线性代数第三章练习题
线性代数习题答案第三章
所以当1时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为
B~ 方程组的解为
或 (k1 k2为任意常数) 18 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT
使T 证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为
所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为
所以 从而
5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1) 解 (下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 )
~(下一步 r2(1) r3(2) ) ~(下一步 r3r2 ) ~(下一步 r33 ) ~(下一步 r23r3 ) ~(下一步 r1(2)r2 r1r3 ) ~ (2) 解 (下一步 r22(3)r1 r3(2)r1 ) ~(下一步 r3r2 r13r2 ) ~(下一步 r12 ) ~ (3) 解 (下一步 r23r1 r32r1 r43r1 ) ~(下一步 r2(4) r3(3) r4(5) ) ~(下一步 r13r2 r3r2 r4r2 ) ~ (4) 解 (下一步 r12r2 r33r2 r42r2 ) ~(下一步 r22r1 r38r1 r47r1 ) ~(下一步 r1r2 r2(1) r4r3 ) ~(下一步 r2r3 ) ~ 2 设 求A 解 是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是 E(1 2(1))
线性代数练习册第三章部分答案（本）
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
线性代数同步练习册第三章(20题,15页)
第三章向量组及其相关性1、求下列方程组的一般解.(1)1341234123420320 2530 x x xx x x xx x x x+-=⎧⎪-+-+=⎨⎪-+-=⎩(2)123123123252323214612x x xx x xx x x-+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩2、试将(4,11,3)Tβ=表示为12(1,3,2),(3,2,1),T Tαα==3(2,5,1)Tα=--的线性组合.3、试将(1,2,1,1)Tβ=表示为12(1,1,1,1),(1,1,1,1),T Tαα==--34(1,1,1,1),(1,1,1,1)T Tαα=--=--的线性组合.4、已知123(1,1,0),(2,0,1),(2,5,),T T T t ααα===试问t 为何值时3α可由12,αα线性表示.5、选择题(1) 已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（C ）（A ）12233441,,,αααααααα++++; （B ）12233441,,,αααααααα----; （C ）12233441,,,αααααααα+++-; （D ）12233441,,,αααααααα++--.(2) 若,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（D ）（A ）α必可由,,βγδ线性表示; （B ）β必不可由,,αγδ线性表示; （C ）δ必不可由,,αβγ线性表示; （D ）δ必可由,,αβγ线性表示.(3) n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（D ）（A ）存在一组不全为零的数12,,,m k k k ，使11220m m k k k ααα+++≠;（B ）12,,,m ααα中任意两个向量线性无关;（C ）12,,,m ααα中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示; （D ）12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.(4)向量组123,,ααα线性无关，112223,,βααβαα=-=-331t βλαα=-也线性无关，则,t λ满足（B ）();();()1;()2A t B t C t D t λλλλ=≠==≠.6、求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.(1)12(1,2,3,0),(1,2,0,3),T T αα==--3(2,4,6,0),T α=45(1,2,1,0),(0,0,1,1)T T αα=--=.(2)123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(1,1,2,0),T T T ααα=-==-45(3,0,7,14),(2,1,5,6)T T αα==.(3) 123(1,4,2),(1,2,4),(2,5,1),T T T ααα=-=-=-45(4,5,2),(5,4,4)T T αα=-=-.(4)12(1,3,5,1),(2,1,3,4),T T αα=-=--3(5,1,1,7),T α=-4(3,3,1,1)T α=--.(5)12(1,0,2,3,4),(7,1,0,1,3),T T αα=-=-3(1,4,9,6,22),T α=-- 4(6,4,1,9,2)T α=.7、已知向量组123,,ααα线性无关，试证向量组1223,αα+23134,5αααα++亦线性无关.8、向量组12,,,s ααα线性无关,112,βαα=+223,,βαα=+1s s βαα=+，试讨论向量组12,,,s βββ的线性相关性.9、设n 维向量123,,ααα线性相关，且满足123230ααα-+=. 试说明对于任意的n 维向量β，参数123,,λλλ满足什么条件时，向量组112233,,αλβαλβαλβ+++线性相关.10、已知向量组12,,,s ααα线性无关，矩阵A 可逆.求证向量组12,,,s A A A ααα线性无关.11、已知向量组123(1,3,0,5),(1,2,1,4),(1,1,2,3),T T T ααα===4(1,3,6,1)T α=--5(1,,3,)T a b α=的秩为2. 试求b a ,的值，并求向量组的一个极大线性无关组，且将其余向量用该极大线性无关组线性表示.12、已知矩阵11313134,1598A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭求()r A .13、矩阵21837230753258010320A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭,求矩阵A 的秩并写出A 的一个最高阶非零子式.14、a 取何值时，矩阵23653014114589A a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩是2.15、已知4R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标.16、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标.17、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标.18、设123,,ααα是3R 的一组标准正交基，且112321233123122212221,,333333333βαααβαααβααα=+-=++=--(1)证明123,,βββ也是3R 的一组标准正交基;(2)证明基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为正交矩阵; (3)求向量1232αααα=+-在基123,,βββ下的坐标.19、设(1,1,1)T α=，(1,2,2)T β= (1) 求一个与,αβ都正交的非零向量γ；(2) 利用施密特正交化方法，把向量组{},,αβγ化为标准正交基20、设βααα,,,321均为n 维非零列向量，且321,,ααα线性无关，β与321,,ααα分别正交，试问321,,ααα，β是否线性无关？并给出证明.第三章 向量组及其相关性 自测题一、判断题：( ) 1、如果两个向量组的秩相等，那么它们必然是等价向量组. ( ) 2、若向量组123,,ααα线性无关，124,,ααα线性相关，则4α必可由123,,ααα线性表示. ( ) 3、设12,,,n ααα是一组n 维向量且n 维单位向量12,,,n εεε可被它们线性表出，那么12,,,n ααα线性无关.( ) 4、设123...,r βααα=+++ 213...,,r βααα=+++⋅⋅⋅ 121...r r βααα-=+++，那么1212{,,}{,,}r r r r βββααα⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅.( ) 5、设1123(,,),T a a a α=2123(,,),T b b b α=3123(,,),T c c c α=则三条直线0i i i a x b y c ++=，22(0,1,2,3)i i a b i +≠=交于一点的充要条件是123,,ααα线性相关且12,αα线性无关.( ) 6、如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.( ) 7、m n >是n 维向量组12m ,,ααα线性相关的必要条件.( ) 8、若123,,ααα线性无关，则122331,,αααααα+++线性无关. ( ) 9、正交的向量组必定不含零向量.( ) 10、如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合. 二、填空题1、设(2,1,5)Tα=-，(1,1,1)Tβ=-，则αβ+＝ ，32αβ-＝ .2、设1(1,1,1)Tα=，2(1,2,3)Tα=，3(1,3,)Tt α=，则当=t 时它们线性相关.3、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)T T T k ααα===, 则当k 时，123,,ααα线性无关.4、已知向量组123(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),T T T ααα===4(4,5,6,7)T α=，则该向量组的秩是 .5、若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且()3r A =,则 .6、设13014221x A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2r A =，则x = . 7、设三阶方阵 ()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==- , 其中αβγγ,,,12 均是三维列向量且1,33A B =-=, 则A B += .8、设12312,,,,αααββ均为4维列向量, 且矩阵1231(,,,)A αααβ=,1223(,,,)B ααβα=, 32112(,,,)C αααββ=+,如果||,||A a B b ==，则行列式||C = .9、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11334221t A 的列向量线性相关，则=t .10、设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 11、若A 为n 阶可逆矩阵，则()r A *= .12、设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为13、在3R 中，向量(1,2,2),(1,0,1)T T αβ==-的夹角是 ，αβ-= .14、设向量4(1,1,0,1),(1,2,2,0),TTR αβ=--=-∈那么向量,αβ的夹角为 .15、已知(1,2,3),(5,1,),T Tk αβ=--= 那么k = 时,向量α与β正交.16、从2R 的基12(1,0),(1,1),T Tαα==-到基12(1,1),(1,2)T T ββ==的过渡矩阵为 .17、(2,0,0)T β=在基1(1,1,0)T α=，2(1,0,1)T α=，3(0,1,1)T α=下的坐标是 .18、设向量(1,,)Ta b α=与向量12(2,2,2),(3,1,3)T T αα==都正交,则a =_ _，b = .19、设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交阵，则=+bd ac .20、设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于 .三、求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T Tαααα=-=-=-=-的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.四、求矩阵11221511061λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩.五、已知向量组123(1,1,1,3),(1,3,5,1),(2,6,10,)T T T a ααα==--=-- ,4(4,1,6,10)T a α=+ 线性相关. 试求a 的值并确定该向量组的一个极大线性无关组.六、已知123(1,2,1),(,1,10),(1,,6),(2,5,1)T T T T ααλαλβ==-=--= ,试分析λ的取值情况使得(1)β可由123,,ααα线性表出，表示方式唯一； (2)β可由123,,ααα线性表出，表示方式不唯一； (3)β不能由123,,ααα线性表出.七、试利用施密特正交化方法，把向量组()10,1,1T α=,()21,0,1Tα=,()31,1,0Tα=化为标准正交基.八、设11232123,2,βαααβααα=++=++312323,βααα=++如果321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关.。
线性代数 第三章自测题参考答案
自测题（三）参考答案与提示一、(1) ；2−n (2) 方程组的未知量个数为3，由基础解系所含向量个数与系数矩阵的秩的关系，可知1，不妨设所求方程组为()R =A 1230ax bx cx ++=，并将代入，得，故方程组的系数矩阵为． 12,ηη1,1a b c =−==(1,1,1)=−A 二、（1）（D ）；（2）（D ）．三、123412341311~014537570000−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A ⎞⎟−⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 得基础解系 ． 1234111445,1001x x x x −⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜−⎜⎟⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎝⎠四、1111011011211131~00121211231200000−−−−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−−⎝⎠⎝A ⎞⎟⎟⎟⎠可见()()R R =A A ，方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩ 取，则 240x x ==1312x x ==，即得原方程组的一个特解T*(12,0,12,0)=η． 对应齐次线性方程组的基础解系 ， T 1(1,1,0,0)=ηT 2(1,0,2,1)=η原方程组的通解为 ．112212*,(k k k k R =++∈ηηηη、)五、考虑向量方程1122330k k k ααα++=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+−=+030422032132131ak k k k k k k k 013422101=−a，即 02)3(2=−−−a ，即2=a ．六、当()R n =A 时，12,,,n αα"α0线性无关，设1122231()()()n n k k k αααααα++++++="，于是有 ，12310,0,,0n n k k k k k k −+=+=+="n 可见当为偶数时，有非零解，当n 为奇数时，n =Bx 0=Bx 0无非零解．七、由的每一列均为的解，那么矩阵中列向量组的秩必小于等于的解向量组的秩，即有R () = R (B =A x 0B =A x 0B s βββ,,,"21)()n R ≤−A所以 ()()R R n +≤A B ．八、（1）由已知，得矩阵的秩小于3，又()1223123123101(,,),,11011a a αααααααααα−⎛⎞⎜⎟−+−++=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠123,,ααα线性无关，所以矩阵10111011a −⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠⎟4一定不可逆，推出．2a =（2）方程组1223123(,,)a αααααααα−+−++=x 可化为()()1231231011,,11,,10112a αααααα−⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 因为123,,ααα线性无关，所以原方程组与方程组同解．10111110112a −⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠由此求出通解 ．111210k ⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝η九、方程组的系数行列式3[3]()a b b b ba b ba b a b b b a b bb ba==+A −b（1）当且时，方程组仅有零解．a b ≠3a ≠−（2）当时，对系数矩阵作行初等变换得原方程组的同解方程组，其基础解系为a b =A 12340x x x x +++=T 1(1,1,0,0),=−ηT 2(1,0,1,0),=−ηT 3(1,0,0,1)=−η于是方程组的通解为112233k k k =++x ηηηb 4 其中为任意常数．123,,k k k （3）当时，对系数矩阵作初等行变换，得原方程组的同解方程组为3a =−A 14234x x x x x x=⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得基础解系为 ， T(1,1,1,1)=η于是方程组的通解为，其中k 为任意常数．k =x η十、2113112112~0113(111200(1)(2)3(1)a a a a a a a a a −−⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−+⎝⎠⎝A )a a ⎞⎟−⎟⎟−⎠ 于是可知当a 1且a =－2时，方程组有唯一解． ≠≠ 当a =－2时，方程组无解． 当a =1时，方程组有无穷多解．通解为x = （k 1 ，k 2为任意常数）．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛11010120021321k k x x x 十一、必要性 由及知，=AB O ≠B O =A x 0有非零解，所以0=A ．充分性 若0=A ，则=A x 0有非零解，记为．令0x ()0,,,,=≠B x O 000"，满足．=AB O 十二、因为方程组的增广矩阵A 的行向量组是的行向量组的部分组，所以C A 的行向量组可由的行向量组线性表示，于是C A 的行向量组的秩小于或等于的行向量组的秩，因此有C ()()()R R R ≤=A C A ，又的列向量组可由A A 的列向量组线性表示，有()()R R ≤A A ， 所以()()R R =A A ，故方程组有解．。
线性代数第三章习题
矩阵的加法满足交换律和结合 律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
数与矩阵的乘法
数与矩阵的乘法定义为该数与矩阵中每一个元素相乘，即kA = [kaij]m×n，其中k 是一个数，A是一个m×n的矩阵。
数与矩阵的乘法满足分配律和结合律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA， k(lA) = (kl)A。
03
逆矩阵与矩阵的秩
逆矩阵的定义和性质
定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B 为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
若A、B均可逆，则AB也可逆，且 (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。
若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，且 (A^(-1))^(-1)=A。
应用实例
1
2
图像处理中的PCA（主成分分析）方法就利用了 特征值和特征向量的概念来进行数据降维和特征 提取。
3
在推荐系统中，可以利用特征值和特征向量的概 念来进行用户和物品的相似度计算，从而提高推 荐算法的准确性。
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线性代数第三章习
目录
CONTENTS
• 矩阵的基本概念和性质 • 行列式及其性质 • 逆矩阵与矩阵的秩 • 线性方程组与矩阵的应用 • 特征值与特征向量
01
矩阵的基本概念和
性质
矩阵的定义和表示
矩阵是一个由数值组成的矩形阵 列，其大小由行数和列数确定。
矩阵通常用大写字母表示，如A、 B、C等，而行列数通常用小写 字母m和n表示，其中m表示行
线性代数第三章课后习题
习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
线性代数第三章测验题(含答案)
测试题答案
3 一、1. ; 2. 任意实数; 3. 2; 4. n s; 15 5. 5; 6. 2 1 1; 7. 1; 8. 1 , 2 .
二、1. 0,1,2 2;
2. 当t 2,3时, 1 , 2 , 3线性无关; 当t 2,3时, 1 , 2 , 3线性相关. 3. a b 0.
线性无关?
3 0,0,1,1与向量组 1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1可以互相线性表示 .
3. 求实数 和b, 使向量 (每小题8分，共24分)．
四、 lm 1.
第三章
测试题
一、填空题(每小题5分，共40分)．
4 1,0,2,1, 则k
4 1,3, t ,0, 则t
1. 设 1 2,1,0,5, 2 4,2,3,0 3 1,0,1, k , 时, 线性相关. 2. 设 1 2,1,3,0, 2 1,2,0,2, 3 0,5,3,4, 时, 线性无关.
3. 已知向量组 1 1,2,3,4, 2 2,3,4,5, 3
3,4,5,6, 4 4,5,6,7 , 则该向量组的秩是
4. n维单位向量组 1 , 2 , , n均可由向量组 1 , 2 , , s 线性表出 则向量个数 ,
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 5. 已 知A 0 1 1 0 0 , 则 秩r A 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
6. 方 程 组 0以1 1,0,2,2 0,1,1为 其 基 AX 础 解 系 则该方 程组的同解 方程 , 为
1 7. 设 2 , 1,2,3, A , 则 秩r A 3
线性代数第二三章训练题
15．设 A 为 3 阶方阵，且 − 1 A = 1， 则| A |= （ ）
33
A．–9
B．–3
C．–1
．D 9
16．设 、A B 为 n 阶方阵，满足 A2=B2，则必有（ ）
．A A=B
． – B A= B
．C |A|=|B|
．D |A|2=|B|2
17．设 A 为 ×5 4 矩阵，若秩（A）=4，则秩（5AT）为（ ）
）
A．
0 3
−31
B．
0 1
−33
C．
0 1
3
− 1 1
1 1
D． − 1
3 0
1
9．设 A 为 n 阶方阵，λ为实数，则|λA|=（
）
A．λ|A|
B．|λ||A|
C．λn|A|
D．|λ|n|A|
10．设 A 为 n 阶方阵，令方阵 B=A+AT，则必有（
）
A．BT = B
B．B = 2A
）
A．ACB
B．ABC
C．BAC
D．CBA
6．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（
）
A．A＋AT
B．A－AT
C．A AT
D．AT A
7．设
2
阶矩阵
A＝
a c
b d
，则
A＊＝（
）
A．
d −c
−b a
B．
−d b
c −a
C．
−d c
b −a
D．
d −b
−c a
8．矩阵
3 −1
3 0
的逆矩阵是（
线性代数第三章矩阵训练题
一、单项选择题
线性代数第三章向量复习题答案
B 、向量组(Ⅰ)线性相关时,向量组(Ⅱ)线性相关C 、向量组(Ⅱ)线性相关时,向量组(Ⅰ)线性相关D 、向量组(Ⅱ)线性无关时,向量组(Ⅰ)线性相关4、 下列命题中正确的就是( C ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关5、 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ,则( D )(A)s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s <6、 n 维向量组 s ααα，，，Λ21(3≤ s ≤ n)线性无关的充要条件就是( B )、 (A)s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，，Λ21中不含零向量 7、 向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关的充要条件就是(D ) A 、任意i α不为零向量B 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任两个向量的对应分量不成比例C 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中有部分向量线性无关D 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中(A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示9、 设A 为n 阶方阵,且秩12() 1.,A n αα=-就是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( C )A 、1αkB 、2αkC 、)(21αα-kD 、)(21αα+k 10、 已知向量组()()()1231,1,1,1,2,0,,0,0,2,5,2t ααα=-==--的秩为2,则=t ( A)、 A 、3 B 、-3 C 、2 D 、-2 11、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中( A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示12、 设向量组A: 321,,ααα线性无关,则下列向量组线性无关的就是(C ) A 、321ααα++,321232ααα+-,321323ααα+- B 、21αα+,32αα+,13αα- C 、212αα+,3232αα+,133αα+ D 、12-αα+,32αα+,3212ααα++-14、 已知向量组A 线性相关,则在这个向量组中( C ) (A)必有一个零向量 、 (B)必有两个向量成比例 、(C)必有一个向量就是其余向量的线性组合 、 (D)任一个向量就是其余向量的线性组合 、15、 设A 为n 阶方阵,且秩()1R A n =-,12,a a 就是非齐次方程组Ax b =的两个不同的解向量, 则0Ax = 的通解为 ( )(A)12()k a a + (B) 12()k a a - (C) 1ka (D) 2ka 16、 已知向量组1,,m ααK 线性相关, 则(C ) (A)该向量组的任何部分组必线性相关 、 (B) 该向量组的任何部分组必线性无关 、(C) 该向量组的秩小于m 、 (D) 该向量组的最大线性无关组就是唯一的、 17.已知123234(,,)2,(,,)3,R R αααααα==则 ( C )(A)123,,ααα 线性无关 (B) 234,,ααα 线性相关(C) 1α能由23,αα 线性表示 (D) 4α能由123,,ααα 线性表示18、 若有 1133016,02135k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4第三题 计算题:1、 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα(1)求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组; (2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
线性代数第三章习题及解答
43
3 5 5
2 2 1 5 2 0 0 0 −1 1 0 0
−1 3 0
1
3
6. 设 α1 , α2 , . . . , αn 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , . . . , en 能由它们线性表示， 证明 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关.
4 1 −1 1 −2 −22 1 −2 −1 3 6
−24 −11 3 −2 1 −2 −1 0 11 −→ 10 5 −20 0 0 0
10 0
5 9 1 T T 齐次方程的基础解系为 ξ1 = ( 21 11 , 11 , 1, 0) , ξ2 = (− 11 , 11 , 0, 1)
α4 = 8 α − α2 + 2α3 5 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 (2) 3 2 0 3 −1 1 1 0 4 −1 1 1 2 2 1 1 1 0 2 1 5 −1 0 2 解： 2 0 3 −1 3 −→ 0 0 1 1 0 4 −1 0 0 α1 α2 α3 α4 α5 1 1 0 4 −1 1 0 0 1 0 1 0 3 −1 3 −→ 0 1 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3 α4 = α1 + 3α2 − α3 , α5 = α3 − α2
T
− 20 83
5 83
− 17 83
(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。
α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。
如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。
4 D.327。
设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。
α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
线性代数第3章习题答案PPT课件
k11 k22 knn .
成立.
(2) 设 1 = (1, 0, 0, 1),2 = (1, 2, 0, 2 ),3 (1,2,3,3),
4 (2,1,5,4 ),其中 1, 2 , 3, 4是任意实数, 则有( C ).
(A) 向量组 1,2,3 总线性相关; (B) 向量组 1,2,3,4 总线性相关; (C) 向量组 1,2,3 总线性无关;
问:向量 可以由向量 1,2,3 线性表示?若可以，
写出其表达式.
解： 设 k11 k22 k33, 则有:
8,3,1 k1 1,2,3 k2 3,1,0 k3 1,1,1
即 k1 3k2 k3 8 2k1 k2 k3 3 3k1 k3 1
1 3 1 D 2 1 1 1 0
,r线性表示.选项(A)正确. 此外,显然 1可由1,2 , ,r线性表示, 选项(C)正确. n可由r1 ,r2 , ,n线性表示.选项(D)也正确.
由排除法知选项(B)错误. 故应选(B).
2、 若向量组1,2, ,s 的秩r s ，则 （ B ） A 向量组 1,2, ,s 线性无关；
B 向量组 1,2, ,s 线性相关； C 存在一个向量i 1 i r 可以由其余向量 线性表示； D 任一向量都不能由其余向量线性
(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组
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习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则 是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。
线性代数第三章习题及解答
第三章练习题1.已知R (α1,α2,α3)=2,R (α2,α3,α4)=3,证明：(1)α1能由α2,α3线性表示；(2)α4不能由α1,α2,α3线性表示.证明：(1)因为R (α2,α3,α4)=3,于是α1可由α2,α3唯一的线性表示(2)反证，若α4可由α1,α2,α3线性表示,则α4可由α2,α3线性表示，与R (α2,α3,α4)=3矛盾2.a 取什么值时下列向量组线性相关？α1=(a,1,1)T ,α2=(1,a,−1)T ,α3=(1,−1,a )T解： a 111a −11−1a−→01+a 1−a 201+a −(1+a )1−1a那么a =−1或a =2,则三个向量线性相关3.设α1,α2线性无关，α1+β,α2+β线性相关，求向量β用α1,α2线性表示的表示式.解：因为α1+β=k (α2+β),于是β=1k −1α1+k1−k α24.举例说明下列各命题是错误的：(1)若向量组α1,α2,...,αm 是线性相关的，则α1可由α2,α3,...,αm1线性表示；解：例如α1=0,α2,α3为零向量，显然α1不能用其余向量线性表示(2)若有不全为0的数λ1,λ2,...,λm,使得λ1α1+λ2α2+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0成立，则α1,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,β1=(−1,0,0)T,β2= (0,−1,0)α1+α2+β1+β2=0,但α1,α2线性无关，且β1,β2也线性无关(3)若只有当λ1,...,λm全为0时，等式λ1α1+···+λmαm+λ1β1+···+λmβm=0才能成立，则α1,α2,...,αm线性无关，β1,β2,...,βm 亦线性无关.解：取α1=(1,0,0)T,α2=(1,0,0)T,α3=(0,0,0)Tβ1=(0,1,1)T,β2= (0,0,1)T,β3=(0,0,1)T(4)若α1,α2,...,αm线性相关，β1,β2,...,βm亦线性相关，则有不全为0的数λ1,...,λm,使得λ1α1+···+λmαm=0,λ1β1+···+λmβm=0同时成立.解：取α1=(0,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(1,1,0)Tβ1=(1,0,0)T,β2=2(0,0,0)T ,β3=(−1,−1,1)T5.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组线性表示.(1)2531174375945313275945413425322048解：2531174375945313275945413425322048α1α2α3α4−→ 25311743012301350135−→ 25311743012300120000−→10085010−100120000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=85α1−α2+2α3(2) 112210215−1203−131104−1 解： 112210215−1203−131104−1α1α2α3α4α5−→ 112210215−100203000001104−10103−1001−1100000 −→ 100100103−1001−1100000于是最大线性无关向量组之一为α1,α2,α3α4=α1+3α2−α3,α5=α3−α236.设α1,α2,...,αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,...,e n能由它们线性表示，证明α1,α2,...,αn线性无关.证明：因为n=R(e1,...,e n)≤R(α1,...,αn)≤n于是R(α1,...,αn)=n，则α1,α2,...,αn线性无关7.设向量组α1,α2,...,αm线性相关，且α1=0,证明：存在某一个向量αk(2≤k≤m)使得αk能由α1,α2,...,αk−1线性表示.证明：反证若∀αk都不能被α1,α2,...,αk−1线性表示，于是对于k1α1+k2α2+···+k mαm=0，则k m=0,若否αm可以被前面m−1个向量线性表示以此类推k2=k3=···=k m−1=k m=0,由于k1,k2,...,k m不全为零，于是k1=0,那么α1=0与题设矛盾，因此命题成立.8.设向量组B:β1,β2,...,βr能由向量组A:α1,α2,...,αs线性表示为(β1,β2,...,βr)=(α1,α2,...,αs)K,其中K为s×r矩阵，且A向量组线性无关，证明：向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为r证明：(=⇒)因为向量组B线性无关，于是R(β1,...,βr)=r,注意到r=R(B)≤R(K)≤r那么R(K)=r4(⇐=)若R (K )=r ,那么线性方程组KX =0只有零解，令KX =Y ,注意到向量组A 线性无关，于是线性方程组AY =0只有零解，由于BX =AY =AKX ,那么BX =0只有零解，于是R (B )=r ,即向量组B 线性无关.9.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1) x 1−8x 2+10x 3+2x 4=02x 1+4x 2+5x 3−x 4=08x 1+7x 2+6x 3−3x 4=0解 1−8102245−1876−3−→100−2083010−1783001583ξ=(−20,−17,5,83)T(2) 2x 1−3x 2−2x 3+x 4=03x 1+5x 2+4x 3−2x 4=03x 1+8x 2+6x 3−2x 4=0解 3−3−21354−2386−2−→100−12010−7201−214ξ=(2,14,−21,4)T10.求下列非齐次线性方程组的一般解(1) 2x 1+7x 2+3x 3+x 4=63x 1+5x 2+2x 3+2x 4=49x 1+4x 2+x 3+7x 4=2解 273163522494172 −→274161−2−11−21−24−113−221−2−11−20115−1100−22−102−20−→1−2−11−20115−11003齐次方程的基础解系为ξ1=(2111,511,1,0)T ,ξ2=(−911,111,0,1)T5非齐次方程的一个解为η=(−211,1011,0,0)T ,于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+η,其中C j (j =1,2)为任意常数(2) x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=73x 1+2x 2+x 3+x 4−3x 5=−2x 2+2x 3+2x 4+6x 5=235x 1+4x 2+3x 3+3x 4−x 5=12解1111173211−3−201226235433−112−→1111170122623000000000000齐次方程的基础解系为ξ1=(5,−6,0,0,1)T ,ξ2=(1,−2,0,1,0)T ,ξ3=(1,−2,1,0,0)T非齐次方程组的一个解为η=(−16,23,0,0,0)T于是原方程组的通解为ξ=C 1ξ1+C 2ξ2+C 3ξ3+η,其中C j (j =1,2,3)为任意常数11.设n 阶矩阵A 满足：A 2=A,E 为n 阶单位矩阵，证明：R (A )+R (A −E )=n证明：因为A (A −E )=0若A =E ,所证命题显然成立若A =E ，则线性方程组AX =0有非零解，即矩阵A −E 的列向量组是AX =0的解集，必然可以由其基础解系线性表示，那么6R (A −E )≤n −R (A ),即R (A )+R (A −E )≤n又n =R (E )=R (A +E −A )≤R (A )+R (E −A )=R (A )+R (A −E )，于是R (A )+R (A −E )=n12.设A 为n 阶矩阵，求A 的伴随矩阵A ∗的秩R (A ∗)解：因为AA ∗=|A |E ,若|A |=0,则|A ∗|=0,所以R (A ∗)=R (A )=n若|A |=0则R (A )≤n −1,当R (A )<n −1时A 的所有n −1阶子式全为零，所以A ∗=0故R (A ∗)=0,当R (A )=n −1时A 至少有一个n −1阶子式不为零，故A ∗=0,则R (A ∗)≥1,而AA ∗=0即A (a ∗1,a ∗2,...,a ∗n )=0这说明A ∗的列向量a ∗j (j =1,2,...,n )是方程组AX =0的解，所以该列向量组可以被方程组AX =0的基础解系线性表示，那么该向量组的秩R (A ∗)≤(基础解系的秩）n −R (A )=n −(n −1)=1,由以上分析得知R (A ∗)=1综上所述R (A ∗)=n |A |=00R (A )<n −11R (A )=n −113.设a =(a 1,a 2,a 3)T ,b =(b 1,b 2,b 3)T ,c =(c 1,c 2,c 3)T .证明：三条直线ℓ1:a 1x +b 1y +c 1=0ℓ2:a 2x +b 2y +c 2=0ℓ:a 3x +b 3y +c3=0(a 2i +b 2i =0,i =1,2,3)相交于一点的充分必要条件是：向量组a ,b 线性无关，且向量组a ,b ,c 线性相关.7证明：(=⇒)因为三条直线相交于一点，于是必有两条直线彼此相交，不妨设ℓ1,ℓ2相交，那么a1 b1=a2b2,于是向量a与向量b线性无关，注意到齐次线性方程组x a+y b+1c=0有非零解(x,y,1)T,则向量a,b,c线性相关(⇐=)向量组a,b线性无关，且向量组a,b,c线性相关，则向量组−c可由向量组a,b唯一的线性表示，即x a+y b+c=0,中系数x,y,1是唯一确定的，即三条直线ℓ1:a1x+b1y+c1=0ℓ2:a2x+b2y+c2=0ℓ:a3x+b3y+c3=0相较于唯一点14.α1,α2...,αm,α1=0,αi(i=2,3...,m)都不能由α1,α2,...,αi−1线性表示，证明α1,α2...,αm线性无关。
线性代数习题
第三章练习题（二）一、填空题1. 设A 是5阶矩阵，如果齐次线性方程组0=Ax 的基础解系有2个解，则=*)(A R 。
2. 若B A,都是n 阶非零方阵，且O AB =，则)(A R n 。
3. 设),,2,1(0,0n i b a i i =≠≠，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111A ，则矩阵A 的秩=)(A R 。
4. 若齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 。
5. 如果非齐次线性方程组b Ax =有解，则它有惟一解的充要条件是其对应的齐次方程组0=Ax 。
6. 如果n 元线性方程组b Ax =有解，r R =)(A ，则当 时，有惟一解；当 时，有无穷多解。
7. 已知线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+03121232121321x x x a a无解，则=a 。
二、选择题1. 设A 是n 阶方阵，且A A =2，则必有（ ）。
（A ）A 的秩为n （B ）A 的秩为零（C ）A 的秩与A E -的秩之和为n （D ）A 的秩与A E -的秩相同2. 若n 阶矩阵A 的伴随矩阵O A ≠*，又O AA =*，则)(A R 必等于（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）1-n （D ）n3. 设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩为1r ，则（ ）。
（A ）1r r > （B ）1r r < （C ）1r r = （D ）r 与1r 的关系依C 而定4. 如果矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++--=117404632321111032211a a a a A ，则A 的秩)(A R （ ）。
（A ）必为 （B ）必为3 （C ）可能为2，也可能为3 （D ）可能为3，也可能为45. 设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）。
线性代数
第三章练习题（一）一、填空题1. 设A 是43⨯矩阵，若将A 的第3行的元素都乘2，再将所得矩阵第2列的2-倍加到第4列得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=204634043112B ，则=A 。
2. 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a 39353621231A 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=730113215331B 等价，则=a 。
3. 设四阶矩阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为 。
4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221tΑ，B 为3阶非零矩阵，且O AB =，则=t 。
5. 设A 为34⨯矩阵，且2)(=A R ，而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301020301B ，则=)(AB R 。
6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k k kA 111111111111，且3)(=A R ，则=k 。
二、选择题1. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P则必有（ ）。
（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 2. 设A 为n 阶方阵，B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。
（A ）B A = （B ）B A ≠ （C ）若0=A ，则一定有0=B （D ）若0>A ，则一定有0>B3. 设B A,均为n 阶非零矩阵，且O AB =，则（ ）。
（A ）)(A R ，)(B R 中必有一个等于0 （B ）)(A R ，)(B R 都小于n （C ）)(A R ，)(B R 中一个小于n ，一个等于n （D ）)(A R ，)(B R 都等于n4. 设)3(≥n n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111a a a a a aa a aa a a A ，若1)(-=n R A ，则a 必为（ ）。
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一、单项选择题
1．若四阶方阵A 的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵
B ．齐次方程组Ax =0有非零解
C ．齐次方程组Ax =0只有零解
D ．非齐次方程组Ax =b 必有解
2．若线性方程组⎩⎨⎧=λ+-=+-21
2321
321x x x x x x 无解，则λ等于（ ）
3.设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ） A.⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000000111 B. ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛300110111
C. ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000432111 D. ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛333022001 4．设A 为m ×n 矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 有唯一解，则必有（ ） A ．m=n B ．R(A)=m C ．R(A)=n
D ．R(A)<n
二、填空题
1．三元方程x 1+x 2+x 3=0的通解是________. 2．矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111[1 -1 1]的秩为_________.
3.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++-0100101
0121
1a a ，若该方程组无解，则a 的取值为_________.
4.设线性方程组⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.
三、计算题
1．设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a 1401321a 21的秩为2，求a ，b.
2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=--+0
23203220
4321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
3．求线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=+++=+++3220231
43243214321x x x x x x x x x x x 的通解.
4. 判断线性方程组123412341
34x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=⎧⎪
--+=⎨⎪-+=-⎩是否有解，有解时求出它的解.
5．给定线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23
321
321321ax x x x ax x a x x x
（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解； （2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解.
6．当a 为值何时，方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 43214321432132322221
有解在有解时，求出它的通解.。