第七章 概念

• 3.概念定义规则 • 对概念下定义必须遵守以下规则： • ⑴定义应当是相称的。定义项的外延与被定义 定义应当是相称的。 项的外延应当全同。 项的外延应当全同。 • 【例】无理数就是无限小数(定义过宽)； • 无理数就是不尽方根(定义过窄)。 • 实际上，无理数就是无限不循环小数。 • 定义不应当是循环的。 ⑵定义不应当是循环的。亦即不可以被定义项 来说明自己。 来说明自己。 • 【例】直角是90o的角(循环定义)；乘法是几个数 相乘的方法(同语反复)。 • 实际上，直角是两条互相垂直直线的交角； 乘法是指一个数或量增加了多少倍。
第七章
概
念
第一节 概念的概述
• 1.概念介绍 • 概念是反映事物本质属性的思维形式 • 属性分为本质属性和非本质属性 • ⑴本质属性：是决定一事物之所以成为该事物、 并与其它事物相区别的属性。 • 【例】“有一个公共端点的两条射线所组成的图 形”是“角”的本质属性。 • ⑵非本质属性：并非某事物独有的属性。 • 【例】“两边所夹角度的大小”是“角”的非本 质属性。
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属加种差定义的分类 属加种差定义可分为性质定义、发生定义、 关系定义。 性质定义：以事物的性质为种差的定义。 ①性质定义：以事物的性质为种差的定义。 【例】把两个数合并成一个数的运算叫做加法； 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 发生定义：以形成或获得事物的方式、 ②发生定义：以形成或获得事物的方式、方法 为种差的定义。 为种差的定义。 【例】角是从一点引出的两条射线所组成的图形； 固定线段的一个端点，另一端点绕它旋转一周所 得到的封闭曲线叫做圆。 关系定义：以事物间的关系为种差的定义。 ③关系定义：以事物间的关系为种差的定义。 【例】能被2整除的数叫做偶数；钝角是大于直角 且小于平角的角。
⑶定义应当简单明确。不能含糊不清、 定义应当简单明确。不能含糊不清、 不可使用比喻。 不可使用比喻。 • 【例】正方形是有规则的四边形(不可捉摸)； 象足球那样的几何体叫做球体(比喻无法表 达本质) • 定义一般不采取否定式。 ⑷定义一般不采取否定式。否定的概念 无法说明概念的内涵。 无法说明概念的内涵。 • 【例】邻边不相等的正方形叫做矩形(不存 在邻边不相等的正方形，且无法说明矩形 的内涵)；梯形是非两组对边平行的四边形 (非两组对边平行的四边形并不一定是梯形， 且无法说明梯形的内涵)。 •
“1”和“最小的质数”之间不是全 同关系。它们的外延和内涵都不同。“最 小的质数”是大于1且只可被自身整除的自 然数中的最小者。 • “0×2=0”中的两个“0”的外延和 内涵完全相同，是同一个概念，不具有全 同关系。 • 全同关系用法 全同关系用法 用法：可以用一个说明或替换 另一个。 •
• ②属种关系(真包含关系)：是一个概念的部 分外延与另一概念的全部外延相同的两个 概念之间的关系。(类似于集合中的真包含的概
• 3.概念的作用 • 概念是对事物本质有了科学认识之后的概括。 • 概念的作用在于以压缩的形式反映大量知识， 使人们能从整体上把握事物的共同本质属性，并 区别于别的事物。 • 【例】“函数”这一概念简明地反映了一类重要 的对应关系，使人们可以一般地对其进行研究。 • 概念是抽象思维的最小单位，是组成判断和推 理的细胞。 • 【例】“2是质数”这个判断，是由“2”和“质 数”这两个概念，加上联系词“是”共同组成的。 • 数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关 系的本质属性的思维形式。
⑷相对概念与绝对概念 相对概念：是反映事物与其它事物之间具有 某种相对关系的概念 • 【例】“较大的数”、“互质数”、“倍数”都 反映了数与数之间的关系，都是相对概念 • 绝对概念：是反映事物与其它事物之间不具 有某种相对关系的概念 • 【例】“0”、“加法”、“正方形”都是绝对概 念 • •
第二节 概念定义及关系
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⑵外延定义法 在已知各个种概念的条件下定义一个属概念， 在已知各个种概念的条件下定义一个属概念， 通常列出这些种概念， 通常列出这些种概念，这种定义方法称为外延定 义。 【例】整数和分数统称为有理数；有理数和无理 数统称为实数。 ⑶约定式定义法 以符合客观规律为前提， 以符合客观规律为前提，通过约定的方式进 行定义。 行定义。 【例】约定：0！=1；a0=1(a≠0)。 ⑷描述性定义法 以描述的方法指出原始概念的本质属性而进 行的定义，通常称为公理定义。 行的定义，通常称为公理定义。 【例】“点”、“直线”、“平面”都是不加定 义的概念。
• ⑵集合概念与非集合概念 • 集合概念：是反映整体的性质 • 【例】“自然数”是所有正整数的集合。 • 非集合概念：是反映非集合体的概念。 • 【例】“方程”、“函数”、“几何”属于非集 合概念。 • 集合概念反映整体的性质，组成它的个体不能说 明反映所组成的集合体的概念 • 【例】不能说“二元一次方程是二元一次方程 组”，“2是自然数集”。 • 非集合概念可以用来说明反映该类中个别事物的 概念 • 【例】可以说“二元一次方程是方程”，“2是自 然数”。
• C.属种概念有层次性 C.属种概念有层次性 • 【例】“多边形”、“四边形”、“平行 多边形” 四边形” 四边形” 矩形” 正方形” 四边形”、“矩形”、“正方形”中，任 一个概念是后面概念的属， 一个概念是后面概念的属，又是前面概念 的种。最靠近者称为邻近的种或属。 的种。最靠近者称为邻近的种或属。 • D.属种概念反映了一般和特殊的关系 D.属种概念反映了一般和特殊的关系 • 【例】“梯形是四边形，四边形有平行四 梯形是四边形， 边形、梯形和对边都不平行的四边形” 边形、梯形和对边都不平行的四边形”中， 属概念“四边形”说明了种概念“梯形” 属概念“四边形”说明了种概念“梯形” 的一般性质；种概念“平行四边形” 的一般性质；种概念“平行四边形”、 梯形” 对边都不平行的四边形” “梯形”和“对边都不平行的四边形”是 了属概念“四边形”的特殊类型。 了属概念“四边形”的特殊类型。
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逻辑学中对概念的分类 类：属性相同的客观事物 子类：类中包含的小类 种概念：其外延反映子类的概念 属概念：其外延反映子类所从属类的概念 属概念与种概念的内涵有多少之分，外延有广狭之分 属概念的内涵少于种概念的内涵，属概念的外延大于种 概念的外延 • 【例】“四边形”和“平行四边形”这两个概念，“四边 形”是“平行四边形” 的属概念，“平行四边形”是 “四边形”的种概念。 • “四边形”的内涵是指由四条线段首尾相接组成的 图形，而“平行四边形” 除了具有 “四边形”的内涵之 外，还有“两组对边分别平行”的内涵。 • “四边形”反映的对象范围大于“平行四边形”， “四边形”的外延除反映“平行四边形” 之外，还反映 “矩形”、“正方形”、“菱形”等，而“平行四边形” 的外延只是“四边形”的一部分。
• ⑶肯定概念与否定概念 • 肯定概念：是反映对象具有某些属性的概念 • 【例】“等边三角形”、“负数”、“大于”都 是肯定概念 • 否定概念：是反映对象不具有某些属性的概 念。 • 【例】“非负数”、“不大于”、“非零解”都 是否定概念 • 肯定概念有明确的内涵，否定概念只揭示所不 具有的性质，但须明确议论的范围。 • 【例】在整数范围内，“非负数”的概念就是 “零和自然数数”；而在实数范围内，“非负数” 的概念就是“零和正数”。
同一概念可以从不同角度揭示其内涵，因此种 差往往不是唯一的，所以属加种差作出的定义一 般不是唯一的。 【例】“平行四边形”定义： ①两组对边分别平行(种差)的四边形(属)叫做 平行四边形(被定义概念)； ②一组对边平行且相等(种差)的四边形(属)叫 做平行四边形(被定义概念)； ③两组对边分别相等(种差)的四边形(属)叫做 平行四边形(被定义概念)。 同一数学体系中，一般只能采用一个作为定义， 其它的等价定义作为性质、定理、推论处理。 •
• 4.概念的种类
• • • • • • • ⑴单独概念与普遍概念 单独概念：是反映某一个别事物的概念，它 的外延只有一个对象 【例】0，5，12都分别指一个独一无二的数。都 是单独概念 普遍概念：是反映某一类事物的概念，它的 外延有两个以上的对象。 【例】“偶数”、“自然数”、“长方形”都指 的是某一类事物普遍概念，都是普遍概念。 普遍概念可以用于说明一类事物的共同本质，也 可以用于说明一类中的个别事物 【例】“锐角”是“大于0度小于90度的角”， 这里的“锐角”是指一类事物的全体；“30度角 是锐角”，这里的“锐角”是指一类事物中的个 别事物。
• 2.概念定义方法 • ⑴属加种差法 • 在给一些具有属种关系的种概念下定义时， 首先指出被定义的概念最临近的属概念是什么， 再确定这个属里它与其它种概念的差别，从而对 概念下定义。 • 属加种差定义的结构： + = 邻近的属概念+种差=被定义概念 【例】要给“平行四边形”下定义，就要找到它的 邻近的属概念“四边形”，进一步找出“平行四 边形”所具有的、区别于其它四边形的本质属性， 即种差为“两组对边分别平行”，于是，得到 “平行四边形”的定义为： 两组对边分别平行(种差)的四边形(属)叫做平 行四边形(被定义概念)。
• 2.概念的内涵与外延 • 概念在反映事物本质属性的同时，也反 映了具有这种属性的各种具体事物。 • 【例】平行四边形的概念反映了平行四边 形的本质属性：四边形、两组对边分别平 行，也反映了具有这些属性的各种各样的 平行四边形如菱形窗框等。
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概念所反映的事物本质属性叫做概念的 内涵。 【例】“三角形”这一概念的内涵是三条 首尾相接的线段所围成的封闭图形。 概念所反映的具有这些属性的各种事物 的全体叫做概念的外延。 【例】“三角形”这一概念的外延是“不 等边三角形”、“等腰三角形”、“等边 三角形”。 掌握一个概念的内涵与外延的程度是衡 量对这一概念明确程度的标准。
念)
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在属种概念中，外延较大的概念叫 “属”，外延较小的概念叫“种”。 • 【例】“三角形”与“直角三角形”， “自然数”与“质数”，“整数”与“自 然数”是属种关系。前者是属，后者是种。 •
• 属种关系有如下特点 • A.属种概念之间可以分为包含关系和包 A.属种概念之间可以分为包含关系和包 含于关系。 含于关系。 • 【例】“三角形”包含“直角三角形”； 三角形”包含“直角三角形” 直角三角形”包含于“三角形” “直角三角形”包含于“三角形”。 • B.属种概念有相对性 属种概念有相对性。 B.属种概念有相对性。 • 【例】“四边形”、“平行四边形”和 四边形” 平行四边形” 矩形”之间， 平行四边形” “矩形”之间，“平行四边形”相对于 四边形”是种，相对于“矩形”是属。 “四边形”是种，相对于“矩形”是属。
概念是反映事物本质属性的思维形式。 对反映到大脑中事物的各种属性进行比较、分 析、综合、抽象以及概括，抛弃事物的非本质属 性，而将本质属性集中起来，就形成了概念。 • 【例】由课本封面、讲台台面、黑板玻面、房间 地板表面、门扇板面等，去掉不同的颜色、材质、 大小、形状等非本质属性，抽象概括出共同的基 本属性为：有四条边、对边相等、有四个角、都 是直角，从而形成长方形的概念。 • 概念具有抽象性和一定的普遍性。 • 【例】“圆”不是任何一个圆形的物体，而是一 个抽象的图形，但反映了一切圆形物体的本质属 性。 • •
• 4.概念间的关系
• 仅对两个概念之间的关系作出分析：
⑴相容关系。是至少部分外延相同的两 相容关系。 个概念之间的关系。 又分为全同关系、 个概念之间的关系。 又分为全同关系、 属种关系、交叉关系。 属种关系、交叉关系。 • 全同关系： ①全同关系：是外延完全相同的两个概 念之间的关系。 念之间的关系。(类似于集合中的相等概念) • 【例】“自然数”和“正整数”之间是全 同关系。它们的外延完全相同(同指1，2， 3，…)，但内涵不同，“自然数”是指1， 2，3，…，“正整数”是指大于零的整数。 •
• 1.概念的定义
• • • • • 定义：是通过简明的陈述以解释概念内涵的逻 辑方法。 【例】数位的定义：一个数中，每一个数字所占 的位置叫做数位。 不等号的定义：“≥”称为大于或等于号。 定义由被定义项、定义项和定义联项三部分组 成 【例】上例两定义中，“数位”和“≥”是被定义 项，“一个数中，每一个数字所占的位置”和 “大于或等于号”是定义项，“叫做”和“称为” 是定义联项。