共渐近线的两个双曲线系的解题功能

共渐近线的两个双曲线系的解题功能

甘肃

彭长军

本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。

命题1：与双曲线22

22b y a x -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲

线系方程为22

22b

y a x -=λ(λ≠0) (*)

证明：（1） 当λ>0时，方程(*)可变形为λλ22

22b y a x -=1,

22,0b a >λλ>0.表示中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线

方程为y=λ

λ

a b ±x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。

（2）当λ<0

时，方程(*)可变形为λ

λ22

2

2a x b y ---=1, -22,0a b ->λλ>0.。表示中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线，其渐

近线方程为y=λ

λ

--±a b x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。

由（1）（2）可知，原命题成立。

同理，与双曲线22

22b x a y -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线

系方程为22

22b

x a y -=λ(λ≠0)。

命题2:以直线Ax ±By=0为渐近线的双曲线系方程为

(Ax+By)(Ax-By)=λ(λ≠0)，即A 2x 2-B 2y 2=λ(λ≠0)。

证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。

推论:以两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0为渐近线的双曲线系方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=λ(λ≠0)。

运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。

例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为

y=±

b

a

x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x 0,y 0)，使b 0x >a 0y ，则双曲线的焦点（）

A.当a>b 时在x 轴上

B.当a

C.在x 轴上

D.在y 轴上 解：由双曲线的渐近线方程为y=±b

a

x ，即bx ±ay=0,可知双曲线的方程为b 2x 2-a 2y 2=λ（λ≠0）。

∵点M(x 0,y 0)在双曲线上，∴λ= b 2x 02-a 2y 02>0, ∴双曲线的焦点在x 轴上,故选C.

例2.求与双曲线16

92

2y x -=1有共同的渐近线，且经过点A （-3，23）的双曲线方程。

解：设所求双曲线方程为1692

2y x -=λ(λ≠0)。将A 点坐标代入，得λ=4

1

，故所求双曲线方程为16922y x -=41，即44

922y x -=1

例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________。

解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0。因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x-2y) =λ，即

2249y x -=λ(λ≠0)。将P 点坐标代入，得λ=144，故所求双曲线方

程为2

2

49y x -=144，即36

162

2y x -=1。 例 4.以椭圆224y x +=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+3y=0的双曲线方程是_____。

解：由16642

2y x +=1，得c 2=48，设所求双曲线方程为

2

2

3y x -=λ(λ≠0)，即

3

2

2

λ

λ

y x -

=1。由已知知λ=c 2=48，故所求双曲

线方程为16

482

2y x -=1。 例 5.以双曲线224y x -=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+3y=0的双曲线方程是_________。

解： 由16642

2y x -=1，得c 2=80。设所求双曲线方程为

2

2

3y x -=λ(λ≠0)，即

3

2

2

λ

λ

y x -

=1。由已知，得λ+

3

λ

=80，∴λ=60,故所求双曲线方程为20

602

2y x -=1。 例6.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F(-4,0)，一条渐近线的方程是3x-2y=0，求此双曲线的方程。

解：设所求双曲线方程为2

2

49y x -=λ(λ≠0)，即

4

9

2

2

λ

λ

y x -

=1,则

9λ+4

λ

=(-4)2=16,∴λ=13576。故所求双曲线方程为13

144136022y x -=1。 例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线（y-2）2=-4(x-2)的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程。

解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。设所求双曲线的方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=λ(λ≠0)。将顶点坐标代入，得λ=16。故所求双曲线方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=16。化简整

理，得16

)2(4)3(2

2---y x =1。 例8. 求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。

解：由5y+4=0即y=-

5

4

为双曲线的一条准线可知双曲线的焦点在平行于y 轴的直线上。

设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=λ(λ≠0)，即

9)2(16)1(2

2

λλ-----x y =1,∴c 2=916λλ-+-=)(14425λ-⋅,∴从而有λ

λ

--12516

=1+5

9

54=,即λ-2035

9

=,∴λ=-144,故所双曲线方程为：

16)2(9)1(22---x y =1. 例9．求过点P(2,-1)且渐近线方程分别为2x+y-8=0和x-3y+4=0的双曲线方程。

解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)( x-3y+4)=λ(λ≠0)，则

λ=[2×2+4×（-1）-8][1×2-3×（-1）+4]=-72, ∴所求双曲线的方程