正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

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正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-

●高考明方向

掌握正弦定理、余弦定理，

并能解决一些简单的三角形度量问题．

★备考知考情

1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考

考查的热点．

2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题

中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的

判断等问题．

3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62

知识点一正弦定理

(其中R 为△ABC 外接圆的半径)

变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222=

==a b c A B C R R R

变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充)

关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式

均可利用正弦定理进行边角互化。

知识点二余弦定理

222

222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇔=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩

b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充)

（1）关于边的二次式或关于角的余弦

均可考虑利用余弦定理进行边角互化。

（2）勾股定理是余弦定理的特例

（3）在∆ABC 中，222090︒︒

<+⇔<

用于判断三角形形状

《名师一号》P63问题探究问题3

判断三角形形状有什么办法

判断三角形形状的两种途径：

一是化边为角；

二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

知识点三三角形中常见的结论

△ABC 的面积公式有：

①S ＝12

a ·h (h 表示a 边上的高)； ②S ＝12a

b sin C ＝12a

c sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R

；

--知两边（或两边的积）及其夹角可求面积

③S ＝12

r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． (补充)

sin()sin ,cos()cos ,tan()tan sin cos ,cos sin 2222

+=+=-+=-++==B C A B C A B C A B C A B C A 利用++=A B C π及诱导公式可得之

（5）在△ABC 中的几个充要条件:

《名师一号》P63问题探究问题4

sin A >sin B a 2R >b 2R

a >

b A >B . (补充) cos cos A B A B >⇔< 若R ∈、αβ

(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．

情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，

应注意区分．

余弦定理可解决两类问题：

(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；

若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，

则考虑用正弦定理；

以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

a b c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标

系，则(cos,sin),(,0)

C b A b A B c，

∴

222222222 ||(cos)(sin)cos2cos sin