变速圆周运动

二、平抛运动：

（1）定义：v0水平，只受重力作用的运动

性质：加速度为g的匀变速曲线运动

（2）特点：水平方向不受外力，做匀速直线运动；

在竖直方向上物体的初速度为0，且只受到重力作用，物体做自由落体运动。

既然平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，我们就可以分别算出平抛物体在任一时刻t的位置坐标x和y以及任一时刻t的水平分速度vx和竖直分速度vy

（3）规律

方向：

合位移大小：s=方向：=

③由①②中的tanθ、tanα关系得tanθ＝2 tanα

④时间由y=得t=（由下落的高度y决定）

⑤竖直方向为vo=0的匀变速运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

例2、如下图所示，以9.8m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，则物体完成这段飞行的时间为多少？

解：vx=v0①vy=gt ②

例、如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点时所用的时间为（）

解析：设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内球的水平位移和竖直位移分别为x=v0t，

如图所示．由几何关系知

所以小球的运动时间

答案：B

说明：上面是从常规的分运动方法去研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究。

如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿着斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速、gy为加速度的竖直上抛运动。小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得

采用这种观点，还很容易算出小球在斜面上抛出后，运动过程中离斜面的最大距离，从抛出到离斜面最大距离的时间、斜面上的射程等问题，有兴趣的同学请自行研究。

三、匀速圆周运动

（1）描述匀速圆周运动快慢的物理量

①线速度：大小v=；单位：m/s

②角速度：大小ω=；单位：rad/s

③周期Ｔ：运动一周的时间单位：s

④频率f=：每秒钟转过的圈数单位：Hz

（2）v、ω、T、f之间的关系:

（3）向心力：大小

（4）向心加速度：大小

（5）匀速圆周运动的性质：v的大小不变而方向时刻在变化；a的大小不变而方向时刻也在变，是变加速曲线运动。

例4、用细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中，正确的是（）

A. 小球过最高点时，绳子中张力可以为零

B. 小球过最高点时的最小速度为零

C. 小球刚好能过最高点时的速度是

D. 小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反

解析：像该题中的小球、沿竖直圆环内侧做圆周运动的物体等没有支承物的物体做圆周运动，通过最高点时有下列几种情况：

加速度恰好等于重力加速度，物体恰能过最高点继续沿圆周运动．这是能通过最高点的临界条件；

轨道，做抛体运动；

＋F＝mv2/R，其中F为绳子的拉力或环对物体的压力．而值得一提的是：细绳对由它拴住的、做匀速圆周运动的物体只可能产生拉力，而不可能产生支撑力，因而小球过最高点时，细绳对小球的作用力不会与重力方向相反。

所以，正确选项为A、C。

点拨：这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题。当小球经过圆周最高点或最低点时，其重力和绳子拉力的合力提供向心力；当小球经过圆周的其它位置时，其重力和绳子拉力的沿半径方向的分力（法向分力）提供向心力。

【问题讨论】：

1、该题中，把拴小球的绳子换成细杆，则问题讨论的结果就大相径庭了．有支承物的小球在竖直平面内做圆周运动，过最高点时：

（4）当v＝0时，支承物对小球的支撑力等于小球的重力mg，这是有支承物的物体在竖直平面内做圆周运动，能经过最高点的临界条件

2、竖直面内的圆周运动：

竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类：

物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

1）绳与圆筒内部

弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有

即，否则不能通过最高点。

2）杆与圆管

弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的

弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。

3）汽车过拱桥

弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：，

否则车将离开桥面，做平抛运动。

例5、如图所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞行。已知飞行员的质量为m，飞机速度，试分析飞行员在A、B、C、D四个位置受力情况．

分析：该题应首先从A、B、C、D四点的位置、状态及所需向心力情况入手，再根据牛顿运动定律分析各点受力情况．分析的难点在于B点和D点。

解：以飞行员为研究对象．在A点受力情况如图所示，其中FN表示座椅对飞行员的支持力。依牛顿运动定律

力不足以提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P，如图（B）所示。

在C点（此时飞行员头向下，椅子在其上方）受力情况如图（C）所示，其中T表示安全带对飞行员向上的拉力．并有

在D点，情况与B点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势．故将由安全带提供向下的压力Q，如图（D）所示．

小结：（1）物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态。它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供，由受力分析入手，正确使用动力学求解，是分析这类问题的主要方法。

（2）“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某状态下所需的向心力之间出现矛盾，当“供”

大于“需”时，将出现“向心”。例：如果当水流星在竖直面最高点的速度时，水将落下。当“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出，例如甩干机就是这个道理。

【模拟试题】

1、下列说法中正确的是（）

A. 物体运动的速度越大，加速度也一定越大

B. 物体的加速度越大，它的速度一定越大

C. 加速度就是“加出来的速度”

D. 加速度反映速度变化的快慢，与速度无关

2、一辆载重卡车，在丘陵地上以不变的速率行驶，地形如图所示．由于轮胎已旧，途中爆了胎，你认为在图中A、B、C、D四处中，爆胎的可能性最大的一处是（）

3、如图所示，在电动机距转轴O为r处固定一个质量为m的铁块．启动后，铁块以角速度ω绕轴匀速转动，电动机对地面的最大压力与最小压力之差为

A. m（g＋ω2r）

B. m（g＋2ω2r）