函数及其表示-课件PPT

变式探究
4.若函数y＝f(x)的定义域为 __x_|___2___x___4___．
1 2
, 2
，则f(log2x)的定义域为
考点三 求函数的解析式
【例5】 (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－ 1)＝2x＋17，求f(x)．
(2)若 fx－1x＝x2＋x12 ，求函数f(x)的解析式． (3)已知f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)的解析式．
考点探究
考点一 对函数概念的准确理解
【例1】 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝ x2 1 与y＝x＋1
x1 B．y＝lg x与y＝
1
lg x2
2
C．y＝ x2 －1与y＝x－1
D．y＝x与y＝logaax(a>0且a≠1)
思路点拨：从函数的三要素的角度来判断是否为同一个函
数，只有定义域和对应法则相同的函数才是同一个函数．
∴该函数的定义域为(1,9)．
点评：要求给出解析式的函数的定义域，其定义域就是使 解析式有意义的自变量的取值集合，于是可转化为解不等式或 不等式组，因此要熟练掌握如下几种情况：(1)含有分式的：分 母不等于0；(2)有偶次根式的：被开方式大于等于0；(3)含有对 数式的：真数大于0，底数大于0且不等于1；(4)指数式中，若 指数为0，则底数不等于0；(5)要熟练基本初等函数的定义域．
(3)以－x代x后所得等式与原等式组成方程组
ff－x＋x＋2f2－fxx＝ ＝－3x－3x2－，2，解得f(x)＝－3x－
2 3
，即为所求函数f(x)
的解析式．
点评：(1)题已知f(x)为一次函数，可用待定系数法；(2)题 用配凑法；(3)题用方程组法．
变式探究
5.
(1)已知f
1 x
＝x2＋5x，则f(x)＝
解析：
4－x>0， (1)x－3≠0
⇒x<4 且 x≠3，
∴该函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
25－x2≥0， (2)x＋2>0
⇒－ x>5－≤2x≤5，
∴所求定义域为－2，5.
⇒－2<x≤5，
x－1>0， (3)xx＋ －11>0，
9－x>0，
即xx>>11， ，或x<－1 x<9，
解得 1<x<9.
考点二 求函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)fx＝lgx4－－3x；(2)y＝ 25－x2－ln(x＋2)；
(3)y＝lg(x－1)＋lgxx＋－11＋
1 9－x.
思路点拨：本题要求给出解析式的函数的定义域，其定义 域就是使解析式有意义的自变量的取值集合，于是可转化 为解不等式或不等式组．
解析：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋
5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7.∴f(x)＝2x＋7.
(2) fx－1x＝x2＋x12＝x－1x2＋2 2，即为所求的函数f(x)的解析式．
，用x代换x－ 1 x
得f(x)＝x2＋
( D)
【例2】 设M＝{x|-2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定 义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( )
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解析：A项定义域为[－2,0]; D项值域不是[0,2]; C项对任意x 的值，都有两个y值与之对应，它不是函数的图象；B项符合 题设条件．故选B.
答案：B
变式探究
x1
答案：A
2．设f(x)＝ xf[－fx3＋，5x≥]，1x0＜，10，则 f(6)＝ (
)
A．8
B．7
C．6
D．5
解析：f(6)＝f(f(11))＝f(8)＝f(f(13))＝f(10)＝7. 故选B.
答案：B
3．(2012·湛江二中月考)函数 f(x)＝2xxx，＋x1≥，0，x＜0， 则 f(－
2．函数解析式的常用求法． (1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法． 四、函数定义域的确定 1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循 “定义域优先”的原则． 而确定函数的定义域的原则是： (1)当函数y＝f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指表格 中实数x的集合； (2)当函数y＝f(x)是用图象给出时，函数的定义域是指图象 在x轴上投影所覆盖的实数x的集合； (3)当函数y＝f(x)是用解析式给出时，那么函数的定义域就 是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；
(4)若y＝f(x)是由实际问题给出时，则函数的定义域由实 际问题的意义确定．
2．由解析式表示的函数的定义域的求法． (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R； (2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实 数集； (3)若f(x)是二次(偶次)根式，则函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数集合；
函数、导数及其应用 函数及其表示
考纲要求
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义 域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
课前自修
知识梳理
一、映射的概念
1．映射的定义：设A，B是两个非空集合，如果按照对应 法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯__一______ 的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射， 记作f：A→B.
2)＋f(1)＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：f(－2)＋f(1)＝－2×(－2＋1)＋2×1＝4.故选D.
答案：D
4. 若函数f(x)＝
，则f(x)的定义域是__1_－__l_o_g_2x__．
解析：1－log2x≥0，所以log2x≤1，得0＜x≤2，即定义域为 (0,2]．
答案：(0,2]
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数．若函数为分 段函数，则分别求出每一段上的解析式，再合在一起．
3．因分段函数在其定义域内的不同子集上，其对应法则 不同而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要 注意自变量的值所在的子集，而代入相应的解析式去求函数值， 不要代错解析式．
4．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其 值域等于各段函数的值域的并集．
基础自测
1．与函数y＝10lg(x－1)的图象相同的函数是
(
A．y＝
x1 2 x1
C．y＝|x－1|
)
B．y＝x－1
D．y＝ x2 1
x1
x1 2
解 1(x析>1：)，∵∴y＝y＝101lg0(lxg－(x1－)＝1)与x－y＝1(x>x1)，1 y＝2是 同x一1个函＝数x－，它们
的图象相同．故选A.
2 3
＝
2 3
2．一一映射：在集合A到集合B的映射中，若B中的任意一 个元素在A中有唯一的元素与它对应，那么这样的映射叫做从集 合A到集合B的一一映射．
3．象与原象：对于给定的一个集合A到集合B的映射，且 a∈A，b∈B，元素a与元素b对应，那么元素b叫做元素a的 ____象____，元素a叫做元素b的_原__象_____．设原象a组成的集合 为M，则M与A的关系为M__＝__A____，设与原象a对应的象b组成 的集合为C，则C与B的关系为_C__⊆_B____．
解析：选项 A，B中，定义域不同；选项C中，值域不同； 只有选项D中的两个函数的三要素相同．故选D.
答案：D
变式探究
1．下列四组函数中，其函数图象相同的是
A．y＝ x x＋1与 y＝ x2＋x B．y＝( x)2 与 y＝ x2 C．y＝x 与 y＝xx2 D．y＝xx32＋ ＋x1与 y＝3 x3
∵f(x＋1)＋f(x－1)以x＋1，x－1为自变量，于是有
0 0
x1 x1
4, 4,
∴1≤x≤3.
故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
(2)∵f(x2)的定义域为[0,4]，∴0≤x≤4.
∴0≤x2≤16，故f(x)的定义域为[0,16]．
答案：(1)[－2,2] [1,3] (2)[0,16]
的集合 C＝ y|y f (x),xA 叫做这个函数的值域．显然值域
C⊆B.
2．用映射的观点来定义：如果A，B都是非空的数集， 那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数．原象的集合A叫 做函数的_定__义__域___，象的集合C叫做函数的值域．显然值域 C⊆B.
注意：两种定义虽然表述不同，但其实质是相同的．
________________________________________________.
(2)已知f(x)为二次函数，且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，f(x) 的解析式为__________________________________________．
解析：(1)用换元法(略)．
二、函数的概念
1．函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数f(x)与它对应．那么就称f：A→B为从集合A到 集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
其中x叫做自变量．自变量x的取值范围(数集A)叫做函数 的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，所有函数值构成
(2)已知f(x2)的定义域为[0,4]，则f(x)的定义域为_______．
思路点拨：函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定 义域由不等式a≤g(x)≤b解出．
解析：(1)∵f(x)的定义域为[0,4]，
又f(x2)以x2为自变量，∴0≤x2≤4.∴－2≤x≤2.
故f(x2)的定义域为[－2,2]．
3．函数的三要素：_定__义__域___，对__应__法__则__，___值__域___.在这 三要素中，由于__值___域___可由__定__义__域__和_对__应__法__则_唯一确定， 故也可说函数只有两要素．
4．两个函数能成为同一函数的条件是：定义域与对应法则 都相同．
三、函数的表示 1．函数的表示方法． 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三 种． (1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示， 这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系． (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
变式探究
3．函数y＝ log2 0112x－3 的定义域为________．
解析：log 1 (x 3) ≥0⇒0<x－3≤1⇒3<x≤4，∴函数定 2012
义域为(3,4]． 答案：(3,4]
【例4】 (1)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x2)的定义域为 __________，f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________________．
2．下图的①②③④四个图象各表示两个变量x，y的对应关系， 其中表示y是x的函数关系的有_________.
解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图 象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直线x＝a与函 数的图象没有交点．选项中表示y是x的函数关系的有②③. 答案：②③
(2)用待定系数法．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴44aa＝ ＋42，b＝2. ∴ab＝＝1－，1.
又f(0)＝3，c＝3，
∴f(x)＝x2－x＋3.
答案：(1)
15x x2
(x≠0)
(4)若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0 且底数大于0并不等于1的实数集合 ；
(5)若f(x)是指数式，则零指数幂的底数不等于零；
(6)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义 域是使各部分式子都有意义的实数集合；
(7)含参问题的定义域要分类讨论．
五、分段函数
1．分段函数的定义：在其定义域的不同子集上，分别用 几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数．它是 一类较特殊的函数．
(2)f(x)＝x2－x＋3
考点四 分段函数
【例6】 则f(f(3))等于
(2012·江西卷)设函数f(x)＝ ()
x2＋1，x≤1， 2x，x>1，
A. 1
B．3
5
C. 2
3
D. 13
9
思路点拨：求分段函数的函数值时，要注意自变量的值
所在的子集，再代入相应的解析式求值．
解析：f(f(3))＝f