中考数学专题突破 几何探究题

变式训练
1.(2020·益阳)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边 相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直 角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形. 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点 旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线 上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
②如图②，延长CB到F，使得BF=BC，延长CD到G，使得 CD=DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作 GH⊥BC，与BC的延长线交于点H，则BC=BF=5， CD=DG=1.
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴CM=FM，CN=GN， ∴△MNC的周长=CM+MN+CN=FM+MN+GN=FG，∴当 FG取最小值时△MNC周长的值最小. ∵四边形ABCD是“直等补”四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠HCG=180°，∴∠A=∠HCG. ∵∠AEB=∠CHG=90°，∴△AEB∽△CHG，
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的
关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的
中点，BE⊥EG，AD=
AB=3.求AF的长.
类型2
几何变换型探究问题
［方法特点］特征与方法： 几何变换型探究性问题是以几何知识和具体的几何图形为背景，通过图形 的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系、位置关 系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对变换过程中伴随的数量 关系和图形的位置关系等进行探究.解决这类问题，要善于发现全等三角 形、等边三角形、直角三角形和相似三角形,或添辅助线构造全等三角形 、等边三角形、直角三角形和相似三角形，运用全等三角形来证明，运用 勾股定理、相似三角形和锐角三角函数来计算.
(2)【推广验证】如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以 AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足 ∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成 立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在五边形ABCDE中， ∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=23，DE=2，点P在 AE上，∠ABP=30°，PE=2，求五边形ABCDE的面积.
考法示例
类型1
新定义型探究问题
［方法特点］在材料中，为问题的提出设置一种背景，如新定义，新定理 ，新运算.解决此类问题要仔细阅读题目所提供的新定义、新定理或新运 算的内容，通过对材料信息的分析、提炼，再运用所分析、提炼的结果或 题目所提供的运算法则解决新问题.
示例1 (2017·江西,12分)我们定义：如图1，在△ABC中，把 AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α+β=180°时，我们称 △AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线 AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.
变式训练
5.(2020·江西，12分)某数学课外活动小组在学习了勾股定 理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多 边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以 下探究：
(1)【类比探究】如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边 ，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD， Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1， S2，S3之间的关系式为 S1+S2=S3 ；
②选择图2.证明：依题意,得∠EAE′=60°,∠PAO=60°. ∵∠EAP=∠EAE′-∠PAE′=60°-∠PAE′,∠E′AO =∠PAO-∠PAE′=60°-∠PAE′,∴∠EAP=∠E′AO. 又∠E=∠E′,AE=AE′, ∴△EAP≌△E′AO,∴AP=AO, ∴△AOP是等边三角形.
察、操作、联想、推理、概括等多种方法．
示例3 (2013·江西，10分)某学校活动小组在作三角形的 拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 【操作发现】(1)在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和 AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示 ，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点， 连接MD和ME，则下列结论：①AF=AG=1/2AB；② MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． 正确的是 ①②③④ .(填序号即可)
∴△O′BF为等腰直角三角形. ∴BP⊥O′F,O′P=BP. ∴△BPO′也为等腰直角三角形. 又点Q为O′B的中点， ∴PQ⊥O′B，且PQ=BQ. ∴△PQB的形状是等腰直角三角形.
(3)延长O′E交BC边于点G，连接PG，O′P. ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠ECG=45°. 由旋转得，四边形O′ABG是矩形， ∴O′G=AB=BC,∠EGC=90°, ∴△EGC为等腰直角三角形. ∵点P是CE的中点， ∴PC=PG=PE，∠CPG=90°，∠EGP=45°. ∴△O′GP≌△BCP（SAS）.
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形， AB=BC=5，CD=1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE. ①求BE的长； ②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小 值.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BAD=∠C=∠D=90°. ∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在 DA的延长线上，∴BE=BF，∠CBE=∠ABF， ∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠EBF+∠D=180°， ∴四边形BEDF为“直等补”四边形.
类型3
操作型探究问题
［方法特点］操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取
值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活
动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要
动手操作、合理猜想和验证．常见类型：(1)操作设计问题；
(2)图形剪拼；(3)操作探究；(4)数学建模．解题策略：运用观
拓展延伸 (3)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，点D在边 AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED=nAE， 将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求 EF/AD和sin∠ADE的值分别是多少.(请用含有n，α的式子 表示)
4.(2020·贵阳)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线 AC的中点. (1)问题解决：如图1，连接BO，分别取CB，BO的中点P， Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 PQ=1/2BO ，位置关系是 PQ⊥BO ；
(2)证明：如图，连接AC,AD′,CD′. ∵AE′=AB,∠E′=∠B=108°,E′D′=BC, ∴△AE′D′≌△ABC,∴AD′=AC,∠AD′E′=∠ACB. 由AD′=AC,得∠AD′C=∠ACD′, ∴∠OD′C=∠OCD′,∴OC=OD′， ∴BC-OC=E′D′-OD′,即BO=E′O.又AB=AE′,∠B=∠E′, ∴△ABO≌△AE′O,∴∠OAB=∠OAE′.
解：(1)PQ=12BOPQ⊥BO ［∵点O为对角线AC的中点， ∴BO⊥AC，BO=CO. ∵P为BC的中点，Q为BO的中点， ∴PQ∥OC，PQ=1/2OC， ∴PQ⊥BO，PQ=1/2BO.］
(2)△PQB的形状是等腰直角三角形. 证明：连接O′P并延长交BC于点F，由正方形的性质及旋转 可得AB=BC,∠ABC=90°,△AO′E是等腰直角三角形， O′E∥BC,O′E=O′A， ∴∠O′EP=∠FCP,∠PO′E=∠PFC. 又点P是CE的中点，∴EP=CP. ∴△O′PE≌△FPC(AAS), ∴O′E=FC=O′A,O′P=FP. ∴AB-O′A=CB-FC,∴BO′=BF.
(2)问题探究：如图2，△AO′E是将图1中的△AOB绕点A按顺 时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为 CE，BO′的中点，连接PQ，PB.判断△PQB的形状，并证明 你的结论；
(3)拓展延伸：如图3，△AO′E是将图1中的△AOB绕点A按逆 时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO′，点P，Q分别为 CE，BO′的中点，连接PQ，PB.若正方形ABCD的边长为1 ，求△PQB的面积.
【探究证明】 (1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即 △AOP)是等边三角形； (2)如图2，求证：∠OAB=∠OAE′. 【归纳猜想】 (3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 15° , 24° ; (4)图n中，“叠弦三角形” 是 等边三角形(填“是”或 “不是”)；
[ 解答］解：(1)①选择图1.证明：依题意，得 ∠DAD′=60°,∠PAO=60°. ∵∠DAP=∠DAD′-∠PAD′=60°-∠PAD′,∠D′AO =∠PAO-∠PAD′=60°-∠PAD′, ∴∠DAP=∠D′AO. 又∠D=∠D′,AD=AD′, ∴△DAP≌△D′AO,∴AP=AO, ∴△AOP是等边三角形.
(2)①过C作CF⊥BE于点F，如图①，则∠CFE=90°.∵四边形 ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD＞AB ， ∴∠ABC=90°，∠ABC+∠D=180°， ∴∠D=90°.∵BF⊥AD，∴∠DEF=90°， ∴四边形CDEF是矩形，∴EF=CD=1.
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∵∠ABE+∠A=∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠A=∠CBF. ∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC=5， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE=CF. 设BE=CF=x，则BF=x-1. ∵CF2+BF2=BC2，∴x2+(x-1)2=52， 解得x=4，或x=-3(舍去)，∴BE=4.
变式训练
3.(2020·江西模拟)观察猜想 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D 与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE=AE，将线 段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则
探究证明 (2)在(1)中，如果将点D沿CA方向移动，使 CD=1/3AC，其余条件不变，如图2，上述结论是 否保持不变？若改变，请求出具体数值；若不变， 请说明理由；
特例感知： (1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是 △ABC的“旋补中线”. ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为 AD= 1/2 BC； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，AD长为 4 .
(3)存在.证明：如图②，延长AD交BC的延长线于M，作 BE⊥AD于E， 作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F， 连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN,连接DF. ∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°. 在Rt△DCM中，∵CD=23，∠DCM=90°，∠MDC=30°， ∴CM=2，DM=4，∠M=60°.
【数学思考】(2)在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边， 向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的 中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置 关系？请给出证明过程. 【类比探究】(3)在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边 ，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC 的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．
示例2 (2016·江西，10分)【图形定义】如图，将正n边形 绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点 O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所 在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦 三角形”.