共渐近线的两个双曲线系的解题功能
双曲线函数的图像与性质及应用
一个十分重要得函数得图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数得图象、性质与重要得应用,就是高考要求范围内得一个重要得基础知识.那么在高三第一轮复习课中,对于重点中学或基础比较好一点学校得同学而言,我们务必要系统介绍学习(ab ≠0)得图象、性质与应用、2.1 定理:函数(ab ≠0)表示得图象就是以y=ａx 与x=0(y 轴)得直线为渐近线得双曲线。
首先,我们根据渐近线得意义可以理解:ax 得值与得值比较,当很大很大得时候, 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是a ｘ得值;当得值很小很小,几乎为0得时候,ax 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是得值、从而,函数(ab ≠0)表示得图象就是以ｙ＝ax 与x=0(y 轴)得直线为渐近线得曲线.另外我们可以发现这个函数就是奇函数,它得图象应该关于原点成中心对称、由于函数形式比较抽象,系数都就是字母,因此要证明曲线就是双曲线就是很麻烦得,我们通过一个例题来说明这一结论.例1.若函数就是双曲线,求实半轴a,虚半轴b,半焦距c,渐近线及其焦点,并验证双曲线得定义.分析:画图,曲线如右所示;由此可知它得渐近线应该就是与x ＝0∴ a==, =tan30º,F 1(2,)F ２(-2,-)、3232(21+==-x x PF PF所以,函数表示得曲线就是双曲线、(在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”,其实很不准确得.)2.2五种表现形式表现 １:函数 (ａ＞0,b >0)得双曲线大概图象如下:渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上函数分别就是单调递增得,在与上函数分别就是单调递减得;在x=处有极大值,在x=处有极小值;值域就是.表现 2:函数 (ａ<0,b <0)得双曲线大概图象如下:渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上函数分别就是单调递减得,在与上函数分别就是单调递增得;在ｘ=处有极小值,在x=处有极大值;值域就是。
双曲线的性质离心率渐近线
与抛物线关系比较
离心率的特性
01
抛物线的离心率e=1，处于椭圆和双曲线之间。
焦点和准线
02
抛物线有一个焦点和一条准线，而双曲线有两个焦点和两条渐
近线。
对称性
03
抛物线和双曲线都关于其对称轴对称。
不同圆锥曲线间转换条件
焦点位置变化
随着焦点位置的变化，圆锥曲线的形状也会发生变化。当 焦点沿实轴移动时，双曲线可以转换为椭圆或抛物线。
渐近线与双曲线位置关系
渐近线与双曲线无限接近但永不相交 。
双曲线上的点无限接近于渐近线，但 永远不会落在渐近线上。
利用渐近线判断双曲线开口方向
01 当$a > b$时，双曲线的开口方向沿着$x$轴方向。 02 当$a < b$时，双曲线的开口方向沿着$y$轴方向。 03 可以通过观察渐近线的斜率来判断双曲线的开口
渐近线
双曲线的渐近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。当x趋近于无穷大 时，双曲线趋近于这两条直线。
离心率与形状
离心率越大，双曲线开口越宽 ；离心率越小，双曲线开口越
窄。
02 离心率及其意义
离心率定义与计算公式
定义
离心率是双曲线的一个重要参数 ，用于描述双曲线与其焦点之间 的距离关系。
对于标准方程 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，若a>b，则焦点在y轴上；若 a<b，则焦点在x轴上。
结合图像进行直观判断
观察双曲线图像，若图像关于y轴对称且开口方向沿x轴，则焦点在x轴上。
观察双曲线图像，若图像关于x轴对称且开口方向沿y轴，则焦点在y轴上。 以上判断方法可以帮助我们快速确定双曲线在坐标系中的位置，进而研究 其性质和特点。
高二双曲线知识点大招
高二双曲线知识点大招在高二数学学习中，双曲线是一个非常重要的知识点。
它具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等等。
为了帮助同学们更好地理解和掌握双曲线的知识，本文将介绍一些双曲线的基本概念、性质和应用，以及一些解题的技巧和方法。
一、双曲线的基本概念双曲线是平面上的一条曲线，它的定义是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这两个定点叫作焦点，与焦点连线的直线叫作准线。
双曲线可以看作是一对镜面对称的开口朝下的抛物线，焦点在横轴上。
二、双曲线的性质1. 镜面对称性：双曲线有关于横轴和纵轴的镜面对称性。
即，如果曲线上一点坐标为(x, y)，那么该曲线上的另一点坐标为(x, -y)；如果曲线上一点坐标为(x, y)，那么该曲线上的另一点坐标为(-x, y)。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是横渐近线和纵渐近线。
横渐近线是指曲线的两支曲线无限延伸时，与横轴趋于无限远的两条直线。
纵渐近线是指曲线的两支曲线无限延伸时，与纵轴趋于无限远的两条直线。
3. 焦准关系：双曲线上的任意一点到焦点的距离减去到准线的距离的差等于常数，这个常数叫作双曲线的离心率。
4. 参数方程：双曲线的参数方程是一个参数化的方程，通过给定一个参数t，可以得到曲线上的点的坐标。
三、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 光学：在光学中，双曲线被用于描述折射和反射的规律。
光线在介质间传播时，由于折射率的不同，会按照双曲线的形状传播。
2. 通讯：在无线通讯中，双曲线被用于定位和测距。
通过接收到信号的时间差和双曲线方程，可以计算出发送信号的位置。
3. 经济学：在经济学中，双曲线被用于描述供求关系，特别是在价格弹性的分析中。
通过双曲线的坡度和弹性系数，可以判断市场上商品的需求和供应情况。
四、解题的技巧和方法1. 曲线的参数方程：了解双曲线的参数方程可以方便我们对双曲线进行计算和分析，尤其是在解题过程中。
双曲线的几何性质及应用
第2课时 双曲线的几何性质及应用 学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)(2)过点A (1,0)作直线l 与双曲线x 2－y 2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)(3)直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．(√)类型一 直线与双曲线位置关系例1 已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试确定满足下列条件的实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k (x －1)，消去y ， 得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4×(4－3k 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，得－233＜k ＜233且k ≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，得k ＝±233， 此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k ＝±233或±1时， 直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，得k ＜－233或k ＞233， 此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0时，k ＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点；当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52. 综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题例2 过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，求|AB |的长． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 反思与感悟 解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题．跟踪训练2 设A ，B 为双曲线x 2－y 22＝1上的两点，线段AB 的中点为M (1,2)．求： (1)直线AB 的方程；(2)△OAB 的面积(O 为坐标原点)．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 (1)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，消去y ， 整理得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，解得k ＝1.当k ＝1时，满足Δ＞0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由(1)得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×4＋12＝4 2.又O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×42×22＝2. 类型三 直线与双曲线位置关系的综合问题例3 直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)＞0，－2k k 2－2＞0，2k 2－2＞0，解得k 的取值范围为－2＜k ＜－ 2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ⎝⎛⎭⎫62，0，则F A ⊥FB ， ∴⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋y 1y 2＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 1－62⎝⎛⎭⎫x 2－62＋(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝0， (1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫k －62(x 1＋x 2)＋52＝0， ∴(1＋k 2)·2k 2－2＋⎝⎛⎭⎫k －62·2k 2－k 2＋52＝0， 化简得5k 2＋26k －6＝0， 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65(舍去)， 可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点． 反思与感悟 解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解．跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题 (1)解 依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32， 又∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72， M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1， ∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切.1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的渐近线方程答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( )A ．(1,2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34， ∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 3解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2， ∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2 16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22.故满足条件的直线l 有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1 D ．y 2－x 24＝1 考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线的方程答案 B2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.43考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32. 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＝a 2c交于点M ，设其右焦点为F ，且点F 到渐近线的距离为d ，则( )A ．|MF |＞dB ．|MF |＜dC ．|MF |＝dD ．与a ，b 的值有关考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其它性质答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的标准方程答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 6．斜率为2的直线l 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，3)C ．(1，5)D ．(5，＋∞) 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 D7．设P 为双曲线C ：x 2－y 2＝1上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos ∠F 1PF 2＝13，则△PF 1F 2的外接圆半径为( ) A.94 B ．9 C.32D ．3 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝13，所以sin ∠F 1PF 2＝223. 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)， 即22223＝2R ，解得R ＝32， 即△PF 1F 2的外接圆半径为32，故选C.二、填空题8．两个正数a ，b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝________.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 133解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.又a ＞b ，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴e ＝c a ＝133. 9．已知双曲线C ：x 24－y 2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围 是________．考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e ＞2，即4＋m 4＞2，∴m ＞4. 10．已知双曲线C 的离心率为3，焦点为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝3|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 33 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 设A 为右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，且|F 2A |＝m ，由题意可得|F 1A |＝3m ，由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，解得m ＝a ，又e ＝c a ＝3， 可得c ＝3a .在△AF 1F 2中，|F 1A |＝3a ，|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝23a ，可得cos ∠AF 2F 1＝a 2＋12a 2－9a 22×a ×23a＝33. 11．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,1)，则直线l 的方程是_________________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 8x －y －15＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1， 两式相减可得，(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0， 由M (2,1)为AB 的中点，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，可得直线AB 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×42＝8， 即直线AB 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.将y ＝8x －15代入双曲线的方程x 2－y 24＝1， 可得60x 2－240x ＋229＝0，即有Δ＝2402－4×60×229＝240×11＞0，故直线l 的方程为8x －y －15＝0.三、解答题12．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且过点(－3，42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 由双曲线的几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线方程解 (1)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)， 把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，所以λ＝1， 所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝1. (2)直线方程4x －y －6＝0可变形为y ＝4x －6，把y ＝4x －6代入x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0， 则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 所以|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋16)×⎝⎛⎭⎫42－4×103＝21023. 13．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意，知a ＝23，所以一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0， 所以|bc |b 2＋12＝3，所以b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程，消去y 得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，所以⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．四、探究与拓展14．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，②又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92， 当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号，故选C. 15．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F (－2,0)．(1)求双曲线的方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l的方程．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有e ＝c a＝2，c ＝2，所以a ＝1，b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于点M 且过焦点F (－2,0)， 所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0,2k )．因为|MQ →|＝2|QF →|且M ，Q ，F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ， 所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，23k ， 又因为点Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， 所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212， 所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)． 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )，代入双曲线方程，得16－4k 23＝1，所以k ＝±352， 所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)． 综上，直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
有共同渐近线的双曲线的求法剖析
有共同渐近线的双曲线的求法剖析作者：孙卫星来源：《现代商贸工业》2009年第03期摘要：双曲线是数学学习的重要的一个部分，渐进线是在求解过程中经常用到的，而共轭双曲线有共同的渐近线，但有相同渐近线的双曲线却未必是共轭双曲线，所以在教学过程中要注意探求解题的规律、方法，主要研究的就是有关共同渐进线的双曲线的一些求法。
关键词：双曲线；共轭；渐进线中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1672-3198（2009）03-0213-02在《解析几何》教材第二章“圆锥曲线”中，双曲线除了具有其它几种圆锥曲线的性质外，还有它独具的性质，那就是双曲线具有渐近线这条性质，至于什么是渐近线，在这里不是我们要讨论的内容，而主要对“有共同渐近线的双曲线”这一问题进行简单的探讨。
教材中有“双曲线与它的共轭双曲线有共同的渐近线”这句话，许多学生学到这儿就会这样认为：既然双曲线与它的共轭双曲线有共同的渐近线，那么有共同渐近线的双曲线就一定是共轭双曲线了。
这显然是错误的。
对于这一点，除了教材上并未说互为共轭双线是它们有共同渐近线的充要条件外，很明显，双曲线不是共轭双曲线，但它们的渐近线都是。
因此我们说，共轭双曲线有共同的渐近线，但有相同渐近线的双曲线却未必是共轭双曲线，并且有相同渐近线的双曲线有无数条。
为此，我们有下面的结论：其中k是非零常数。
此定理的简单证明，只要注意分k＞0与k＜0两种情况讨论，过程比较简单，这里不再赘述。
当所求双曲线与某已知双曲线有相同渐近线时，利用此定理去解，非常简单，只要根据已知条件把常数求出k即可。
通过以上题目，我们可以发现，如果知道所求双曲线的渐近线情况，求双曲线，则用定理1、定理2或推论去解，求解过程就相当简单。
因此，在教学过程中要注意探求解题的规律、方法，就会使学生收到事半功倍的效果。
参考文献［1］题海.高中数学［M］.北京：中国大百科出版社, 1990,（1）.［2］王建宏.数学(理科)跳出题海［M］.拉萨：西藏人民出版社,2006,（8）.［3］张希孝,丁国文.高考总复习（数学）［M］.北京：北京教育出版社，2004,（6）.。
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导庞敬涛渐近线是双曲线的几何性质中特有的性质，加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于同学们对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握。
一、深刻理解双曲线的渐近线概念1、对关键词“渐近”的理解，它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限地靠近，但永远都不会相交。
也可以这样理解，当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限地远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。
2、渐近线的作法，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线。
二、掌握双曲线的渐近线方程的求法根据双曲线的标准方程求渐近线，把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程。
比如，双曲线方程为),0b ,0a (1by a x 2222>>=-则渐近线方程的求法是令0by a x 2222=-，渐近线方程为.0b y a x =±三、掌握双曲线的渐近线常见结论1、两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数。
2、两条渐近线关于x 轴、y 轴对称。
3、等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x 。
4、共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同。
四、例题分析1、根据几何性质求双曲线的渐近线。
例1 已知21F F 、为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的焦点，过2F 作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且︒=∠30F PF 21，则双曲线的渐近线方程为（ ）。
A. x 22y ±= B. x 3y ±= C. x 33y ±= D. x 2y ±= 由条件知21F PF ∆为直角三角形，又︒=∠=30F PF ,c 2|F F |2121，可利用a 、b 、c 三者的关系式与三角形中边的关系式联立，解得a 与b 的关系，从而求解。
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
共渐近线的双曲线方程及其应用
共渐近线的双曲线方程及其应用
双曲线是一种类型对称的抛物线，是用圆形与两条直线相交于同一点而得到的曲线，双曲线的最初应用是在地理学上，用来描述地球表面的曲线。
有时候需要研究双曲线上的各种扩展性，共渐近线是一个有用的工具。
共渐近线是一种特殊的双曲线，它的一端连续，另一端离散，而且它们的曲线趋于相同的线；共渐近线的特点是它的快速减速，以及有限的弹性。
共渐近线的形式如下：
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
$$ b > a$$
这里，a表示纵轴，b表示横轴，因此双曲线的参数依赖于a和b。
共渐近线主要在几何学中使用，它可以用来描述实体的变形，或是研究物体在某一画面上的运动轨迹，并且一般的实体的变形都可以使用双曲线来描述，如果物体的轨迹是一种双曲线，那么可以讲它表示为共渐近线的形式，从而更方便的研究它的运动情况。
共渐近线也可以用在椭球上，它可以用来描述椭球的曲率，通常是用来模拟不同类型物质的地形和洼地。
总而言之，双曲线和共渐近线是数学中有用的曲线，可以用来研究各种图形、实体和物质的变形，运动情况和曲率，是实际应用中必不可少的工具。
圆锥曲线解题技巧如何利用双曲线的渐近线和焦点求解问题
圆锥曲线解题技巧如何利用双曲线的渐近线和焦点求解问题圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，也是解题时常会遇到的问题。
在圆锥曲线的研究和解题过程中，我们可以运用双曲线的渐近线和焦点，来辅助我们解决问题。
本文将介绍如何利用双曲线的渐近线和焦点，在解题过程中应用相关的技巧。
一、双曲线的渐近线双曲线是一个重要的圆锥曲线，其特点是有两条渐近线。
在解题过程中，渐近线可以帮助我们确定双曲线的形状和特性，从而更好地理解和解决问题。
双曲线的渐近线可以通过以下步骤求得：1. 通过对双曲线方程进行变换，将其转化为标准形式。
标准形式的双曲线方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。
2. 根据双曲线的标准形式，我们可以得到其渐近线的斜率为±(b/a)。
3. 确定渐近线的截距。
根据双曲线的标准形式，我们可以得到渐近线的截距为±(0, ±b)。
通过以上步骤，我们可以得到双曲线的渐近线方程和截距。
在解题时，可以利用这些渐近线来帮助我们理解双曲线的形状，从而更好地解决问题。
二、双曲线的焦点双曲线的焦点是解题过程中需要重点关注的一个要素，通过确定焦点的位置，我们可以更好地解决与双曲线相关的问题。
双曲线的焦点可以通过以下步骤求得：1. 通过对双曲线方程进行变换，将其转化为标准形式。
标准形式的双曲线方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。
2. 根据双曲线的标准形式，焦点的坐标为(F, 0)，其中F为焦距。
3. 确定焦距。
焦距的计算公式为c = √(a^2 + b^2)，其中c为焦距。
通过以上步骤，我们可以得到双曲线的焦点坐标及焦距。
在解题时，可以利用这些焦点来求解与双曲线相关的问题，从而得到更准确和全面的解答。
三、应用双曲线的渐近线和焦点解题在解题过程中，我们可以运用双曲线的渐近线和焦点，来解决与双曲线相关的问题。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，确定双曲线的方程和参数。
新课标人教A版选修2-1辅导资料—双曲线的简单几何性质(含答案)
双曲线的简单几何性质一、要点精讲1．双曲线的标准方程和几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为()022≠=-λλy x ，离心率2=e ，渐近线方程x y ±=。
3、共渐近线的双曲线系方程：与-22a x 22b y =1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-22ax ()022≠=λλb y ，若0>λ，则双曲线的焦点在轴上；若0<λ，则双曲线的焦点在轴上。
4、共焦点的双曲线系方程：与-22ax 22b y =1焦点相同的双曲线系方程可设为()2222221,+x y k b k a a k b k -=<<-二、基础自测1.（15安徽）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 2．（2013湖北）已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± 4.（15广东）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B.191622=-y x C.116922=-y x D. 14322=-y x 5．（2013湖南）设F 1、F 2是双曲线C,22221x y a b-=(a >0，b>0)的两个焦点。
双曲线的渐近线和共轭双曲线课件
渐近线的存在使得双曲线在某些 方向上看起来更接近于直线。
渐近线的求法
确定双曲线的焦点位置
确定渐近线的方程
首先需要确定双曲线的焦点位置，这 可以通过给定的双曲线方程或已知条 件来确定。
利用已知的渐近线斜率和焦点位置， 可以确定渐近线的方程。
计算渐近线的斜率
根据双曲线的焦点位置和原点之间的 连线斜率，可以计算出渐近线的斜率 。
方程。
根据给定双曲线的焦距，求出 与给定双曲线共轭的双曲线方
程。
03
双曲线与渐近线、共轭双曲线的 联系
双曲线与渐近线的关系
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的形状和位置密切相关。
渐近线的斜率与双曲线的实轴和虚轴 的斜率相等。
当双曲线上的点逐渐接近渐近线时， 该点与渐近线的距离会无限接近于零 。
双曲线与共轭双曲线的关系源自共轭双曲线是与原双曲线具有相 同渐近线但不同顶点和焦点的双
曲线。
共轭双曲线的性质与原双曲线相 似，但在几何形状上可能有所不
同。
共轭双曲线的实轴和虚轴的长度 相等，且与原双曲线的实轴和虚
轴成直角。
双曲线、渐近线、共轭双曲线在实际问题中的应用
在物理学中，双曲线、渐近线和共轭双曲线可以用于描述波动、光学和力学等现象 。
双曲线的渐近线和共轭双曲 线课件
• 双曲线的渐近线 • 共轭双曲线 • 双曲线与渐近线、共轭双曲线的联
系 • 双曲线的几何意义 • 习题与解答
01
双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线上的一个重要概 念，它描述了双曲线在无穷远处
趋于直线的趋势。
渐近线是双曲线与直线之间的“ 桥梁”，它反映了双曲线的形状
渐近线的性质
双曲线的性质知识点题型梳理
双曲线的性质知识点题型梳理【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x aa x a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a. 对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得22222()11b c a c e a a a-==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
双曲线的渐近线及其应用
双曲线的渐近线及其应用双曲线作为数学中的重要概念之一，具有许多特殊性质和应用。
其中，双曲线的渐近线是双曲线研究的一个重要方面。
本文将介绍双曲线的定义与性质，重点探讨双曲线的渐近线性质和应用。
一、双曲线的定义与性质双曲线是平面上两个给定直线（称为焦点直线）与一个固定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。
一般来说，双曲线分为左右两支，左支的焦点在左侧，右支的焦点在右侧。
双曲线的方程通常可以用以下形式表示：（x^2/a^2）-（y^2/b^2）=1双曲线有许多独特的性质，例如，焦点与焦点直线的距离之和等于顶点到焦点直线的距离。
此外，双曲线还具有渐进性质，即双曲线会与两条直线无限地靠近但永远不会相交。
这两条直线称为双曲线的渐近线。
二、双曲线的渐近线性质双曲线的渐近线是指在无限远点处与双曲线趋近于平行的一对直线。
双曲线的渐近线通常可以通过计算来确定。
具体而言，对于双曲线的方程（x^2/a^2）-（y^2/b^2）=1，渐近线可以用以下公式给出：y = ± (b/a) * x双曲线的渐近线既可以是水平线，也可以是倾斜线，取决于双曲线的形状和方程的具体参数。
对于右支的双曲线，渐近线是两条倾斜向上的直线，而对于左支的双曲线，渐近线则为两条倾斜向下的直线。
双曲线的渐近线有许多重要的性质。
首先，渐近线与双曲线的曲线趋近于无限远点，这意味着双曲线在远离原点的位置上可以近似看作是渐近线。
其次，渐近线与双曲线的交点称为渐近点，它们是双曲线的特殊点。
最后，渐近线方程的斜率与双曲线的常数b/a有关，斜率越大，双曲线趋近于渐近线的速度就越快。
三、双曲线的应用双曲线的渐近线在许多学科和领域中具有重要应用。
以下是双曲线渐近线的几个典型应用：1. 经济学中的双曲线应用：双曲线的渐近线能够揭示经济学中的某些关系趋势。
例如，在边际效用递减的理论中，双曲线的渐近线代表着效用递减程度。
2. 物理学中的光学应用：双曲线的渐近线可用于描述光的传播路径。
例谈双曲线轨迹方程的几种求解情形_
例谈双曲线轨迹方程的几种求解情形作者：曹雪亮来源：《中学生数理化·学研版》2015年第10期双曲线是高中数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点.一般来讲，是运用待定系数法求取双曲线标准方程.然而，在具体解题的过程中，需要根据不同情形做具体分析.接下来，将结合具体例子来探讨双曲线标准方程的求取情形，希望能够对高中数学教学同仁起到交流或者启发意义.一、利用双曲线定义求解例1已知点A、B和点N，其中点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（2，0），且点N满足条件：|NA|-|NB|=2.现在，请求点N的轨迹方程.解析：根据双曲线的定义可知，本题中点N的轨迹是一双曲线，它以A、B为焦点，且其实半轴为1，半焦距为2，虚半轴为3.又因为NA>NB，所以点N的轨迹为双曲线的右半部分.据此，可以求得N的轨迹方程为：x2-y23=1（x≥1）.解题讨论：定义是双曲线题型求解的重要方法，尤其是在求双曲线的过程中，根据双曲线的定义可以有效识别和挖掘题目给出的条件.通过双曲线的定义，可以快速找到解题突破点，从而减少解题的弯路，节省解题时间.二、焦点未知时的待定系数法例2已知某双曲线经过两个点（27，-3）和（-7，-62）.请求出该双曲线的轨迹方程.解析：由于焦点未知，可以按照待定系数法设该双曲线为mx2-ny2=1，并假设mn>0.那么由已知条件将两个点的坐标代入该方程有49m-72n=1，28m-9n=1.求解该式，可得m=1[]25，n=1[]75.将m和n代入常设方程可得所要求取的双曲线标准方程为：x225-y275=1.解题讨论：如果所要求取的双曲线焦点未知，那么没有必要设置为标准方程的形式，不妨对其进行模糊化处理.待定系数法可以忽略特定方程的形式，并可以充分利用已知条件，因而在数学解题中经常用到.在求解焦点未知的双曲线轨迹方程时，待定系数法可以快速地将点的坐标转化为方程组，过程简介，思路清晰，从而减少计算量.三、共同渐近线情形下的解法例3已知某双曲线与下列双曲线有共同渐近线：x29-y216=1，且该双曲线经过点A（-3，26）.请求出该双曲线的轨迹方程.解析：由已知条件可设所求双曲线轨迹方程为x29-y216=α，将点A（-3，26）代入该式，可求得α=-12.于是，可得该双曲线的标准轨迹方程为：y28-2x29=1.解题讨论：该题的解法虽然看似简单，然而在解题的过程中却有很大的用处.如果不按照该解法，通过常规思维，需要首先求出已知双曲线的渐近线，然后判断已知点与该渐近线的位置关系，然而再列出方程求取.这不仅增加思路复杂度，而且还增加计算量，从而增加出错的概率.事实上，x2a-y2b=α是一系列具有同样渐近线的双曲线簇.因而本例中根据已知双曲线设所求双曲线轨迹方程为x29-y216=α就减少了大量计算，并且可以避免渐近线与点关系的讨论.四、与其他曲线综合时的解法例4已知某双曲线与下列椭圆相交并与其有共同焦点：x227+y236=1，且已知二者一个交点的坐标是A（15，4）.请根据已知条件求取该双曲线的轨迹方程.解析：由椭圆焦点可知双曲线的两个焦点分别是（0，-3）、（0，3）.那么，可假设该双曲线的方程是y2a2-x29-a2=1.根据已知，将A（15，4）代入方程，可求得a2=4或者36（舍）.于是可得所求双曲线的标准轨迹方程为：y24-x25=1.解题讨论：双曲线定义中有a、b、c三个参数，然而在解题的过程中只需要知道其中一个，那么相当于只剩下另外一个未知量.在解题时，需要充分利用双曲线的这一特性.本例涉及焦点，只要求出焦点就可将双曲线设为只含有一个位置参数的形式，再通过已知点的代入，即可求出该未知参数的值，因而可以求出双曲线的轨迹方程.该例还告诉我们，数学的知识存在相关性，在考查双曲线的知识点时还会涉及其他知识点（本例是椭圆的焦点）.因此，在解题的过程中需要注意知识的交叉理解.五、结束语灵活多变是数学知识的重要特点，双曲线轨迹方程的解法同样如此，这就要求我们在数学的学习（或者教授）过程中，不断总结知识的特点，掌握其本质，并做好知识点的交叉，从而提升解题的灵活性和准确性.讨论双曲线的解题方法不仅可以帮助我们更好地解答该类题目，而且还会对圆锥曲线等知识点的求解产生积极价值.数学解题方法总是隐藏在数学知识中，它需要我们不断思考和探索，从而在促进教学效果提升的同时，还可以培养学生的数学思维、数学兴趣及数学应用能力.双曲线轨迹方程的题型是多种多样的，解题方法不是固定不变的，本文只是讨论了其中的一部分，因而只能起到抛砖引玉的作用，对于其他类型的知识点和题型，需要各位数学同仁一同探讨.作者单位：江苏省泗阳中学。
共渐近线的双曲线系方程
共渐近线的双曲线系方程
双曲线是一种独特的曲线，它可以用于表达许多奇异函数，在几
何中，可以把它视为一种具有特殊性质的曲线，其形状非常复杂，不
仅能非常清晰地表达数学函数，而且还常用于实际场景的描述。
双曲线的构图过程很复杂，它的构图函数的形式也是如此，一种
常用的双曲线函数格式是跟随通过给定点的曲线，用一个特定的双曲
线函数（也称为双曲线的方程）来表示，确定双曲线函数的公式有数
学知识，这样可以用来求出双曲线方程的系数。
共渐近双曲线（又称双曲渐近线）是一种特殊类型的双曲线，其
轨迹是从其中心趋同地向四周渐近，通用的双曲渐近线方程是：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
由此可知，共渐近双曲线的系数有两个，即$a$和$b$，这两个系
数可以控制双曲线的半长轴长度，这两者的比值确定了双曲线的形状。
因此，用双曲线描述具有共渐近特性的函数时，可以方便地解决给定
双曲线方程的系数。
双曲线具有很多应用函数，其中之一就是用双曲线来描述共趋近
特性的函数，其方程可以用双曲渐近线系数来表示，可以应用于数学
函数的曲线分析。
因此，使用双曲线的渐近方程来研究具有共趋近特
性的函数，可以有助于更好地描述该函数的特性。
共渐近线的双曲线方程设法
共渐近线的双曲线方程设法双曲线是几何学中最重要的曲线之一，它与圆形曲线相比有着重要的区别，它的定义可由共渐近线的方程来确定。
双曲线的定义有许多，它可以定义为一类曲线，其特性是它的曲线具有无穷多个抛物线的渐近线。
定义双曲线的基本方法是，原来的双曲线的非凹曲线，可以用参数方程描述，双曲线的共渐近线，可以用三维坐标表示，因此双曲线的定义可以由共渐近线来表示，可以用具有一定参数的一般方程来表示，可以用变换方法将曲线中心归结为一个点，或者用其它方法将曲线简化为一种常用的曲线来表示。
共渐近线的双曲线方程设法，是为了解决共渐近线变换方程等问题而研制的。
共渐近线的双曲线方程设法，是一种有效的方法，可以用来求解双曲线的共渐近线。
可以把一个双曲线的渐近线归结为一个变量，然后根据变换方程，以构建一种共渐近线类型的双曲线，从而逐步解决双曲线的共渐近线变换方程等问题，来求解双曲线的渐近线问题。
双曲线的共渐近线变换方程研究的一个重要组成部分，就是双曲线自身的共渐近线设法，也就是双曲线方程设法。
双曲线的共渐近线设法，可以用一般的参数方程来描述，它和常规的参数方程类似，只是把曲线中心位置定义为一个变量。
可以根据变换方程，将参数方程中的曲线中心变换为双曲线中心，从而构建出一种共渐近线类型的双曲线，从而解决双曲线共渐进线变换方程的问题。
双曲线的共渐近线变换方程是一种重要的几何学技术，可以用来求解双曲线的渐近线问题，它可以将双曲线的渐近线归结成一个变量，然后根据变换方程，以构建一种共渐近线类型的双曲线，从而逐步求解双曲线的渐近线问题。
双曲线的共渐近线变换方程涉及到多个知识领域，研究双曲线共渐近线设法可以利用多个学科的知识综合研究，从而进一步深入研究双曲线的共渐近线变换方程等问题。
总而言之，共渐近线的双曲线方程设法是一种有效的方法，可以利用该方法来求解双曲线的共渐近线变换方程，可以从而更好地了解双曲线，实现更有效的求解双曲线渐近线问题，为研究双曲线提供更多的研究和应用机会。
把握渐近线与双曲线的关系巧解题
把握渐近线与双曲线的关系巧解题刘祥兵【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)021【总页数】2页(P5-6)【作者】刘祥兵【作者单位】山东省邹城市第一中学【正文语种】中文渐近线是圆锥曲线中双曲线所具有的特殊性质,因此以渐近线为视角的高考试题也是屡见不鲜．本文对渐近线的有关性质进行梳理,并就其应用举例分析,供同学们复习参考．1 渐近线与双曲线图象的关系当双曲线向外无限延伸时与直线无限地接近,但永远不会与这2条直线相交．例1 已知双曲线直线l,则“直线l与曲线C只有1个交点”是“直线l与曲线C相切”的( ).A 充分不必要条件;B 必要不充分条件;C 充要条件;D 既不充分也不必要条件由双曲线渐近线的性质可知,若直线l与双曲线的渐近线平行,则l与曲线C只有1个交点,但不是相切．故选B．当直线与圆或椭圆只有1个交点时,直线与圆或椭圆相切,但对于双曲线和抛物线,则不一定相切．若直线与抛物线的对称轴平行,则直线与抛物线只有1个交点,但不是相切．2 渐近线与双曲线方程的关系由双曲线方程得对渐近线方程变形得和注意观察二者之间的关系,两渐近线方程左边相乘即得双曲线方程的左侧,因此由渐近线方程可直接表示出双曲线方程．类似地,焦点在y轴上的双曲线方程,也满足此情况．因此渐近线为的双曲线方程可表示为再利用其他条件确定λ的值即可．例2 设双曲线C经过点(2,2),且与具有相同渐近线,则C的方程为________;渐近线方程为________.据共渐近线双曲线方程的关系,可设曲线C的方程为将点(2,2)代入得λ=-3,所以双曲线C的方程为渐近线方程为若双曲线方程确定,则渐近线确定,反之则不然．共渐近线的双曲线有无数组,但这些双曲线的方程,可统一表示为再根据其他条件确定λ的值,当λ>0时,焦点在x轴上,当λ<0时,焦点在y轴上．3 渐近线与双曲线离心率的关系双曲线的离心率据此构建了渐近线的斜率与离心率的关系,从而可以利用渐近线求离心率,也可以根据离心率求渐近线方程．例3 (2018年全国卷Ⅱ) 双曲线的离心率为其渐近线方程为( ).由得所以渐近线方程为故选A．此类问题求解中要注意双曲线焦点所在位置,若焦点在y轴上,则渐近线方程为4 渐近线与双曲线焦点的关系利用点到直线的距离公式,可求得双曲线的焦点F到渐近线的距离为应用此结论可快速解答相关问题．例4 (2018年天津卷) 已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 2点.设点A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6, 则双曲线的方程为( ).图1如图1所示,设双曲线的右焦点为F,AC，FE，BD垂直于渐近线垂足分别为C，E，D,易知四边形ABDC为直角梯形,EF为梯形的中位线,所以又已知双曲线的离心率为2,联立解得即a2=3．所以双曲线方程为故选A．双曲线的焦点到渐近线的距离为b,这一结论也可利用图形关系直接得到．借助图1,在Rt△OEF中,结合OF=c及a2+b2=c2可得结论．当然与渐近线有关的结论还不只于此,如:1)过双曲线上任意一点,到2条渐近线距离的积是定值．2)过双曲线上任一点P作x轴的垂线l交2条渐近线于M、N2点,则PM·PN=b2,当直线l垂直于y轴时，PM·PN=a2．3) 过双曲线上一点P的切线与两条件渐近线分别交于点M、N,则PM=PN．在此不再列举．。
共渐近线的双曲线方程设法
共渐近线的双曲线方程设法在双曲线的数学中，共渐近线是一种特殊的双曲线，因其直线段两边的点具有相同的切线斜率而得名。
因此，它也被称为“直线对称双曲线”。
本文研究共渐近线的双曲线方程设法，并且讨论其中的研究问题。
首先，共渐近线的双曲线方程设法可以表示为：frac {(x-x_0)^2}{a^2}-frac {(y-y_0)^2}{b^2}=1 其中，(x_0，y_0)是双曲线的中心，a和b是双曲线的短轴和长轴，它们是双曲线的两个半径。
第二，解析这个方程，可以得到双曲线共渐近线的矩形框架：frac {(x-x_0)^2}{a^2} + frac {(y-y_0)^2}{b^2} = a^2 + b^2 换言之，双曲线共渐近线的矩形框架是由双曲线的中心，以及双曲线的短轴和长轴所确定的。
而共渐近线的双曲线方程给出的可以更加清晰的表示方式是：frac {(x-x_0-a)^2}{a^2}+frac {(y-y_0-b)^2}{b^2}=1 这里，(x_0，y_0)表示双曲线共渐近线的中心，(a，b)表示双曲线共渐近线的短轴和长轴，它们也可以表示为双曲线共渐近线的长度和宽度。
第三，从这个方程可以看出，双曲线共渐近线的绘制需要解算以下方程：frac {x-x_0-a}{a^2}=frac {y-y_0-b}{b^2}解算方法有两种：一种是利用代数的方法，即可以用两个“方程”求解的方法来求解；另一种是利用微积分的方法，即可以用微积分的方法来求解。
最后，考虑一下关于双曲线共渐近线绘制的一些基本问题。
首先，双曲线共渐近线是一种根据双曲线的中心，以及双曲线的短轴和长轴来求解双曲线共渐近线的框架的方法。
其次，当双曲线共渐近线的长轴和短轴比例变化时，绘制双曲线共渐近线也会相应的发生变化。
最后，双曲线共渐近线的绘制可以使用代数的方法和微积分的方法来解算。
本文主要介绍了双曲线共渐近线的双曲线方程设法以及相关的求解方法，并且研究了其中的研究问题。
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共渐近线的两个双曲线系的解题功能
甘肃
彭长军
本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。
命题1：与双曲线22
22b y a x -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲
线系方程为22
22b
y a x -=λ(λ≠0) (*)
证明：（1） 当λ>0时，方程(*)可变形为λλ22
22b y a x -=1,
22,0b a >λλ>0.表示中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线
方程为y=λ
λ
a b ±x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。
（2）当λ<0
时，方程(*)可变形为λ
λ22
2
2a x b y ---=1, -22,0a b ->λλ>0.。
表示中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线，其渐
近线方程为y=λ
λ
--±a b x=x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同。
由（1）（2）可知，原命题成立。
同理，与双曲线22
22b x a y -=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线
系方程为22
22b
x a y -=λ(λ≠0)。
命题2:以直线Ax ±By=0为渐近线的双曲线系方程为
(Ax+By)(Ax-By)=λ(λ≠0)，即A 2x 2-B 2y 2=λ(λ≠0)。
证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。
推论:以两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0为渐近线的双曲线系方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=λ(λ≠0)。
运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。
下面举例说明。
例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为
y=±
b
a
x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x 0,y 0)，使b 0x >a 0y ，则双曲线的焦点（）
A.当a>b 时在x 轴上
B.当a<b 时在y 轴上
C.在x 轴上
D.在y 轴上 解：由双曲线的渐近线方程为y=±b
a
x ，即bx ±ay=0,可知双曲线的方程为b 2x 2-a 2y 2=λ（λ≠0）。
∵点M(x 0,y 0)在双曲线上，∴λ= b 2x 02-a 2y 02>0, ∴双曲线的焦点在x 轴上,故选C.
例2.求与双曲线16
92
2y x -=1有共同的渐近线，且经过点A （-3，23）的双曲线方程。
解：设所求双曲线方程为1692
2y x -=λ(λ≠0)。
将A 点坐标代入，得λ=4
1
，故所求双曲线方程为16922y x -=41，即44
922y x -=1
例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________。
解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0。
因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x-2y) =λ，即
2249y x -=λ(λ≠0)。
将P 点坐标代入，得λ=144，故所求双曲线方
程为2
2
49y x -=144，即36
162
2y x -=1。
例 4.以椭圆224y x +=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+3y=0的双曲线方程是_____。
解：由16642
2y x +=1，得c 2=48，设所求双曲线方程为
2
2
3y x -=λ(λ≠0)，即
3
2
2
λ
λ
y x -
=1。
由已知知λ=c 2=48，故所求双曲
线方程为16
482
2y x -=1。
例 5.以双曲线224y x -=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+3y=0的双曲线方程是_________。
解： 由16642
2y x -=1，得c 2=80。
设所求双曲线方程为
2
2
3y x -=λ(λ≠0)，即
3
2
2
λ
λ
y x -
=1。
由已知，得λ+
3
λ
=80，∴λ=60,故所求双曲线方程为20
602
2y x -=1。
例6.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F(-4,0)，一条渐近线的方程是3x-2y=0，求此双曲线的方程。
解：设所求双曲线方程为2
2
49y x -=λ(λ≠0)，即
4
9
2
2
λ
λ
y x -
=1,则
9λ+4
λ
=(-4)2=16,∴λ=13576。
故所求双曲线方程为13
144136022y x -=1。
例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线（y-2）2=-4(x-2)的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程。
解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。
设所求双曲线的方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=λ(λ≠0)。
将顶点坐标代入，得λ=16。
故所求双曲线方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=16。
化简整
理，得16
)2(4)3(2
2---y x =1。
例8. 求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。
解：由5y+4=0即y=-
5
4
为双曲线的一条准线可知双曲线的焦点在平行于y 轴的直线上。
设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=λ(λ≠0)，即
9)2(16)1(2
2
λλ-----x y =1,∴c 2=916λλ-+-=)(14425λ-⋅,∴从而有λ
λ
--12516
=1+5
9
54=,即λ-2035
9
=,∴λ=-144,故所双曲线方程为：
16)2(9)1(22---x y =1. 例9．求过点P(2,-1)且渐近线方程分别为2x+y-8=0和x-3y+4=0的双曲线方程。
解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)( x-3y+4)=λ(λ≠0)，则
λ=[2×2+4×（-1）-8][1×2-3×（-1）+4]=-72, ∴所求双曲线的方程
为(2x+4y-8)(x-3y+4)=-72,即x2-6y2-xy+20y+20=0.
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