已知圆上任意三点求圆心坐标及半径程序
4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1.正确理解圆的一般式方程及其特点，会求圆的一般方程；2.熟练圆的一般式方程与标准方程的互化；3.初步掌握求动点的轨迹方程的思想方法。
教学重难点重点：根据圆的一般方程，熟练地求出圆心和半径。
难点：能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程。
复习回顾：圆的标准方程是什么？思考：若把圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开后，会得出怎样的形式？探究一、圆的一般方程思考：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆？一、圆的一般方程二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程叫做圆的一般方程。
圆心为_⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2_，半径长为__D 2＋E 2－4F 2__. 圆的一般方程的特点：（1）x 2，y 2项的系数相等且不为零； （2）没有xy 项； （3）D 2＋E 2－4F ＞0.思考：给出二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的一般方程确定成立的条件？二、圆的一般方程与标准方程的关系（1）标准方程易于看出圆心与半径，一般方程突出了方程形式上的特点.（2）a ＝2D -，b ＝2E-，r ＝D 2＋E 2－4F 2.问题：圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢？探究二、圆的参数方程思考：如图，设⊙O 的圆心在原点，半径是r ，与x 轴正半轴的交点为P 0，在圆上任取一点P ，若将OP 0按逆时针方向旋转到OP 位置所形成的角∠P0OP ＝θ，求P 点的坐标.3.圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ是参数）(2)圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）典例讲解题型一、圆的一般方程的概念例1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为（ ）A.(1，2)B.(1，－2)C.(－1，2)D.(－1，－2) 例2.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是（ ）A.14<m <1B.m >1C.m <14D.m <14或m >1 例3.已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围． (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．题型二、求圆的方程例4.根据下列条件求圆的方程：（1）过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)；（2）经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；（3）求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且截直线0=-y x 的弦长为72的圆的方程.题型三、圆的参数方程 例5.已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （0≤θ<2π），如果圆上点P 所对应的参数θ＝5π3，则点P 的坐标是________.例6.若直线y ＝x ﹣b 与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ∈[0，2π]）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）A.(2B.[2C.(,2(22,)-∞++∞D.(2例7.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ﹣23y ＝0.（1）求x 2＋y 2的最大值； （2）求x ＋y 的最小值.题型三、与圆相关的轨迹问题例8.已知：一个圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，证明：圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.例9.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆（x ＋1）2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.变式：如图，已知点A (－1，0)，与点B (1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．探究！到两定点的距离之比为定值的点的轨迹到两定点F 1、F 2的距离之比为定值λ（λ>0）的点的轨迹是圆.例10.已知一曲线是与两定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程.题型四、与圆相关的最值问题（数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”）例11.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.（1）求yx 的最大值与最小值；（2）求y －x 的最大值与最小值；（3）求x 2＋y 2的最大值和最小值．变式：实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：（1）4-x y；（2）2x ＋y .课堂小结1.本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为⎪⎩⎪⎨⎧>-+=++++0402222F E D F Ey Dx y x 2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程配方得标准方程，标准方程（圆心，半径）展开得一般方程。
圆的标准方程与坐标系之间的关系是什么
圆的标准方程与坐标系之间的关系是什么一、关键信息1、圆的标准方程的定义和形式2、坐标系的类型（如直角坐标系、极坐标系等）3、圆在不同坐标系中的表现形式4、标准方程与坐标系之间的转换方法5、利用坐标系求解圆的相关参数（如圆心坐标、半径等）二、圆的标准方程概述11 圆的标准方程一般形式为：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄为圆心坐标，＄r$为圆的半径。
111 该方程直观地表达了圆上任意一点$（x, y)＄到圆心$（a, b)＄的距离等于半径$r$。
三、坐标系的种类及特点21 直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系，是由两条相互垂直的数轴组成，分别为$x$轴和$y$轴。
211 在直角坐标系中，点的位置由其在$x$轴和$y$轴上的坐标确定。
22 极坐标系，是用极径和极角来确定点的位置。
221 极径表示点到极点的距离，极角表示极径与极轴的夹角。
四、圆在直角坐标系中的方程31 当圆心在原点$（0, 0)＄时，圆的标准方程为$x^2 ＋ y^2 ＝ r^2$。
311 通过给定圆上一点的坐标，可以利用方程求出半径。
32 若圆心在$（a, b)＄，则方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$。
321 可以通过展开方程，得到关于$x$和$y$的二次方程形式。
五、圆在极坐标系中的方程41 以极点为圆心，半径为$r$的圆的极坐标方程为$＼rho ＝ r$。
411 对于一般位置的圆心，其极坐标方程较为复杂，需要通过坐标转换来推导。
六、标准方程与坐标系之间的转换51 从直角坐标系中的标准方程转换到极坐标系。
511 设直角坐标系中的点$（x, y)＄对应的极坐标为$（＼rho, ＼theta)＄，则有$x ＝＼rho ＼cos\theta$，＄y ＝＼rho ＼sin\theta$。
512 将其代入圆的标准方程，可得到极坐标方程。
52 从极坐标系方程转换到直角坐标系方程。
521 利用$＼rho ＼cos\theta ＝ x$，＄＼rho ＼sin\theta ＝ y$进行代换和化简。
19-20 第2章 2.3 2.3.1 圆的标准方程
2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点) 4．圆的标准方程的求解．(难点)1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养.1．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.2．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r0000－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外C[圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝(3－2)2＋(2－3)2＝2＜r，∴点P 在圆内．]2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝16的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[圆心为(0,0)，半径r＝4，P到圆心的距离d＝m2＋25＞4，所以P在圆外．]3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)， 2D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.]4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4[圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]直接法求圆的标准方程A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52[思路探究](1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．(1)A(2)A[(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]1．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．2．确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25C[因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.]待定系数法求圆的标准方程B(－2，－5)的圆的标准方程．[思路探究]解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．[解]法一：设点C为圆心，∵点C在直线：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2， 解得a ＝－2.∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－(－5)2－(－2)＝12，所以弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝－2， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为： y ＋4＝－2x ， 即y ＝－2x －4.故圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，由⎩⎨⎧y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2. 即圆心为(－1，－2)，圆的半径为 r ＝(－1－2)2＋(－2＋3)2＝10，所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x －a )2＋(y －b )2＝r 2)→列方程组(由已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组，求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)．2．充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单．2．求圆心在x 轴上，且过点A (5,2)和B (3，－2)的圆的标准方程． [解] 法一：设圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．则⎩⎨⎧b ＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝0，r ＝ 5.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5. 法二：因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为y ＝－12(x －4)， 令y ＝0，得x ＝4.即圆心坐标为C (4,0)， 所以r ＝|CA |＝(5－4)2＋(2－0)2＝ 5. 所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5.与圆有关的最值问题1．若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.【例3】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.求yx 的最大值和最小值． [思路探究] yx 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx ＝k ，即y ＝kx ， 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.故yx 的最大值为3，最小值为－ 3.1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． [解] 设y －x ＝b ， 即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6.故y －x 的最大值为－2＋6， 最小值为－2－ 6.2．在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：1．形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ab x＋lb截距的最值问题．3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)直接法求圆的标准方程，(2)待定系数法求圆的标准方程，(3)求与圆有关的最值的方法．3．本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m ＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3. 2．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A ．13π B ．213π C ．2πD ．23πB [因为圆的半径为13，所以圆的周长为213π.]3．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [因为(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以4a 2＋(a －2)2＜5，解得－15＜a ＜1.]4．已知圆M 的圆心坐标为(3,4)，且A (－1,1)，B (1,0)，C (－2，3)三点一个在圆M 内，一个在圆M 上，一个在圆M 外，求圆M 的方程．[解] ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5， |MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25， |MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26， ∴|MB |＜|MA |＜|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外， ∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.课时分层作业(十九) 圆的标准方程(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9D[由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.]2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0B[由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.]3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4A[已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.]4．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20C[因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r ＝(－1－0)2＋(2－0)2＝5，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.]5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5C [直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎨⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.]二、填空题6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________． (x －2)2＋y 2＝25 [由题意知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)，半径为12(－1－5)2＋(4＋4)2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.]7．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________．a >113或a <－113 [∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.]8．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．1＋2 [圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.]三、解答题9．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程． [解] 圆心在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝r 2.将点(1,10)代入得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2， ① 而r ＝|a －13|5，代入①，得(a －1)2＋16＝(a －13)25，解得a ＝3，r ＝25或a ＝－7，r ＝4 5.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.10．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.[等级过关练]1．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于()A．3B．2C．5D．1A[由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，所以a＋b－3＝0，即a ＋b＝3，故选A.]2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是()A．2，12(4－5)B．12(4＋5)，12(4－5)C ．5，4－5D ．12(5＋2)，12(5－2)B [点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋(－1)2＝455，又|AB |＝5，所以△P AB 面积的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.]3．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．(x ＋5)2＋y 2＝5 [如图所示，设圆心C (a,0)，则圆心C 到直线x ＋2y ＝0的距离为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.]4．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．5＋2 [由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.]5．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．[解] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎨⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.。
第8章第3讲 圆的方程
第3讲 圆的方程[考纲解读]1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)2．掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2021年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.1.圆的定义及方程 定义 平面内与□01定点的距离等于□02定长的点的集合(轨迹)标准方程□03(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心：□04(a ，b )，半径：□05r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：□06⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：□0712D 2＋E 2－4F 平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： 设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在□01圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在□02圆上； (3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在□03圆内．1．概念辨析(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径r＝12＋12＝2，所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案 B解析若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－22或m>2 2.(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．答案(－1,1)解析因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1<m<1.(4)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1解析由题意，可设所求圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.题型一 求圆的方程1．经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程为________．答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝25解析 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：(直接法)由题意，知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，所以由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5，所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.2．一圆经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6，求此圆的方程．解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见举例说明1解法一．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．见举例说明2.1．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 解法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋02＋2D ＋0E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.解法二：记O (0,0)，A (1,1)，B (2,0)，线段OB 的垂直平分线方程为x ＝1，线段OA 的垂直平分线方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y －1＝0.解方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得圆心坐标为(1,0)．所以半径r ＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.题型二 与圆有关的最值问题角度1 建立函数关系求最值1．(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB→的最大值为________．答案 12解析 ∵P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P (x ，y )在圆上，∴P A →·PB→＝x 2－4＋y 2＝6y －8－4＝6y －12，∵2≤y ≤4，∴P A →·PB →≤12.角度2 借助几何性质求最值2．(2019·湖南师大附中模拟)已知点A (－2,0)，B (0,1)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为________．答案 1或－5解析 由题意，知圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，则圆心为(a,0)，半径r ＝1，又A (－2,0)，B (0,2)可得直线AB 的方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.所以圆心到直线AB 的距离d ＝|a ＋2|2，则圆上的点到直线AB 的最短距离为d －r ＝|a ＋2|2－1，又|AB |＝4＋4＝22，所以△ABC 面积的最小值为12|AB |·(d －r )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|2－1＝3－2，解得a ＝1或－5.求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)建立函数关系式求最值．如举例说明1.根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．(2)借助几何性质求最值．如举例说明2.1．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22 D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，故选A.2．(2019·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b的最小值为()A．10 B．8C．5 D．4答案 B解析由已知，得圆心C(－4，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，又因为a>0，b>0，所以12a ＋2b＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＋2b(4a＋b)＝b2a＋8ab＋4≥2b2a·8ab＋4＝8，当且仅当b2a＝8ab时，等号成立，此时b＝4a，结合4a＋b＝1，知a＝18，b＝12.所以当a＝18，b＝12时，12a＋2b取得最小值8.题型三与圆有关的轨迹问题1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．解解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝ ⎛⎭⎪⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．掌握“三方法”2．明确“五步骤”(2019·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.组 基础关1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋y 2＝5答案 B解析 因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.故选B.3．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.5．(2019·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案 C解析 由圆C 的圆心坐标C (6,8)，得OC 的中点坐标为E (3，4)，半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.6．(2020·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不符合题意，∴k ＝－1.故选A.7．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.8．(2019·太原二模)若圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0的半径为1，则F ＝________. 答案 1解析 由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－F ，由半径r ＝2－F ＝1，解得F ＝1.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10．已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，则|3x ＋4y －26|的最小值为________．答案 15解析 解法一：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3a ＋4b －26|32＋42－r ，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x ＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.解法二：令x ＋2＝cos θ，y －3＝sin θ，则x ＝cos θ－2，y ＝sin θ＋3，|3x ＋4y －26|＝|3cos θ－6＋4sin θ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tan φ＝34，所以其最小值为|5－20|＝15.组 能力关1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆．选D.2．(2019·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A.10－1 B ．22－1 C ．2 2 D.10答案 A解析 设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2， 故⎩⎨⎧b a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，则从点A 到军营的最短总路程，即为点A ′到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1.3．(2019·贵阳模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54解析 设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A →⊥PC →.又因为P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )．所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0.所以点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54.4．(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解 (1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由f (x )＝x 2－x －6得，其图象与两坐标轴的交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.5．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A (－1,0)，点B (1,0)．点P 是圆O 上异于A ，B 的动点．(1)证明：k AP ·k BP 是定值；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ →＝－PM →，求点M 的轨迹方程C ；(3)证明：k AM ·k BM 是定值．解 (1)证明：由已知，直线AP ，BP 的斜率存在，AB 是圆O 的直径，所以AP ⊥BP ，所以k AP ·k BP ＝－1是定值．(2)设P (m ，n )，M (x ，y )，则Q (m,0)， 则PQ→＝(0，－n )，PM →＝(x －m ，y －n )， 因为2PQ→＝－PM →， 所以2(0，－n )＝－(x －m ，y －n )， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－x ＋m ，－2n ＝－y ＋n ，即⎩⎨⎧m ＝x ，n ＝13y ，①因为点P 在圆O 上，所以m 2＋n 2＝1， ② 将①代入②，得x 2＋y 29＝1，又点P 异于A ，B ，所以x ≠±1，即点M 的轨迹方程C 为x 2＋y 29＝1(x ≠±1)．(3)证明：由已知，直线AM ，BM 的斜率存在， k AM ＝y x ＋1，k BM ＝yx －1，由(2)知，x2－1＝－y29，所以k AM·k BM＝yx＋1·yx－1＝y2x2－1＝－9，即k AM·k BM是定值．。
高二数学教案 圆的方程9篇
高二数学教案圆的方程9篇圆的方程 1§7.6 圆的方程（第二课时）㈠课时目标1.掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2.待定系数法之应用。
㈡问题导学问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。
-2ax-2by+ =0问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？①；② 1③ 0；④ -2x+4y+4=0⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得 -2ax-2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+Dx+Ey+F=0 ①提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?[探索研究]将①配方得 : ( ) ②将方程②与圆的标准方程对照.⑴当＞0时, 方程②表示圆心在 (- ),半径为的圆.⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).⑶当＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.结论: 当＞0时, 方程①表示一个圆, 方程①叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:⑴和的系数相同,不等于0;⑵没有xy这样的二次项.以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标.⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。
分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
圆的一般方程和标准方程知识题型总结
圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
圆的标准方程 优秀教案
圆的标准方程【教学目标】（1）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题。
（2）通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力。
（3）通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育。
【教学重难点】教学重点：（1）圆的标准方程的推导步骤；（2）根据具体条件正确写出圆的标准方程。
教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
【教学过程】一、情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1．具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在黑板上画一个圆）。
2．图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。
二、检查预习、交流展示求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）|}，简称写点集；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0，简称列方程；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式，简称化简方程；（5）证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明。
其中步骤（1）（3）（4）必不可少。
三、合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法。
教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导。
因为C是定点，可设C（a，b）、半径r，且设圆上任一点M坐标为（x，y）。
圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
练习： 1、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标
2 2 方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
圆的极坐标方程： M(, )
2a cos
O θ C(a,0) x
思路分析： （1）任取一点，标出与 （2）找出边角共存的三角形 （3）列出三角形的边角关系式 （4）对特殊点作检验
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
.O
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
2 2 2
y
极化直： x cos , y sin
M
ห้องสมุดไป่ตู้
(x，y)
0
y
x
N
x
例2：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
解： （ 3） （ 1） 3 1 2，
三点共圆公式
三点共圆公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三点共圆公式是圆锥曲线中的一个重要知识点，它是指通过三个点可以确定一个圆的方程。
在几何学中，圆是一个平面内的所有点到圆心的距离都相等的集合。
而三点共圆公式则是利用三个点的坐标来确定一个唯一的圆。
三点共圆公式的应用范围非常广泛，可以用于解决许多几何问题。
在实际生活中，我们经常会遇到需要确定圆的情况，比如建筑设计、地理测量、数学竞赛等。
在这些领域中，三点共圆公式都是必不可少的工具。
三点共圆公式的推导过程并不复杂，下面我们来具体介绍一下。
假设我们有三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
要找到一个圆经过这三个点，首先我们可以求出三条边的中垂线，中垂线交点就是圆心的坐标。
然后再求出圆心到任意一个点的距离，这个距离就是圆的半径。
首先我们可以通过两点求中点和中点的斜率来求出中垂线的方程。
设点A到点B的中点为D，中点到A的斜率为k1，中点到B的斜率为k2。
k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)k2 = -1/k1则中垂线的斜率为k2，中垂线的方程为：(xd, yd)为中垂线的交点坐标。
将点C坐标代入上式，可以求出中垂线的方程。
同理，可以求出另外两条中垂线的方程。
求出三条中垂线的交点，即为圆心的坐标。
接着，我们可以求出圆心到任意一个点的距离，这个距离即为圆的半径。
假设圆心坐标为(Ox, Oy)，则圆的半径R满足：R = sqrt((x3 - Ox)^2 + (y3 - Oy)^2)将圆心坐标代入上述三式中，可以得到三个方程。
解这三个方程，就可以求出圆心的坐标和半径。
三点共圆公式的推导过程比较复杂，但实际运用时可以通过计算机程序或者在线工具快速求解。
对于一些几何问题，使用三点共圆公式可以方便快捷地找到圆的方程，解决问题。
三点共圆公式是一个实用的数学工具，可以广泛应用于几何学的各个领域。
掌握了这个公式，我们可以更好地理解圆的性质，解决实际问题，拓展数学知识的应用。
2019年高考数学(文)考点一遍过 考点34 圆的方程(含解析)
2019年高考数学（文）考点一遍过（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. （2）能用圆的方程解决一些简单的问题.一、圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程 222()()(0)x a y b r r -+-=>22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->圆心 (,)a b (,)22D E -- 半径r22142D E F +- 区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D 2+E 2－4F = 0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0表示一个点(,)22D E--；当D 2+E 2－4F ＜0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0没有意义，不表示任何图形． 二、点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x 0，y 0）在圆上 22200()()x a y b r -+-= 2200000x y Dx Ey F ++++=点（x 0，y 0）在圆外 22200()()x a y b r -+-> 2200000x y Dx Ey F ++++> 点（x 0，y 0）在圆内22200()()x a y b r -+-<2200000x y Dx Ey F ++++<三、必记结论 （1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． （2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：2220()()()x a y b r r =->+-，其中a ，b 为定值，r 是参数； ②半径相等的圆系方程：2220()()()x a y b r r -->+＝，其中r 为定值，a ，b 为参数．考向一 求圆的方程1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．典例1 圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,3的圆的方程是 A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()2231x y +-=D ．()2231x y ++=【答案】C故选C.【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为1，且过点()1,3，即可求得结论.1．已知圆()()22:684C x y -++=，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为 A ．()()2234100x y -++= B ．()()2234100x y ++-= C ．()()223425x y -+-=D ．()()223425x y ++-=考向二 与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．典例2 （1）已知圆C 1：（x +1）2+（y －1）2 =1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1=0对称，则圆C 2的方程为 A ．22(())221x y +-+= B ．22(())221x y -++= C ．22(())221x y +++=D ．22(())221x y --+=（2）若圆（x +1）2+（y －3）2=9上相异两点P ，Q 关于直线kx +2y －4=0对称，则k 的值为_________． 【答案】（1）B ；（2）2．（2）已知圆（x +1）2+（y －3）2=9的圆心为（－1，3），由题设知，直线kx +2y －4=0过圆心，则k ×（－1）+2×3－4=0，解得k =2．2．圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆的方程为221x y +=，则实数a 的值为 A ．0 B ．1 C ．±2D ．2考向三 与圆有关的轨迹问题1．求轨迹方程的步骤如下：建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标,()M x y ． 写集合：写出满足复合条件P 的点M 的集合(){}|M P M ． 列式：用坐标表示()P M ，列出方程(),0f x y =． 化简：化方程(),0f x y =为最简形式．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 2．求与圆有关的轨迹方程的方法典例3 已知点P （2,2），圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求点M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及POM △的面积．【答案】（1）M 的方程为（x －1）2＋（y －3）2＝2；（2）l 的方程为y ＝－13x ＋83，POM △的面积为165．【解析】（1）圆C 的方程为x 2＋（y －4）2＝16，圆心为（0,4），半径r ＝4．设M （x ，y ），则(),(42,2)CM x y MP x y ---u u u u r u u u r＝,＝．由题设可知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r，即：()(4)220)(x x y y ---+=,即（x －1）2＋（y －3）2＝2，由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程为（x －1）2＋（y －3）2＝2．3．已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.考向四 与圆有关的最值问题对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．典例4 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心为()1,1-，半径为2，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --=的距离为322=，则所求圆的半径为2，设所求圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，则422a b --=，且0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合，舍去），故所求圆的方程为()()22112x y -++=，故选C. 【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题. 典例5 已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上．（1）求x y +的最大值和最小值； （2）求yx的最大值和最小值． 【答案】（1）x y +的最大值为21-，最小值为21--；（2）y x 的最大值为2323-+，最小值为2323--.（2）y x 可视为点(),x y 与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y kx =，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即2|23|11k k +=+，解得2323k =-+或2323k =--． ∴yx的最大值为2323-+，最小值为2323--．【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值（1）记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为||AO r -，最大为||AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；（3）记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． 2．与圆的代数结构有关的最值 （1）形y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如22()()x a y b +--形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．4．已知方程224240x y x y ++--=，则22x y +的最大值是 A ．14－65 B ．14＋65 C ．9D ．141．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为 A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭2．若直线0x y a ++=是圆2220x y x +-=的一条对称轴，则a 的值为 A ．1 B ．1- C ．2D ．2-3．对于a ∈R ，直线()1210a x y a -++-=恒过定点P ，则以P 为圆心，2为半径的圆的方程是 A ．224210x y x y +-++= B ．224230x y x y +-++= C ．224210x y x y ++-+=D ．224230x y x y ++-+=4．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的取值范围是 A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．()1,0-D ．()1,1-5．已知A （－4，－5）、B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程 A ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝29 B ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝29 C ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝116D ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝116 6．圆上的点到直线的距离最大值是 A ．B ．C ．D ．7．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线2213y x -=3C 的方程为A ．()2211x y +-=B ．(2233x y +=C ．2231x y ⎛+= ⎝⎭D ．()2224x y +-=8．若直线10l ax by ++=：经过圆M ：224210x y x y ++++=的圆心，则()222(2)a b -+-的最小值为 A 5 B ．5 C ．25D ．109．已知圆C ：()()22341x y -+-=与圆M 关于x 轴对称，Q 为圆M 上的动点，当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 点的横坐标为A ．22-B ．22±C ．232-D ．232±10．过点()1,1P 的直线将圆形区域22{()4|,}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=11．已知点()1,,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．412．已知圆22:2330C x y x y +--+=，点()0,(0)A m m >，A B 、两点关于x 轴对称．若圆C 上存在点M ，使得0AM BM ⋅=u u u u r u u u u r，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是A ．332,22⎛ ⎝⎭B ．32322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．3332⎛⎝⎭D ．3332⎫⎪⎪⎝⎭13．在平面直角坐标系中，三点()0,0O ,()2,4A ，()6,2B ，则三角形OAB 的外接圆方程是__________． 14．设点M （x 0,1），若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．15．已知x ,y 满足2x －4x －4＋2y ＝0, 则22x y +的最大值为________．16．已知圆C 的圆心坐标为()00,C x x ，且过定点()6,4P ．（1）写出圆C 的方程；（2）当0x 为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，()0,0O .（1）在x 轴的正半轴上求一点M ，使得以OM 为直径的圆过A 点，并求该圆的方程; （2）在（1）的条件下，点P 在线段OM 内，且AP 平分OAM ∠，试求P 点的坐标.18．已知圆过点()1,2A -，()1,4B -．求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线240x y --=上的圆的方程．19．已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m ∈R ．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.1．（2018天津文）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．1．【答案】C【解析】由题意可知，()()0,0,6,8O C -，则圆心坐标为()3,4-()226810+-=，变式拓展据此可得圆的方程为()()22210342x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即()()223425x y -+-=. 本题选择C 选项. 2．【答案】D【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质，解答本题的关键是利用了两圆关于某直线对称时，两圆圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于1-，属于基础题． 3．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）165. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=， 所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--u u u u r u u u r，由题意知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r ，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.【思路点拨】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由CM u u u u r 与MP u u u r数量积等于0列式得M 的轨迹方程；（2）设M 的轨迹的圆心为N ，由OP OM =得到ON PM ⊥．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入三角形面积公式得答案． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系(),0F x y =； （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； （4）代入(相关点)法：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(),P x y 的轨迹方程． 4．【答案】B【解析】由224240x y x y ++--=，得圆的标准方程为()()22219x y ++-=，表示以()2,1B -为圆心，3为半径的圆，如图所示，连接OB ，并延长交圆于点A ，此时22x y +取得最大值，又()2221335OA OB r =+=-++=+,所以()22351465OA =+=+，即22x y +的最大值为1465+，故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式的应用，其中解答中利用数形结合思想，借助圆的特征，找出适当的点A ，把22x y +的最大值转化为原点与A 的距离的平方是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.1．【答案】D【解析】圆的一般方程为：223204x y x y +-+-=，据此可得，其圆心坐标为：21,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题选择D 选项. 2．【答案】B【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a 的值. 3．【答案】A【解析】由条件知()1210a x y a -++-=，可以整理为()120,x y x a +-+-=故直线()1210a x y a -++-=过定点P ()2,1-，所求圆的方程为()()22214x y -++=，化为一般方程为224210x y x y +-++=．故选A ．4．【答案】D【解析】圆的方程化为标准式为()()22111x y m -++=-，因为过点()2,0有两条直线与圆()()22111x y m -++=-相切，所以点()2,0在圆外.考点冲关所以()()221021011m m->⎧⎪⎨-++>-⎪⎩，解不等式组得11m -<<，故选D. 【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题.由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m 的取值范围. 5．【答案】B6．【答案】D【解析】因为圆心(1,1)C 到直线的距离是，又圆222210x y x y +--+=的半径，所以圆上的点到直线的距离最大值是，故选D ．7．【答案】A【解析】设圆C 的方程为()222()0x y a aa +-=>，圆心坐标为()0,a ，∵双曲线2213y x -=的渐近线方程为3y x =3 ∴22232a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a =1，∴圆C 的方程为x 2+（y −1）2=1．故选A ． 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 8．【答案】B【解析】由圆的方程知圆心为()2,1--，所以21a b +=，()222(2)a b -+-的几何意义为直线21a b +=上的动点(),a b 与定点()2,2的距离的平方，故过点()2,2向直线21a b +=作垂线段，其长的平方最小，最小值为2242155d ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，故选B.9．【答案】C【解析】圆M 的方程为：()()22341x y -++=，过M （3，−4）且与直线2y x =+垂直的直线方程为1y x =--,代入()()22341x y -++=，得232x =±，故当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 的坐标为23.2x =-10．【答案】A【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点()1,1P 的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-，即方程为20x y +-=. 11．【答案】D12．【答案】C【解析】由题得圆的方程为()(22131,x y -+-=()0,,B m -设(),,M x y 由于0AM BM ⋅=u u u u r u u u u r，所以()()222222,,0,0,,x y m x y m x y m m x y -⋅+=∴+-=∴=+由于22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，所以连接OC ，并延长和圆C 相交，交点即为M ，此时2m 最大，m 也最大.33123,60,3sin30,3sin60 3.22M M OM MOx x y =+=∠=∴=⨯=︒=︒⨯︒=故选C.13．【答案】22620x y x y +--=【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可； ②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 14．【答案】 [－1,1]【解析】由已知圆心（0,0），半径r ＝1，M 位于直线y ＝1上，过M 作圆的切线，切点为C ，D （如图）．则∠OMN ≤12∠CMD ，∴∠CMD ≥90°．当∠CMD ＝90°时，则OCM △为等腰直角三角形，故OC ＝CM ＝1． ∴所求x 0的取值范围是－1≤x 0≤1． 15．【答案】1282+【解析】由题意，曲线22440x x y --+=，即为()2228x y -+=， 所以曲线表示一个圆心在()2,0，半径为2222x y +表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2， 所以原点到圆上的点的最大距离为222+，所以22x y +的最大值为(222102+=+【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把22x y +转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．16．【答案】（1） ()()2220000=22052x x y x x x -+--+；（2）05x =，()()22552x y -+-=.【解析】（1） ()()()()2222200000064=22052x x y x x x x x -+-=-+--+；（2）()()()22222000006422052252r x x x x x =-+-=-+=-+，所以05x =时，r 最小，为2，所以min 2,S =π此时圆的标准方程为()()22552x y -+-=. 17．【答案】（1）M ()5,0，2250x y x +-=；（2）5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）设P 的坐标为(),0a ，依题可得，直线OA 的方程为：20x y -=， 直线AM 的方程为：250x y +-=. 因为AP 平分OAM ∠，所以P 点到直线OA 和AM 的距离相等.2222252112a a -=++，得25a a =-，解得5a =-或53a =. 05a <<Q ，53a ∴=， P ∴的坐标为5,03⎛⎫⎪⎝⎭.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.18．【答案】（1）x 2＋（y －1）2＝10；（2）（x －3）2＋（y －2）2＝20．（2） 解法1：直线AB 的斜率为k ＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ．即x －3y ＋3＝0． 由圆心在直线240x y --=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C （3,2）． r ＝|AC |＝()()22132220-+--=．∴所求圆的方程为（x －3）2＋（y －2）2＝20． 解法2：待定系数法设圆的方程为：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2．则.∴所求圆的方程为：（x －3）2＋（y －2）2＝20．19．【答案】（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心， 12为半径的圆．【解析】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -，5所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=的距离222121||||511m mmm-++=<++．所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-. 由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点， 故直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时， 12AB y k x -=+，又2MC yk x =+， 1AB MC k k ⋅=-， 所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭．当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆．1．【答案】2220x y x +-=【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．直通高考。
找圆心最简单的方法
找圆心最简单的方法圆心是圆的中心点，它在圆的直线对称中起着非常重要的作用。
在许多几何问题中，我们需要找到圆的圆心才能解决问题。
但是，找到圆心并不总是一件容易的事情。
在这篇文章中，我们将探讨寻找圆心的最简单方法。
首先，我们需要明白圆心的定义。
圆心是圆的中心点，它在圆周上所有点到圆心的距离相等。
因此，如果我们能够找到圆周上任意两点的中点，这个中点就可以作为圆心。
那么，如何找到圆周上任意两点的中点呢？我们可以使用圆上的正弦定理和余弦定理。
假设我们已知圆周上任意两点的坐标（x1,y1）和（x2,y2），圆的半径为r，则两点之间的距离可以用下式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)接下来，我们可以使用余弦定理和正弦定理，分别计算出两个角度和一个角度的正切值。
如下所示：cos(θ1) = (x1 - x0) / rcos(θ2) = (x2 - x0) / rsin(θ1) = (y1 - y0) / rsin(θ2) = (y2 - y0) / rtan(θ) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中θ1和θ2是圆心和两个点之间的角度，θ是两点间的夹角。
然后，我们可以将这些方程联立起来解决。
首先，我们可以使用θ1和θ2的平均值来计算圆心的坐标。
这个坐标可以表示为：x0 = (r*cos(θ1) + r*cos(θ2)) / 2y0 = (r*sin(θ1) + r*sin(θ2)) / 2此外，我们还需要使用两点之间的夹角来检查计算得到的圆心是否正确。
如果θ大于180度，则需要将θ减去360度。
最后，我们可以将计算得到的圆心坐标（x0,y0）输出。
总的来说，这个方法需要使用一些数学公式和计算，因此并不是特别简单。
但如果我们掌握了这些公式和方法，就能够快速准确地找到圆心。
另外，还有一些其他的方法也可以用来寻找圆心，比如使用圆心角或三边角平分线等，但都需要一定的数学知识和计算能力。
圆的标准方程2
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妻情分都别讲！”那壹次，李淑清没什么像以往壹贯の那样大哭大闹、胡搅蛮缠，而是掷地有声、句句在理地将他那些替水清开脱の话驳斥咯壹各体无完肤，将王爷说得哑口无言。 特别是那最后壹句，更是将淑清の彻骨寒心淋漓尽致地发泄咯出来，将他责问得羞愧难当、无地自容。他确实曾经深深地爱过淑清，但是现在，他确实也是壹各无情の负心人。在爱 上婉然，继而爱上水清之后，就将她忘在咯脑后，忘记咯他们曾经の恩爱时光，忘记咯他们曾经の夫妻情分，所以，他即使别是始乱终弃，也是移情别恋，是各别折别扣、当之无愧 の无情の负心人！此刻，左手边站立の是壹脸悲愤、情绪激动の淑清，右手边站立の是满脸惭愧、壹心求罚の水清，壹各旧爱，壹各新宠，清官难断家务案，更何况两各都是他付出 咯真心真爱の诸人！此刻他所受の内心煎熬以及痛苦折磨，壹点儿也别比下午时候の水清少。水清别过是在坚持自己の理想还是襄助王爷の大业之间进行痛苦而艰难の抉择，那是追 求理想与向现实妥协の选择。而王爷此时则是完完全全地陷入咯感情の漩涡之中，苦苦挣扎，情关难逃。第壹卷 第700章 旧爱淑清是他人生中第壹各付出真情、真心、真爱の诸人， 是他情窦初开の爱之初体验，是真正の同甘共苦、荣辱与共。他们相濡以沫地走过咯二十年の时光，二十年，他怎么能够说忘就忘？更何况，他们相亲相爱の时候，他无官无爵，别 过就是壹各皇子小格，连自己の府邸都没什么，而是寄居在皇宫中の小格所里，而她更别可能妻凭夫贵，在名份上别过就是他の壹各低阶侍妾而已。古训所言，大丈夫理当“贫贱别 能移、富贵别能淫、威武别能屈”。他们以前贫贱の时候能够共苦，现在富贵の时候却别能同甘吗？确实，现在の她随着年龄の增长，容貌、才情、智慧统统都别及豆蔻年华の水清， 从自然规律来讲，她现在是该给新人让位の时候咯。可是，对于壹各诸人来讲，那种被迫让位又是壹件多么残忍无情の事情。人老珠黄，色衰爱驰，难道他别过就是壹各贪恋美色の 无耻之徒吗？而反观水清呢？别管从前他们の关系如何，她嫁给他の时候，他早就加官进爵成为亲王，水清别但坐享其成，直接享受着王府の荣华富贵，而且还被皇上钦点册封咯亲 王侧福晋の身份，完全就是无功受禄，壹切荣华富贵の得来都是那么の轻而易举，仿佛就是天经地义の事情。可以说，除咯他の爱，水清没什么费吹灰之力，就将壹各诸人穷其壹生 所梦寐以求の壹切全都轻轻松松地得到咯。而淑清却是熬咯将近二十年，为他生育咯四各儿女，才通过他の请封而获得咯侧福晋の名份，却还要排在水清の后面。假设单从那各角度 来讲，确实是非常别公平，淑清确实有理由发泄她の强烈别满。可是从另外壹各角度来讲，水清确实又是受之无愧。别管他们是否相爱，即使是他误会她、厌恶她、羞辱她の时候， 她却从来都是以壹颗善良之心，尽职尽责地当好他の侧福晋。他永远也忘别咯，在塞外草原の时候，当他斥责水清向八小格通风报信の时候，她还会别计前嫌地与那木泰巧妙周旋， 处处维护他和婉然。如此那般以德报怨の行为，他の心灵怎么可能别被深深地触动？他也曾经炽烈地深爱过淑清。即使现在爱情越来越少，但是亲情却是永远也别可能湮灭，他别能， 也别愿做出任何令她伤心难过の壹举壹动。他现在更是深深地爱恋着水清。虽然今天の他终于看到咯她对他爱の回应，可是那仅仅只是壹各开端而已，他们未来の爱情之路仍是前途 未卜、扑朔迷离，他别想，也别敢做出任何令她伤心难过の壹举壹动。现在借琴の事情还没什么理出头绪，他又陷入咯感情纠葛の泥潭，再询问下去，别但问别出任何结果，更是要 闹得王府后院纷争四起の恶果。但是别咯咯之也别是他の处事原则，他别是糊涂昏庸之人，用逃避の方式の处理问题，只能是问题越积攒越多，矛盾越积攒越深，正所谓千里之堤毁 于蚁穴。第壹卷 第701章 下策水清和淑清，两各都是他付出过真心真情の诸人，哪壹各他都别想伤害，被逼到绝境の王爷，最终只得拿出咯
4.1.2圆的一般方程 教案(人教A版必修2)
4.1.2圆的一般方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径．(3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．(4)能用坐标法求动点的轨迹方程．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．●重点难点重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．难点：用坐标法求动点的轨迹方程．重点突破：以教材的思考为切入点，采取由特殊到一般、由具体到抽象的方法，结合圆的标准方程，突破“二元二次方程同圆的关系”这一重难点，通过学生探究合作与交流，结合题组训练，引导学生进一步掌握用“待定系数法”求解圆的一般方程；借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求动点的轨迹方程”这一难点．●教学建议本节课是上节课的拓展和延伸，可采用开门见山、单刀直入的引入方法，让学生通过对一组二元二次方程的观察比较，分析讨论，得出圆的一般方程的形式，并指明“二元二次方程”同“圆”的关系，培养学生分类讨论的思想意识．考虑到“用相关点法求动点的轨迹方程”的难度，教学时可结合一些具体例子，让学生分组协作，通过组内讨论的方式找出动点的轨迹与已知曲线的关系，教师适时点拨，这样学生既掌握了用相关点法求动点轨迹的问题，又对一般的轨迹问题有了了解，为今后进一步学习轨迹问题奠定基础．●教学流程创设问题情境，引出问题：二元二次方程同圆什么关系？⇒引导学生结合配方法及圆的标准方程得出圆的一般方程形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解二元二次方程同圆的关系及表示圆的条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，初步培养学生解决与圆相关的轨迹问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开可得到一个什么式子？ 【提示】 x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 2．观察以下三个方程： (1)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0； (2)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0； (3)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？【提示】 (1)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝－6，不表示任何图形． (2)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，表示圆． 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)表示的图形(1)变形：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4.(2)图形：①当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－D 2，－E2)，半径为12D 2＋E 2－4F ，方程(*)称为圆的一般方程； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程(*)表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程(*)不表示任何图形.下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径．(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.【思路探究】 分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．【自主解答】 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为(x －54)2＋y 2＝(54)2，∴它表示以(54，0)为圆心，54为半径长的圆．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________． 【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.【答案】 (－∞，54)并求这个圆的半径长和圆心坐标．【思路探究】 设圆的一般式方程――→过点O 、M 、N 求圆的一般式方程――→公式法求圆心坐标、半径【自主解答】 设圆的一般式方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意可知点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)满足圆的方程，即 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以，所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0化为标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. ∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r ＝5.1．一般地，所求的圆经过几点且不易得知圆心和半径，常选用一般式． 2．圆的一般式方程中也含有三个未知参数，求解时也需要三个独立的条件．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 【解】 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.【思路探究】 本题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M 的横、纵坐标之间的关系．【自主解答】 设M (x ，y )，由于M 是AP 的中点， ∴P 点的坐标是(2x －4,2y )．∵P 是圆x 2＋y 2＝1上的点， ∴(2x －4)2＋(2y )2＝1.即动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝14.本题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，故x 20＋y 20＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以，所求轨迹方程为x 2＋4y 2＝4. 【答案】x 2＋4y 2＝4忽略圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0致误已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． 【错解】 因为点A (a,2)在圆的外部， 所以a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0， 解得a >2.故所求a 的范围为(2，＋∞)．【错因分析】 上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”． 【防范措施】 对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0只有在D 2＋E 2－4F >0的前提下，它才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D 2＋E 2－4F >0.【正解】 因为点A 在圆的外部，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，(－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <94，即2<a <94.所以a 的取值范围为(2，94)．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9【解析】 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 【答案】 A2．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又P (x 0，y 0)在圆上， ∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 【答案】 x 2＋y 2＝43．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 由(－4)2＋22－4×5k >0，得k <1. 【答案】 (－∞，1)4．已知圆C 过点O (0,0)，A (1,0)，B (0，－1)，求圆C 的方程．【解】 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将O ，A ，B 三点坐标依次代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋D ＋F ＝0，(－1)2－E ＋F ＝0，解之得D ＝－1，E ＝1，F ＝0. 所以圆C的方程为x 2＋y 2－x＋y＝0.一、选择题1．(2013·聊城高二检测)方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2 D ．a ＝1【解析】 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. 【答案】 A2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.【答案】 A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 D4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C.【答案】 C5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. 【答案】 B 二、填空题6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. 【答案】 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． 【解析】 圆的半径r ＝12(－2)2＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π. 【答案】 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上， 故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题9．(2013·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．【解】 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线． 【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2， 整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λ(λ－1)]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．11．(思维拓展题)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． 【解】 (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3. ∴圆M 过定点(0，－3).等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【思路探究】 用直接法求轨迹方程，但必须考虑点C 是三角形的另一顶点，即A ，B ，C 三点不能共线，这一点容易被忽略，应注意．【自主解答】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得：(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系．把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．如图所示，自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．【解】 ∵P 为BC 中点，O 为圆心，∴OP ⊥BC .设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0(0<x <1)．① 当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(0≤x ＜1).。
圆的一般方程
变式3、圆(x+2)2+y2=5关于y=-x+1对
(x-1)2+(y-3)2=5 称的圆的方程__________
变式4、点P（2，1）在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上， 点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则 a=___ ，b=___. （法一）因为点P（2，1）关于x+y-1=0的对 称点为P′(0,-1)， 4+1+2a-2+b=0 所以 1+2+b=0 b=-3 a （法二）由已知圆心（ ，1)在直线x+y-1=0上， 2
分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看
是否成立即可.
解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B ､C三点的坐标分别代入圆的方程得
∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3) 代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当 D2 E 2 4F 0 时，表示圆，
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆 心与半径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 是 圆心（3，-1）半径 10 不是
已知三点求圆的标准方程
已知三点求圆的标准方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：已知三个点求圆的标准方程是解析几何中一个常见且重要的问题。
在数学上，圆是一个平面上所有点到给定点的距离相等的集合。
而已知三个点，可以确定一个唯一的圆。
在求解三个已知点求圆的标准方程时，通常采用数学方法进行推导和计算。
下面将详细介绍求解这一问题的步骤和方法。
假设我们已知三个点A、B、C，它们的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。
我们要求解通过这三个点的圆的标准方程。
步骤一：确定圆的中心坐标我们需要确定圆的中心坐标。
已知三个点确定的圆一定是一个唯一的圆，因此这个圆的中心一定在三个已知点的垂直平分线的交点上。
具体地，我们可以根据两点确定一直线的斜率公式来计算出A和B 的垂直平分线的斜率，然后根据斜率求垂直线斜率的倒数得到垂直平分线的斜率。
利用已知的三点A、B、C，结合求出的垂直平分线的斜率和中点坐标，我们就可以确定圆的中心坐标。
接下来，我们需要确定圆的半径。
已知圆的中心坐标和任意一点坐标就可以确定一个圆，其余两点到圆心的距离一定等于圆的半径。
我们可以利用圆心坐标和其中一个点的坐标，来计算得到圆的半径。
步骤三：写出圆的标准方程我们已经确定了圆的中心坐标和半径，可以写出圆的标准方程。
圆的标准方程通常为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2a和b分别是圆的中心坐标的x坐标和y坐标，r是圆的半径。
通过以上步骤，我们可以得到通过三个已知点求圆的标准方程。
这个问题在几何分析中起到了重要的作用，不仅可以帮助我们理解圆的性质，还可以应用到解决实际问题中。
总结：已知三个点求圆的标准方程是解析几何中一个重要的问题，通过确定圆的中心坐标和半径，我们可以得到圆的标准方程。
这个问题展示了数学在几何中的应用，对于加深我们对圆的理解有很大帮助。
【字数不足，请问还需要继续增加内容吗？】第二篇示例：已知三点求圆的标准方程是解析几何学中的一个重要问题。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究：2、探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为Ａ（a ，b ）,半径为ｒ。
(其中a 、b 、r 都是常数，ｒ>０）设M （ｘ，y ）为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)Ｐ＝{Ｍ||ＭA|=ｒ},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =ﻩ①化简可得:222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程,得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究:点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:(１)2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 (２）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （３)2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例(2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数．（学生自己运算解决）例(３)：已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
观测圆上多个任意点及其圆心坐标拟合
观测圆上多个任意点及其圆心坐标拟合张应芳;张爱国;苏积聪;黄海明;韦霄【摘要】基于最小二乘法的原理,推算圆上观测若干坐标点拟合圆心坐标的公式及其圆心坐标精度评定,并通过实地测量标准圆形构件验证圆心坐标拟合计算公式的正确性.同时,运用matlab编程语言实现圆心坐标拟合计算程序,在大型机械设备的制造与安装等方面具有一定的应用价值.【期刊名称】《黑龙江工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(028)002【总页数】5页(P27-31)【关键词】最小二乘法;圆心坐标拟合;精度评定;间接平差【作者】张应芳;张爱国;苏积聪;黄海明;韦霄【作者单位】厦门理工学院计算机与信息工程学院,福建厦门361024;厦门理工学院计算机与信息工程学院,福建厦门361024;厦门理工学院计算机与信息工程学院,福建厦门361024;厦门理工学院计算机与信息工程学院,福建厦门361024;厦门理工学院计算机与信息工程学院,福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】P207在当前机械企业的大型圆形构件检测问题上，各种圆形大构件的中心精度对于构件能否成功安装以及正常工作具有至关重要的作用。
本文提出通过全站仪或GPS等测量仪器获得圆形大构件上的若干坐标点，利用最小二乘原理推算其圆心坐标计算公式，并将计算到的圆心坐标与观测到的圆心坐标进行一致性检测，从而检定圆形构件的制作工艺是否合格。
同时，通过matlab编程开发圆心三维坐标拟合软件程序，加强原理公式的实际应用，提升其在大型机械设备的制造与安装等方面的应用价值。
单个圆的圆心坐标拟合又分二维和三维情况讨论。
1.1 单个圆的圆心坐标拟合解决思路1.1.1 二维情况下单个圆圆心坐标拟合设定圆形大构件的圆心坐标为(x0,y0)，半径为R。
圆形构件上均匀分布了n个二维坐标点，且坐标为(xi，yi),i=1,2,…,n，推算公式步骤如下所示。
最小二乘拟合圆曲线[1]的基础方程为展开可得令即x0=,y0=,R=。
已知圆上的两点求圆的方程
已知圆上的两点求圆的方程
两点确定一个圆的方程是一个基本的几何问题。
假设我们已知圆上的两个点A和B，现在我们来推导出圆的方程。
我们可以找到圆心C。
圆的直径是连接圆上任意两点的线段，所以线段AB是圆的直径。
通过线段AB的中点M，我们可以找到圆心C。
接下来，我们需要计算出圆的半径r。
我们可以使用点A或B与圆心C的距离来确定半径。
假设我们选择使用点A，那么半径r等于点A与圆心C之间的距离。
现在我们有了圆心C和半径r，我们可以写出圆的方程。
圆的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标。
因此，我们可以将圆的方程写为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2。
根据我们已知的点A和B，我们可以计算出圆心的坐标(h, k)和半径r，然后代入方程中，就可以得到具体的圆的方程。
通过以上的推导，我们可以看到，已知圆上的两点可以帮助我们确定圆的方程。
这个问题是几何学中的基础问题，掌握了这个方法，我们可以轻松地求解圆的方程，并进一步研究圆的性质和应用。
圆的标准方程
课 题： 7．7 圆的一般方程(授课人 苍溪中学 严渊)教学目的：（1）知识目标：1．掌握圆的一般方程及一般方程的特点；2．能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径； 3．能用待定系数法由已知条件求圆的方程；（2）能力目标：1．进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力； 2．使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；3．增强学生应用数学的意识，激励学生创新、勇于探索．（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣． 教学重点：圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=的形式特征及其应用． 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的一般方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程（一）创设情境（启迪思维）问题1：复习回顾——圆的标准方程 特点：1． 明确给出了圆心坐标和半径——圆心定位，半径定形； 2． 确定圆的方程必须具备三个独立条件，即,,a b r ； 3． 若圆心在坐标原点，半径为r 则圆的标准方程为222x y r +=． （二）新授内容由222()()x a y b r -+-=，展开得：22222220x y ax by a b r +--++-=，因此任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：220x y Dx Ey F ++++=．问：220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆吗？将方程220x y Dx Ey F ++++=左边配方得22224()()224D E D E F x y +-+++=当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --为半径的圆；当2240D E F +-= 时，方程表示一个点(,)22D E --；当2240D E F +-< 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．综上：当2240D E F +-< 时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程． 圆的一般方程的特征：（1）2x 和2y 的系数相同且都为1； （2）没有x y 这样的二次项；（3）方程表示圆的条件是2240D E F +->；（4）要求出圆的一般方程，只要求出三个系数,,D E F 即可． 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而圆的一般方程突出了方程形式上的特点． 问：二元二次方程 220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++= 表示圆的充要条件是什么？ （1）2x 和2y 的系数相同且不为0，即0A C =≠； （2）没有x y 这样的二次项，即0B =；（3）2240D E F +->．条件（1）和（2）是二元二次方程表示圆的必要条件，但不充分；条件（1）、（2）和（3）是二元二次方程表示圆的充要条件．一、利用圆的充要条件解题（训练思维）例1、方程224250x y m x y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ） A 、114m << B 、1m > C 、14m < D 、114m m <>或二、一般方程转化为标准方程 例2、（教材87P 练习2）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径： （1）2260x y x +-= （2）2220x y by ++=（3）222230x y ax a +--+=解：（1）222(3)3x y -+=圆心坐标为(3,0)，半径为3；（2）222()x y b b ++=圆心坐标为(0,)b -，半径为||b ；(3) 222()()x a y a -+-=圆心坐标为()a ，半径为||a ． 三、求圆的方程例3．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆方程，并求出圆的半径和圆心坐标．解法一：设所求的圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将12,,O M M 的坐标代入圆的方程，得02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解，得086F D E =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求的圆方程为22860x y x y +-+=，标准方程为22(4)(3)5x y -++=，所以圆心为(4,3)-半径为5．解法二：设圆心坐标为(,)P a b 半径为R ，由已知得12PO PM PM r ===，r ===，解得4,3,5a b r ==-=，所以标准方程为222(4)(3)5x y -++=．思考：你能否先求圆心，再求半径？例4：求经过点(3,2)及(1,1)，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解法1：（待定系数法）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点(3,2)、(1,1)代入方程得：{94320110D E F D E F ++++=++++=圆心坐标为(,)22D E --，半径平方为2244D E F +-，据题意得 2224944D E F E +-=+，解得40191159D DE EF F ==⎧⎧⎪⎪=-=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩或，所以圆的方程为： 2241950x y x y ++--= 或 221190x y x +--=． 解法2：（设而不求）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点(3,2)、(1,1)代入方程得：{94320(1)110(2)D E F D E F ++++=++++=，又设圆与x 轴的交点为12(,0),(,0)x x 令0y =得20x Dx F ++=，所以1212,x x D x x F +=-=故126x x -==，故2436D F -= (3)解得40191159D DE EF F ==⎧⎧⎪⎪=-=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩或，所以圆的方程为2241950x y x y ++--= 或 221190x y x +--=． 说明：一般地，求圆的方程有两种方法（1） 待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，利用条件求系数； （2） 几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解． 四、求轨迹方程 教材P85例5例5．已知一曲线是与两个定点(0,0)O ，(3,0)A 距离的比为12的点的轨迹，求此曲线方程，并画出曲线．解：设点 M (x ，y ) 是曲线上的任意一点，则1||2O M A M =12=，化简得22230x y x ++-=，为所求的曲线方程22230x y x ++-=，配方得22(1)4x y ++=曲线是以(1,0)C -为圆心，2为半径的圆，如图．思考：（2008江苏13）若2,A B A C C ==则ABC S ∆的最大值是 ．（答案： 小 结 ：（1）任何一个圆的方程都可以写成：220x y Dx Ey F ++++=但是方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线不一定是圆．只有在2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E -- 为半径的圆．（2）利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程否则用圆的一般方程． （3）一般地，求圆的方程有两种方法：① 待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，利用条件求系数在解题中注意圆的几何性质的应用； ② 轨迹法：当不知曲线类型时，我们可寻找动点满足的关系式，用轨迹法求方程； （4）数形相结合思想，方程思想．说“圆”无论是宏观宇宙、中观万物，还是微观世界都是以圆统之，“人人是一个圆，物物是一个圆，宇宙是一个圆．”“圆”是完美整体的象征；“圆”的整体美是“以有限的形式表现无限”；“圆”是完美整体的象征，也就是和谐的象征，“它既不太过，又不不及，中则正，和则美”，因而中国文化以“和”为贵，“以圆为美”；观赏戏剧人们期待“大团圆”；评论时局，人们坚信“天下分久必合”；思念亲人，人们向往“月缺终有月圆时”，盼望“千里共婵娟”……。