实际问题与一元二次方程之面积问题

例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
22 解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 （cm）. x 2 22 根据题意，得 x( x ) 30
整理后，得x2-11x+30=0
2
解这个方程，得x1=5,x2=6 22 由x1=5得 x 6 (与题设不符，舍去) 2 22 由x2=6，得 x5 2 答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。
答:应围成一个边长为9米的正方形.
探究
如图，是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
20
X
解:设道路宽为x米，得
(32 2 x)(20 x) 570 2 36 x 35 0
，
所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540 ？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是
32 x 20 x
米 2，
而是从其中减去重叠部分，即应是 32x 20x x 2 米2 所以正确的方程是：32 20 32x 20x x 2 540
4、如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的 一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三 边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的 长和宽各多少米？
18米
2米
小结
拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上， 修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部 分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路 系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、
x米
20m 32m
如图，设道路的宽为x米， 2 则横向的路面面积为 32x 米 纵向的路面面积为 20x 米2 。
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 X
解得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm
30cm
从一块长300厘米,宽200厘米的铁片中间截 去一个小长方形,使剩下的长方形方框四周的宽 度都一样,并且小长方形的面积是原来面积的一 半,求这个宽（只列方程，不解方程）
4．归纳小结
问题4 回顾前面几节课的学习内容，你能总结一 下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？ 需要注意哪些问题？
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
当堂训练
1. 用一根长22厘米的铁丝，能否折成 一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个 面积为32厘米的矩形？说明理由。
探究
如图，是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
2 化简得，x 52x 100 0, x1 50, x2 2.




其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为： 32 2 20 2 22 =100 (米2)


耕地面积= 32 20 100 = 540（米2） 答：所求道路的宽为2米。
当
当x102 时，352x15. 符合题意. 答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.
x
15 x1 , x2 10. 2 352x2018不合题意，舍去； 时， 15
练习：
3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利 用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有 一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积 为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
xm
如图，设路宽为x米， 20m 横向路面为 32x 米2 ， 纵向路面面积为 20x 米2 。
32m
xm
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ， 耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米 。 相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2 即 32 x20 x 540.
• 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
• 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程;
• 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
• 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是:
• 找出相等关系.
• 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数 )
（8－2x）
几何与方程
x
１８m2
x
例1.镜框有多宽? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长 为8cm，宽为5cm．如果镜框中央长方形图案的面积为 18cm2 ，则镜框多宽? 审 解：设镜框的宽为xcm ，则镜框中央长方形 （8-2x） 宽为 （5-2x） cm,得 图案的长为 cm,
设
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18 即2X2 － 13 X ＋ 11＝0
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
列一元二次方程解应题
九年级
上册
21.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）
• 列一元二次方程解决有关“面积问题”的实际问题．
• 学习目标： 1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二 次方程； 2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应 用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提 高数学应用意识． • 学习重点： 利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实 际问题．
1 2
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
联系中考：
如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四 周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积 为246m2,求小路的宽度. A D
（2013上海）
解:设小路宽为x米，则
(20 2 x)(15 2 x) 246 15 20
2 化简得， 2x
35x 123 0 ( x 3)( 2 x 41) 0 41 x 3, x (不合题意，舍去） 2
1 2
B
C
答:小路的宽为3米.
九年级
上册
21.3 实际问题与一元二次方程 （第4课时）
例1：一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图， 它的长为8cm，宽为5cm．如果镜框中央长方形图案的 面积为18cm2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xcm ，则镜框中央长方形图案的长 （8－2x） （5－2x） cm,得 为 cm, 宽为 8 x x 5
40 - 2x 厘米 宽等于_________
60 2 x 厘米， 则图中虚线部分长等于______
解：设截去正方形的边长x厘米，
依题意得： 60- 2x 40- 2x 800
x 10
解得：x1 10, x2 40 经检验, x2 40不合题意,应舍去.
32-2X
x ( x 35 )( x 1) 0 x 35 , x 1
1 2
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
联系中考：
如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四 周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积 为246m2,求小路的宽度. A D
2 x 化简得： 52x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
探究2
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 X
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意)
列 解
答:镜框的宽为1cm.
答
练习：
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计? 解:设苗圃的一边长为xm,则 另一边长为（18-x）m,得
x (18 x ) 81 化简得，x2 18 x 81 0 2 ( x9) 0 x1 x2 9
分析： 我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）
20
X
解:设道路宽为x米，得
(32 2 x)(20 x) 570 2 36 x 35 0
32-2X
x ( x 35 )( x 1) 0 x 35 , x 1
答：截去正方形的边长为10厘米。
[例4] 学校要建一个面积为150平方米的长方形自