高级微观经济学课件(上海财经大学夏纪军)

必要条件：Kuhn-Tucker条件
I、
L xi
u(x*)
xi
*pi
0
xi*(u(xxi *) *pi) 0
II、 ypx* 0
*(ypx*)0
III、xi 0,0
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Ch 1.3.2 解的充要条件
内点解必要条件
如果： x* 0 xi*0, i1,2,...,n
预算 y
行动规则
制度、政府规制等
交易规则：完全竞争性市场 p 0
预算集： Bp,y{xRn +pxy}
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Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
X{x= (c1,c2)c10,c20 }
收入：y(y1, y2)
利率： r
预算约束： (1r)c1c2
假设 x * 不是消费者的效用最大化选择 ,即
x 0 R n ,u (x 0)u (x *) s.t. px0 y
u ( x ) 连续性 t[0,1]， 使 得
u(tx0)u(x*) s.t. ptx0 y
令x1 tx0
u(x*)(x1x*)＝*p(x1-x*)*(y-y)=0
x(p,y):Bp,y R
——马歇尔需求函数
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Ch 1.3.2 解的充要条件 偏好具有良好性质，u ( x ) 可导
MaxxX u ( x )
s .t : px y
L (x ,) u (x )(y p x )
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Ch 1.3.2 解的充要条件
Ch 1.3 消费者问题
Ch 1.3 消费者选择问题
最优解的性质 最优解的充分必要条件
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Ch 1.3 消费者选择问题
分析框架
偏好关系：·
消费集：X

R
n
可行集：BX
最优化选择：
x* B 使得xB 都有x* · x
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Ch 1.3 消费者选择问题
等于0。
那么 x*(p0 , y0 ) 在 ( p 0 ,y 0 ) 可微。
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例 u(x1,x2)[x1 x2 ]1/
L(x1, x2,)
[ x 1 x 2 ] 1 / (y p 1 x 1 p 2 x 2 )
xi*(u(xxi *) *pi) 0
u(x*) xi
* pi
0
i 1,2,...,n（1）
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Ch 1.3.2 解的充要条件 内点解必要条件 x* 0
偏好的严格单调性 u (x * ) 0（几乎处处成立）
xi
* u(x*)/xi 0 i 1,2,...,n
假设1.2
消费者偏好具有完备性、可传递 性、连续性和严格单调性。
形式理性
可以由一连续、严格递增的拟凹 实值函数u ( x ) 表示。
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Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
c2
u(c1,c2)c1c1 2
c1
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Ch 1.3 消费者选择问题
可行集
——与u(x)拟凹性矛盾
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Ch 1.3.2 解的充要条件
定理1.3：需求函数的可微性
设 x* 0 在 (p0,y0) 0下消费者的最优 选择。如果有

u(x) 是R
n
上的二次连续可微函数
u(x)/xi 0 i 1,2,...,n
u ( x ) 在 x * 点上的加边海塞矩阵的秩不
连续实值函数则存在最大值。
· 满足假设1.2u ( x ) 是 B 上的连续函数
0 B B 非空
B 是紧集
p 0 B 是有界、闭集
存在最大值
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Ch 1.3.1 解的性质：唯一性
如果偏好关系满足严格凸性，可行集B是凸集， 那么最优解唯一
证明：
假 设 x 1 ， x 2 都 是 最 优 选 择 , 有 u ( x 1 ) u ( x 2 )
y p x*=0
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Ch 1.3.2 解的充要条件 证明
u ( x ) 拟凹
u(x)(x1x0)0 如 果u(x1)u(x0)
设u(x*)存在， （ x * , *）是(1.10)的解
有： u(x*) *p
p x*=y
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Ch 1.3.2 解的充要条件
p1 1 r
p2 1
(1r)y1y2
（未来值形式）
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Ch 1.3 消费者选择问题
例：跨期消费选择
c2
(1r)y1y2
c 2 (1 r)y 1 y 2 (1 r)c 1
y2
c1
y1
y1y2/(1r)
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Ch 1.3 消费者选择问题
融资约束
c2
pi
ypx*=0 （2）
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Ch 1.3.2 解的充要条件
定理1.4：内点解必要条件的充分性
如果效用函数连续拟凹，在 x *可导，
而且 (p,y) 0，x* 0。那么满足以下必
要条件的解一定是消费者的效用最大
化解。
(1 .1 0 )
u(x*) xi
* pi
0
i 1,2,...,n
c 2 存款利率rs <贷款利率rc
借不到钱
y2
y1
c1
c y1y2/(1rc) 1
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Ch 1.3 消费者选择问题
消费者问题
MaxxX u ( x )
s .t : px y
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Ch 1.3.1 解的性质：存在性
A 1.10 : 如果定义域 D是一个紧集，那么
B 是凸集 xt tx1(1t)x2B
· ：严格凸 u ( x ) 是严格拟凹函数
u (x t)m in [u (x 1),u (x 2)]
——与假设矛盾假设不成立解是唯一的
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Ch 1.3.1 解的性质：唯一性 非凸偏好
x2
x1
x2
x1
Slide 13
Ch 1.3.1 解的性质：唯一性 非严格凸偏好
x2
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xt tx1(1t)x2 t [0,1]
x1 x2
x1
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Ch 1.3.1 解的性质：瓦尔拉斯法则 瓦尔拉斯法则
偏好的递增性
px* y
Slide 15
Ch 1.3.1 解的性质
偏好的理性、连续性 存在性 偏好的严格凸性 唯一性 偏好的递增性 瓦尔拉斯法则