等差数列经典例题 百度文库

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【详解】
由于等差数列 是递增数列,则 ,A选项错误;
,则 ,可得 ,B选项正确;
一、等差数列选择题
1.若等差数列{an}满足a2=20,a5=8,则a1=()
A.24B.23C.17D.16
2.设数列 的前 项和 .则 的值为().
A. B. C. D.
3.已知等差数列 的前 项和为 ,且 , ,下列四个命题:①公差 的最大值为 ;② ;③记 的最大值为 ,则 的最大值为30;④ .其真命题的个数是()
4.C
【分析】
由等差数列前 项和公式以及等差数列的性质可求得 ,再由等差数列的公式即可求得公差.
【详解】
解: ,

又 ,

.
Байду номын сангаас故选:C.
5.D
【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为 , 是其前 项和,已知条件为 , ,由等差数列性质即得 , ,由此可解得 ,再由等差数列性质求得后5项和.
【详解】
【详解】
对于A,函数 上的点列{xn,yn},有yn= ,由于{xn}是等比数列,所以 为常数,
因此 = 这是一个与n有关的数,故{yn}不是等差数列;
对于B,函数 上的点列{xn,yn},有yn= ,由于{xn}是等比数列,所以 为常数,
因此 = 这是一个与n有关的数,故{yn}不是等差数列;
对于C,函数 上的点列{xn,yn},有yn= ,由于{xn}是等比数列,所以 为常数,
A. B. C. D.
30.已知数列 的前n项和为 则下列说法正确的是()
A. 为等差数列B.
C. 最小值为 D. 为单调递增数列
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、等差数列选择题
1.A
【分析】
由题意可得 ,再由 可求出 的值
【详解】
解:根据题意, ,则 ,
故选:A.
2.C
【分析】
利用 得出数列 的通项公差,然后求解 .
22.无
23.无
24.BC
【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前 项和公式
【详解】
解:设等差数列 的公差为 ,
因为 , ,
所以 ,解得 ,
所以 ,

故选:BC
25.BD
【分析】
由题意可知 ,由已知条件 可得出 ,可判断出AB选项的正误,求出 关于 的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.
所以 的值是 ,
故选:A
14.B
【分析】
利用 求出 时 的表达式,然后验证 的值是否适合,最后写出 的式子即可.
【详解】
, 当 时, ,
当 时, ,上式也成立,

故选:B.
【点睛】
易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即 ,算出之后一定要判断 时对应的式子是否成立,最后求得结果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题.
又 ,所以 ,因此 ,
所以 最大.
故选:B.
7.B
【分析】
先求得 ,根据 ,求得 ,进而得到 ,结合等差数列的求和公式,即可求解.
【详解】
由题意,等差数列 的前 项和为 ,且 ,可得 ,
因为 ,即 ,解得 ,
当 ,( )时, ,即 ,
即 ,
从而 .
故选:B.
8.B
【分析】
根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案.
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为 , 是其前 项和,
则 (尺),所以 (尺),由题知 (尺),
所以 (尺),所以公差 ,
则 (尺).
故选:D.
6.B
【分析】
设等差数列的公差为d.由已知得 ,可得关系 .再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.
【详解】
设等差数列的公差为d.由 得, ,整理得, .
A.132项B.133项C.134项D.135项
19.已知 为等差数列, 是其前 项和,且 ,下列式子正确的是()
A. B. C. D.
20.在等差数列 中,已知前21项和 ,则 的值为()
A.7B.9C.21D.42
二、多选题
21.已知等差数列 的公差 ,前 项和为 ,若 ,则下列结论中正确的有()
A.103B.107C.109D.105
9.已知数列 是等差数列,其前 项和为 ,若 ,则 ()
A.16B.-16
C.4D.-4
10.在等差数列 中, ,则此数列前13项的和是()
A.13B.26C.52D.56
11.在函数 的图像上有点列 ,若数列 是等比数列,数列 是等差数列,则函数 的解析式可能是()
因此 = = ,这是一个与n有关的数,故{yn}不是等差数列;
对于D,函数 上的点列{xn,yn},有yn= ,由于{xn}是等比数列,所以 为常数,
因此 = 为常数,故{yn}是等差数列;
故选:D.
【点睛】
方法点睛:
判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法.
12.A
【分析】
由 ,可得 ,从而得 ,然后利用二次函数的性质求其最值即可
A.a8=34B.S8=54C.S2020=a2022-1D.a1+a3+a5+…+a2021=a2022
28.已知数列 的前 项和为 ,前 项积为 ,且 ,则()
A.当数列 为等差数列时,
B.当数列 为等差数列时,
C.当数列 为等比数列时,
D.当数列 为等比数列时,
29.设d为正项等差数列 的公差,若 , ,则()
利用等差数列的前 项和公式可得 ,即可得 ,再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ,则 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以

故选:C
【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是求出 ,进而得出 ,
即可求解.
二、多选题
21.ABC
【分析】
因为 是等差数列,由 可得 ,利用通项转化为 和 即可判断选项A;利用前 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B;利用等差数列的性质 即可判断选项C;由 可得 且 , 即可判断选项D,进而得出正确选项.
A.一丈七尺五寸B.一丈八尺五寸
C.二丈一尺五寸D.二丈二尺五寸
6.在等差数列 中, , ,则 中最大的是()
A. B. C. D.
7.已知等差数列 的前 项和为 ,且 .定义数列 如下: 是使不等式 成立的所有 中的最小值,则 ()
A.25B.50C.75D.100
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列 ,则 ()
A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱
17.在等差数列 中, ,S,是数列 的前n项和,则S2020=()
A.2019B.4040C.2020D.4038
18.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列 则该数列共有()
【详解】
由 得, , ,
所以 ,
所以 ,故 .
故选:C.
【点睛】
本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用 求解即可.
3.B
【分析】
设公差为 ,利用等差数列的前 项和公式, ,得 ,由前 项和公式,得 ,同时可得 的最大值, , 或 时取得,结合递减数列判断D.
【详解】
设公差为 ,由已知 , ,得 ,所以 ,A正确;
【详解】
解:设递减的等差数列 的公差为 ( ),
因为 ,所以 ,化简得 ,
所以 ,
对称轴为 ,
因为 , ,
所以当 或 时, 取最大值,
故选:A
13.A
【分析】
设等差数列 的公差为 ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出 和 的值,
,即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ,
则 ,即 解得: ,
所以 ,
所以 ,B错误;
,解得 , ,解得 ,
所以 ,当 时, ,
当 时,有最大值,此时 ,
当 时,有最大值,此时 ,C正确.
又该数列为递减数列,所以 ,D正确.
故选:B.
【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列的前 项和,掌握等差数列的前 和公式与性质是解题关键.等差数列前 项和 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由 求得.
① ;② ;③ .
则正确的个数为()
A.0B.1C.2D.3
16.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为()
A. B. C. D.
12.已知递减的等差数列 满足 ,则数列 的前n项和取最大值时n=()
A.4或5B.5或6C.4D.5
13.已知等差数列 中, , ,则 的值是()
A.15B.30C.3D.64
14.已知数列 的前 项和 ,则 的通项公式为()
A. B. C. D.
15.已知数列 的前 项和为 ,且 ,现有如下说法:
【详解】
根据题意可知正整数能被21整除余2,

.
故选:B.
9.A
【详解】
由 .故选A.
10.B
【分析】
利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果.
【详解】
由等差数列的性质,可得 , ,
因为 ,
可得 ,即 ,
故数列的前13项之和 .
故选:B.
11.D
【分析】
把点列代入函数解析式,根据{xn}是等比数列,可知 为常数进而可求得 的结果为一个与n无关的常数,可判断出{yn}是等差数列.
所以该数列的项数共有135项.
故选:D
【点睛】
关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列.
19.B
【分析】
由 可计算出 ,再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项.
【详解】
由等差数列的求和公式可得 , ,
由等差数列的基本性质可得 .
故选:B.
20.C
【分析】
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.记 为等差数列 的前 项和.若 , ,则 的公差为()
A. B. C. D.
5.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为()(注:一丈=十尺,一尺=十寸)
15.D
【分析】
由 得到 ,再分n为奇数和偶数得到 , ,然后再联立递推逐项判断.
【详解】
因为 ,
所以 ,
所以 , ,
联立得: ,
所以 ,
故 ,
从而 ,
, ,
则 ,故 ,


故①②③正确.
故选:D
16.C
【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 , ,a, , ,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.
【详解】
因为 是等差数列,前 项和为 ,由 得:
,即 ,即 ,
对于选项A:由 得 ,可得 ,故选项A正确;
对于选项B: ,故选项B正确;
对于选项C: ,若 ,则 ,故选项C正确;
对于选项D:当 时, ,则 ,因为 ,所以 , ,
所以 ,故选项D不正确,
故选:ABC
【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是由 得出 ,熟记等差数列的前 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.
A. B.
C.当 时, D.当 时, 22.题目文件丢失!
23.题目文件丢失!
24.设等差数列 的前 项和为 .若 , ,则()
A. B.
C. D.
25.等差数列 是递增数列,公差为 ,前 项和为 ,满足 ,下列选项正确的是()
A. B.
C.当 时 最小D. 时 的最小值为
26.已知等差数列 的前n项和为 且 则( )
A. B.当且仅当n= 7时, 取得最大值
C. D.满足 的n的最大值为12
27.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是()
【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 , ,a, , ,
则根据题意有 ,
解得 ,
所以戊所得为 ,
故选:C.
17.B
【分析】
由等差数列的性质可得 ,则 可得答案.
【详解】
等差数列 中,
故选:B
18.D
【分析】
由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数.
【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为 ,则 ,令 ,解得: ,
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