银行利息计算

7.6.2 单利和复利

利息有单利和复利之分。

1 单利（Simple Interest）

都以首期的本金为基数计算所得的各期利息就叫单利。计算单利的公式为：

式中，Po是本金，R是利率，N是计息的期数。

例7.6.1小万1997年1月1日将现金1000元存入银行3年，到期1次还本付息，计单利，每年利率10%。2000年1月1日到期利息为：

1000×10%×3＝300

计算结果见表7.6.1。

表7.6.1 单利计算表

2 复利 (Compound Interest)

复利是以本金与前期累计的利息之和为基数计算所得的本期利息。

计算复利的公式为：

以上的复利的定义和计算公式都是假设每一期的利息都不支付或提取。

例7.6.2当10%的利率按复利考虑时，则1998.1.1存入1000元３年，每一年的利息计算如下：

第1年末的利息＝1000×10%＝100

第1年末的本金与利息之和＝ 1000＋100＝1100

第2年末的利息＝1100×10%＝110 累计利息＝100＋110＝210

第2年末的本金与利息之和＝ 1100＋110＝1210

第3年末的利息＝1210×10%＝121 累计利息＝210＋121＝331

第3年末的本金与利息之和＝ 1000＋100＋110＋121＝1331

计算结果见表7.6.2。

表7.6.2 复利计算表

利用式7.6.2直接计算例7.6.2的复利利息为：

在财务会计中，复利得到了广泛的应用。本书中所指的利息如无特殊说明均指的是复利。

7.6.3 终值和现值

1 复利终值（Future Value-FV）

到期日本金与复利之和称为复利终值，简称为终值。

利用式7.6.3计算例7.6.2的终值为：

2 复利现值（Present Value－ＰＶ）

与终值对应的概念是复利现值。它是考虑复利时，一定期间后的某一特定金额在当前的价值。复利现值简称为现值。现值等于终值减去利息。它相当于前面所说的第1次投入的本金。因此式7.6.3的Po可以用PV代替。即：

由FV计算PV的公式为：

在财务会计中，经常将PV称为复利贴现值。简称为贴现值。

例7.6.3如果希望三年后可从银行取得本金加利息1331元，每年利率10%，计复利。求期初应存入多少钱？

求期初应存入多少钱，即求复利的现值问题。由式7.6.4可得：

3 终值系数和现值系数

本书约定：本金为X元，利率为R，N期的终值表示为：

ＦＶ（Ｒ，Ｎ，Ｘ）

终值为X元，利率为R，N期的现值表示为：

ＰＶ（Ｒ，Ｎ，Ｘ）

当Ｘ等于１元时上述表达式分别为：

ＦＶ（Ｒ，Ｎ，１）和ＰＶ（Ｒ，Ｎ，１）简写为：ＦＶ（Ｒ，Ｎ）或ＦＶ１和ＰＶ（Ｒ，Ｎ）或ＰＶ１

本书将ＦＶ（Ｒ，Ｎ）和ＰＶ（Ｒ，Ｎ）分别称为一元复利的终值系数和现值系数。

1元现金的现值和终值系数之间存在着如下的关系：

PV(R,N)＝1／FV(R,N) FV(R,N)＝1／PV(R,N) ( 式7.6.6)即FV和PV 互为倒数。对于R＝10%，N＝3来说：

PV1＝1／FV1＝1／1.331＝0.7513 FV1＝1／PV1＝1／0.7513＝1.331

为了简化计算过程，可以利用一般会计参考书提供的1元现金的FV和PV 的系数表和Excel函数(见下节7.6.5)来计算现值和终值。

例7.6.4Golden Li将3000元存入银行，年利率５%，存期５年。到期日本息之和为多少？

由复利终值系数表(或Excel函数)可求得ＦＶ(5%,5)=1.2763。所以到期日本息之和，即终值ＦＶ为：

ＦV＝FV(5%,5,3000)=3000×FV(5%,5)=3000×1.2763=3828.9例7.6.5 Golden Li希望３年后能积够40000元陪妻子去欧洲旅行一次。如果银行年利率８%，则他今天要存多少钱到银行？

由复利现值系数表(或Excel函数)可求得ＰＶ(8%,5)=0.7938。所以Li今天应存入的款项，即现值ＰＶ为：

ＰV＝ＰV(8%,3,40000)=40000×PV(8%,3)=40000×0.7938=31752 7.6.4 年金

例7.6.6如果你每年年底将节余的1000元存入银行，利率10%，则第四年的年末本金加利息和为：

其过程可以用图7.6.1表示。

我们将按照相等的时间间隔，相同的利率（复利）支付（或接收）的相等的金额称为年金(Annuity)。同时将在期末收支的年金称为普通年金，简称年金，在期初收支的年金称为即付年金。本书约定，凡未特别指明的年金都是普通年金。图7.6.1所示的是普通年金。图7.6.2所示的为即付年金（Annuity Due）。

终值系数和现值系数:

年金也有现值和终值之分。计息期末年金和复利之和称为年金终值－FVA。年金和复利的贴现值之和称为年金现值－PVA。即付年金终值表示为FVAD。即付年金现值表示为PVAD。

本书约定：年金为Ａ元，利率为R，N期的年金终值表示为：

年金为X元，利率为R，N期的现值表示为：

当Ｘ等于１元时上述表达式分别为：

ＦＶＡ（Ｒ，Ｎ，１）和ＰＶＡ（Ｒ，Ｎ，１）简写为：ＦＶＡ（Ｒ，Ｎ）和ＰＶＡ（Ｒ，Ｎ）

本书将ＦＶＡ（Ｒ，Ｎ）和ＰＶＡ（Ｒ，Ｎ）分别称为一元年金的终值系数

和现值系数。1元年金FVA的计算公式为：

1元年金PVA的计算公式为：

相同的Ｒ，Ｎ，Ａ的即付年金等于普通年金乘以（１＋Ｒ）。即：

FVA=FVAD×(1+R) (式7.6.11)

PVA=PVAD×(1+R) (式7.6.12)

例7.6.7假如你在今后的三年中每年年底要拿出1000元为小孩交学费。银行利率10%。则现在你应存入银行的款项为：

7.6.5 EXCEL的财务函数

在Microsoft Office 软件中，利用电子表格EXCEL可以很容易的计算出上述的PV、FV、PV A、FV A的系数和具体的值。具体操作有公式法和函数法。

1公式法

所谓公式法就是在EXCEL的单元格中，直接输入计算公式来求各种现值和终值。

对于例7.6.2求复利终值,只要在单元格中输入1000*（1＋0.1）^3,就可以得到结果1331。对于例7.6.3求复利现值,只要在单元格中输入1331/（1＋0.1）^3,就可以得到结果1000。

2 函数求解法

更简单的方法是利用EXCEL的财务函数来求解。在EXCEL中有很多财务函数。于本课程有关的有：PV，FV，Pmt，Rate, Nper。其自变量的格式分别为：

PV(Rate,Nper,Pmt,FV,Type)

FV(Rate,Nper,Pmt,PV,Type)

Rate(Nper,Pmt,PV,FV,Type)

Nper(Rate,Pmt,PV,FV,Type)

Pmt(Rate,Nper,PV,FV,Type)

自变量缺省时保留其间隔的［，］。