等差数列经典例题 百度文库

22．无
23．无
24．BC
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前 项和公式
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
故选：BC
25．BD
【分析】
由题意可知 ，由已知条件 可得出 ，可判断出AB选项的正误，求出 关于 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.
15．D
【分析】
由 得到 ，再分n为奇数和偶数得到 ， ，然后再联立递推逐项判断.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
联立得： ，
所以 ，
故 ，
从而 ，
， ，
则 ，故 ，
，
，
故①②③正确.
故选：D
16．C
【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ， ，a， ， ，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.
【详解】
解：设递减的等差数列 的公差为 （ ），
因为 ，所以 ，化简得 ，
所以 ，
对称轴为 ，
因为 ， ，
所以当 或 时， 取最大值，
故选：A
13．A
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出 和 的值，
，即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ，即 解得： ，
所以 ，
【详解】
对于A，函数 上的点列{xn，yn}，有yn＝ ，由于{xn}是等比数列，所以 为常数，
因此 ＝ 这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；
对于B，函数 上的点列{xn，yn}，有yn＝ ，由于{xn}是等比数列，所以 为常数，
因此 ＝ 这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；
对于C，函数 上的点列{xn，yn}，有yn＝ ，由于{xn}是等比数列，所以 为常数，
【详解】
由于等差数列 是递增数列，则 ，A选项错误；
，则 ，可得 ，B选项正确；
A． B． C． D．
12．已知递减的等差数列 满足 ，则数列 的前n项和取最大值时n=（）
A．4或5B．5或6C．4D．5
13．已知等差数列 中， ， ，则 的值是（）
A．15B．30C．3D．64
14．已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式为（）
A． B． C． D．
15．已知数列 的前 项和为 ，且 ，现有如下说法：
A． B． C． D．
30．已知数列 的前n项和为 则下列说法正确的是（）
A． 为等差数列B．
C． 最小值为 D． 为单调递增数列
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一、等差数列选择题
1．A
【分析】
由题意可得 ，再由 可求出 的值
【详解】
解：根据题意， ，则 ，
故选：A.
2．C
【分析】
利用 得出数列 的通项公差，然后求解 .
A． B．当且仅当n= 7时， 取得最大值
C． D．满足 的n的最大值为12
27．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）
所以 的值是 ，
故选：A
14．B
【分析】
利用 求出 时 的表达式，然后验证 的值是否适合，最后写出 的式子即可.
【详解】
， 当 时， ，
当 时， ，上式也成立，
，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即 ，算出之后一定要判断 时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.
因此 ＝ ＝ ，这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；
对于D，函数 上的点列{xn，yn}，有yn＝ ，由于{xn}是等比数列，所以 为常数，
因此 ＝ 为常数，故{yn}是等差数列；
故选：D．
【点睛】
方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
12．A
【分析】
由 ，可得 ，从而得 ，然后利用二次函数的性质求其最值即可
一、等差数列选择题
1．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（）
A．24B．23C．17D．16
2．设数列 的前 项和 .则 的值为（）．
A． B． C． D．
3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，下列四个命题：①公差 的最大值为 ；② ；③记 的最大值为 ，则 的最大值为30；④ .其真命题的个数是（）
A．a8＝34B．S8＝54C．S2020＝a2022－1D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022
28．已知数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ，则（）
A．当数列 为等差数列时，
B．当数列 为等差数列时，
C．当数列 为等比数列时，
D．当数列 为等比数列时，
29．设d为正项等差数列 的公差，若 ， ，则（）
① ；② ；③ .
则正确的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
16．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）
A．132项B．133项C．134项D．135项
19．已知 为等差数列， 是其前 项和，且 ，下列式子正确的是（）
A． B． C． D．
20．在等差数列 中，已知前21项和 ，则 的值为（）
A．7B．9C．21D．42
二、多选题
21．已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，若 ，则下列结论中正确的有（）
又 ，所以 ，因此 ，
所以 最大.
故选：B.
7．B
【分析】
先求得 ，根据 ，求得 ，进而得到 ，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，等差数列 的前 项和为 ，且 ，可得 ，
因为 ，即 ，解得 ，
当 ，（ ）时， ，即 ，
即 ，
从而 .
故选：B.
8．B
【分析】
根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案.
A．一丈七尺五寸B．一丈八尺五寸
C．二丈一尺五寸D．二丈二尺五寸
6．在等差数列 中， ， ，则 中最大的是（）
A． B． C． D．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，且 .定义数列 如下： 是使不等式 成立的所有 中的最小值，则 （）
A．25B．50C．75D．100
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则 （）
利用等差数列的前 项和公式可得 ，即可得 ，再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以
，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出 ，进而得出 ，
即可求解.
二、多选题
21．ABC
【分析】
因为 是等差数列，由 可得 ，利用通项转化为 和 即可判断选项A；利用前 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质 即可判断选项C；由 可得 且 ， 即可判断选项D，进而得出正确选项.
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（）
A． B． C． D．
5．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸）
4．C
【分析】
由等差数列前 项和公式以及等差数列的性质可求得 ，再由等差数列的公式即可求得公差.
【详解】
解： ，
，
又 ，
，
.
故选：C．
5．D
【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 ， 是其前 项和，已知条件为 ， ，由等差数列性质即得 ， ，由此可解得 ，再由等差数列性质求得后5项和．
【详解】
【详解】
根据题意可知正整数能被21整除余2，
，
.
故选：B.
9．A
【详解】
由 .故选A.
10．B
【分析】
利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.
【详解】
由等差数列的性质，可得 ， ，
因为 ，
可得 ，即 ，
1．D
【分析】
把点列代入函数解析式，根据{xn}是等比数列，可知 为常数进而可求得 的结果为一个与n无关的常数，可判断出{yn}是等差数列．
A． 钱B． 钱C． 钱D． 钱
17．在等差数列 中， ，S，是数列 的前n项和，则S2020=（）
A．2019B．4040C．2020D．4038