5男5女排成一排
排列组合常用解题技巧及练习
排列组合常用解题技巧1相邻问题捆绑法A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）1. ,,,,A、60种B、48种C、36种D、24种2. 有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有种．3. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法4. 8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法5. 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法2 相离问题插空法1. 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是2. 排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法3. 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法4. 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种5. 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种3 定序问题缩倍法1. A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有2. 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？3. 4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法4. 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况4 分排问题用“直排法”1. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是2. 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法3. 7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种5 可重复的排列求幂法1. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法2. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；3. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法6 名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法)1. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？2. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种3. 10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分法；每人至少两个4. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法?7 分组问题(1) 非均匀分组：是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组1. 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？(1) 分成三组，分别为1人、2人、4人；(2) 选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。
排列组合问题(收藏版)
个元素排序，有A m n 解：
A
13
①把相邻元素捆绑成一个元①排末位
①先排特殊，再排其它；
②位置分析法：
先满足特殊位置，再处理其它位置；A
14
①先排列无位置要求元
①先排无要求元素；
①每一元素选位置，再相乘；
解：
解：
解：
①有要求的元素视为小集团；
①把多排合并成一排；
①选定1人展开成线排
②其他人全排列：A
7①从某一元素剪开成线排；
②其它元素全排列；
个元素，元素间无顺序，有
①分步相乘；
①先分步相乘；
在平均分组中，分
步相乘，若元素来源于同一
在平均分组中，分
步相乘，若元素来源于不同
①先分组；
C.
解：
①n 元素排成一排得n-1个空；
②要分成m 组，即在空中插入m-1个隔①把10个名
额排成一排，形成9个空；。
《排列》(题目及详细答案)
《排列》类型一：【计算题】1、计算：（1）316A = 3360； （2）66A = 720； （3）46A = 360． 【解】（1）316A ＝161514⨯⨯＝3360 ；（2）66A ＝6!＝720 ； （3）46A ＝6543⨯⨯⨯＝360。
2、（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = 17，m = 14．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示为 1569n A -．【解】 （2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----＝ 1569n A -．3、计算：325454A A + = 348 4、分别写出从,,,a b c d 这4个字母里每次取出两个字母的所有排列；【方法】共有2412A =个：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc 5、4×5×6×…(n －1)·n 等于( D )A ．A 4nB ．A n －1n C ．n ！－4! D ．A n －3n【解】原式可写成n ·(n －1)·…×6×5×4，故选D. 6、m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( D )A ．A 20mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20【解】m ＋20最大，共21个数相乘．7、5A 35＋4A 24等于( D )A ．107B ．323C ．320D ．348 【解】原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.8、A 2n ＋1与A 3n的大小关系是( D ) A ．A 2n ＋1>A 3n B ．A 2n ＋1<A 3nC ．A 2n ＋1＝A 3nD ．大小关系不确定【解】A 3n －A 2n ＋1＝n (n －1)·(n －2)－(n ＋1)n ＝n (n 2－4n ＋1)＝n [(n －2)2－3]． ∵n ≥3，∴n ＝3时，n [(n －2)2－3]<0.即A 3n <A 2n ＋1. n ≥4时，n [(n －2)2－3]>0，即A 3n >A 2n ＋19、若532m m A A =，则m 的值为 （ A ）()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 710、（1）已知101095mA =⨯⨯⨯，那么m = 6（2）已知9!362880=，那么79A = 181440（3）已知256n A =，那么n = 8 （4）已知2247n n A A -=，那么n = 511、,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为（ C ）A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A -D ．3050k A -12、设m ∈N *，且m <15，则(15－m )(16－m )…(20－m )等于( C )A ．A 615－mB ．A 15－m20－mC ．A 620－mD ．A 520－m13、若!3!n x =，则x =（ B ） A . 3n A B. 3n n A - C . 3n A D . 33n A -14、若532m m A A =，则m 的值为（ A ）A . 5B . 3C . 6D . 715、已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m = 6类型二：【基础题】1、四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有 12种2、5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有 96种3、从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有 60种不同的方法。
高二数学最新教案-用“插空法”和“捆绑法”解决有关
(3)把两名女生看成一个元素，对六个元 素任意排列但这两个女生不需要排列。
(4)七个位置中任选五个位置排男生，余 下两个位置女生的排法是既定的。
解： (1)P66 P22 1440 (2)P55 P62 3600 (3)P66 720 (4与男生相间，有几种排法？
(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？
(4)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女 生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
3、一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空 位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个空位 不相邻，共有多少种坐法？
（3）8个人排成一排，其中甲、乙、丙三 人中，有2人相邻，但这3个人不同时相邻的 排法有多少种？
练习答 案
1、C
2、P55 P53 7200
3、 3P66 P51 P22 21600
作业：
1、四名蓝球运动员和三名足球运动员站成一 排，任何两名足球运动员都不靠在一起的不同排列 有多少？
2、5男5女共10个同学排成一行。
解：P33 P43 24 6 144
[例2] 4名男生和3名女生排成一排，男女相间 的排列有多少种？
[讲评] 先排女生，有6种排法，在女生之间的2个
空位和两端的2个空位上，安排4名男生。
如果先排男生，有24种方法，在男生之间的3个空 位和两端的两个空位共5个空位上再安排3名女生，有 60 种 方 法 ， 共 1440 有 种 方 法 。 这 种 思 考 错 在 那 里 ？ 如：女男女男 男 男女 ，左起第2、3、4名男生不 就相邻了吗？这样做只能解决女生不相邻的问题，这 不叫男女相间排列。我们如何改正它呢？可以将女生 安排在男生之间的3个间隔空位上去，有6种排法， 即：男女男女男女男。
排列组合---选择题
全国各地高考及模拟试卷试题分类-------排列组合选择题1．显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两 孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有 （ D ）A ．10B ．48C ．60D ．802．在某市举行的“市长杯”足球比赛中，由全市的6支中学足球队参加．比赛组委会规 定：比赛采取单循环赛制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在 今年即将举行的“市长杯”足球比赛中，参加比赛的市第一中学足球队的可能的积分 值有 （ C ）A ．13种B ．14种C ．15种D ．16种 3．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手 中， （ B ）A ．6种B ．10C ．8种D ．16种4．从集合}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{ 中选出5个数的子集中任何两个数的和均不等于11, 则 这样的子集共有 ( D )A. 10个B. 16个C. 20个D. 32个5．5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数 ( C )A. 18B. 24C. 36D. 486．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选 一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分. 若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 ( B )A ．48B ．44C ．36D ．247．4男5女排成一排，4男顺序一定，5女顺序也一定的排法种数为 （ B ）A. 15120B. 126C. 3024D. 以上答案都不对8．5本不同的书，全部分给四位学生，每个学生至少1本，不同分法的种数是（ C ）A ．96B ．120C ．240D ．4809．某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已 排成节目单．开演前又增加了3个教师节目，其中2个独唱节目，1个朗诵节目．如果 将这3个节目插入原节目单中，要求教师的节目不排在第一个和最后一个，并且2个 独唱节目不连续演出，那么不同的插法有 （ D ）(A ) 294种 (B ) 308种 (C ) 378种 (D ) 392种10．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女 生，则不同的选法共有…………………………（ D ）A 、140种B 、120种C 、35种D 、34种11．知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案种数是 （ C ）A 、46AB 、24AC 、2444C AD 、2244C A12．一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是 单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不 同拼色方法有 （ D ） A. 830个 B. 73025⨯个 C. 73020⨯个 D. 73021⨯个13．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一 行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 （ A ）A 、48种B 、72种C 、78种D 、84种14．从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“qu ”相连且顺序不变）的不同排法共有（ B ）A ．120种B ．480种C ．720种D ．840种15．紫光农科院培植的茄子、西红柿、南瓜、黄瓜4个转基因果蔬参加新品种展销会，在 布展时，分两层摆放，每层2个，其中茄子和西红柿要放在不同的层架上，则不同的 摆放方式有（ C ）种。
小学数学排列练习题及答案
小学数学排列练习题及答案1．某年全国足球甲级联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？2．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法？3．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？4．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？5．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？6．7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？?A2?960解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头5和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法，5最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有A4A5A2＝960种方法． 121说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”．甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？762解法一：A7?A6?A2?3600；5解法二：先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置，再将甲、乙同学分别插入这六个位置有A6种方法，所以一共有A5A6?3600种方法．甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A5种方法，所以一共有A4A5＝1440种．说明：对于不相邻问题，常用“插空法”．442523 7.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？15解法一：A9A9?136080；56解法二：若选：5?A9；若不选：A9，56则共有5?A9?A9?136080种；65解法三：A10?A9?8．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：男女相间；先将男生排好，有A5种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”中，5有2A555故本题的排法有N?2A5； ?A5?2880010A105方法1：N?5?A10?30240； A55方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A10种排法；余下的5个位置排女5故本题的结论为N?A10?1?302409．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有0 种．10．某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有种不同选修方案。
校园吉尼斯活动策划书范文3篇
校园吉尼斯活动策划书范文3篇校园吉尼斯活动策划书是为了展现个人才智，张扬特色个性；培养创新思维，提高实践能力；发挥合作精神，增进同学交流，体现集体荣誉而制定的。
下面是校园吉尼斯活动策划书范文，欢迎参阅。
校园吉尼斯活动策划书1一、活动背景为丰富同学们的课余生活，进一步活跃校园文化，培养德智体全面发展的新世纪大学生，增进各全院同学之间的交流，展示当代大学生的良好风貌，增强同学们挑战自我的意识，弘扬积极进取、顽强拼搏的精神，我院学生会秘书处特此策划数理学院吉尼斯大赛。
本次吉尼斯大赛分可选项目和自我申报项目，以学习性、竞争性、自主性、创新性、全员性、娱乐性、阳光性等特点调动学生的积极性，开发学生的自主精神和创新精神，使每位学生都能在全面合格的基础上发现自己的个性优势和特长，促进学生的身心健康，顺应了教育形式发展的潮流。
二、活动时间：20XX年X月X日下午14:30三、活动地点：待定四、活动对象：淮阴工学院数理学院在校学生五、比赛合作单位主办单位：淮阴工学院数理学院团总支承办单位：淮阴工学院数理学院团学秘书处平面宣传：团学宣传部网络宣传：学生都市网赞助合作：团学外联部、合作商家合作商家：注意：上述合作单位需提前与其联系六、活动流程：第部分：校园吉尼斯大赛前期宣传第二部分：校园吉尼斯报名及赞助事项第三部分：校园吉尼斯大赛内容及流程第四部分：校园吉尼斯大赛后期工作第一部分校园吉尼斯大赛前期宣传学院宣传宣传期间将发放活动策划和活动通知以及活动可选项目报名表各一份，向本院学生宣传本次活动。
海报宣传在比赛前一个星期张贴在海报栏制作海报，注：1、由院团学宣传部制作2、宣传内容要包含比赛形式、项目及以及比赛时间、地点、报名方式第二部分校园吉尼斯报名及赞助事项一、报名1、报名时间：待定2、报名方式：学院至各班宣传活动时，参赛人员填写报名信息，然后由秘书处成员统一收取。
二、经费事项1、由外联部拟定赞助策划2、由院团委报销部分经费3、经费预算：小于150元（由活动道具及颁发的奖品决定）第三部分校园吉尼斯活动流程及内容活动整体形式：可选项目、自我申报项目可选项目由选手自我报名，填表登记的形式获得比赛资格。
排列组合问题的解题方法
第一课时 排列组合问题的解题方法（一）教学目标：掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.教学重点：掌握“条件排列”、“集团排列”、“间隔排列”、“部分顺序排列”问题的解题技巧.教学难点：如何应用“技巧”解题．教学过程：【例析技巧】一.集团排列问题：部分元素必须安排在一起（相邻）的排列问题，称之为“集团排列”问题.解决这类问题，常用“捆绑法”，其方法是先排“集团”部的元素，再把这个大“元素”与其它元素一起排列即可.例1 若7位同学站成一排（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种. （2）方法同上，一共有55A 33A =720种.（3）解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A =960种方法.解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55A 22A =960种方法． （4）将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．二. 间隔排列问题：部分元素不能安排在一起（间隔）的排列问题，称之为“间隔排列”问题.解决这类问题，常用“插空法”，其方法是先排不需要间隔的元素，再将需要间隔的元素通过插空的方式插进来即可.例2 在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色.若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（ ）A.55.B.56.C.46.D.45.解：没有红牌，一种方法；有一块红牌，让其插空，有18C 种方法；有二块红牌，让其插空，有27C 种方法；有三块红牌，让其插空，有36C 种方法；有四块红牌，让其插空，有45C 种方法；共有方法12348765155C C C C ++++=种. 说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．例3 某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种.解：四个孔不亮，三个孔亮，相当于三个亮着的孔在四个不亮的孔之间插空，故有35222C ⨯⨯⨯=80种方法.三. 部分不同元素定序与部分相同元素排列问题：部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为“定序排列”问题.解决这类问题的基本方法有三种.（1）“消序法”（有些地方叫“整体法”），即若有m n +个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，将这m n +个元素任意排成一列，共有m nm n A ++种不同的排法，其中未定序的n 个元素排在某一特定位置的排列的个数有mm A 种排法，但只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有m n m n m m A A ++种不同的排法.类似地还可推广到一般情形，如有有m n k ++个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，且另外k 个元素之间的排列顺序也不变，则共有m n k m n k m k m kA A A ++++中不同的算法. （2）逐一插空法：先将定序的元素进行排列，再将其它元素逐一插入这组元素两端及中间.（3）优序法：先将所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按规定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.例4 若5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列.解：（1）先将男生排好，有55A 种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有552A 种排法.故本题的排法有5555228800N A A =⋅=（种）； （2）方法1（消序法）：10510105530240A N A A ===； 方法2（逐一插空法）：5个女生按序排列，有1中方法，5个男生逐个插空，有6,7,8,9,10种方法，共有67891030240⨯⨯⨯⨯=种方法.方法3（优序法）：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有510A 种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的顺序已经指定，所以她们只有一种排法.故本题的结论为510130240N A =⨯=（种）. 例5 今有2本相同的语文书，3本相同的数学书，4本相同的英语书排成一排，有多少种不同的排法？解：（消序法）有992342341260A A A A =种. 例6 一个楼梯共18个台阶，12步登完，可一步登一个台阶，也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法？解：根据题意，要想12步登完，只能6个一步登一个台阶，6个一步登二个台阶.因此，把问题转化为“相同元素”的排列问题.因此有12126666924A A A =（种）. 点评：对于部分不同元素定序排列以及相同元素的排列问题，可用优序法.【随堂练习】1．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种2.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种.（用数字作答）3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且比20000大的五位偶数有（ ）A.288个B.240个C.144个D.126个4．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 390 种（用数字作答）．5．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案.（用数值作答）6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答）【课后作业】1．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有240种．（用数字作答）2．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i a （i =1，2，…，6），若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 30 种（用数字作答）．解：分两步：（1）先排1a ，3a ，5a ，当1a =2时，有2种；当1a =3时，有2种；当1a =4时，有1种，共有5种；（2）再排2a ，4a ，6a ，共有633=A 种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30．3.中两支围棋队各由8人组成，按事先排好的次序出场进行围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……，直到有一方全部被淘汰为止，另一方获胜，形成一个比赛过程．（1）已知中方动用了5名队员，取得了胜利，问这样的比赛过程有多少种？（2）求由中方第8位选手获得最后胜利的概率.解：（1）中方胜利时，双方共有8+5=13名队员参加了比赛，将他们按淘汰的顺序从左向右排列，则最右为中方5号，右第二个为方8号，从右第三个至最左，共11个位置上，有4个位置排中方队员，其余排方队员，每一种排法，对应一种比赛结果，故共有411330C =种．（2）714816415C p C ==. 4. 若7位同学站成一排（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：（1）解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法． （2）先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 【课后记】第二课时 排列组合问题的解题方法（二）教学目标：掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.教学重点：掌握“错位排列”、“圆桌排列”、“转化命题”等问题的解题技巧.教学难点：如何应用“技巧”解题．教学过程：【例析技巧】四.错位排列问题n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m n ≤）不排在相应位置的排列种数共有： 112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-.当n m =时，规定000!1A ==，这个公式亦成立.例7 五封标号为1～5的信放进5个编号为1～5的信笺里面，若信的编号与信笺的编号都不相同，一共有多少种不同放法.解：这是著名的信封问题，很多著名数学家都研究过.瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A 、B 、C ……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c ……表示n 份相应的写好的信.把错装的总数记为()f n .假设把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b 错装进A 里，这时每种错装的其余部分都与a 、b 、A 、B 无关，应有(2)f n -种错装法.（2）b 错装进A 、B 之外的信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）信纸b 、c ……装入（除B 之外的）1n -个信封A 、C ……，显然这种错装方法有(1)f n -种.错装的其余部分都与a 、b 、A 、B 无关，应有(2)f n -种错装法.总之在a 错装入B 的错误之下，共有错装法(1)(2)f n f n -+-种.装入D ……的2n -种错误之下，同样都有(1)(2)f n f n -+-种错装法.因此()(1)[(1)(2)]f n n f n f n =--+-，显然(1)0f =，(2)1f =.由此可得(5)44f =.注意：用容斥原理亦可解决此题.普遍结论为错排公式1：1111()![1(1)]1!2!3!!n f n n n =-+-+⋅⋅⋅+-. 错排递推公式2： ()(1)[(1)(2)]f n n f n f n =--+-错排公式3：112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-例8 有5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法.解析：上面两例实际上可以看成n 个不同元素中有m （m ≤n ）错位排列的问题. 而这个问题是其特殊情况，即全错位排列问题.共有514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意000!1A ==）例9 同室四人各写一贺年卡，先集中起来.然后每人从中拿一别人送出的贺年卡.则四贺年卡不同的分配方式有A.6种B.9种C.11种D.23种解析：由上面公式得：4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案.因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：11223301230(1)n n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A C A -------+-+⋅⋅⋅+-这实际上是公式112233123(1)n n n n m m n m n m n m n m n m n m A C A C A C A C A ---------+-+⋅⋅⋅+-的特殊情况.这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助.五. 圆桌排列从n 个不同元素中不重复的取出m （1m n ≤≤）个元素排在一个圆周上，叫做这n 个不同元素的圆排列.如果一个m -圆排列旋转可以得到另一个m -圆排列，则认为这两个圆排列是相同的.特别的，当m n =时，n 个不同元素作成的圆排列总数为(1)!n -.证明：在圆周上任选一个位置排1a 有n 种排法，再选一个位置排2a 有1n -种排法，…，最后一个位置排n a 有1种排法.而这n 个人顺时针（或逆时针）挪动n 次位置都是同一种排列.所以共有!(1)!n n n=-种排法. 例10 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列(第3课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A14A55A22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)．[巩固练习]某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A22种排法，共有A55A33A22A22＝2 880种不同的排法．[变练演编]7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A15A55A22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A25A44A22＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)．[巩固练习]5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故此题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种．(2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240； 方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A 510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故此题的排法为N ＝A 510×1＝30 240种．[变练演编]5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A 77，5男之间排列有顺序问题，得A 55，共A 77A 55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A 1111－A 77A 55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A 66A 57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A 66A 55.[达标检测]1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1 440种B ．960种C．720种 D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )A．A88 B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42 B．96C．48 D．124答案：课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习[基础练习]1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个( )A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A．540 B．300C．180 D．150答案：[拓展练习]5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．。
5这五个数字组成没有重复数字的五位数
女排成一排， 例4 5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法： 男 女排成一排 按下列要求各有多少种排法： （1）男女相间定顺序排列。
[课堂小结 课堂小结] 课堂小结 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置； ①某些元素不能在或必须排列在某一位置； 某些元素要求连排（即必须相邻）； ②某些元素要求连排（即必须相邻）； 某些元素要求分离（即不能相邻）． ③某些元素要求分离（即不能相邻）．
二．不相邻问题 位同学站成一排， 例3 6位同学站成一排， 位同学站成一排 乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ （1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ ） （2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法 ） 共有多少种？ 共有多少种？
说明：对于不相邻问题，常用“插空法” 说明：对于不相邻问题，常用“插空法”
排列（4） 排列（ ）
应用一
用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的五位数 这五个数字组成没有重复数字的五位数 (1)个位数比十位数数字大的五位数有多少个 个位数比十位数数字大的五位数有多少个; 个位数比十位数数字大的五位数有多少个 (2)按照从小到大的顺序排列构成一个数列 按照从小到大的顺序排列构成一个数列, 按照从小到大的顺序排列构成一个数列 是这个数列的第几项? 问43251是这个数列的第几项 是这个数列的第几项
二．相邻问题 位同学站成一排， 例2. 6位同学站成一排， 位同学站成一排 乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ ） 乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ ） 乙两同学必须相邻， （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在 ） 排头和排尾的排法有多少种？ 排头和排尾的排法有多少种？ 丙三个同学必须站在一起， （4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外 ） 人也必须站在一起。 三个 人也必须站在一起。 乙两同学之间必有二人的排法共有多少种? （5）甲、乙两同学之间必有二人的排法共有多少种 ） 说明：对于相邻问题，常用“捆绑法” 说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”
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提升体育在同学们生活中的地位，深化我校艺术教导特征，展现全校师生良好的精力风貌和充溢斗志的生机。
加强整个师生的竞争意识和集体凝聚力，融洽师生情绪。
在运动中快乐，在快乐中运动。
一、活动主题：娱乐身心激扬青春二、活动目的：促进校园生活文化发展，丰富校园生活，为我院广大爱好体育的师生搭建立一个展现自我的平台，让师生从比赛中锻炼自我，加强之间的凝聚力。
三、活动口号：“点燃运动激情、开启青春之梦”四、主办单位：江苏经贸职业技术学院团委五、策划承办单位：江苏经贸职业技术学院会计系六、参赛对象：江苏经贸职业技术学院全体师生七、宣传报名：由活动的承办单位组织活动宣传，发放报名表。
各系选出代表队进入比赛。
八、比赛时间： xx年11月30日13:30-16:30九、比赛地点：田径场十、比赛方式：淘汰制十一、比赛内容：本届江苏经贸职业技术学院“校园吉尼斯”比赛分为竞赛项目和趣味项目。
1、竞赛项目：项目一：趣味接力（袋鼠跳——吸乒乓球跑——托乒乓球跑）参赛者：每系3名裁判员：发令1人，记录4人。
计数原理
3、两个计数原理的区别n 元集合A={a 1，a 2⋯，a n }的不同子集有2n个。
4、排列： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
5、排列数 ： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.6、排列数公式：其中全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅= （叫做n 的阶乘）。
规定：0!=1mnA mn A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且7、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
8、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号mn C 表示。
9、组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 规定：10=nC10、性质： 1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2、一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同。
（1）从两个口袋里，各取1封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里，任取1封信，有多少种不同的取法？（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？3、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？4、在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?5、如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢?①③④② ①②③④④③ ②① 图一图二图三mn nm n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+6、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?7、用1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)8、用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)9、集合A=｛a,b,c,d,e ｝,集合B=｛1,2,3｝,问A 到B 的不同映射f 共有多少个?B 到A 的映射g 共有多少个?10、将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?11、4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.12、4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案?13、求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数14、用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？15、求下列集合的元素个数．（1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．16、有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？17、甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有 多少种不同的取法?18、全国甲级联赛共有14个队参加，每队要与其他队在主，客场分别比赛一次，共进行 多少场比赛？19、计算：①66248108!A A A +-； ② 11(1)!()!n m m A m n ----．20、解方程：3322126x x x A A A +=+．21、解不等式：2996x x A A ->．22、求证：（1）nmn mn n n m A A A --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅ ．23、化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯24、（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有几种不同送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同送法？25、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示几种不同的信号？26、将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位 司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？27、（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？28、若!3!n x =，则x = A 、3n A B 、3n n A - C 、3nA D 、33n A - 29、与37107A A ⋅不等的是A 、910AB 、8881AC 、9910AD 、1010A 30、若532m m A A =，则m 的值为A 、5B 、3C 、6D 、731、计算：5699610239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ． 32、若11(1)!242m m m A --+<≤，则m 的解集是 ． 33、（1）已知101095mA =⨯⨯⨯ ，那么m = ； （2）已知9!362880=，那么79A = ； （3）已知256n A =，那么n = ； （4）已知2247n n A A -=，那么n = ．34、一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每 股岔道只能停放1列火车）？35、将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方 格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.A ． 6B ． 9C ． 11D ． 2336、有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A 不能停在第三条轨道上，货车B 不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种. A ．78 B ．72 C ．120 D ．9637、从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？38、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法： （1）男女相间； （2）女生按指定顺序排列39、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起， 则停放方法数为A ．47AB ．37AC ．55AD ．5353A A ⋅40、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排， 则不同的排法共有A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种41、6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的 分法有A ．3334A A ⋅B ．3333A A ⋅C ．3344A A ⋅D ．33332A A ⋅ 42、某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人 射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有A ．720种B ．480种C ．24种D ．20种 43、一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方 法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同 的排课方法有 种44、某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3 台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方 式有多少种？45、计算：（1）47C ； （2）710C ；46、求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．47、设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值48、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共 有多少种？49、7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为 A ．42 B ．21 C ．7 D ．650、如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有 A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对51、设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素， 且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 A ．42 B ．21 C ．7 D ．352、从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法53、圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形54、（1）凸五边形有 条对角线； （2）凸n 五边形有 条对角线55、,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？ （2）若各队的得 分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？56、一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？57、（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：nm C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．58、解方程：（1）3213113-+=x x C C ； （2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 59、方程382828x x C C -=的解集为A ．{}4B ．{}9C ．φD ．{}4,9 60、式子2171010m m C C +-+（m N *∈）的值的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 61、化简：9981m m m C C C +-+= ；62、若108n n C C ，则20nC 的值为 ；63、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？64、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作 （其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？65、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六， 问可以排出多少种不同的值周表 ？66、有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点 作三角形，这样的三角形共有A ．70B ．80C ．82D ．8467、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分 配方案有 （ ）种 A ．4441284C C CB ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A 68、某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必 须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有 种选派方法； （2）从中选 派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有______种选派方法； （3）分成三组，每组3人，有 种不同分法69、某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每 组至多选一人，则不同的安排方法种数是A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A70、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第 一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B 、C 两校 必选，且B 在C 前问：此考生共有多少种不同的填表方法？1、二项式定理：01()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ⑴ ()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b⑵ 展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a b -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴01()()n n n r n r r n nnn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式。
排列组合问题的解题方法总结学生版(1)
排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题“捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？二、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。
例2：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有个.三、特殊元素（或位置）“优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。
例3：在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个．分析根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位；第二步；排首位；第三步：排中间两位。
数学教案 人教a版选修2_3 同步练习-第1章计数原理第2节跟踪训练含解析
第1课时 排列与排列数公式[A 组 学业达标]1．4·5·6·…·(n－1)·n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：因为A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，所以A n －3n ＝n(n －1)(n －2)…[n－(n －3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.答案：D2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．120种D ．90种解析：5本书进行全排列，A 55＝120种． 答案：C3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A 44＝24(种)．答案：B4．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为A 2n ＋1－A 2n ＝10，则(n ＋1)n －n(n －1)＝10，整理得2n ＝10，即n ＝5. 答案：B5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg3 9，lg31＝lg93，故其可得到18种结果．答案：C6．计算A67－A56A45＝________.解析：因为A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36.答案：367．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：根据题意，得A240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案：1 5608．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答) 解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6809．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．10．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析：由题意可知，原有车票的种数是A2n种，现有车票的种数是A2n＋2种，∴A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58.解得n＝14.故原有14个车站，现有16个车站．[B组能力提升]11．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )A．1 260 B．120C．240 D．720解析：相当于3个元素安排在10个位置上，共有A310＝720种分法，故选D.答案：D12．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！n －m ＋1！B ．n(n －1)(n －2)…(n－m) C.nA mn －1n －m ＋1 D ．A 1n A m －1n －1 解析：∵A mn ＝n ！n －m ！，而A 1n ·A m －1n －1＝n·n －1！[n －1－m －1]！＝n ！n －m ！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.答案：D13．满足不等式A 7nA 5n＞12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n≥7，所以n ＞9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10. 答案：1014．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．解析：这四张卡片可组成的四位数是2011、2101、2110、1021、1012、1102、1120、1201、1210共9个． 答案：915．根据要求完成下列各题． (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)解方程 ：3A x8＝4A x －19.解析：(1)原式＝5A 49＋A 495A 510－A 510＝6A 494A 510＝6A 4940A 49＝640＝320. (2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简得3＝4×910－x 9－x，即x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x ＝6.16．(1)求由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数． (2)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解析：(1)本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.第2课时排列的综合应用[A组学业达标]1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( ) A．60种B．48种C．36种D．24种解析：把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24种排法．答案：D2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种B．216种C．240种D．288种解析：根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类，甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类，乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案：B3．5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，这样的排列种数为( )A．5 760 B．57 600C．2 880 D．28 800解析：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个大元素，从大元素和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，故有A22·A25·A24·A55＝57 600(种)排法．故选B.答案：B4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个解析：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A34＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)．所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．答案：B5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.答案：C6．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法．而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．答案：367．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：368．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96(种)．答案：969．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解析：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．[B组能力提升]11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72解析：第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．答案：D12．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．216种B．288种C．180种D．144种解析：当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．答案：B13．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55种，当C在左边第2个位置时有A24·A33种，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33种．这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．答案：48014．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A44＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A33＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：2415．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880种排法．16．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解析：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．第1课时 组合与组合数公式[A 组 学业达标]1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题． 答案：C2．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( ) A ．120 B ．240 C ．60D ．480解析：C 28＋C 38＋C 29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120.答案：A3．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．答案：C4．方程C x14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x≤14，解得x ＝4或6.答案：C5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．答案：B6．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案．故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14(种)不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14(种)．答案：147．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从4名男医生中选2人，有C 24种选法，从3名女医生中选1人，有C 13种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C 24C 13＝18.答案：188．不等式C 2n －n ＜5的解集为________． 解析：由C 2n －n ＜5，得n n －12－n ＜5，∴n 2－3n －10＜0. 解得－2＜n ＜5.由题设条件知n≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18＞3C x8. 解析：(1)原方程等价于 m(m －1)(m －2)＝6×mm －1m －2m －34×3×2×1，∴4＝m －3，解得m ＝7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x≤8，∴x≤8，且x ∈N *，∵C x －18＞3C x8，∴8！x －1！9－x ！＞3×8！x ！8－x ！.即19－x ＞3x ，∴x ＞3(9－x)，解得x ＞274， ∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解析：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20，即x(x －1)≥40.又x≥2且x ∈N *，所以x 的最小值为7.故餐厅至少还需准备7种不同的素菜．[B 组 能力提升]11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28 解析：由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.答案：B12．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A ．72种B ．84种C ．120种D ．168种 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)．答案：C13．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}14．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70(种)不同的取法．答案：7015．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．解析：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！， 整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 16．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解析：设既会唱歌也会跳舞的人为“多面手”第一类，选会唱歌的4人无多面手：有C 45C 48＝350；第二类，选会唱歌的4人中有一个多面手：有C 35C 13C 47＝1 050；第三类，选会唱歌的4人中有2个多面手：有C 25C 23C 46＝450；第四类，选会唱歌的4人中有3个多面手：有C 15C 33C 45＝25.由分类加法计数原理，共有350＋1 050＋450＋25＝1 875种．第2课时组合的综合应用[A组学业达标]1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：从7人中选4人共有C47＝35(种)方法．又4名全是男生的选法有C44＝1(种)．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案：D2．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线，过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是( )A．28 B．29C．30 D．27解析：可分两类：第一类，红点连蓝点有C14C16－1＝23(条)；第二类，红点连红点有C24＝6(条)，所以共有29条．故选B.答案：B3．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.解得x＝4，故女生有2人．答案：A4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可．此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．答案：B5．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中，则不同的放法共有( )A．12种B．18种C．36种D．54种解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．答案：B6．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：C67C36C33A22·A22＝140.答案：1407．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)解析：分两类：①A、B、C均不选，有C46＝15.②A、B、C中选一门，有C13C36＝60.∴共有15＋60＝75种不同选修方案．答案：758．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．(用数字作答)解析：①不选甲、乙，则N1＝A44＝24(种)．②只选甲，则N2＝C34C13A33＝72(种)．③只选乙，则N3＝C34C13A33＝72(种)．④选甲、乙，则N4＝C24A23A22＝72(种)．故N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240(种)．答案：2409．某市工商局对35件商品进行抽样检查，鉴定结果有15件假货，现从35件商品中选取3件．(1)恰有2件假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2件假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2件假货在内的不同取法有多少种？解析：(1)从20件真货中选取1件，从15件假货中选取2件，有C120C215＝2 100种不同的取法．所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有C120C215＋C315＝2 555种不同的取法．(3)任意选取3件的种数为C335，因此符合题意的选取方式有C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2件假货在内的不同的取法有6 090种．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法．解析：先分组再分配分三类：第一类，“2,2,2”类(先平均分组再分配)C26C24C22·A33＝90(种)A33第二类，“1,2,3”类(先非平均分组再分配)C16C25C33·A33＝360(种)第三类，“1,1,4”类(先部分平均分组，再分配)C16C15C44·A33＝90(种)A22共有90＋360＋90＝540(种)．[B组能力提升]11．如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有( )A．9个B．3个C．12个D．6个解析：当重复数字是1时，有C13·C13个“好数”；当重复数字不是1时，有C13个“好数”．由分类加法计数原理，得“好数”有C13·C13＋C13＝12个．答案：C12．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( )A．135 B．172C．189 D．162解析：不考虑特殊情况，共有C312种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.答案：C13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．答案：4814．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)．解析：从6位游客中选2人去A风景区，有C26种方法，从余下4位游客中选2人去B风景区，有C24种方法，余下2人去C，D风景区，有A22种方法，所以分配方案共有C26C24A22＝180(种)．答案：18015．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．解析：(1)易知四位数共有C23C23A44＝216(个)．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C23C23A33A22＝108(个)．(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．16．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．解析：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410×24＝3 360(种)．(2)从10双鞋子中选2双有C210种取法，即有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29×22＝1 440种．。
排列组合
排列组合一、计数原理1.分类加法计数原理类与类之间是独立的。
2.分步乘法计数原理确定分步的步骤，必须是连续做完几部，不重不漏。
二、排列1. 排列数的计算)!(!)1()1(m n n m n n n A m n -=+--= 例1、解方程：3412140x x A A =+2. 捆绑法把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”进行全排列，而后松绑，将特殊元素在这些位置上进行全排列，这就是所谓相邻问题“捆绑法”。
例2. 七位同学站成一排，甲乙两同学必须相邻且丙不能站在排头与排尾的排法有多少种？3. 插空对于不相邻问题用插空法，先排其他没有要求的元素，让不相邻的元素插空。
例3. 有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ）A.12B.24C.36D.484. 优先排列法某些元素（或位置）的排列受到限制，列式求解时，应优先考虑这些元素，这种方法叫元素分析法，也可优先考虑被优待的位置，这种方法叫位置分析法。
例4. 3名男生，4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数。
（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端。
5. 排除法这种方法经常用来解决某些元素不在某些位置的问题，先总体考虑，后排除不符合条件的。
例5. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数。
（1）可组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个不同的偶数？三、组合1. 有关组合数的计算)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n A A C m m m n mn-=+--== （1,10==n n n C C ） m n n m n C C -=; 11-++=m nm n m n C C C 例1. （1）计算：3337410A C C ⋅-； （2）已知m m m C C C 76510711=-，求m C 8； （3）求n n n n C C 321383+-+的值；（4）证明：1-=m 1-n m n nC mC .2. 组合问题的解决方法①分组与分配：平均分组用除法，分配是先分组后排列；②至多至少型：常用直接分类或间接相减法；③图形问题：注意共点，共线和共面等特殊情况，做到不重不漏。
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合专题二 捆绑法
排列组合专题二捆绑法排列组合专题二：捆绑法一、捆绑法介绍捆绑法是一种求解排列组合问题的方法，它的基本思想是将一些元素捆绑成一个整体，然后按照一定的规则进行排列组合。
通过捆绑，我们可以将原本复杂的问题简化为简单的子问题，从而更容易求解。
二、捆绑法的两种类型一）大小夹杂型捆绑法大小夹杂型捆绑法是指将一些元素捆绑成若干个大小不同的组，其中每个组至少包含一个元素。
这种捆绑法常用于求解“至少”、“最少”等问题。
二）小团体型捆绑法小团体型捆绑法是指将一些元素捆绑成若干个大小相同的组，其中每个组包含相同数量的元素。
这种捆绑法常用于求解“恰好”、“等价”等问题。
三、捆绑的“包裹”一）包裹内的定序在捆绑法中，我们通常需要对捆绑成的整体进行定序。
这种定序可以是任意的，但需要满足一定的规则。
例如，在大小夹杂型捆绑法中，我们可以按照元素的大小将其分组，然后对每组内的元素进行任意排列；在小团体型捆绑法中，我们可以按照元素的编号将其分组，然后对每组内的元素进行任意排列。
二）包裹内元素按照实况排列在捆绑法中，我们还需要考虑包裹内元素的排列方式。
有些问题要求包裹内的元素按照一定的规则排列，例如按照字母顺序、按照数字大小等。
对于这种问题，我们需要在包裹内进行额外的排列，以满足题目要求。
三）包裹与外部元素的关系在捆绑法中，我们还需要考虑包裹与外部元素的关系。
有些问题要求包裹内的元素与外部元素之间存在一定的联系，例如两者之和为偶数、两者之差为定值等。
对于这种问题，我们需要在包裹内进行额外的排列，以满足题目要求。
捆绑法是一种组合计数方法，通常用于解决需要将一些元素捆绑在一起的问题。
例如，需要将甲乙这两个元素排在一起，或者需要将某些元素分成若干个小团体排列等等。
在捆绑法中，有两种主要类型：大小夹杂型和小团体型。
大小夹杂型通常用于需要将某些元素捆绑在一起，但是这些元素中还夹杂着其他元素的情况。
例如，需要将数学课本和外语课本分别捆绑在一起，但是这两种课本中还夹杂着其他课本。
高中数学 1.2.1《排列》教案 新人教A版选修2-3
排列【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。
【教学重点】排列、排列数的概念。
【教学难点】排列数公式的推导一、问题情景〖问题1〗从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素。
a b c d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排〖问题2〗．从,,,法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法二、数学构建≤）个元素（这里的被取元素各不相1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同≤）个元素的所有排列的个数叫做2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n从n个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排≤）个元素的所有列数”是指从n个不同元素中，任取m（m nA只表示排列数，而不表示具排列的个数，是一个数所以符号mn体的排列。
排列组合问题的解题方法总结很非常好的方法(高三复习很合适)全
排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。
例2： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。
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应用二
5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法： 男 女排成一排 按下列要求各有多少种排法： 女排成一排， （1）男女相间； ）男女相间； （2）女生按指定顺序排列 ）女生按指定顺序排列;
[课堂小结 课堂小结] 课堂小结 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置； ①某些元素不能在或必须排列在某一位置； 某些元素要求连排（即必须相邻）； ②某些元素要求连排（即必须相邻）； 某些元素要求分离（即不能相邻）． ③某些元素要求分离（即不能相邻）．
2．基本的解题方法： ．基本的解题方法： 有特殊元素或特殊位置的排列问题， ①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊 优先处理特殊元素（ 元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素 位置） 元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（ 优限法） 优限法）； 某些元素要求必须相邻时， ②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一 个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排 个元素，与其他元素排列后， 列，这种方法称为“捆绑法”； 这种方法称为“捆绑法” 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素， ③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这 些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法” 些不相邻元பைடு நூலகம்插入空挡，这种方法称为“插空法”； 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接 直接和间接两种思维 ④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维 形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的 形式，从而寻求有效的解题途径， 根基． 根基．
A F C
E
B
D
课堂练习: 课堂练习 1、四封不同的信放入三个不同信箱， 有多少种放法？
复习参考题十 B组 1（2）（3）（4）、 4、 6
应用三
(1)从数字 从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个作系数 可以 中取出不同的三个作系数,可以 从数字 中取出不同的三个作系数 多少个不同的一元二次方程ax 组成 多少个不同的一元二次方程 2+bx+ c=0? (2)从数字 从数字0,1,3,5,7中取出三个作系数 最多可以 中取出三个作系数,最多可以 从数字 中取出三个作系数 组成多少个不同的一元二次方程ax 组成多少个不同的一元二次方程 2+bx+ c=0?
例，用四种不同颜色给图中四个区域涂色，每 用四种不同颜色给图中四个区域涂色， 个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边） 个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边） 的区域不同色，那么共有不同的涂色方法几种？ 的区域不同色，那么共有不同的涂色方法几种？
5
练习：某城市中心广场建造一个花圃， 练习：某城市中心广场建造一个花圃，花圃 分为6个部分 现要栽种4种不同颜色的花 个部分， 种不同颜色的花， 分为 个部分，现要栽种 种不同颜色的花， 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同种颜 色的花，不同的栽种方法有多少种？ 色的花，不同的栽种方法有多少种？