数学建模提高班专题一数学规划模型、案例及软件求解(2010410)final
数学建模中规划问题的MATLAB求解
min P ( x, M )
的最优解 x 也是原问题的最优解。
【例 2-10】求非线性规划问题的解
min f ( x) x1 x2 8
2 x1 x2 0 2 s.t. x1 x2 2 0 x , x 0 1 2
2 2
function g=test(x) M=50000; f=x(1)^2+x(2)^2+8; g=f-M*min(x(1),0)-M*min(x(2),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)... +M*abs(-x(1)-x(2)^2+2);
命令窗输入[x,y]=fminunc('test',rand(2,1))
第二章
规划问题的MATLAB求解
2.1 线性规划 2.2 非线性规划
2.3 整数规划
数学规划模型
序：
规划问题是常见的数学建模问题，离散系统的优化问题 一般都可以通过规划模型来求解。因此快速求解规划问题是 数学建模的基本素质。利用MATLAB提供的规划模型求解命 令，可以快速得到想要的结果。
2.1 线性规划
以下介绍外罚函数法，内罚函数法参考PPT“内罚函数 法”。
设规划模型为 min f ( x)
gi ( x ) 0, i 1 ~ r s.t. hi ( x ) 0, i 1 ~ s k ( x ) 0, i 1 ~ t i
取充分大的数 M 0 ，构造函数 P ( x , M ) f ( x ) M max( g i ( x ), 0) M min( hi ( x ), 0)
数学建模之规划问题
一、线性规划1.简介1.1适用情况用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
如： （1）资源的合理利用（2）投资的风险与利用问题 （3）合理下料问题 （4）合理配料问题 （5）运 输 问 题 （6）作物布局问题（7）多周期生产平滑模型 （8）公交车调度安排 1.2建立线性规划的条件（1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数；（2）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。
1.3线性规划模型的构成决策变量、目标函数、约束条件。
2、一般线性规划问题 数学标准形式：目标函数：1max ==∑ njjj z cx约束条件：1,1,2,...,,..0,1,2,...,.=⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑nij j i j ja xb i m s t x j nmatlab 标准形式：3、可以转化为线性规划的问题 例：求解下列数学规划问题解：作変量変换1||||,,1,2,3,4,22+-===i i i ii x x x x u v i 并把新变量重新排序成一维变量[]1414,,,,,⎡⎤==⎢⎥⎣⎦Tu y u u v v v ，则可把模型转化为线性规划模型其中：[]1,2,3,4,1,2,3,4;=T c 12,1,;2⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦Tb 111111131 - - ⎡⎤⎢⎥= - -⎢⎥⎢⎥ -1 -1 3⎣⎦A 。
利用matlab 计算得最优解：12342,0,=-===x x x x 最优值z=2。
程序如下： 略二、整数规划 1.简介数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时称为整数规划。
目前流行求解整数规划的方法一般适用于整数线性规划。
1.1整数规划特点1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，出现的情况有①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（存在最优解），但最优解值变差。
2）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整获得。
数学建模实验答案_数学规划模型一
在出现的选项框架中，选择General Solver（通用求解器）选项卡，修改2个参数：( LINGO9 )
Dual Computations（对偶计算）设置为：Prices and Ranges（计算对偶价格并分析敏感性）
Model Regeneration（模型的重新生成）设置为：Always（每当有需要时）
★
输入的模型：
!文件名：p97.lg4;
max=290*x11+320*x12+230*x13+280*x14
+310*x21+320*x22+260*x23+300*x24
+260*x31+250*x32+220*x33;
x11+x12+x13+x14<100;
x21+x22+x23+x24<120;
@for(wu(i):@sum(cang(j):x(i,j))<w(i));
@for(cang(j):@sum(wu(i):x(i,j))<WET(j));
@for(cang(j):@sum(wu(i):v(i)*x(i,j))<VOL(j));
@for(cang(j):
@for(cang(k)|k#GT#j:!#GT#是大于的含义;
附
4.1 奶制品的生产与销售
例1 加工奶制品的生产计划
结果分析
例2 奶制品的生产销售计划
结果分析
4.2 自来水输送与货机装运
例1 自来水输送问题
例2 货机装运
b=50 60 50;
m1=30 70 10 10;
数学规划及软件
模型求解：
用鼠标点击工具栏中的图标 ， 或从菜单中选择Solve|Solve（Ctrl+S）命令
LINDO首先开始编译这个 模型，编译没有错误则开 始求解； 求解时会首先显示如右图 所示的LINDO “求解器运行状态窗口 ”。
2020/5/22 020年5月2日5时23分
•数学规划是优化问题的一个分支，起始 于20世纪30年代末，50年代与60年代发展成 为一个完整的分支并受到数学界和社会各界 的重视。七八十年代是数学规划飞速发展时 期，无论是从理论上还是算法方面都得到了 进一步完善。时至今日数学规划仍然是运筹 学领域中热点研究问题。从国内外的数学建 模竞赛的试题中看，有一半以上的问题可用 数学规划进行求解。
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数学规划模型的一般形式
min(ormax) z f (x) s.t. hi(x) 0, i 1,...,m
gj(x) 0, j 1,...,l xDRn
(1) 约 (2) 束 (3) 条
件
可行域 s. t. (subjetoc)t“受约束于”之意．
三要素：决策变量；目标函数；约束条件
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常用优化软件
1.LINDO/LINGO软件 2.MATLAB优化工具箱
/mathematica优化程序包 3.EXCEL软件的优化功能 4.SAS(统计分析)软件的优化功能
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LINDO 公司软件产品简要介绍
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三个变量范围限定命令(FREE、SUB、SLB)的作用
数学建模 线性规划模型
数学建模教案－线性规划模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？初步分析可以先考虑两种“极端”的情况：（1）全部截出长为698mm的甲件，一共可截出EQ F(4000,698) »5件，残料长为510mm。
（2）全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 E Q F(4000,518) »7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：698 x + 518y £ 4000x ，y都是非负整数目标是使：z = EQ F(698x + 518y,4000) （材料利用率）尽可能地接近或等于1。
（尽可能地大）该问题可用数学模型表示为：目标函数： max z = EQ F(698x + 518y,4000)满足约束条件：698 x + 518y £ 4000 ， (1)x ，y都是非负整数 . (2)例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。
因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：x 1 + 2x 2£ 8 .同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式：4 x 1£ 164 x 2£ 12.该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。
数学建模培训之数学规划模型
线性规划的求解
例1 max z 5 x1 10x2 s.t. 5 x1 4 x2 24, 2 x1 5 x2 15, x1 x2 1 x1 0, x2 0
x2
Q3
Q4 x2-x1 =1
O
Q2
2x1+5x2=15
Q1 x1 5x1+4x2=24
数学建模
Mathematical Modelling
第一讲 数学规划模型
优化问题： 现实世界当中经常遇到的一类问题。
Байду номын сангаас
最优化方法：
解决优化问题的数学方法。 解决优化问题的基本步骤： 1)建立优化模型; 2)利用优化方法辅以计算机求解 优化模型。
优化模型：
1) 数学规划：线性规划
非线性规划
整数规划 动态规划 多目标规划 生产与服务业的运作管理：计划问题、调度问 题、运输问题、下料问题，… 经济与金融领域：经济均衡问题、投资组合问 题、市场营销问题， …
2)图与网络的优化模型
运输问题 指派问题 最大匹配问题 最小覆盖问题
最短路问题
最小树问题 行遍性问题(旅行商问题/中国邮递员问题) 网络流问题(最大流/最小费用流) 计划网络图优化问题
3)对策论（博弈论） 4)排队论 5)存贮论 参考书：
▲运筹学(第3版)，《运筹学》教材编写组编，清
华大学出版社,2005
2. 罚函数法：
利用目标函数 f (x)和约束函数 g (x) 构造带参数的“增广” 目标函数 ，将约束NLP 转化为一系列无约束NLP来求解： min F(x) = f (x) + Pk(x) 其中Pk(x)为由g (x)构成的“惩罚”函数。
数学规划模型的matlab求解
数学规划模型的matlab求解数学规划模型的matlab求解数学规划模型是优化模型的一种，包括线性规划模型(目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题);非线性规划模型(目标函数或者约束条件是非线性的函数);整数规划(决策变量是整数值得规划问题);多目标规划(具有多个目标函数的规划问题)；目标规划(具有不同优先级的目标和偏差的规划问题)动态规划(求解多阶段决策问题的最优化方法)。
数学规划模型相对比较好理解，关键是要能熟练地求出模型的解。
以下是解线性规划模型的方法：1.线性规划问题线性规划问题的标准形式为：min f'*xsub.to：A*x<b< p="">其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。
MATLAB中，线性规划问题（Linear Programming）的求解使用的是函数linprog。
函数linprog格式x=linprog(f,A,b)%求min f'*x sub.to A*x<=b线性规划的最优解。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)%等式约束，若没有不等式约束，则A=[]，b=[]。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%指定x的范围，若没有等式约束，则Aeq=[]，beq=[]x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%设置初值x0x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options为指定的优化参数[x,fval]=linprog(…)%返回目标函数最优值，即fval=f'*x。
[x,lambda,exitflag]=linprog(…)%lambda为解x的Lagrange乘子。
[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…)%exitflag为终止迭代的错误条件。
数学竞赛规划问题
目标函数
s .t .
约束条件
1.决策变量 ——未知数。它是通过模型计算来确定的 决策变量 未知数。 未知数 决策因素。又分为实际变量——求解的变量和计算变 决策因素。又分为实际变量 求解的变量和计算变 计算变量又分松弛变量（上限）和人工变量（ 量，计算变量又分松弛变量（上限）和人工变量（下 限）。 2.目标函数 目标函数——经济目标的数学表达式。目标函数是求 经济目标的数学表达式。 目标函数 经济目标的数学表达式 变量的线性函数的极大值和极小值这样一个极值问题。 变量的线性函数的极大值和极小值这样一个极值问题。 3.约束条件 约束条件——实现经济目标的制约因素。它包括： 实现经济目标的制约因素。 约束条件 实现经济目标的制约因素 它包括： 生产资源的限制（客观约束条件）、生产数量、 ）、生产数量 生产资源的限制（客观约束条件）、生产数量、质量 要求的限制（主观约束条件）、 ）、特定技术要求和非负 要求的限制（主观约束条件）、特定技术要求和非负 限制。 限制。
图解法简单直观， 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解 的基本原理和思想。 的基本原理和思想。 下面举例说明图解法求解线性规划问题的步骤。 下面举例说明图解法求解线性规划问题的步骤。
例1 图解法求解线性规划问题
max z = 3 x1 + 5 x 2
3 x 1 + 2 x 2 ≤ 18 x ≤ 4 1 2 x 2 ≤ 12 x1 , x 2 ≥ 0
可行域-the 可行域-the feasible region 3x1+2x2=18
0
Q0(0,0)
2
4
6
8
x1
图1-1 图解法解题过程 x2 8
Q1(0,6)
2010年数学建模集训小题目解答.pdf1
12 10 6;
enddata min=@sum(link:c*x); @for(num(i):@sum(num(j):x(i,j))=1); @for(num(j):@sum(num(i):x(i,j))=1);
2．某厂生产三种产品 I，II，III。每种产品要经过 A, B 两道工序加工。设该厂有两种规格的 它们以 A1 , A2 表示； 有三种规格的设备能完成 B 工序， 它们以 B1 , B2 , B3 设备能完成 A 工序， 表示。产品 I 可在 A, B 任何一种规格设备上加工。产品 II 可在任何规格的 A 设备上加工， 但完成 B 工序时，只能在 B1 设备上加工；产品 III 只能在 A2 与 B2 设备上加工。已知在各种 机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床 设备的费用如表 3，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。
@for(link:@bin(x)); end
4．某公司新购置了某种设备 6 台，欲分配给下属的 4 个企业，已知各企业获得这种设备后
年创利润如表 5 所示，单位为千万元。每个企业至少分配 1 台设备，问应如何分配这些设备 能使年创总利润最大，最大利润是多少？
表5 企业 设备 1 2 3 4 5 6 甲 4 6 7 7 7 7 各企业获得设备的年创利润数 乙 2 4 6 8 9 10 丙 3 5 7 8 8 8 丁 4 5 6 6 6 6
该厂根据订单至少需要生产 600 公斤高级奶糖，800 公斤水果糖，为求最大利润，试建 立线性规划模型并求解。 用 j = 1,2,3 分别表示原料 A， B， C。 设 xij （ i = 1,2 ， 解： 用 i = 1,2 分别表示高级奶糖和水果糖，
数学建模提高班专题一--规划模型、案例及软件求解(2010-4-10)final
min u f ( x) x
s. t. hi ( x ) 0, i 1,2,..., m.
gi ( x ) 0( gi ( x ) 0), i 1,2,..., p.
（2）线性规划（LP） 目标函数和所有的约束条件都是设计 变量的线性函数。
min u ci xi
解答
例2： 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控
制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。 检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省， 该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工题
微分方程、差分方程
图论、0-1 规划、动态规划
08A 数码相机定位问题 08B 高等教育学费标准探讨
几何、优化 多元回归、多目标优化
规划模型、案例及软件 求解
一、引言
二、线性规划模型及软件求解 三、整数规划模型 四、0-1规划模型 五、几种常用的线性规划模型 六、多目标规划模型 七、二次规划（暑假） 八、非线性规划模型（暑假）
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72 x1 64 x2 原料供应
x1 x2 50
12 x1 8 x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
综上所述
Max z=72x1+64x2； s. t. x1+x2≤50， 12x1+8x2≤480， 3x1≤100， x1，x2≥0
数学规划问题实例详解附lingo程序
题目1,某造船厂根据合同要在当年算起的连续三年的三个年末各提供三条规格相同的大型货轮。
已知该厂今后三年的生产能力及生产成本如表1所示。
已知加班生产情况下每条货轮成本比正常生产时高出70万元，又知造出的货轮如当年不交货，每条货轮每积压一年将增加维护保养等损失为40万元。
在签订合同时该厂已有两条积压未交货的货轮，该厂希望在第三年末在交完合同任务后能储存一条备用。
问该厂应如何安排计划，使在满足上述条件下，使总的费用支出为最小。
要求将此问题建立数学模型，并给出求解该问题的程序和结果。
2, 邮件派发问题的选址问题。
设(a i, b i)(i=1~20)为第i 栋住宅楼的坐标；a = [29.74 4.9 69.32 65.0 98.3 55.27 40.0 19.8 62.573.3 37.58 0.98 41.98 75.37 79.38 92.0 84.47 36.7762.08 73.13];b =[19.39 90.48 56.92 63.18 23.44 54.88 93.16 33.5 65.539.19 62.73 69.9 39.72 41.37 65.52 83.75 37.16 42.52 59.46 56.58];（1）假定所有住宅需要提供相同数量的服务，选择一个服务中心，使得到它们所有住宅总任务量最小。
（任务量等于服务数和距离的乘积）（2）假定不同的住宅有不同的服务量，值为c=[2 1 2 4 4 2 5 1 6 1 1 1 4 2 6 2 1 2 4 5]。
重新计算服务中心的地址和服务方案。
（3）在（2）的基础上，另外假定服务中心可以设定3个，一个主中心和两个分中心，要求分配的服务量之比为2：1：1（尽可能接近这个比例），而且规定一个住宅只能由其中一家服务中心提供服务。
如何选址并且给出每条路线上的运输量。
3, 曲线拟合问题可以使用无约束或者约束优化进行描述。
为确定变量y 和x 之间的函数关系，通过实验得到n 个数据(x i ,y i )，i=1,…,n 。
数学建模10-规划类问题讲课稿
数学建模10-规划类
问题
数学建模10-规划类问题
一、线性规划
MATLAB中的标准形式
计算机求解：MATLAB解法和LINGO解法
二、整数规划
变量（部分或全部）限制为整数。
其中0-1整数规划是整数规划中的特殊情形，主要适用问题有：①相互排斥的约束条件；②固定费用的问题（采用/不采用哪种生产方式）；③指派问题（指派n个人去做n 项工作，每人做且仅做一项工作，指派矩阵的含义）。
蒙特卡洛法（随机取样法）：使用计算机生成相关分布的随机数，进行多次随机模拟，尽可能找到最优解。
三、非线性规划
目标函数或约束条件中包含非线性函数。
无约束问题的MATLAB解法：（1）符号解；（2）数值解：fminunc，finsearch
（3）求函数的零点和方程组的解：roots，solve,fsolve 约束极值问题
（1）二次规划：目标函数是自变量x的二次函数，而约束条件全是线性的。
（2）罚函数法：将非线性规划问题转化为求解一系列无约束极值问题。
（3）MATLAB中求约束极值问题：fminbnd，fseminf，
fminimax，具体用法参考书中或MATLAB的help命
令。
（4）利用梯度求解约束优化问题
四、动态规划：求解决策过程最优化的数学方法，主要用
于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题。
五、目标规划：实际问题中，衡量方案优劣要考虑多个目
标，有主要的，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，这时可用目标规划解决。
数学建模案例之线性规划
LP问题的一般概念
化成标准型为：
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4 s .t . x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3 x1 4 x2 3 x3 2 x4 5 x1 , x2 , x3 , x4 0
LP问题的一般概念
Step1. 将一般的 LP 问题划成标准形式 引入松弛变量x3，x4，x5 将原问题化成标准形式
min s .t . z (1000 x1 1500 x2 ) 9 x1 5 x2 x3 4 x1 5 x2 2 x1 5 x2 x4 350 200 x5 150
LP问题的一般概念
4.单纯形法
G.B.Dantzig的单纯形法（Simplex method）是一个顶点 迭代算法，即从一个顶点出发，沿着凸多面体的棱迭代到另一个 顶点，使目标函数值下降（至少不升），由顶点个数的有限性， 可以证明经过有限次迭代一定可以求得最优解或者判定该问题无
最优解，这就是单纯形法的基本思想。而几何上一个的顶点对应
例1：加工Байду номын сангаас制品的生产计划
一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，一桶牛奶可 以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时 加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2全部能够售出，且 每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能够得 到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并 且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限 制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大? 并进一步讨论以下三个附加问题： 1）若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资？若投 资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的 工资最多是每小时多少元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否 改变生产计划？
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结数学建模是运用数学方法和技巧来研究和解决现实问题的一门学科。
它将实际问题抽象化，建立数学模型，并通过数学推理和计算求解模型，从而得出对实际问题的理解和解决方案。
本文将总结数学建模中常用的模型类型和求解方法，并介绍每种方法的应用场景。
一、线性规划模型与求解方法线性规划是数学建模中最常用的模型之一，其基本形式为：$$\begin{align*}\max \quad & c^Tx \\s.t. \quad & Ax \leq b \\& x \geq 0\end{align*}$$其中，$x$为决策变量向量，$c$为目标函数系数向量，$A$为约束系数矩阵，$b$为约束条件向量。
常用的求解方法有单纯形法、对偶单纯形法和内点法等。
二、非线性规划模型与求解方法非线性规划是一类约束条件下的非线性优化问题，其目标函数或约束条件存在非线性函数。
常见的非线性规划模型包括凸规划、二次规划和整数规划等。
求解方法有梯度法、拟牛顿法和遗传算法等。
三、动态规划模型与求解方法动态规划是一种用于解决多阶段决策问题的数学方法。
它通过将问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的最优解。
常见的动态规划模型包括最短路径问题、背包问题和任务分配等。
求解方法有递推法、记忆化搜索和剪枝算法等。
四、图论模型与求解方法图论是研究图及其应用的一门学科，广泛应用于网络优化、城市规划和交通调度等领域。
常见的图论模型包括最小生成树、最短路径和最大流等。
求解方法有贪心算法、深度优先搜索和广度优先搜索等。
五、随机模型与概率统计方法随机模型是描述不确定性问题的数学模型，常用于风险评估和决策分析。
概率统计方法用于根据样本数据对随机模型进行参数估计和假设检验。
常见的随机模型包括马尔可夫链、蒙特卡洛模拟和马尔科夫决策过程等。
求解方法有蒙特卡洛法、马尔科夫链蒙特卡洛法和最大似然估计等。
六、模拟模型与求解方法模拟模型是通过生成一系列随机抽样数据来模拟实际问题，常用于风险评估和系统优化。
数学建模规划模型讲解
2. 线性规划的模型 线性规划的模型结构：
目标函数： max, min 约束变量： , , 变量符号： 0, 0
max(min) z cT x s.t. Ax (, )b x ()0, 或无限制
线性规划的标准形式：
目标函数： 约束变量： 变量符号：
min 0
1. 2. 3.
线性规划的数学模型有三要素，从实际问题提 炼成数学模型时，首先寻找需求解的未知量xj (j=1,…,n)，然后列举三要素： 列写与自变量（未知量）有关的若干个线性约 束条件（等式或不等式）。 列写自变量xj取值限制（xj≥0，xj≤0或不限）。 列写关于自变量的线性目标函数值（极大值或 极小值）。 其中，前两条称为可行条件，最后一条称为优 化条件。符合这三个条件的数学模型通常称为 线性规划的一般型（general）。
约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2. 工程设计和控制中的非线性分析 （Non-linear programming and optimal control最优化设计(轮轴颈,凸轮设计) 化工设备最优设计（单件或连锁设备优化设计） 电力网络和水力网络的优化设计（平衡条件）
针对问题特点,可列写线性规划数学模型如下： ai1 x1 au1 x2 ain xn bi (最低营养需求约束)
xj 0
(自变量约束，食品量不会为负)
数学规划模型及其求解1
数学规划模型及其求解简单的优化模型往往是一元或者多元无约束或者等式约束的最优化问题。
而在很多实际问题中，所能够提供的决策变量取值受到很多因素的制约，这样就产生了一般的优化模型，统称为数学规划模型。
一 线性规划线性规划是指在一组线性条件的约束下，求某一个线性函数的最值问题。
一般地，线性规划的数学模型为：min(or max) n n x c x c x c z +++= 2211i n in i i b or x a x a x a t s ),(..2211≥=≤+++m i ,,2,1 =n j x j ,,2,1,0 =≥用矩阵、向量符号，可以简化线性规划模型的表示：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3212121212222111211,,,c c c c b b b b x x x x a a a a a a a a a A n n nn n n n n则线性规划问题可写为：x c z or ')max min(=ni x bor Ax t s i ,,2,1,0),(.. =≥≥=≤用MATLAB 实现线性规划的运算为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为min x c 'ubx lb beq x Aeq b Ax t s ≤≤=∙≤.. 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。
例如线性规划b Ax t s xc ≥..'max的Matlab 标准型为b Ax t s xc -≤--..'min求解线性规划的matlab 命令linprog 的格式：X=linprog(c,A,b)可以求解线性规划问题 min c ´x s.t. Ax <= bX=linprog(c,A,b,Aeq,beq) 可以求解线性规划问题 min c ´x s.t. Ax <= b, Aeq*x = beq X=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)可以对上述问题中的变量加上范围约束 lb <= X <= ub 当无下限时可设为lb=-inf 无上限时可以设定ub=inf X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,X0) 给出了初始点X0 例：求解下列线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-=++-+=0,,10527532max 321321321321x x x x x x x x x x x x z编写M 文件如下：c=[-2;-3;5]; A=[-2,5,-1]; b=-10;Aeq=[1,1,1]; beq=7;lb=[0;0;0];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,inf)例：货机装运模型问题重述：一架货机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。
数学建模实验一： 数学规划模型AMPL求解
实验一： 数学规划模型AMPL 求解一、实验目的1.熟悉启动AMPL 的方法。
2.熟悉SCITE 编辑软件的运行。
3.熟悉AMPL 基本编程。
4.熟悉AMPL 求解数学规划模型的过程。
二、实验原理1. AMPL 的启动与运行一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。
建模：决策变量：x 1桶牛奶生产A1 ，x 2桶牛奶生产A2 目标函数： 约束条件：AMPL 安装与设置（Windows 下）：（1）下载ampl.zip ，限制版本，带求解器cplex （解线性规划），minos （解线性或非线性规划，默认求解器）；（2）把ampl.zip 解压至一个目录下，然后找到ampl.exe 文件所在的目录，称为ampl 根目录，比如C:\ampl ；（3）把ampl 根目录设置到Windows 路径上，方法：鼠标右击我的电脑---属性—高级---点击环境变量出现环境变量窗口，在图下方的系统变量窗口找到Path 变量，把C:\ampl 增加在变量值后面（注意前面加分号），如下图；216472x x z Max +=12,0x x ≥13100x ≤12128480x x +≤1250x x +≤（1）下载文本编辑器Scite.rar并解压到安装目录，双击scite.exe,得到如下界面（2）建立模型文件：在空白窗口中输入如下代码，语言选项选择AMPL，保存为milk.modset Products ordered; #产品集合param Time{i in Products }>0; #加工时间param Quan{i in Products}>0; #单位产量param Profit{i in Products}>0; #单位利润var x{i in Products}>=0; #决策变量maximize profit: sum{i in Products} Profit [i]* Quan [i]*x[i];subject to raw: sum{i in Products}x[i] <=50;subject to time:sum{i in Products}Time[i]*x[i]<=480;subject to capacity: Quan[first(Products)]*x[first(Products)]<=100;（2）建立数据文件：新建文件, 输入如下代码, 保存为milk.datset Products:=A1 A2;param Time:=A1 12 A2 8;param Quan:=A1 3 A2 4;param Profit:=A1 24 A2 16;(3) 建立批处理文件：新建文件, 输入如下代码, 保存为milk.runmodel milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;solve;display x;注意：模型文件、数据文件和批处理文件的文件名应该相同，保存在同一文件夹。
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和 gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x
决策变量
f (x)
目标函数
x
可行域
min(or max)u f (x) x s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
微分方程、差分方程
图论、0-1 规划、动态规划
几何、优化 多元回归、多目标优化
规划模型、案例及软件 求解
一、引言 二、线性规划模型及软件求解 三、整数规划模型 四、0-1规划模型 五、几种常用的线性规划模型 六、多目标规划模型 七、二次规划（暑假） 八、非线性规划模型（暑假）
一、引言
如何来分配有限资源，从而达到人们期望目 标的优化分配数学模型. 它在数学建模中处于中 心的地位. 这类问题一般可以归结为数学规划模 型.规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来越 多的人所重视.
历届竞赛赛题基本解法
05A 长江水质的评价和预测 05B DVD在线租赁 06A 出版社的资源配置 06B 艾滋病疗法评价及疗效预测 07A 中国人口增长预测问题 07B 乘公交，看奥运问题
08A 数码相机定位问题 08B 高等教育学费标准探讨
聚类、模糊评判 主成分分析、多目标决策
多目标规划
线性规划、多目标规划 回归 线性规划
2011年2月
mcm&icm 武林大会
本次提高班的具体安排
❖ 1.第6周周六：规划模型、案例及软件求解（王义康） ❖ 2.第7周周六：统计回归模型及软件求解（刘学艺） ❖ 3.第8周周日：微分方程模型及软件求解（尚绪凤） ❖ 4.第10周周六：多元统计模型及软件求解（沈进东） ❖ 5.第11周周日：排队论模型及蒙特卡洛模拟（柴中林） ❖ 6.第12周周六：网络优化模型及案例分析（赵承业）
历届竞赛赛题基本解法
01A血管三维重建 01B 工交车调度问题 02A车灯线光源的优化 02B彩票问题 03A SARS的传播 03B 露天矿生产的车辆安排 04A奥运会临时超市网点设计 04B电力市场的输电阻塞管理
曲线拟合、曲面重建 多目标规划 非线性规划 单目标决策 微分方程、差分方程 整数规划、运输问题 统计分析、数据处理、优化 数据拟合、优化
在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一
类数学模型. 从92-09年全国大学生数模竞赛试题
的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了18
次，占到了近50%，也就是说每两道竞赛题中就有
一道涉及到利用规划理论来分析、求解.
规划模型的一般意义
（一）规划模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2 , x3,..., xn ) 在约束条件 hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
个人电脑需要安装的软件：matlab, lingo, spss等,其中word里要把公式编辑器装上，或装上 mathtype;
2010 计量数模QQ群：94504719，请大家加入； 其中群共享里可以下载到每次课的课件；另外有问 题也可以在里面询问，讨论，这是一个大家共同探 讨心声的地方。
提高班将在5月底结束，根据个人意愿、提高班 表现、校赛成绩等择优选拔120人左右进入暑假全国 大学生数学建模竞赛集训队，根据集训效果再选拔 约100人左右参加全国比赛，本部组队25支左右， 其中现科单独组队5～8支。
s. t. subject to “受约束于”之意
（二）规划模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据决策变量的性质 静态问题和动态问题。
我们的数模之旅。。。
2010 年4月 启程
2010年5月底 jlmcm小试牛刀
2010年7月中旬 cumcm集训第一 阶段（3 weeks）
2010年8月下旬 cumcm集训第 二阶段（15d）
2010年9月中旬 cumcm华山论剑
2010年11月 mcm&icm集 训第一阶段
2011年1月 mcm&icm集 训第二阶段
上机地点：求中502，503；主要提供给没有电 脑的同学使用，并请自备U盘，有电脑的同学也可 选择到机房或在宿舍里自行完成，我们需要的是过 程，更重要的是实效，因此请每个人都自觉完成。
机房开放时间：每周周六下午、晚上；周日全 天；上午：8：30～11：30 下午1：30～16：30， 晚：18：00～21：00
第二届中国计量学院数学建模竞赛（5.24～5.31）
历届竞赛赛题基本解法
赛题 93A非线性交调的频率设计 93B足球队排名 94A逢山开路 94 的 作 业 调 度96A最优捕鱼策略 96B节水洗衣机
解法 拟合、规划 图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划 图论、组合数学 非线性规划、线性规划 动态规划、排队论、图论 微分方程、优化 非线性规划
历届竞赛赛题基本解法
97A零件的参数设计 97B截断切割的最优排列 98A一类投资组合问题 98B灾情巡视的最佳路线 99A自动化车床管理 99B钻井布局 00A DNA序列分类 00B钢管订购和运输
非线性规划 随机模拟、图论 多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论 模式识别、Fisher判别、人工神经网络 组合优化、运输问题
华丽丽的数模之旅开始了
2010/4/10
提高班概况及相关要求
本次数学建模提高班（2010年全国大学生数学 建模竞赛预备班）共有来自全校13个分院328位同 学报名，经过数学建模教练组的认真审查遴选，共 有232名同学进入提高班学习。
提高班将分两个班进行，其中提高班1班，将采 用上午上课，下午上机练习；提高班2采用下午上课， 晚上上机练习方式进行，每周末提高课结束后将会有 适当的练习留给大家，请大家务必在次周周三晚21点 前上交作业电子版，作业提交邮箱，提高班1： jlmcm1@; 提高班2：jlmcm2@， 作业以附件形式提交，文件名：XXX第X次作业