第五章 弯曲内力

第五章弯曲内力习5-1如图5-6所示各梁，试求指定截面（标有细线）的剪力和弯矩。

图5-6解：（a）图5-6a所示为悬臂梁，不必先求支座反力。

由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩，1-1截面：，2-2截面：，（f）如图5-6f所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力，由简便方法，即得指定截面上的剪力和弯矩，1-1截面：，2-2截面：，（i）图5-6i所示为外伸梁，但由于指定截面均位于外伸段，故不必求支座反力。

由简便方法，直接可得指定截面上的剪力和弯矩，1-1截面：，2-2截面：，习5-2试建立习题5-2图所示各梁的剪力方程和弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图并确定|F S|max和|M|max。

习题5-2图解：（d）图（d）所示为悬臂梁，无需求支座反力。

如图d所示，在距梁左端A为x处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为（0<x<l）根据剪力方程、弯矩方程，作出该简支梁的剪力图和弯矩图如图d所示。

由图可得（i）如图（i）所示习题5-2图先取外伸梁AC为研究对象，由平衡方程求出其支座反力根据梁上外力情况，需分AB、BC两段建立其剪力方程和弯矩方程。

在距梁左端A为x处任取一截面，由简便方法，列出其剪力方程、弯矩方程分别为AB段：BC段：根据剪力方程、弯矩方程，分段作出该简支梁的剪力图和弯矩图如图i所示。

由图可得习5-3如图5-8所示各梁，试利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系作剪力图和弯矩图。

图5-8解：（a）图5-8a所示为悬臂梁，无需求支座反力。

根据梁上外力情况，作图时应分为、两段。

利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-8a所示。

（b）如图5-8b所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力，根据梁上外力情况，作图时应分为、两段。

利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-8b所示。

（j）如图5-8j所示，先取简支梁为研究对象，由平衡方程求出其支座反力，根据梁上外力情况，作图时应分为、两段。

利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-8j所示。

习5-5试选择合适的方法作出简支梁在图5-10所示四种载荷作用下的剪力图和弯矩图，并比较其最大弯矩值。

试问由此可以引出哪些结论？图5-10解：在如图5-10所示四种载荷作用下，由对称性易知，简支梁的支座反力相等，均为利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，分别作出该简支梁在四种载荷作用下的剪力图、弯矩图如图5-10a、b、c、d所示，其最大弯矩值分别为，，，由此可见，将载荷分散作用于梁上，可减小梁内的最大弯矩值，从而提高梁的承载能力。

习5-6 试作出习题5-6图所示刚架的弯矩图。

解：（a）如图a所示刚架一端固定、一端自由，无需支座反力。

根据刚架的结构和所受外力情况，应分为CB、BA两段来绘制其弯矩图。

CB段：其上没有分布载荷，弯矩图为斜直线，作图需2个控制点。

由截面法或简便方法，得其两端截面上的弯矩BA段：弯矩图为斜直线，作图需2个控制点。

弯矩在B端处连续，即有再由截面法或简便方法，得其下端A截面上的弯矩综上所述，即可作出该刚架的弯矩图如图b所示。

习5-7试选择适当方法作出图5-12所示各梁的剪力图和弯矩图，并确定与。

图5-12解：（d）如图5-12d所示，选取简支梁为研究对象，由对称性得其支座反力利用弯矩、剪力和载荷集度间的关系，作出其剪力图和弯矩图如图5-12d所示。

由图可得，第六章弯曲应力习6-1对称形截面如图6-5所示，已知、、、。

（1）求阴影部分对水平形心轴的静矩；（2）问轴以上部分面积对轴的静矩与阴影部分对轴的静矩有何关系？解：（1）确定形心位置如图6-5所示，将整个形截面分割为上、下两个矩形，根据平面图形的形心坐标计算公式，得其形心坐标（2）求阴影部分对轴的静矩将阴影部分分割为上、下两个矩形（见图6-5），由公式（6-3），得其对轴的静矩（3）由于整个形截面对形心轴的静矩为零，由此推断，轴以上部分面积对轴的静矩与阴影部分对轴的静矩互为相反数，即二者大小相等，正负号相反。

习6-3如图6-7a所示，简支梁承受均布载荷作用。

若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且，，试分别计算它们的最大正应力并比较其大小。

解：（1）计算空心圆内、外径据题意，实心圆与空心圆的面积相等，即有代入已知条件，解得空心圆的内、外径分别为，（2）确定最大弯矩作出梁的弯矩图如图6-7b所示，可知梁的最大弯矩（3）计算最大正应力并比较大小对于实心圆截面梁，其最大正应力对于空心圆截面梁，其最大正应力比较二者大小即相对于实心圆截面梁，空心圆截面梁的最大正应力减小了。

习6-4矩形截面悬臂梁如习题6-4图（a）所示，已知L=4m，b/h=2/3，q=10kN/m，[σ]=10MPa。

试确定梁的横截面尺寸。

习题6-4图解：（1）作弯矩图，确定最大弯矩作出梁的弯矩图如习题6-4图（b）所示，可见其最大弯矩（2）强度计算根据弯曲正应力强度条件习6-5 20a号工字钢简支梁的受力情况如图6-9a所示。

已知许用应力，试求许可载荷。

解：（1）作弯矩图，确定最大弯矩作弯矩图如图6-9b所示，可见、截面同为危险截面，其处最大弯矩（2）强度计算查型钢表得20a工字钢的抗弯截面系数。

根据弯曲正应力强度条件≤解得≤所以，许可截荷习6-7如图6-11a所示，简易吊车梁为一根45a工字钢，梁自重，最大起吊重量，材料的许用应力，试对该梁进行强度校核。

解：（1）求支座反力选取梁为研究对象，作出其受力图如图6-11a所示，由对称性得支座反力（2）作弯矩图，确定最大弯矩作弯矩图如图6-11b所示，可见危险截面位于梁的跨中，其处最大弯矩（3）强度校核查型钢表得号工字钢的抗弯截面系数。

根据弯曲正应力强度条件＜所以，该梁的强度满足要求。

习6-9形截面悬臂梁的长度、横截面尺寸以及所受载荷如图6-13a所示。

已知，截面对形心轴的惯性矩；梁的材料为铸铁，许用拉应力，许用压应力。

试按强度条件确定梁的许用载荷。

解：（1）作弯矩图，确定最大弯矩作梁的弯矩图如图6-13b所示，可见正、负弯矩的最大值分别在、截面取得，为，（2）强度计算此梁为脆性材料，横截面关于中性轴又不对称，故需分别对最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个截面进行强度计算。

截面：弯矩为正值，故其上的最大拉、压应力分别发生在截面的下、上边缘处。

由拉应力强度条件≤解得≤由压应力强度条件≤解得≤截面：弯矩为负值，故其上的最大拉、压应力分别发生在截面的上、下边缘处。

显然只需考虑拉应力强度条件，由≤解得≤综上所述，梁的许用载荷为习6-13 如图6-17所示矩形截面简支梁，试计算1–1截面上点和点的正应力和切应力。

解：（1）求支座反力选取梁为研究对象，作出其受力图如图6-17所示，由平衡方程得其支座反力，（2）确定1–1截面上剪力和弯矩用截面法或简便方法，得1–1截面上剪力、弯矩分别为，（3）计算1–1截面上点和点的正应力1–1截面上的弯矩为正值，故截面中性轴以上部分受压、以下部分受拉。

根据弯曲正应力计算公式，得点、点的正应力分别为（4）确定1–1截面上点和点的切应力根据公式（6-20），得1–1截面上点、点的切应力分别为习6-17梁的受力情况与截面尺寸如图6-21a所示。

已知惯性矩，试求最大拉应力和最大压应力，并指出最大拉应力和最大压应力的所在位置。

图6-21解：（1）求支座反力由对称性可知，梁的支座反力（见图6-21a）（2）确定最大弯矩作出弯矩图如图6–21b所示，可见正、负弯矩的最大值分别在、（）截面处取得，其大小相等，为（3）求最大拉应力和最大压应力根据弯矩的正负号不难判断，梁的最大拉应力发生在（）截面的上边缘处；最大压应力发生在截面的上边缘处，其大小相等，即有习6-20矩形截面外伸梁如习题6-20图所示，已知q=20kN/m，Me=40kN·m，材料的许用应力[σ]=170MPa、[τ]=100MPa。

试确定该梁的截面尺寸。

习题6-20图解：（1）求支座反力选取外伸梁AC为研究对象，作受力图如习题6-20图a所示，由平衡方程得其支座反力(2)作剪力图和弯矩图，确定最大剪力和最大弯矩作出梁的剪力图、弯矩图分别如习题6-20图b、c所示，其最大剪力、最大弯矩分别为（3）由弯曲正压力强度条件确定截面尺寸根据弯曲正压力强度条件解得由弯曲正压力强度条件初选（4）弯曲切应力强度校核根据弯曲切应力强度条件，有符合切应力强度要求。

所以，可以确定梁的截面尺寸为第七章弯曲变形习题7-5用积分法求图7-9所示各悬臂梁的挠曲线方程以及自由端的挠度和转角。

设梁的为常量。

图7-9解：（a）如图7-9a所示，悬臂梁的弯矩方程为将上述弯矩方程依次带入公式（7-5）、（7-6）积分，得转角方程（a）和挠曲线方程（b）梁的位移边界条件为，将式（a）、（b）代入上述位移边界条件，可得关于积分常数的2个代数方程，联立解之，即得2个积分常数，再将所得积分常数回代式（a）、（b），整理即得该梁的转角方程（c）和挠曲线方程（d）最后，将带入式（c）、（d），得自由端的挠度和转角分别为，（b）如图7-9b所示，分段列出梁的弯矩方程段（≤≤）：段（≤＜）：将上述弯矩方程分别依次带入公式（7-5）、（7-6）积分，得转角方程段（≤≤）：（a）段（≤＜）：（b）和挠曲线方程段（≤≤）：（c）段（≤＜）：（d）该梁的位移边界条件为，位移连续条件为，将式（a）、（b）、（c）、（d）代入上述位移边界条件和位移连续条件，可得关于积分常数的4个代数方程，联立解之，即得4个积分常数依次为，，，再将所得积分常数回代到式（a）、（b）、（c）、（d）中，整理得该梁的转角方程段（≤≤）：（e）段（≤＜）：（f）挠曲线方程段（≤≤）：（g）段（≤＜）：（h）最后，将带入式（g）、（e），得自由端的挠度和转角分别为，，习题7-7用叠加法计算图7–11a所示悬臂梁截面的挠度和转角。

设梁的为常量。

解：如图7-11b所示，在均布载荷单独作用下，横截面的转角和挠度由表查出，分别为，如图7-11c所示，在力偶单独作用下，横截面的转角和挠度由表查出，分别为，由图7-11c所示几何关系，得在力偶单独作用下横截面的转角和挠度，将以上结果叠加，即得在均布载荷和力偶共同作用下，截面的挠度和转角习题7-12 试用叠加法计算图7-16所示各种外伸梁的外伸端C的挠度和转角。

设梁的EI为常量。

图7-16解：（b）将图7-16所示外伸梁分解为如图7-16b1、b2和b3三种情况的叠加。

查表得，截面C 的转角分别为截面C的挠度分别为将上述所得结果叠加，即得图7-16b所示外伸梁的外申端C的挠度和转角习题7-16一工字钢简支梁受力如习题7-16图所示，若许用应力[σ]=160MPa，许用挠度[]=L/400，材料的弹性模量E=210GPa，试选择工字钢的型号。