概率论 历年考研真题(牛人总结)
考研概率论真题汇总1-精品文档
X
为样本均值，
S
2
为样本方差，
(I) 求参数σ
2的最大似然估计量
ˆ
2
(II) 计算 E ˆ 2 和
D ˆ
2
(12111,12311) 设随机变量X,Y,XY的概率分布分别为
0 X P Y P XY P 1/2 0 1/3 0 7/12 1 1/3 1/3 1 1/3 2 0 1/6 2 1/3 4 1/12 1 2
（14111）设总体X的分布函数
0, x 0 F(x) x2 1e , x 0
其中θ>0为未知参数，
X ,X ,X 1 2, n 为来自总体X的简单随机样本。
（I）求EX及EX2
（II）求θ的最大似然估计量
ˆ
（III）是否存在实数a，使得对任意的ε >0，都有 ˆ lim P {| a | } 0 n (14311) .设随机变量X和Y的概率分布相同， X的概率分布为P(X=0)=1/3,P(X=1)=2/3, 且X和Y的相关系数为1/2 (1)求(X,Y)的概率分布 (2) 求P(X+Y<1)
3y2 3 0 y x fY|X (y| x) x 0 其它
(1)求(X,Y)的概率密度f(x,y) (2)求Y的边缘概率密度fY(y)
(13111,13311) 设总体X的概率密度为
2 3 e x x0 f (x) x 0 其它
(θ为未知参数)
求 (I) P(X=2Y) (II) CoV(X-Y,Y)与 X,Y的相关系数XY
(12111) 设随机变量X,Y相互独立, 且分别服从正态总体 N(,σ 2)与 N(,2σ 2),其中σ 2>0是未知参数,设Z=X-Y, (I) 求z的概率密度f(z,σ 2) (II) 设z1,z2,……,zn是来自Z的简单随机样本,求σ 2的 最大似然估计量 ˆ 2 (III)证明 ˆ
历年考研概率真题集锦(2000-2019)-精品推荐
历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计”第一章§1.11、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ⋃=不等价的是（ ） A 、A B ⊂ B 、B A ⊂ C 、AB =Φ D 、AB =Φ2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。
以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）(A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {}(4)0T t ≥ §1.21、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. §1.31、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B =(C )()1()P A P B =-(D )()1P A B ⋃=2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤P A P B P AB (D ) ()()()+2≥P A P B P AB3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.41、（2005数学一、三）（6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ， 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y ，则}2{=Y P =____________.2、（2006数学一）(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A )()()P A B P A ⋃>(B )()()P A B P B ⋃> (C )()()P A B P A ⋃= (D )()()P A B P B ⋃=3、（2012数学一、三）(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 。
概率论考研真题
概率论考研真题概率论是数学的一个分支，研究的是事件发生的可能性。
概率论在现实生活和科学研究中具有广泛应用。
考研概率论真题是考生备战考研的重要资料，通过研究和解答真题，可以提高对概率论知识的理解和应用能力。
下面将简要介绍几道考研概率论真题，并给出相应的解答。
【真题一】设 X 和 Y 为两个相互独立的随机变量，它们的数学期望和方差均为 1，则随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为多少？【解答一】由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以使用方差的性质进行计算。
首先计算 Z = 2X + 3Y 的数学期望：E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 1 + 3 × 1 = 5接下来计算 Z 的方差：Var(Z) = Var(2X + 3Y) = Var(2X) + Var(3Y) （由于 X 和 Y 相互独立，所以协方差为 0）= 4Var(X) + 9Var(Y) = 4 × 1 + 9 × 1 = 13因此，随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为 13。
【真题二】设 X 与 Y 为两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布 N(0, 1)，试求随机变量 Z = X + Y 的概率密度函数。
【解答二】首先，由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以考虑它们的特征函数。
对于正态分布N(μ, σ^2)，其特征函数为exp(ιtx - (σ^2t^2)/2)。
所以，X 和 Y 的特征函数分别为 exp(-t^2/2)。
设随机变量 Z = X + Y，则其特征函数为 exp(-t^2)。
由特征函数和概率密度函数的关系，可知 Z 的概率密度函数为标准正态分布的密度函数，即f(z) = (1/√(2π)) × exp(-z^2/2)。
【真题三】某电视节目的收视率符合泊松分布，已知每分钟收视人数的平均值为 10。
历年考研数学概率统计部份试题分析和详解
2016年一 选择题1随机实验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将实验E 独立重复做2次，X 表示2次实验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次实验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为（ ） 【解析】11(2,),(2,)33XB YB24,39EX EY DX DY ====，211(1,1)9EXY P X Y =⋅⋅=== 因此12XY ρ==-2设,A B 为随机事件，0()1,0()1,P A P B <<<<若()1P A B =那么下面正确的选项是（ ）（A ）()1P B A = （B ）()0P A B = （C ）()1P A B += （D ）()1P B A = 【答案】（A ）【解析】依照条件得()()P AB P B =()()1()()1()1()1()P AB P A B P A B P B A P A P A P A +-+====--3设随机变量,X Y 独立，且(1,2),(1,4)X N Y，那么()D XY 为（A ）6（B ）8 （C ）14 （D ）15 【答案】（C ）【解析】因为,X Y 独立，则22222()()()()D XY E XY EXY EX EY EXEY =-=-4 设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 【答案】B【解析】2{}{}X P X P μμσσσ-≤+=≤因此概率随着σ的增大而增大。
二 填空题4设12,,...,n x x x 为来自整体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么μ的置信度为的双侧置信区间为______. 【答案】()8.10,2.8【解析】0.0250.0250.0250.025{}{}0.95x uP u u P x u u x σ--<<=-<<=因为0.02510.8x +=0.025 1.3,=因此置信下限0.0258.2x u -=.5设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，那么取球次数恰为4的概率为 【答案】29【解析】221331112()23339P A C C ⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭ 三、解答题6设二维随机变量(,)X Y 在区域(){2,01,D x y x xy =<<<<上服从均匀散布，令1,0,X YU X Y ≤⎧=⎨>⎩（I ）写出(,)X Y 的概率密度；（II ）问U 与X 是不是彼此独立？并说明理由； （III ）求Z U X =+的散布函数()F z . 【答案】（I ）()23,01,,0,x x y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他（II ）U 与X 不独立，因为1111,2222P U X P U P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭； （III ）Z 的散布函数()()233220,03,1213211,12221,2z z z z z F Z z z z z <⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪+---≤<⎪⎪≥⎩0 【解析】（1）区域D 的面积31)()(210=-=⎰x x D s ，因为),(y x f 服从区域D 上的均匀散布，因此23(,)0x y f x y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）X 与U 不独立. 因为11111,==0,=,222212P U X P U X P X Y X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≤>≤=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 1111,2222P U P X ⎧⎫⎧⎫≤=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因此1111,2222P U X P U P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,故X 与U 不独立。
概率统计考研真题
概率统计考研真题概率统计是考研数学中的一个重要考点，对于很多考生来说是一块难以逾越的难题。
掌握概率统计的知识，不仅能够在考试中获得高分，还对我们在实际生活中的决策和判断都有着重要的作用。
本文将以考研真题为基础，深入探讨概率统计的相关知识点，帮助考生更好地应对考试。
题目1：某停车场共有50个停车位，每个停车位车辆到达的时间是独立的随机变量，且符合指数分布，平均每分钟到达一辆车，求停车场空闲的概率。
解析：题目中给出了停车场的总停车位数以及每个停车位车辆到达的时间服从指数分布，平均每分钟到达一辆车。
我们需要求得停车场空闲的概率。
首先，我们知道指数分布的概率密度函数为：f(x) = λ * e^(-λx)，x≥0，λ>0其中，λ为参数，代表单位时间内事件发生的平均次数。
设停车场空闲的时间为t，则停车场空闲的概率为P(T>t)。
由指数分布的性质可知，P(T>t) = e^(-λt)。
根据题目中的条件，每分钟到达一辆车，即λ=1/分钟。
代入公式得到：P(T>t) = e^(-t/分钟)我们要求停车场空闲的概率，即为停车场中没有车辆停放的概率。
假设停车场的所有停车位都是空闲的，即停车场中没有车辆停放。
那么停车场空闲的时间t即为任意一辆车到达的时间。
由于每分钟到达一辆车，所以停车场空闲的时间t服从指数分布，平均每分钟到达一辆车。
即λ=1/分钟。
代入公式得到：P(T>t) = e^(-t/分钟)由于停车场共有50个停车位，所以停车场中至少有一辆车停放时，停车场即为非空闲状态。
停车场不空闲的时间t即为第一辆车到达并停放的时间。
假设第一辆车到达的时间为t1，则停车场不空闲的概率为P(T<t1)。
由于第一辆车到达的时间服从指数分布，平均每分钟到达一辆车，即λ=1/分钟。
代入公式得到：P(T<t1) = 1 - P(T>t1)= 1 - e^(-t1/分钟)所以停车场空闲的概率为P(T>t) = 1 - P(T<t1)。
历年考研概率论试题
94年（1）已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）=。
（3分）（2）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量{}max ,z X Y =的分布律为 。
（3分）（3）已知随机变量,X Y 分别服从正态分布22(1,3),(0,4)N N ，且,X Y 的相关系数12xy ρ=-，设32X Yz =+,（1）求Z 的数学期望EZ 和方差DZ ；（2）求X 与Z 的相关系数xz ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？（满分6分）95年（1）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2()E X = 。
（2）设,X Y 为两个随机变量，且{}{}{}340,0,0077P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则{}max(,)0P X Y ≥= 。
（3） 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00)(x x e x f xX求随机变量Xe Y =的概率密度)(yf Y 。
（6分）96年1． 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 厂和B 厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A 厂生产的概率是 。
(3分)2． 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
(3分)3．设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),1,2,3,max(,),min(,).3P i i X Y ξξηξη=====又设（1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2） 求EX 。
（共6分）97年1. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。
（3分）2.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X -2Y 的方差是（ ） （A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）44 [3分]3. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52。
概率第二章历年考研真题（数学一、三、四）
概率第二章历年考研真题（数学一、三、四）第二章随机变量及其分布数学一：1（88，2分）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。
已知，9938.0)5.2(,21)(22=Φ=Φ-∞-?du ex u xπ则X 落在区间（9.95, 10.05）内的概率为。
2（88，6分）设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f X +=π，求随机变量Y=1-3X 的概率密度函数)(y f Y 。
3（89，2分）设随机变量ξ在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率是。
4（90，2分）已知随机变量X 的概率密度函数||21)(x e x f -=，+∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数F （x ）=。
5（93，3分）设随机变量X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量2X Y =在（0，4）内的概率分布密度=)(y f Y。
6（95，6分）设随机变量X 的概率密度为<≥=-0,00)(x x e x f xX 求随机变量Xe Y =的概率密度)(yf Y 。
7（02，3分）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为21，则=μ。
8（04，4分）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ ]9（06，4分）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ> （C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ>10（10年，4分）设随机变量X 的分布函数()F x =00101,21e 2x x x x -<≤≤->则{1}P X == (A)0 (B)1(C)11e 2--(D)11e --11（10年，4分）设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf xx x ≤> (0,0)a b >> 为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b += (B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=12（11,4分）13（13,4分）设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}122(1,2,3)i P P X i =-≤≤=，则（） A.123P P P >> B.213P P P >> C.322P P P >>D 132P P P >>14（13,4分）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则P{Y ≤a+1|Y ＞a}=数学三：1（87，2分）（是非题）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。
2000-2012年历年考研试题概率统计部分分章节归类题解(中心极限定理)
2000~2012年历年考研试题分章节归类题解（概率统计部分）中心极限定理1.（2001年数学一，一（5））设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计{}≤≥-2EX X P _ _ 提示：21，0>∀ε有 {}2εεDX EX X P ≤≥-2.（2001年数学三，一（4））设随机变量X 和Y 的数学期望分别为―2和2，方差分别为1和4。
而相关系数为―0.5，则根据切比雪夫不等式有估计{}≤≥+6Y X P _ 提示：5.0),(-==DXDYY X Cov ρ ⇒ 1),(-=Y X Cov⇒3),(2)(=++=+Y X Cov DY DX Y X D{}1216)(6)()()6(2=+≤≥+-+=≥+Y X D Y X E Y X P Y X P3.（2001年数学四，一（5））设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4。
而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有估计{}≤≥-6Y X P _ 提示：5.0),(==DXDYY X Cov ρ ⇒ 1),(=Y X Cov ⇒3),(2)(=-+=-Y X Cov DY DX Y X D{}1216)(6)()()6(2=-≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P4.（2003年数学三，一（6））设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为其样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于__________ 提示：0.5，因为5.0)(22=+=i i i EX DX EX5.（2002年数学四，二（5））设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，n n X X X S +++= 21，则根据莱维—林德伯格中心极限定理，当n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要n X X X ,,,21（A ）有相同的数学期望（B ）有相同的方差（C ）服从同一指数分布（D ）服从同一离散型分布提示：（C ）。
概率论考研题目及答案解析
概率论考研题目及答案解析题目：设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，求 \( X \) 的期望值和方差，并证明 \( X \) 的分布律。
答案解析：首先，我们知道泊松分布的概率质量函数（probability mass function, PMF）为：\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]其中 \( k = 0, 1, 2, \ldots \)。
求期望值：期望值 \( E(X) \) 定义为：\[ E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X = k) \]将泊松分布的 PMF 代入上式，得到：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j}{j!} \]\[ = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \]\[ = \lambda \]求方差：方差 \( Var(X) \) 定义为 \( E(X^2) \) 减去 \( (E(X))^2 \)：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]计算 \( E(X^2) \)：\[ E(X^2) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \cdot P(X = k) \]\[ = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2} k^2}{(k-2)!} \]\[ = \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^j j^2}{j!} \]\[ = \lambda^2 \left( 1 + \lambda \right) \]代入 \( E(X) \) 的结果，得到方差：\[ Var(X) = \lambda^2 (1 + \lambda) - \lambda^2 \]\[ = \lambda \]证明泊松分布律：我们已经知道 \( E(X) = \lambda \) 和 \( Var(X) = \lambda \)。
概率考研真题
概率考研真题一、简答题1. 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
它用来表示某个事件发生的可能性大小，通常以0到1之间的数值表示，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
2. 什么是条件概率？条件概率是指在一定条件下，某个事件发生的概率。
如果事件B已经发生，那么在B发生的前提下，事件A发生的概率就是条件概率。
3. 什么是独立事件？独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，一个事件的发生与否不会对其他事件的发生概率产生影响。
4. 什么是贝叶斯公式？贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，用于计算在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
公式表达为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
二、计算题1. 有一个标准52张扑克牌的扑克牌组合，请计算从中随机抽取5张牌，得到一个顺子（即五张牌的大小连续）的概率。
解：首先计算顺子可能的情况数。
顺子包含10种可能的组合，即A2345、23456、34567、45678、56789、678910、78910J、8910JQ、910JQK、10JQKA。
然后计算从52张扑克牌中随机抽取5张的组合数。
由于每张扑克牌只能抽取一次，故组合数为C(52, 5)。
所以，顺子的概率为10 / C(52, 5) ≈ 0.0039。
2. 甲、乙两个商店在同一天同时举行促销活动，吸引了大量顾客。
调查显示，70%的顾客参加了甲店的促销活动，60%的顾客参加了乙店的促销活动，50%的顾客同时参加了两家店的促销活动。
请计算一个顾客是通过甲店购物的概率。
解：设事件A表示顾客通过甲店购物，事件B表示顾客通过乙店购物。
根据题意，已知P(A∩B) = 0.5，P(A∪B) = 0.7，P(B) = 0.6，我们的目标是计算P(A)。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X－2Y的方差是A．8B．16C．28D．44正确答案：D解析：由DX＝4，DY＝2，且X与Y独立，故D(3X－2Y)＝9DX＋4DY＝9×4＋4×2＝44．知识模块：概率论与数理统计2．设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ＝X＋Y与η＝X－Y不相关的充分必要条件为A．E(X)＝E(Y)B．E(X2)＝[E(X)]2＝E(Y2)＝[E(Y)]2C．E(X2)＝E(Y2)D．E(X2)＋EE(X)]2＝E(Y2)＋EE(Y)]2正确答案：B解析：∵cov(ξ，η)＝cov(X＋Y，X－Y)＝DX－DY＝[EX2－(EX)2]－[EY2－(EY)2] 而“cov(ξ，η)＝0”等价于“ξ与η不相关”，故选B．知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X．故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X，X)＝－DX ∴X和Y的相关系数ρXY＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y＝，则A．cov(X1，Y)＝B．cov(X1，Y)＝σ2C．D(X1＋Y)＝σ2D．D(X1－Y)＝σ2正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计5．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(χ｜y)＝＝fX(χ) 故选A．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数．ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．3Ф(χ)＋0．7Ф()，其中Ф(χ)为标准正态分布的分布函数，则EX＝A．0．B．0．3．C．0．7．D．1．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题8．已知连续型随机变量X的概率密度为f(χ)＝则EX＝_______，DX＝_______．正确答案：1；．解析：f(χ)＝，χ∈R1可见X～N(1，)，故EX＝1，DX＝．知识模块：概率论与数理统计9．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z＝3X－2，则EZ_______．正确答案：4解析：∵EX＝2，∴EZ＝E(3X－2)＝3EX－2＝3×2－2＝4．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布．且P{2＜X＜4}＝0．3，则，P{X＜0}＝_______．正确答案：0．2解析：∵X～N(2，σ2)，∴～N(0，1) ∴0．3＝P(2＜X＜4)＝＝0．5 ∴Ф()＝0．8 故P(X＜0)＝＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计11．设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X＋e2X)＝_______．正确答案：解析：由题意，X的密度为：且知EX＝1．∴Ee-2X＝∫∞∞e-2χf(χ)dχ＝∫0＋∞e-2χ.e-χdχ＝故E(X＋e-2X)＝EX＋Ee-2X＝1＋知识模块：概率论与数理统计12．设X表示10次独立重复射击命中日标的次数。
历届考研概率试题及答案
历届考研概率试题及答案模拟试题：历届考研概率试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. λ^2e^(-λ)C. e^(-λ)λ^2/2!D. e^(-λ)λ^2/3!答案：C2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68%B. 95%C. 99%D. 86.6%答案：B3. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，那么E(Y)等于：A. 4.8B. 6C. 3D. 5.2答案：B4. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到红心的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 13/52答案：B5. 设随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z > 1.5)的值是：A. 0.0668B. 0.1C. 0.2D. 0.05答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则P(X > 2) = ___________。
答案：1/27. 某地一年内发生地震的次数X服从泊松分布，若该地区一年内发生地震的平均次数为3次，则该地区一个月内发生至少一次地震的概率是 ___________。
答案：1 - e^(-3/12)8. 设随机变量Y服从二项分布B(16, 1/4)，则P(Y ≥ 5) =___________。
答案：1 - C(16, 0)(1/4)^0(3/4)^16 - C(16,1)(1/4)^1(3/4)^15 - ... - C(16, 4)(1/4)^4(3/4)^129. 从10件产品中随机抽取3件进行检测，其中2件次品，8件正品，抽到至少1件次品的概率是 ___________。
答案：1 - C(8, 3)/C(10, 3)10. 设随机变量Z服从标准正态分布，那么P(-2 < Z < 2)的值是___________。
概率论历年考研真题
概率论历年考研真题概率论历年考研真题概率论是数学中的一门重要学科，它研究的是随机事件的发生规律和概率性质。
对于考研学子来说，概率论是一个必考的科目，历年来的考研真题对于我们来说是宝贵的学习资源。
通过分析历年考研概率论真题，我们可以更好地了解考点和考题的变化趋势，有助于我们在备考中有针对性地进行复习。
首先，我们来看一下历年考研概率论真题中常见的考点。
一般来说，考研概率论的考点主要包括基本概念、条件概率、随机变量及其分布、大数定律和中心极限定理等。
这些考点在每年的考研真题中都会有所涉及，但是难度和形式可能会有所不同。
因此，我们需要对这些考点进行全面的复习，掌握每个考点的基本概念和解题方法。
其次，我们需要注意历年考研概率论真题中的变化趋势。
随着考研的发展和改革，考试的内容和形式也在不断变化。
因此，我们需要关注历年考研概率论真题中的变化趋势，了解新的考点和考题形式。
例如，近年来，考研概率论真题中对于条件概率和随机变量的考察逐渐增多，对于大数定律和中心极限定理的考察也有所增加。
因此，在备考过程中，我们需要重点关注这些考点，并进行有针对性的复习。
另外，我们还可以通过分析历年考研概率论真题，总结一些解题技巧和策略。
在考试中，时间是非常宝贵的，我们需要尽量高效地解答题目。
通过分析历年考研概率论真题，我们可以发现一些解题的常用技巧和策略。
例如，对于条件概率的题目，我们可以利用全概率公式或贝叶斯公式来简化计算；对于随机变量的题目，我们可以利用概率生成函数或特征函数来求解。
这些解题技巧和策略可以帮助我们在考试中更加迅速地解答问题。
最后，我们需要注意历年考研概率论真题中的一些典型错误。
在考试中，我们往往会遇到一些陷阱和误区，容易导致错误的答案。
通过分析历年考研概率论真题，我们可以总结一些常见的错误类型，例如概率计算错误、条件概率计算错误、随机变量的计算错误等。
了解这些错误类型，可以帮助我们在考试中避免犯同样的错误，提高解题的准确性。
概率与数理统计历届考研真题（数一、数三、数四）
概率与数理统计历届考研真题（数⼀、数三、数四）概率与数理统计历届真题第⼀章随机事件和概率数学⼀：15（99，3分）设两两相互独⽴的三事件A ，B 和C 满⾜条件；ABC =Ф，P （A ）=P （B ）=P （C ）<21，且已知169)(=C B A P ，则P （A ）= 。
16（00，3分）设两个相互独⽴的事件A 和B 都不发⽣的概率为91，A 发⽣B 不发⽣的概率与B 发⽣A 不发⽣的概率相等，则P （A ）=。
17（06，4分）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（A ）()().P A B P A ?> （B ）()().P A B P B ?>（C ）()().P A B P A ?=（D ）()().P A B P B ?=数学三：19（00，3分）在电炉上安装了4个温控器，其显⽰温度的误差是随机的。
在使⽤过程中，只要有两个温控器显⽰的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。
以E 表⽰事件“电炉断电”，⽽)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显⽰的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（A ）}{0)1(t T ≥ （B ）}{0)2(t T ≥ （C ）}{0)3(t T ≥（D ）}{0)4(t T ≥[]20（03，4分）将⼀枚硬币独⽴地掷两次，引进事件：1A ={掷第⼀次出现正⾯}，2A ={掷第⼆次出现正⾯}，3A ={正、反⾯各出现⼀次}，4A ={正⾯出现两次}，则事件（A ）321,,A A A 相互独⽴。
（B ）432,,A A A 相互独⽴。
（C ）321,,A A A 两两独⽴。
（D ）432,,A A A 两两独⽴。
第⼆章随机变量及其分布数学⼀：7（02，3分）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσµN ，且⼆次⽅程042=++X y y ⽆实根的概率为21。
概率论历年考研真题
概率论历年考研真题概率论历年考研真题分析概率论作为数学学科中的一门重要分支，广泛应用于各个领域。
考研概率论是研究生入学考试中的一门科目，对考生的数学基础和解题能力有相当高的要求。
本文将针对概率论历年考研真题进行分析，帮助考生更好地准备考试。
【2008年考研真题】1. 设A、B、C三个事件相互独立，且P(A) ≠ 0，P(B) ≠ 0。
下列结论中正确的是：A. P(AB|C) = P(A|C)P(B|C)B. P(AB|C) = P(A|C)P(B)C. P(AB|C) = P(A)P(B)D. P(AB|C) = P(A)P(B|C)正确答案：B. P(AB|C) = P(A|C)P(B)【2010年考研真题】2. 设A、B是两个事件，P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，P(AB) = 0.1，则事件B在事件A已经发生的条件下发生的条件概率P(B|A)为：A. 0.33B. 0.15D. 0.1正确答案：A. 0.33【2012年考研真题】3. 设一只筒内有编号为1, 2, 3, 4, 5的5张号码票。
现从筒中不放回地抽出2张，则事件“号码1被抽出”与事件“号码2被抽出”相互独立的概率为：A. 0B. 1/10C. 1/6D. 1/5正确答案：A. 0【2015年考研真题】4. 彩票销售员售出某种彩票。
彩票的中奖号码是4位的，每一位上有0、1、2、3、4这5个数字中的一个。
必须选中4个数字的顺序排列才能中奖。
中奖号码包含且仅包含2个3，其他两个数字各不相同。
则中奖概率是多少？A. 1/5B. 1/10D. 1/20正确答案：C. 1/15【2017年考研真题】5. 一种办公软件中，已知在1000个字母中，有100个是元音字母。
现随机选择10个字母，求其中至少有一个是元音字母的概率。
A. 0.111B. 0.348C. 0.540D. 0.650正确答案：C. 0.540通过对以上几道历年概率论考研真题的分析，我们可以得出以下结论：1. 概率的计算要灵活运用条件概率公式，特别是对于独立事件的计算。
概率论考研题目及答案
概率论考研题目及答案题目一：概率论基本概念问题：某工厂生产的零件，合格率为0.95。
求：1. 随机抽取一个零件，它是合格品的概率。
2. 随机抽取两个零件，至少有一个是合格品的概率。
答案：1. 由于合格率为0.95，随机抽取一个零件是合格品的概率即为合格率，即 P(合格) = 0.95。
2. 抽取两个零件至少有一个是合格品的概率可以通过计算两个零件都不合格的概率，然后用1减去这个概率来得到。
两个零件都不合格的概率是 (1 - 0.95) * (1 - 0.95) = 0.0025。
因此，至少有一个是合格品的概率为 1 - 0.0025 = 0.9975。
题目二：条件概率问题：某地区有两家医院，A医院的产妇数量占70%，B医院占30%。
在A医院出生的婴儿中，男孩的比例是60%，在B医院出生的婴儿中，男孩的比例是70%。
现在随机选择了一个男孩，求这个男孩是在A医院出生的概率。
答案：设事件A为在A医院出生，事件B为在B医院出生，事件M为是男孩。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.7- P(B) = 0.3- P(M|A) = 0.6- P(M|B) = 0.7使用全概率公式，我们可以计算出P(M)：\[ P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) = 0.7 \times 0.6 + 0.3\times 0.7 = 0.63 \]现在我们要求的是P(A|M)，即在已知是男孩的条件下，这个男孩是在A医院出生的概率。
使用贝叶斯公式：\[ P(A|M) = \frac{P(M|A)P(A)}{P(M)} = \frac{0.6 \times0.7}{0.63} \approx 0.6985 \]题目三：随机变量及其分布问题：一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布。
求：1. X的期望值和方差。
2. X=k的概率，其中k是一个给定的正整数。
答案：1. 泊松分布的期望值（E[X]）和方差（Var(X)）都等于参数λ。
概率论与数理统计历年考研试题-知识归纳整理
第3章 数字特征1． （1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x x e x f π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案 填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21.2． （1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4]3． （1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）对于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。
解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f xxX21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他事情下0)(=x f X.（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4． （1991年、数学一、填空）设X～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（ ）。
[答案 填：知识归纳整理0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5． （1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （ ）.[答案 填：34]6． （1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（ ）。
《概率论》试卷汇总
《概率论与数理统计》1一、填空题：（每题2分，共20分）1、设事件A 、B 相互独立，且()0.7,()0.4P A B P A ⋃==，则)(B P = .2、袋中有5只球（其中2只白球、3只黑球），从中不放回地每次随机取一只球，则第二次取到白球的概率为 .3、若X 服从泊松分布(3)π,则()D X =_ __.4、若随机变量X 的分布函数为0,1,()ln ,1,1,.x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则X 的概率密度为__ .5、设随机变量X 的分布律为 1{0}{1}2P X P X ====, 随机变量Y 与X 相互独立且同分布，则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 。
6、设随机变量,X Y 的期望值分别为()1,()3,E X E Y ==则(231)E X Y -+= .7、在冬季供暖季节，住房温度X 是随机变量，已知平均温度为20C ，标准差2C ，试用切比雪夫不等式估计概率：{204}P X -<≥ .8、设1234,,,X X X X 为取自正态总体(0,1)N 的样本，令221234()()N X X X X =-+-,则当c =___ _时，cN 服从2χ分布.9、设总体X 服从区间[]0,θ上的均匀分布，从中取得样本12,,,n X X X ,则参数θ的矩估计量为__ __.10、设某种保险丝熔化时间~(,0.36)X N μ（单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值为12,x = 则μ的置信度为95%的置信区间是 .（注：0.0250.051.96, 1.64Z Z ==）二、选择题：（每题2分，共10分）1、某人射击的命中率为0.4，用X 表示他在5次独立射击中命中目标的次数，则X 的分布为（ ）A. 0－1分布B.二项分布C.均匀分布D.泊松分布 2、设随机变量X 的分布函数是()F x ,则随机变量21Y X =+的分布函数为（ ）A. 2()1F y +B. (21)F y +C. 11()22F y -D. 11()22F y -3、若随机变量,X Y 相互独立，则下列结论错误的是（ ） A.()()()E X Y E X E Y +=+ B.()()()E XY E X E Y =C.()()()D X Y D X D Y +=+D.()()()D X Y D X D Y -=-4、已知随机变量X 与Y 相互独立，且X ～(0,1)N ，Y ～(1,1)N 下式成立的是（ ） A. 1{1}2P X Y +≤=B. 1{0}2P X Y +≤=C. 1{0}2P X Y -≤=D.1{1}2P X Y -≤= 5、设12,,,n X X X 为取自正态总体2(0,)N σ的样本， 下列统计量能作为2σ的无偏估计量的是 （ ）A. 2111n i i X n =-∑B. 211n ii X n =∑ C. 2211ni i X n =∑ D. 2111ni i X n =+∑ 三、解答下列各题：（每题10分，共30分）1、甲乙两台机器制造出一批零件，根据长期资料总结，甲机器制造出的零件废品率为2%，乙机器制造出的零件废品率为3%，已知甲机器的制造量是乙机器的两倍.今从该批零件中任意取出一件， （1） 求取到废品的概率（2）若取到的零件经检验是废品，求该零件是乙机器制造的概率.2、设连续型随机变量X 的分布函数为4,0()0, 0x A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩（1）求常数,A B 的值（2）计算概率{21}P X -≤<3、设离散型随机变量X 的所有可能取值为1,0,1-，已知15(),()39E X D X ==，求X的分布律及分布函数四、（本题12分）设二维随机变量,X Y （）的概率密度为, 0(,)0, y e x yf x y 其他-⎧<<=⎨⎩ 1、求边缘概率密度，并判断X Y 与是否相互独立； 2、求概率{2}P X Y +≤五、数理统计应用题：（每题12分，共24分）1、设总体X 的密度函数为,0() 0 ,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ ，其中λ(>0)为参数，12,,n x x x 是来自总体的一组样本观测值，求参数λ的最大似然估计量.2、设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机抽取25名考生的成绩,算得平均成绩为73.5分，标准差为10分，问在显著性水平=0.05α下,能否认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分?（注：0.0250.05(24) 2.0639,(24) 1.7109t t ==） 六、证明题：（本题4分）设,A B 是两个随机事件，随机变量 1, 1A X A ⎧=⎨-⎩若出现，，若不出现. 1, 1Y ⎧=⎨-⎩若B 出现，，若B 不出现.试证明随机变量X 和Y 不相关的充分必要条件是A 与B 独立《概率论与数理统计》2（参考数据：(0.5)0.6915F =，(2)0.9772F =，0.025 1.96Z =，0.05 1.64Z =，0.025(15) 2.1315t =， 0.05(15) 1.7531t =，0.025(16) 2.1199t =，0.05(16) 1.7459t =）二、填空、选择题：（每题3分，共30分；请将各题的答案填入下列表格） 1、已知()0.5,()0.2,()0.2P A P B P B A ===，则()P A B È= .2、设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___3、设(,)X Y 服从区域:02,01G xy＃＃上的均匀分布，则概率{}P Y X ? .4、设1210,,, X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量102211()i i X μσ=-∑服从____分布（注明分布的自由度）.5、设(0,)X U θ ，且关于y 的方程240y y X ++=有实根的概率是0.8，则参数θ= .6、设随机变量X ～(10,0.2)b （二项分布），用切比雪夫不等式估计：{24}P X -≤≥（ ）.（A ）19 （B ） 89 （C ）110 （D ）9107、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B)()0>A B P (C) ()()()B P A P AB P = (D)()()A P B A P = 8、设两个随机变量X 和Y 相互独立，且同分布：()()1112P X P Y =-==-=，()()1112P X P Y ====，则()P X Y ==（ ） (A) 0 (B) 1 (C)12 (D) 149、设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D （ ）.(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.610、若X 的分布函数为()F x ，Y 与X 相互独立且具有相同分布规律，max(,)Z X Y =,则Z 的分布函数为（ ）（A ）()F z （B ）2()F z (C) 1()F z - (D) 21(1())F z -- 二、概率论应用题：（40分）1、（10分）某厂有A 、B 、C 三条流水线生产同一产品，其产品分别占总产量的35%、40%、25%，这三条生产线的次品率分别为2%、3%、4%,现从出厂的产品中任取一件， （1）求恰好取到次品的概率；（2）若取到次品，求该次品是B 流水线生产的概率.2、（15分）设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他， 求： （1）概率13{}22P X <≤；（2）X 的分布函数()F x ；（3）12+=X Y 的概率密度. 3、（15分）设随机变量,X Y 的联合概率密度为3,0,0(,)0,x y Ae x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他，（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （3）分析随机变量,X Y 是否相互独立. 三、数理统计应用题：（25分）1、设总体X 的概率分布律为()()()11,1,2,x P X x p p x -==-= ，其中01p <<为未知参数，取样本12,,,n X X X ，记样本观测值为12,,,n x x x ，求参数p 的矩估计量和最大似然估计量.（15分）2、随机抽取某班16名学生的英语考试成绩，得平均分数为80x =分，样本标准差8s =分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为76分，试问在显著性水平=0.05α下，该班的英语平均成绩是否显著高于全年级的英语平均成绩？（10分） 四、解答下列问题：（5分）某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每月销售量服从参数为12λ=的泊松分布.假定各月的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（12个月）售出该商品件数在120件到150件之间的概率《概率论与数理统计》3一、填空题：（每题3分，共30分）1、设7.0)(=A P ,5.0)(=B P .则的最小值为)(AB P .2、三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为2719，则每次试验成功的概率为 .3、有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为___.4、某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为___.5、设离散型随机变量X 的分布函数为0,11(),1231,2x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ ，则{2}P X == .6、设随机变量(1,1)X U - ，则1{}2P X ≤=____.7、设随机变量1(4,)3X B ，则{0}P X >=____.8、设随机变量(0,4)X N ，则{0}P X ≥=____.9、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~Y X Z -=___.10、设总体X 的概率密度为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，来自总体X 的一个样本平均值9x =，则参数λ的矩估计ˆλ=___. 二、选择题：（每题4分，共20分）1、设随机变量X 的概率密度为3,01()0,kx x f x ⎧≤<=⎨⎩其他则常数k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） A ．)2,0(N B ．)2(2χ C ．)2(t D ．)1,1(F3、设n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列（ ）不是统计量．A ．i ni X ≤≤1min B ．μ-X C ．∑=ni iX 1σD ．1X X n -4、已知随机变量X 的密度函数为 )(21)(4)3(2∞<<-∞=+-x ex f x π， 则Y =（ ）)1,0(~N 。
近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案
1 2 1 = P ( A2 ) ，且 P ( A3 ) = = ， 2 4 2
而 A1 A2 表示两次都出现正面， A1 A3 表示第一次正面第二次反面， A2 A3 表示第一次反面第二次正面， 有 P ( A1 A2 ) =
1 1 1 = P ( A1 ) P ( A2 ) ， P ( A1 A3 ) = = P ( A1 ) P( A3 ) ， P ( A2 A3 ) = = P ( A2 ) P ( A3 ) ， 4 4 4
解：相互独立即互不影响，只有答案（A）中的两个事件 A 与 BC 互不影响， 选择： （A） ． 5． （00）在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器 显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电．以 E 表示事件“电炉断电” ，而 T (1) ≤ T (2) ≤ T (3) ≤ T (4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（ （A） {T (1) ≥ t 0 } ． （B） {T ( 2) ≥ t 0 } ． （C） {T (3) ≥ t 0 } ． ） （D） {T ( 4) ≥ t 0 } ．
（2）又设 C 表示后抽到的一份是男生表，有 q = P ( B | C ) =
P ( BC ) P ( BC ) = ， P (C ) P ( BC ) + P ( B C )
因 P( BC ) = P ( A1 ) P( BC | A1 ) + P ( A2 ) P( BC | A2 ) + P ( A3 ) P ( BC | A3 )
故q =
2 9 2 41 + 9 90
=
20 ． 61
2． （02）设 A, B 为任意二事件，其中 A 的概率不等于 0 或 1，证明： P( B | A) = P( B | A ) 是事件 A 与 B 独 立的充分必要条件． 证：必要性：事件 A 与 B 独立，有 P ( AB) = P ( A) P( B) ，因 A 的概率不等于 0 或 1， 则 P ( B | A) =
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考研概率论部分历年真题（总结）数学一：1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。
2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 。
5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。
6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
7（90，2分） 设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。
8（91，3分） 随机地向半圆0<y <22x ax -(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。
则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 。
9（92，3分） 已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=161)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 。
10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。
11（94，3分） 已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）= 。
12（96，3分） 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 厂和B 厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A 厂生产的概率是 。
13（97，3分） 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。
14（98，3分） 设A 、B 是两个随机事件，且0<P (A )<1, P (B )>0, P (B | A )=P (B | A )，则必有（A ）P （A | B ）= P (A |B ) （B ）P （A | B ）≠P(A |B )（C ）P （AB ）= P (A )P （B ） （D ）P （AB ）≠P (A ) P （B ）15（99，3分） 设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件；ABC =Ф，P （A ）=P （B ）=P （C ）<21，且已知169)(=C B A P ，则P （A ）= 。
16（00，3分） 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）= 。
17（06，4分） 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃= （D ）()().P A B P B ⋃=数学三：1（87，2分） 若二事件A 和B 同时出现的概率P （AB ）=0，则（A ）A 和B 不相容（互斥）。
（B ）AB 是不可能事件。
（C ）AB 未必是不可能事件。
（C ）P （A ）=0或P （B ）=0[ ]2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。
现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。
试求（1） 先取出的零件是一等品的概率p ;（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。
3（88，2分） 设P （A ）=0.4, 7.0)(=B A P ，那么（1）若A 与B 互不相容，则P （B ）= ；（2）若A 与B 相互独立，则P （B ）= 。
4（88，2分）（是非题） 若事件A ，B ，C 满足等式C B C A =，则A=B（ ）。
5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。
一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
6（89，3分） 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。
（B ）“甲、乙两种产品均畅销”。
（C ）“甲种产品滞销”。
（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
[ ] 7（90，3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 。
8（90，3分） 设A 、B 为二随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是（A ）)()(A P B A P =+（B ）)()(A P AB P = （C ）)()|(B P A B P = （D ）)()()(A P B P A B P -=- [ ] 9（90，4分）从0，1，2，…，9等10个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率：A 1={三个数字中不含0和5}；A 2={三个数字中不含0或5}。
10（91，3分） 设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A ）B A 与不相容。
（B ）B A 与相容。
（C ）)()()(B P A P AB P =。
（D ）)()(A P B A P =- 11（92，3分） 将C ，C ，E ，E ，I ，N 。
S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE 的概率为 。
12（92，3分） 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P（B ）1)()()(-+≥B P A P C P （C ）)()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P = [ ] 13（93，3分） 设两事件A 与B 满足1)|(=A B P ，则（A ）A 是必然事件。
（B ）0)|(=A B P 。
（C ）B A ⊃。
（D ）B A ⊂。
14（94，3分） 设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，则事件A 和B（A ）互不相容。
（B ）互相对立。
（C ）不独立。
（D ）独立。
[ ] 15（95，8分） 某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。
现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1） 全部能出厂的概率α；（2） 恰有两台不能出厂的概率β；（3） 至少有两台不能出厂的概率θ。
16（96，3分） 已知,1)(0<<B P且)|()|(]|)[2121B A P B A P B A A P +=+，则下列选项成立的是（A ）)|()(]|)[(2121B A P B A P B A A P ++=+（B ）)()()(2121B A P B A P B A B A P +=+（C ）)|()|()(2121B A P B A P A A P +=+（D ）)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=[ ] 17（96，6分） 考虑一元二次方程,02=++C Bx x 其中B 、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。
18（98，9分） 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。
随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p ；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q 。
19（00，3分） 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。
以E 表示事件“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（A ）}{0)1(t T ≥（B ）}{0)2(t T ≥ （C ）}{0)3(t T ≥ （D ）}{0)4(t T ≥ [ ] 20（03，4分） 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件（A ）321,,A A A 相互独立。
（B ）432,,A A A 相互独立。
（C ）321,,A A A 两两独立。
（D ）432,,A A A 两两独立。
数学四：1（87，2分） 对于任意二事件A 和B ，有P （A-B ）=（A ）P （A ）-P （B ）。
（B ）P （A ）-P （B ）+P （AB ）。
（C ）P （A ）-P （AB ）。
（D ）P （A ）+P （B ）-P （A B ）。
[ ] 2（87，8分） 设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。
现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。
试求：（1） 先取出的零件是一等品的概率p ；（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q . 3（88，2分） 设P （A ）=0.4, P (A B )=0.7，那么（1）若A 与B 互不相容，则P （B ）= ；（2）若A 与B 相互独立，则P （B ）= 。
4（88，2分）（是非题） 若事件A ，B ，C 满足等式A C =B C ，则A=B 。
（ ） 5（88，7分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只。