CD 为斜边上的高，DE ⊥AC ，设△ADE 、△CDB 、△ABC 的周长分别为P 1、P 2、P ，则当12P P P+取得最大值时，sinA=（）A.12B.23 D.349. 如图，点A 在函数1y x =的图像上，B C （，是利用性质“函数1y x =的图像上任意一点A 满足求下列问题：作∠BAC 的平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在函数1y x=的图像上运动时，则点F 总在（）上运动。

A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆10. 已知关于x 的方程x|x|-2x+c=0，下面四个结论：①当c=0时，方程有3个解②当c=1时，方程有2个解③方程至少有1个解④方程可以有4个解A.①④B.②③C.①③D.②④二、填空题11. 02sin601π+︒+-） .12. 从长度分别为2、4、6、7的四个线段中随机抽取三条，它们能构成三角形的概率是 .13. 已知关于x 的方程x 2-（m+2）x+m 2+1=0的两个实数根的平方和为5，则实数m 的取值是 .14. 在正方形ABCD 和正方形CEFZG 中，点D 在CG 上，BC=1、CE=3，H 是AF 的中点，则线段CH 的长是 .15. 关于x 、y 的方程组222x y =3k 1x 2y =2⎧+-⎪⎨+-⎪⎩的解满足x-2y 2>-4，则实数k 的取值范围为 .16. 将实数1111248、、、，按下图所示方式排列，若用（m ，n ），表示第m 排从左向右第n 个数，则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是 .17. 如图，点A 、B 为直线y=x 上的两点，过A 、B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y=x x（>0）于C 、D 两点，若2BD=5AC ，则224OC OD 25-的值为 .18. 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC ，AE=DE ，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ，则△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为 .19. 对于实数υ、ν定义一种运算“*”：υ*ν=υν+ν，函数y=[（a+1）x]*x ，其函数图像与直线1y 4=-有两个不同的交点，则满足条件的实数a 的取值范围是 .20. 如图，在矩形ABCD 中，，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，；连结BH 并延长交CD 于点F ，连结DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③AB=HF ；④BC-CF=2HE ；⑤BH=HF 。

其中正确的序号有 .三、解答题 21. 如图，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，延长线段AB 至点D ，使DB=AB ，连接CD ，以CD 为直角边作等腰三角形CDE ，其中∠DCE=90°，连接BE ，若AC=3㎝，求BE 的长。

22.当a 为何值时，关于x 的方程a x 2x x x +=（-1）无解？ 23. 如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在x 轴上，反比例函数k y=x x（>0）经过边OB 的中点C 和AE 中点D 。

已知等边△OAB 的边长为8.（1）求反比例函数的解析式；（2）求等边△AFE的周长。

24. 如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，CD=AD，分别延长CD，BA相交与点E，且，若BC=6，求⊙O的半径。

25. 如图，甲船以每小时位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西方向30°的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向B2处，此时两船相距航行多少海里？26. 若分别以△ABC的AC，BC两边为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG，则称这两个正方形为外展双叶正方形。

（1）发现：如图1，当∠C=90°时，△ABC与△DCF的面积 .（请在横线上填写“相等”或“不等”）（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧做的正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为外展叶正方形。

已知△ABC中，AC=4、BC=5，运用（2）中的结论，当∠ACB为何值时，图中阴影面积和有最大值？并求出最大值。

（4）拓展：如图4，分别以平行四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、BCHG、CDJI、DALK 若平行四边形ABCD的周长为20，∠DAB=60°，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由。

27. 设t是实数,二次函数y=2x2+3tx-t的图像与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）（1）求证：2x22-3tx1+3t>0；（2）若A，B两点之间的距离不超过3t1，求t的最大值。

2-0），B（0），C（0，-3）三点，线段BC与抛物28. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（线的对称轴ι相交与点D，设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。

（1）求该抛物线的解析式（2）设Q是平面内一点,若以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等,求出所有点Q的坐标；（3）若满足（2）中条件的点Q均在抛物线y=9（x-t）2-7外（不含点Q在抛物线上），求点t的取值范围。

数学试卷答案一、选择题1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.A9.D 10.C二、填空题11.12. 1 213.115.3k12-<≤-16. 1 417. 42 2518.110°19.a<0且a≠-120.①②④⑤三、解答题21.若AC=BC=3㎝∴∵AD=BE，∵DB=AB=∴BE=2⨯故答案为：22.解：方程两边同乘x（x-1）得：a（x-1）=x+2，整理得：（a-1）x=2+a，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=0或1，当x=0时，2+a=0，即a=-2；当x=1时，a-1=2+a，无解，即当a=1或-2时原方程无解．23.（1）过C作CM⊥OA△OAB为边长为8的等边三角形，C为OB中点OC=4，∠BOA=60°在Rt△OCM中，CM=OC·sin60°=OM=OC·cos60°=2，C（2，代入反比例解析式得：k=则反比例解析式为x>0）（2）过点D 作DH ⊥AF ，垂足为点H ，设AH=a （a ＞0）．在Rt △DAH 中，∵∠DAH=60°，∴∠ADH=30°．∴AD=2AH=2a ，25. 解：连结A 1B 2，如图，A 1A 2=20=60 ∵∠A 1A 2B 2=60°，A 1A 2=A 2B 2= ，∴△A 1A 2B2为等边三角形，∴A 1B 2=A 2A 1B 2=60°，∵∠1=30°，∴∠B 1A 1B 2=180°-30°-60°=90°，在Rt △B 1A 1B 2中，B 1B 2= =∴乙船航行的速度= 3/时）答：乙船每小时航行26. （1）证明：在△ABC 与△DFC 中，∵AC DC ACB DCF BC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ． ∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S △ABC =12BC •AP ，S △DFC = 12FC •DQ ， ∴S △ABC =S △DFC ；（3）30；（4）27.（1）解：∵二次函数y=2x 2+3tx-t 的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0）． ∴令y=0，得2x 2+3tx-t=0，∴△=（3t ）2+8t=9t 2+8t ＞0，根据根与系数的关系有，x 1+x 2= 3t 2- ，x 1x 2=t 2- （1）x 2是2x 2+3tx-t=0的一根，∴2x 22+3tx 2-t=0，∴2x 22-3tx 1+3t=2x 22+3tx 2-t-3tx 1-3tx 2+3t+t ，=-3t （x 1+x 2）+4t=-3t ×3t 2-（）+4t = 1t t 22（9+8）>0 即：2x 22-3tx 1+3t ＞0；（2））∵二次函数y=2x 2+3tx-t 的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0）． ∴AB 2=（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2 =23t 92t=t 2t 24++2（-） ∵A ，B 两点之间的距离不超3t 12- ∴AB≤23t 12-，且AB>0, ∴AB 2≤23t 12-， ∴2293t 2t t 142+≤- ∴1t 5≤ ∴t 的最大值为1528.（1）21y x 33---（2）（-12），（-4），（0，7）（3）t t <>百时教育名校题库2016年10月。