温州中学自主招生数学试卷及答案

温州中学2006年自主招生考试数学试卷

说明:

1、 本卷满分150分;考试时间：110分钟.

2、 请在答卷纸上答题.

3、 考试结束后,请将试卷、答卷纸、草稿纸一起上交.

一、选择题（每小题6分，共计36分）

1、方程2560x x --=实根的个数为……………………………………………（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

2、如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作

小圆的割线AXY ，若4A X A Y ⋅=

，则图中圆环的面积为…………………………………………………………………（ ）

A 、16π

B 、8π

C 、4π

D 、2π

图 １ 3、已知0m n ⋅<且1101m n n m ->->>++，那么n ，m ，

1n ，1

n m

+的大小关系是（ ） A 、11m n n n m <<+< B 、11

m n n m n <+<<

C 、11n m n m n +<<<

D 、11

m n n m n

<+<<

4、设1,2,3,4p p p p 是不等于零的有理数，1,2,3,4q q q q 是无理数，则下列四个数①2211p q +，②

()

2

22p q +，③()333p q q +，④()444p p q +中必为无理数的有…………………………（ ）

A 、0个

B 、1 个

C 、2个

D 、3个

5、甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了５场，乙已经赛了４场，丙已经赛了３场，丁已经赛了２场，戊已经赛了１场，小强已经赛了……………………………………………………………………………………………（ ） A 、１场 B 、２场 C 、３场 D 、４场

6、将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上,然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上不同．．数的个数的最小值和最大值分别是…………………………………………………………………………………………………（ ） A 、7，9 B 、6，9 C 、7，10 D 、6，10

二、填空题：（共6小题，每题6分，共36分）

7、设()11,A x y ，()22,B x y 为函数21k y x

-=图象上的两点，且120x x <<，12y y >，则实数k

的取值范围是

8、已知abc 是一个三位数，且567bca cab +=，则abc =

9、已知12344x x x x -+-+-+-=，则实数x 的取值范围是

10、如图2，⊙O 外接于边长为2的正方形ABCD ，P 为弧AD 上

一点，且1AP =，则

PA PC

PB

+=

图２

11、如图3所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性

均为12

，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为

图３

12、如图4所示，已知Rt ABC ∆中，90B ∠=

，3AB =，

4BC =，,,D E F 分别是三边,,AB BC CA 上的点，则

DE EF FD ++的最小值为

图４

三、解答题（共5题，共78分）

13、（本题满分15分,共2小题）

已知四个互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，其中12x x <，34x x <. ① 请列举1x ，2x ，3x ，4x 从小到大排列的所有可能情况.

②已知a 为实数，函数24y x x a =-+与x 轴交于()1,0x ，()2,0x 两点，函数24y x ax =+-与

x 轴交于()3,0x ，()4,0x 两点.若这四个交点从左到右依次标为A ,B ,C ,D ,且

AB BC CD ==，求a 的值.

14、（本题满分15分,共2小题）

如图5所示，//AD BC ,梯形ABCD 的面积是180， E 是AB 的中点，F 是BC 边上的点,且

//AF CD ,AF 分别交,ED BD 于,,G H 设

BC

m AD

=,m 是整数. ① 若2m =，求GHD ∆的面积.

② 若GHD ∆的面积为整数，求m 的值.

图5 15、（本题满分15分, 共2小题）

n 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如：

① 能否通过若干次操作完成图6-1中的变换？请说明理由.

图6-1

9454352211

3+2+4=9-34543

5

22

113-2-4=-3-200710032006001

② 能否通过若干次操作完成图6-2中的变换？ 请说明理由.

图6-2

③ 能否通过若干次操作完成图6-3中的变换？ 请说明理由.

图6-3

16、（本题满分15分）

如图６所示，在ABC ∆中，已知D 是BC 边上的点，O 为ABD ∆的外接圆圆心，ACD ∆的外接圆与AOB ∆的外接圆相交于A ，E 两点.求证：OE EC ⊥.

图7

17、（本题满分18分,共3小题） 已知方程(

)()3

2

123

5

2350m

n

m n x x x -+⋅++⋅-=.

① 若0n m ==，求方程的根.

② 找出一组正整数n ，m ,使得方程的三个根均为整数. ③ 证明:只有一组正整数n ，m ,使得方程的三个根均为整数.

5

7

9

4

3

5

3

2

11