1.2二次根式的性质(2)
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
二次根式的性质课件(浙教版)
( a)
2
a
a≥0
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
( a)
2
=a
a (a≥0)
2
a =∣a∣ =
-a(a＜0)
例1 计算:
(1) (−10)2 − ( 15)2
(2)( 2 − (−2)2) × 2 + 2 2
解： （1）（-10）2 -（15）2 = -10 -15=10-15=-5
(2)
( 2 − (−2)2) × 2 + 2 2
1
3
( 0) =
2
2
2
0
2是2的算术平方根，
根据算术平方根的意义，
2是一个平方等于2的非负数，
2
因此有（ 2）
2
性质.( a )2=a (a≥0)
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.
温故知新：齐声朗读
非负数的三种表现情势：a2, ︱a︱,
(-13)2 = 169
(-12)2 = 144
= 2−1+1+ 2
=2 2
6、如图，P是直角坐标系中一点。
（1）用二次根式表示点P到原点O的距离。
（2）如果x= , y=
y
┓
┓
，求点P到原点O的距离。
1.
OP= 2 + 2
2.
OP=
( 2)2 + ( 7)2
x
=
=3
2+7
连续递推，豁然开朗
7.实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1 − )2 + | 2 − p |
= ( 2 − 2) × 2 + 2 2
《二次根式的性质(2)》练习(有答案)
初中精品试卷1.2 二次根式的性质（ 2）同步练习课内练习A 组1．下列运算正确的是（ ）A ． 52 42 = 52 - 42 =5-4=1B ． ( 16)( 25) =16 × 25 =-4 ×（-5）=20C ． (5)2(12)2 = 5 +12=17 D ． 42 7= 42×7=4 7131313 13 132．下列化简错误的是（）A ． 5 =5 = 5 B ． 0.010.49 = 0.01 × 0.49 =0.1 ×0.7=0.0799 3C ． 2=2 = 1 14D ． 11=1·1=1×1 =17 7 74949 773． 169 196 =______;4． 423 =_______;5．5=________;36． ( 18)( 24) =_____;7． 0.001 =________;8．1 1=_______．2 39．（1） 5 =________； （2） 103 =_________．810．（ 1） 1( 8) 2 =_______； （2） 8.1 102 =________．17B 组11．计算：211=________;12．化简： 152302 =_______．3413．?已知等腰三角形的底边长为 10cm ，?腰为 13cm ，?则此等腰三角形的面积为________cm 2．0.9 169 14．-=________．3.619615．在△ ABC 中，∠ C=Rt ∠，若 AB=8 ，BC=1，则 AC=_______．16．在直角坐标系中，已知点A （1，-2），B （5，-7），C （ 5， -2）是三角形的三个顶点，求 AB 的长．课外练习A 组1．判断题（对的打 “∨”，错的打 “×”）（ 1） (3.14)2=3.14-（ ）（2） 3252=32×5 5=135 5 （ ）（ 3）1 1 8 8 （ ）（ ）5( 5) 25 （ ）8 888552．化简： 169 121 4 =_________;3．化简： (2.5 103 )(1.6 105 ) =_________．4．化简：16 =________;1255．化简 52结果正确的是（）5A ．110B ． 25 10C ． 2D ． 1056．计算：32 的值为（ ）25A ．32B ．32C ．36D ．8 62887．化简：11=________;808． ( 8 ) 2 ( 2 ) 2=_________;15159．化简：332=________．4 2710．已知△ ABC 中，∠ C=Rt∠，若 AC=5cm，BC=4cm，求 AB 的长．B 组11．化简： 132392 =________;912．化简： 1.6105=________．8.11013．已知等边三角形的边长为4 2 cm，则它的高为______cm．14．在如图的 4×4 方格内画△ ABC ，使它的顶点都在格点上，?三条边长分别为1125 ，4，3222．5参考答案【课内练习】1．D 2．D3．1824．4 35．1156．12 3 37．1108．169．（1）110 （2）10 10 ? 1006410．（ 1）15（2）9 1011．1312．15 5 17313．6014．- 1315．3716．41 28【课外练习】1．（1）× （2）× （3）×（4）∨2．2863．2×1044．455．D 6．B 257．958．2159．1610．41 cm 2015311．131012．40013．26 914．如图所示513。
浙教版八年级下测试题1.2 第1课时 二次根式的性质
第1课时二次根式(a)2＝a(a≥0)及a2＝|a|的性质1．下列各式中，正确的是(B)A.（－3）2＝－3B．－32＝－3C.（±3）2＝±3D.32＝±3【解析】A不正确，结果应该为3；B正确；C不正确，结果应该为3；D不正确，结果应该为3.2．计算1916＋42536的值为(B)A．2512B．3512C．4712D．5712【解析】原式＝2516＋16936＝54＋136＝3512，故选B.3．[2012·济宁]如图1－2－1，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴负半轴于点A，则点A的横坐标介于(A)图1－2－1A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间【解析】 ∵点P 的坐标为(－2，3)， ∴OP ＝22＋32＝13.∵点A ，P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上， ∴OA ＝OP ＝13.∵9＜13＜16，∴3＜13＜4. ∵点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的横坐标介于－4和－3之间． 4．填空：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2122＝__212__；(2)(－5)2＝__5__； (3)（－6）2＝__6__； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1342＝__134__．5．[2012·宁夏]已知a ，b 为两个连续的整数，且a <11<b ，则a ＋b ＝__7__． 6．实数x 在数轴上的位置如图1－2－2所示：图1－2－2则x 2＝__－x __，（－x ）2＝__－x __．7. [2012·福州]若20n 是整数，则正整数n 的最小值为__5__. 8．若a ＜0，化简|a －3|－a 2＝__3__． 【解析】 ∵a ＜0，∴a －3＜0， ∴原式＝－(a －3)－(－a )＝－a ＋3＋a ＝3. 9．计算：(1)（－7）2－(－5)2； (2)(－3)2－25＋（－3）2； (3)（π－2）2＋（5－π）2. 解：(1)原式＝7－5＝2. (2)原式＝3－5＋3＝1. (3)原式＝π－2＋5－π＝3.10．[2013·益阳]已知：a ＝3，b ＝|－2|，c ＝12.求代数式a 2＋b －4c 的值． 解：当a ＝3，b ＝||－2，c ＝12时，a 2＋b －4c ＝(3)2＋||－2－4×12＝3＋2－2＝3.11．若a ＜1，化简（a －1）2－1＝( D )A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a【解析】 ∵a ＜1，∴a －1＜0，∴（a －1）2－1＝－(a －1)－1＝1－a －1＝－a ，选D.12．[2012·张家界]实数a ，b 在数轴上的位置如图1－2－3所示，且|a |>|b |，则化简a 2－|a ＋b |的结果为( C )图1－2－3A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b13．若整数m 满足条件（m ＋1）2＝m ＋1且m ＜25，则m 的值是__0或－1__. 【解析】 ∵（m ＋1）2＝m ＋1≥0，∴m ≥－1. 又m ＜25且m 为整数，∴m ＝0或－1.14．(1)如果a ＝－3，求（a ＋1）2－（a －1）2的值； (2)化简：（x －1）2－(x ＋1)2(x ＞1)． 解：(1)当a ＝－3时，原式＝（－3＋1）2－（－3－1）2 ＝（3－1）2－（3＋1）2 ＝(3－1)－(3＋1)＝3－1－3－1＝－2.(2)∵x＞1，∴x－1＞0，x＋1＞0，∴原式＝x－1－x－1＝－2.15．如图1－2－4，O为坐标原点，等腰△OPB中，OP＝PB，OB在x轴的正半轴上，且点P的坐标为(x，y)．(1)用二次根式表示等腰△OPB的腰长PB；(2)如果x＝2，y＝3，求PB的长．图1－2－4解：(1)过P作PH⊥OB于H，由勾股定理，得PB＝OP＝x2＋y2.(2)当x＝2，y＝3时，PB＝x2＋y2＝（2）2＋（3）2＝ 5.16．已知18－n是整数，求自然数n的值．解：∵18－n≥0，∴n≤18.又18－n是整数，∴18－n是完全平方数．又18－n≤18，∴18－n＝02，12，22，32，42，∴n＝18，17，14，9，2.17．(1)已知a－3＋|3b－2a|＋(a＋b＋c)2＝0，求a，b，c的值．(2)a，b在数轴上的位置如图1－2－5所示，化简（a＋1）2＋（b－1）2－（a －b ）2.图1－2－5解：(1)依题意，得⎩⎨⎧ a －3＝0，3b －2a ＝0，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝－5.(2)∵a ＜－1，b ＞1，a ＜b ， ∴a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0， ∴原式＝－(a ＋1)＋b －1＋(a －b ) ＝－a －1＋b －1＋a －b ＝－2.。
16.1.2 二次根式的性质
学习目标：1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
重点：二次根式的性质
难点：综合运用性质 进行化简和计算。
学习环节
一．前置作业：
1、什么是二次根式，它有哪些性质？
2、二次根式 有意义，则x。
3、在实数范围内因式分解：
( )2=（x+）(y-)
主备人：郭海ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ审核人：姜瑞风时间：编号1602
（四）拓展提升
1、化简下列各式
（1） (2)
2、化简下列各式
（1）
（2） （x＜-2）
（五）达标测试：
A组
1、填空
（1）、 - =_________.
（2）、 =
（3）a、b、c为三角形的三条边，则
________.
2、已知2＜x＜3，化简：
B组
3 已知0＜x＜1，化简： －
（二）自主学习
1、计算： ，
，
，
。
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当
当
当
（三）合作交流
归纳总结：将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
巩固训练：1、化简下列各式：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、 =（ ）
2、教材P4练习2、P5复习巩固2
3、总结你在计算过程中需要提醒大家注意的事项：
4 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
5、把 的根号外的 适当变形后移入根号内，得（ ）
A、 B、
C、 D、
1.2二次根式的性质(积与商的算术平方根)
2 ___6__ 33
(5) 18 _3__2__ (6) 24 _2__6
(7) 27 3___3
(8)
1 8
_4_2
练习、化简：
（1） 2 25
3
（2）
5
解：
2
22
（1） 25 =
= ；
25
5
（2）
3
=
5
3 5 15 1
55
=
=
25 5
15
二次根式化简的要求：
1.根号内不再含有开得尽方的因式
运用
a2 | a |
a (a a (a
≥0)
<0)
(3) 18
解：
（3） 18
= 92
= 9× =3 2
化简结果 (1)根号内不再含有开得尽方的因式 满足： (2)根号内不再含有分母．
(3)分母中没有根号．
4 5
9
(4) 5 9
5 9
2
5
3
5 2
7
化简结果 (1)根号内不再含有开得尽方的因式 满足： (2)根号内不再含有分母．
文字表达：
1、积的算术平方根等于算术平方根的积 2、商的算术平方根等于算术平方根的商
化简结果 (1)根号内不再含有开得尽方的因式
满足： (2)根号内不再含有分母．
(3)分母中没有根号．
1 121 225
2 42 7
解（：1） 121 225 = 121 × 225
= 11 × 15
25 5
6 5 10
84
辨一辨
132 122 132 122 13 12 1
32 42 32 42 3 4 7
二次根式的性质及其应用
二次根式的性质及其应用资料编号:202208180656一、二次根式的性质二次根式具有三条非常重要的性质:双重非负性、转化性和自身性.（1）双重非负性对于二次根式,：①≥0; ②≥0.a a a （2）转化性.可以理解为:二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值.a a =2（3）自身性（≥0）.()a a =2a 一、二次根式性质的应用双重非负性的应用 二次根式的双重非负性主要用于求参数的值或取值范围.目前,我们在初中阶段先后共学习了三类非负数:绝对值、偶次幂和二次根式（≥a a 0）,它们都具有非负性.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数分别等于0. 已知二次根式求解参数的值或取值范围时,根据被开方数的非负性列出不等式进行求解.这里要求同学们要熟练掌握不等式或不等式组的解法.我们会遇到一些化简问题,问题中含有二次根式,而化简问题往往需要用到参数的取值范围,这个范围有时就来自于二次根式中被开方数的非负性,学生应充分挖掘这个条件. 例1. 若代数式在实数范围内有意义,则的取值范围是__________.10+x x x 分析 该代数式中含有二次根式,其被开方数为非负数,又考虑到二次根式处于分母的位置,故其被开方数只能大于零,据此列出关于的一个不等式.x 本题中还出现了零指数幂,根据其底数不等于列出关于的另一个不等式.两个不等式x 组成的不等式组的解集即为的取值范围.x 解:由题意可得:,解之得:且 ⎩⎨⎧≠>+001x x 1->x 0≠x∴的取值范围是且.x 1->x 0≠x 例2. 已知都是实数,且满足,则_________.b a ,21221--+-=a a b =b a 分析 根据二次根式被开方数的非负性可以说明这样一个事实:如果二次根式与B A -都有意义,那么.A B -B A =解:由题意可知:,解之得:. ⎩⎨⎧≥-≥-012021a a 21=a ∴2-=b ∴.4212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a 例3. 已知均为实数,且,求的值.c b a ,,()012112=++++-c b a c b a ,,分析 本题考查非负数的性质,二次根式是我们在初中阶段学习的第三类非负数.此类a 问题要注意过程的书写规范.解: ∵ ()012112=++++-c b a ≥0,≥0,≥0 1-a 1+b ()212+c ∴012,01,01=+=+=-c b a ∴.12,1,1-=-==c b a 例4. 已知实数满足,求的值.a a a a =-+-2023202222022-a 分析 本题难度较高,学生不知道该从哪里下手,实际上,根据二次根式的非负性,可以求出的取值范围,由此范围去掉绝对值,并对等式条件进行整理,可以发现解决问题的途径. a 解:由题意可得:≥02023-a 解之得:≥2023a ∴a a a =-+-20232022∴20222023=-a ∴()2220222023=-a∴220222023=-a ∴.202320222=-a 例5. 关于代数式的说法正确的是【 】43+-x （A ）当时有最大值 （B ）当时有最小值0=x 0=x （C ）当时有最大值（D ）当时有最小值 4-=x 4-=x 分析 本题考查二次根式的非负性,可利用不等分析法解决问题.解法一: 显然,二次根式有最小值0,此时,且有最大值,最大值为4+x 4-=x 43+-x 3.∴当时,该代数式有最大值3,选择答案【 C 】.4-=x 解法二: ∵≥0,当时取等号 4+x 4-=x ∴≤0 4+-x ∴≤343+-x ∴当时,该代数式有最大值3.4-=x 转化性的应用二次根式的转化性常用于二次根式的化简.二次根式的转化性告诉我们,二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值,具体如下:. ()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a 在对二次根式进行化简时,先转化为,再根据的符号去掉绝对值,以达到最终2a a a 化简二次根式的目的. 例6. 实数在数轴上的对应点A 、B 的位置如图,化简.b a ,()22b a b b a ---+解:由数轴可知:,且. a b <<00<+b a ∴()22b a b b a ---+()b a b b a ---+-=()()ba ba b b a b a b b a +-=+-+--=------=2例7. 已知,则__________. 01<<-a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-414122a a a a 解: ∵01<<-a ∴ a aa a <<+1,01∴ 414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 1111111122-+--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. a2-=点评 两个重要的结论:①当时,;②当时,. 01<<-a 01<<a a 10<<a a a 10<<例8. 已知为任意实数,化简.x 961222++++-x x x x 分析 在利用转化性对二次根式进行化简时,需要用到参数的取值范围,必要时需对参数的取值范围进行分类讨论.解:961222++++-x x x x ()()()31313122--+-=++-=++-=x x x x x x 分为三种情况:①当≤时x 3-原式;()2231--=--+-=x x x②当时13<<-x 原式;()431=--+-=x x ③当≥1时x 原式.()2231+=--+-=x x x 自身性的应用二次根式的自身性常用于二次根式的运算.例9. 计算:()()222121323-++-解:原式121318-++= 43121318=++=例10. 下列结论正确的是【 】（A ） （B ） ()662-=--()932=-（C ） （D ） ()16162±=-251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解:对于（A ）,,故（A ）正确; ()6662-=--=--对于（B ）,,故（B ）错误; ()332=-对于（C ）,,故（C ）错误;()1616162=-=-对于（D ）,,故（D ）错误. 251625162-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴选择答案【 A 】.。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中常见的一种运算形式，它包含了一个根号和一个数的平方。
在进行二次根式的运算时，我们可以使用一些特定的方法和规则，以便简化运算并得到准确的结果。
本文将探讨二次根式的运算方法和应用。
一、二次根式的定义和性质二次根式是指形如√a的运算，其中a代表一个非负实数。
二次根式的运算有一些基本性质，我们来逐一了解。
性质1：非负实数的二次根式仍然是非负实数。
无论a是多少，√a的结果都是非负实数。
这是因为根号运算的结果必须是非负实数，不包括负数。
性质2：二次根式乘法的运算规则。
对于两个非负实数a和b，它们的二次根式的乘法运算规则可以表示为：√a * √b = √(a * b)。
换句话说，两个二次根式相乘，可以将它们内部的数乘起来再开方。
性质3：二次根式的开方法则。
对于一个非负实数a和b，它们的二次根式的开方法则可以表示为：√(a * b) = √a * √b。
这个法则与性质2相反，即将一个二次根式分解为两个二次根式的乘积。
性质4：二次根式的加法和减法运算规则。
对于两个非负实数a和b，它们的二次根式的加法和减法运算规则可以表示为：√a ± √b = √(a ± b)。
这表示二次根式可以与同样含有根号的数进行加减运算。
二、二次根式的运算方法在进行二次根式的运算过程中，我们可以运用以上的性质和规则来简化运算和求解结果。
以下将介绍一些常见的运算方法。
方法1：合并同类项当二次根式中含有多个相同根号内的数时，我们可以合并它们，从而简化运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
方法2：分解二次根式如果二次根式内部含有可以分解的数或者因式，我们可以将其分解为更小的二次根式，从而便于运算。
例如，√12可以分解为√(4 * 3)，再进一步分解为2√3。
方法3：有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以采取有理化分母的方法，将分母中的根号去除，转化为整数或者带有根号的有理数。
例如，1/√2可以有理化为√2/2。
浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教学设计1
浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教学设计1一. 教材分析《二次根式的性质》是浙教版数学八年级下册的教学内容。
这部分内容主要让学生掌握二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、化简、以及最简二次根式的概念。
这些知识点是进一步学习分式、二次函数等数学内容的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数等基础知识，对数学运算有一定的理解。
但二次根式的性质较为抽象，需要学生有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。
此外，学生可能对二次根式的实际应用场景感到困惑，需要教师进行引导。
三. 教学目标1.了解二次根式的性质，能进行二次根式的乘除运算和化简。
2.掌握最简二次根式的概念，能找出一个二次根式的最简形式。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质的理解和应用。
2.最简二次根式的找出和判断。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习的方式，理解和掌握二次根式的性质。
同时，运用实例解析、练习巩固等方法，帮助学生熟练运用所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件：包含二次根式的性质、实例解析、练习等内容。
2.教学素材：包括二次根式的运算题目、化简题目、实际应用题目等。
3.学生活动材料：笔记本、笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题，如物理中的速度、面积等问题，引导学生思考如何用二次根式表示这些问题。
通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现二次根式的性质，包括乘除运算、化简、最简二次根式的概念。
同时，结合实例进行解析，帮助学生理解和掌握二次根式的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，每组挑选几道题目进行二次根式的运算、化简和最简形式的找出。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师选取一些典型题目，进行讲解和分析，帮助学生巩固所学知识。
同时，引导学生总结二次根式的性质，形成自己的知识体系。
1.2二次根式的性质(2)
1 18 24 2
0.001 0.5
3
12 24
2
2
1
9 25
2
121 16
3
2 7
4
二次根式化简方法二：
5 8
5
0.027
有分母的要分母有理化，分母凑 成平方数。
2 15 5
2
2
3 1 5 3
3
1 根号内不再含有开得尽方的因式. 最简二次根式： 根号内不再含有分母． 2
8 2 2 ( ) 13 13
判断！
1 4 9 4 9 2 2 2 2 2 13 12 13 12 13 12 1 3
4a 4a 4 2对任意实数a都成立 a a
1.二次根式的性质:
ab a b (a 0, b 0) a a (a 0, b 0) b b
1.2二次根式的性质(2)
一般地,二次根式也有下面的性质:
ab a b (a 0, b 0) a a (a 0, b 0) b b
1
3
25 4
3 44Βιβλιοθήκη 220.01 0.49
4
12 15
5
18 6
二次根式化简方法一：
被开方数分解出平方数，分解到 不能再分解为止。
根号内不再含有开得尽方的因式. 1 2.运用性质化简: 根号内不再含有分母． 2
2 2 2 _______, 2 _______ 3 3
3 3 3 ______, 3 ______ 8 8
4 4 4 ______ 4 ______ 15 15
5 5 5 _______ 5 ______ 24 24
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
2.ba b a =(a ≥0，b >0) 二、最简二次根式 像33、22、a a 2这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.【经典例题】【例1】下列二次根式中，最简二次根式（ ）A ．√12B ．√0.7C ．√8D ．√x 2+1 【例2】已知 a >0 ，那么 √−4a b 可化简为（ ） A ．2b √−ab B ．−2b √ab C ．−2b √−ab D ．2b √−ab【例3】观察下列各式：√1+112+122=1+11×2=1+(1−12) ， √1+122+132=1+12×3=1+(12−13) ， √1+132+142=1+13×4=1+(13−14) ， ……请利用你发现的规律，计算：√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+120202+120212 其结果为【基础训练】1．下列根式是最简二次根式的是（ ）A ．√a 2B ．√a +2C ．√1aD ．√a 2b2．下列化简错误的是（ ） A ．√1625=45B ．√1916=134C ．√2764=38√3D ．−√715=−65√5 3．下列二次根式中，最简二次根式的个数有（ ）①√0.2②√3a (a>0)③√a 2+b 2④√25A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．√(−4)2 = ； √(−64)×(−81) = .5．在下列二次根式 √5a ， √2a 3 ， √b ， √8x 中，最简二次根式有 .6．计算： √3×√8√6= 。
7．计算：√48a 3÷√6a b= . 8．王聪学习了二次根式性质公式 √a √b = √a b 后，他认为该公式逆过来 √a b= √a √b 也应该成立的，于是这样化简下面一题： √−27−3 = √−27√−3 = √(−3)×9√−3 = √9 =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.9．观察下列式子：√2+23 =2 √23 ； √3+38 =3 √38 ； √4+415 =4 √415 ； √5+524 =5 √524 你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．10．求代数式(√1a −√b)·√ab 的值，其中a ＝3，b ＝2．【培优训练】11．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）A ．√4a 2+4a +1B ．√0.5C ．√4x +y 3D ．√xy 3 12．已知b ＞0，化简 √−a 3b 的结果是（ ）A ．a √abB ．−a √abC ．−a √−abD ．a √−ab 13．已知n 是正整数，√3n 是整数，则n 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．－3 14．若k ，m ，n 都是整数，且√135＝k √15，√450＝15√m ，√180＝6√n ，则下列关于k ，m ，n 的大小关系，正确的是( )A ．m ＜k ＜nB ．m ＝n ＞kC ．m ＜n ＜kD ．k ＜m ＝n 15．已知a =√2023×2021，b =√20202+4×2021，c =2021×2020−2019×2021，则(a −b)(b −c)的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．无法确定16．记S n =√1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+1n 2+1(n+1)2，则S 20162016=（ ） A ．20162017 B ．20172016 C ．20172018 D ．20182017 17．已知a 为实数，化简 √−a 3−a √−1a= ． 18．借助于计算器可以求得√42+32 ＝ ，√442+332 ＝ ，√4442+3332 ＝ ，√44442+33332 ＝ ，……仔细观察上面几道题的结果，试猜想 √44⋯42︸2011个＋33⋯32︸2011个＝ .19．已知 √9−x x−6=√9−x √x−6 ，且x 为偶数，求（1+x ） ⋅√x 2−5x+4x 2−1的值.20．若a=3+ √2 ，b=3- √2 ，求a 2b -ab 2的值【直击中考】21．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√19B ．√4C ．√a 2D ．√a +b 22．化简 √8 的正确结果是（ ）A ．4B ．±4C ．2√2D ．±2√223．下列等式成立的是（ ） A ．√16=±4 B ．√−83=2C ．−a √1a=√−a D ．−√64=−8 24．计算： (√2+√3)2−√24= ．25．已知m 为正整数，若√189m 是整数，则根据√189m =√3×3×3×7m =3√3×7m 可知m 有最小值3×7=21.设n 为正整数，若√300n是大于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 .。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是我们在数学学习过程中常常遇到的一种特殊形式的根式。
在本文中，我们将探讨二次根式的概念以及其重要的性质。
一、二次根式的概念二次根式是指具有“根号下一次方的数”的形式。
具体而言，若a为非负实数，则√a表示其非负平方根，而√(-a)表示其虚数平方根。
因此，二次根式包括了实数根式和虚数根式两种情况。
实数根式的概念是我们初中就已经学习过的，它表示的是可以找到一个非负实数，将其平方得到原始数。
例如，√4=2，√9=3，这些都是实数根式的例子。
虚数根式则是更加复杂一些。
它指的是无法找到一个非负实数来满足平方后得到原始数的情况。
例如，√(-4)=2i，其中i表示虚数单位。
虚数根式在进一步的数学学习中有着重要的应用。
二、二次根式的性质1. 二次根式的有理化：有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的形式。
对于二次根式，我们常常利用有理化的方法将其转化为一个更加简洁的形式。
例如，对于√2，我们可以乘以√2/√2得到2/√2，这样就进行了有理化。
2. 二次根式的运算：二次根式在进行运算时有一些特殊的性质。
首先，根号下的数相同的二次根式可以进行加减运算。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=0。
其次，二次根式可以与有理数进行乘法运算。
例如，2√2*3=6√2，√3*4=4√3。
然而，二次根式的乘法运算并不满足交换律。
即，a√b*b√a不一定等于ab。
3. 二次根式的简化：对于二次根式，我们可以将其进行简化，使其表达更加方便。
例如，对于√8，我们可以简化成2√2。
4. 二次根式的大小比较：在进行大小比较时，二次根式也有一些规律。
如果a和b都是非负实数，则当a<b时，√a<√b；当a>b时，√a>√b；当a=b时，√a=√b。
这些规律在解决不等式问题时有着重要的应用。
结语：通过本文的学习，我们了解了二次根式的概念与性质。
二次根式的概念涵盖了实数根式和虚数根式两种情况，而其性质包括有理化、运算、简化以及大小比较等方面。
二次根式与无理方程
二次根式与无理方程引言数学作为一门科学，其理论体系庞大而复杂。
在数学的世界中，二次根式与无理方程是一个重要的概念与工具。
本文将介绍二次根式与无理方程的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
一、二次根式的基本概念与性质1.1 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式可以简单地理解为对一个数的平方根的表达式。
1.2 二次根式的性质二次根式具有以下性质：（1）非负性：二次根式的值始终为非负实数。
（2）封闭性：对于任意的非负实数a和b，√(a+b) = √a + √b。
（3）分配律：对于任意的非负实数a和b，√(a*b) = √a * √b。
二、无理方程的基本概念与性质2.1 无理方程的定义无理方程是指方程中含有二次根式的方程。
无理方程的求解是数学中的一个重要问题。
2.2 无理方程的性质无理方程具有以下性质：（1）根的存在性：对于任意给定的无理方程，其解一定存在。
（2）根的唯一性：无理方程的解不一定是唯一的，可能存在多个解。
（3）解的性质：无理方程的解可能是有理数，也可能是无理数。
三、二次根式与无理方程的应用3.1 几何应用二次根式与无理方程在几何中有广泛的应用。
例如，在解决一些几何问题时，需要求解含有二次根式的方程，来确定几何对象的性质和位置关系。
3.2 物理应用在物理学中，二次根式与无理方程也有重要的应用。
例如，在计算物体的运动轨迹、力的大小等问题时，常常需要利用二次根式与无理方程进行计算和求解。
3.3 经济应用在经济学中，二次根式与无理方程也有一定的应用。
例如，在计算成本、收益、利润等经济指标时，常常需要利用二次根式与无理方程进行建模和求解。
结论二次根式与无理方程是数学中重要的概念与工具，具有广泛的应用。
通过对二次根式与无理方程的基本概念、性质以及应用的介绍，我们可以更好地理解和应用这一数学知识。
在实际问题中，我们可以运用二次根式与无理方程来解决各种问题，提高问题求解的能力和思维能力。
初中数学二次根式的性质
初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。
也就是说，二次根式的结果总是非负的。
这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。
2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。
也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。
否则，二次根式就没有意义。
3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。
这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。
4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。
例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。
以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。
《1.2二次根式的性质》作业设计方案-初中数学浙教版12八年级下册
《二次根式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在帮助学生巩固和加深对二次根式性质的理解，能够熟练运用二次根式的性质进行计算和推理，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容本节课的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理解二次根式的定义及基本性质，包括正负数的开方、根式的化简等。
2. 掌握二次根式的基本运算法则，如加法、减法、乘法等，并能够熟练运用这些法则进行计算。
3. 掌握二次根式与实数之间的关系，理解实数集的扩充和实数的大小比较。
4. 通过具体实例，让学生运用二次根式的性质解决实际问题，如求最值问题、几何问题等。
5. 练习题的设计应注重层次性，从基础题到提高题，逐步加深难度，让学生逐步掌握二次根式的运用。
三、作业要求为保证作业的质量和效果，对学生提出以下要求：1. 必须认真阅读教材和笔记，熟悉二次根式的定义、性质及基本运算法则。
2. 独立完成作业，不得抄袭他人作业或答案。
3. 注重计算过程的规范性和准确性，保证计算结果的正确性。
4. 对于练习题，应先思考再求解，理解题意后再进行计算。
5. 作业完成后，应自行检查并修正错误，确保作业质量。
四、作业评价作业评价应注重学生的理解程度和运用能力，具体评价标准如下：1. 对二次根式的定义、性质及基本运算法则的理解程度。
2. 计算过程的规范性和准确性。
3. 运用二次根式解决实际问题的能力。
4. 独立思考和自主解决问题的能力。
5. 作业完成的速度和态度。
五、作业反馈为及时了解学生的学习情况和问题，采取以下反馈措施：1. 教师及时批改作业，对错误的地方进行标注和指导。
2. 对共性问题进行课堂讲解和辅导。
3. 对个别问题通过课后辅导或线上解答等方式进行个别指导。
4. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和技巧。
5. 定期总结学生的学习情况和问题，为后续教学提供参考。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固和拓展学生对二次根式性质的理解，通过练习和思考，加深对二次根式运算规则的掌握，并能够灵活运用这些规则解决实际问题。
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13 12 1. ( × )
(3) 4a 4 2. (√ )
a
巩固新知
2.若 (x 2)(5 x) x 2 5 x ，则 x 的取值范
围是_-_2__≤__x_≤__5_.
变式：若 8 x 8 x ，则 x 的取值范围是 x5 x5
2 2 __23 __6_, 2 2 __23__6_;
3
3
3 3 __43__6_, 3 3 __43__6_;
8
8
4
4
8
_15___15_,
4 4
8
_15___15_;
15
15
5
5
5
30
_1_2___,
5 5
5
30
_1_2___
.
24
24
你发现了什么规律?请用字母表示你所发现的规律,并与
(1) (18)(24) .
(2) 1 1 . 49
(3) 0.001×0.5 .
巩固运用
化简：
(1) 5
2
.
5
(2) 2 27 . 34
(3) 3 1 . 53
拓展延伸 1.化简： (1) 122 242 .
(2) 8.1 104 .
(3) ( 8 )2 ( 2 )2 . 13 13
(4)
同伴交流.
n
n
n n2 1 n n2 1 ( n 为自然数，且 n ≥ 2 )
布置作业 《全效学习》1.2（2）
__5_＜__x__≤_8__.
例题解析 例1 化简： (1) 121 225 . 变式： (1) (25)(4) .
(2) 42 7. (2) 0.01×0.49 .
(3) 33 ×52 .
(4) 1000 .
例题解析
例1 化简： (3) 5 .
9
变式： (1) 9 .
25
5
(3) .
8
(4) 2 .
1
1 80
.
拓展延伸
2.已知等边三角形的边长为 4 cm，求它的高线长.
结果没有要求精确度的，结果可含二次根式， 但应化为最简二次根式.
拓展延伸
3.在 4×4 的正方形网格中，作格点△ABC，使 AB=3，AC=2 2，BC= 5 . (作一个即可)
课堂小结
经验 方法 知识
探究活动
化简下列两组式子:
温故知新
1.填空:
(1) ( 3)2=_2__；(2) (2 1 )2 =2 1 ；(3) ( 2)2 = 2 .
5 __5_
7 _7__
2.计算:
(1) ( 4 2)2 ( 1 4 )2 .
53
53
(2) ( 5 3) 5 3 5.
1.2 二次根式的性质（2）
浙教版 八年级下册
探索新知
填空: 4 9 __6__， 4 9 __6__;
93 =
16 __4__,
93
=
16 __4__.
比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用
字母表示你的发现吗?
ab a b ( a ≥ 0，b ≥ 0 )
a a bb
( a ≥ 0，b＞0 )
巩固新知 1.判断:
(1) 4 9 4 9. ( × )
7
(2) 1 1 . 2
(4) 0.004 .
反思提炼 例1 化简： (1) 121 225 .
(2) 42 7. 4 7
55
(3) 9 . 3
2 14
(4) 7 . 7
பைடு நூலகம்
根号内不含分母，不含开得尽方的因数 或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
二次根式化简的结果应为最简二次根式.
例题解析 例2 化简：