符号动力系统简介文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学

符号动力系统简介

一、前言部分:

符号动力系统的状态均可表示为有限个符号的无穷序列由任一状态点引出的运动轨道可由表示该状态的无穷序列通过简单的移位规则来确定。许多复杂动态系统均可经过变换等价于这类系统，从而可通过对比较简单的符号动力系统的分析来研究一般动力系统的行为。这种方法特别在混沌等复杂行为研究中占有重要地位。实际上，可以证明移位映射是一种混沌映射。

主要介绍符号动力系统基本概念,以及一般符号动力系统的浑沌性态,人们发现,具有有限个符号的符号动力系统在解决实际问题的时候,是有局限性的。为了研究一些复杂的不变集,必须考虑具有无限个符号的符号动力系统,于是将符号动力系统推广到一般情况。

二、主题部分

符号动力学产生于20世纪初阿达马的工作中，起源于动力系统的抽象拓扑理论的研究。三十年代莫尔斯和郝德隆进一步发展了符号动力学并将它用于变分学和微分几何中。从20世纪60年代起逐渐在应用于一维映射的研究过程中得到发展和完善。斯梅尔研究的马蹄映射就是一个可用符号动力系统很好地描述的典型。由于这种映射的迭代过程的特征使它成为经典的混沌系统，因此符号动力系统也被视为混沌系统的原型；进而还可将符号动力系统的运动特征作为混沌的描述并成为混沌的一种严格的数学定义。符号动力系统在其他领域也有广泛的应用。例如研究离散事件动态系统控制问题的代数方法就与符号动力学有密切的联系。

现将已有的文献综述如下：

文献[1]是一本类似于教材的书，他详细且全面地介绍了符号动力系统，首先他从最基础的动力系统以及子系统做了个初步的介绍X上的连续自映射序列，错误!未找到引用源。叫做“X上由连续自映射f经迭代而生成的离散拓扑半动力系统”。当f是X上的自同胚时，存在相反方向的迭代，因而得到错误!未找到引用源。。这叫做“X上由自同胚f经迭代而生成的离散拓扑动力系统”。那么什么是子系统呢？再设(X, f)是一个紧致系统,如果紧致子集

错误!未找到引用源。对f不变,即错误!未找到引用源。,则把f在错误!未找到引用源。上的限制映射, 错误!未找到引用源。: 错误!未找到引用源。，所生成的紧致系统错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。,称为(X, f)或f的子系统。之后他研究了拓扑的传递性以及混合性，共轭与半共轭，进而引出了拓扑熵和混沌的概念，错误!未找到引用源。就叫做f对于错误!未找到引用源。的拓扑熵。两个重要的混沌，一个是（沙尔克夫斯基）设错误!未找到引用源。,m和n是不同的正整数，则f有周期m和错误!未找到引用源。，蕴含f有周期n。另一个是（李-约克）设错误!未找到引用源。。若存在错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。，则，1）f存在所有正整数周期，2）存在不可数集错误!未找到引用源。，满足a）错误!未找到引用源。；b）错误!未找到引用源。；c）错误!未找到引用源。；（其中c）代表S中不含f的渐进周期点）。同时文章中提到李-约克浑沌的定义提供了蓝本，但它的结论太强，不能完全采用它作为浑沌的定义。之后，开始介绍了内容的主题部分，符号动力系统，并且介绍其中很重要的有限型子转移的动力性状，有限型子转移的非游荡集与传递性，有限型子转移的拓扑熵和混沌。

文献[2]是实用符号动力学，这本书详细的介绍了有关动力系统的知识，它提到了单峰映射的符号动力学中的二次方映射，人字映射和锯齿映射，一维多临界点映射在书中也有比较全面的介绍，如反对称立方映射，裂峰映射，罗伦兹型映射一般立方型映射，正弦平方映射以及一般多临界点映射，由点及面地讲到了圆映射的符号动力学，最后，它谈到了二维映射符号动力学以及对微分方程的应用，其中主要有特尔映射，罗西映射以及依侬映射。这些问题都是符号动力系统常见的问题，在文献[2]中都给予了很好的介绍和解释。

黎日松,吴华明主要在文献[3]主要讨论了符号动力系统中的几乎周期点，回归点以及非游荡点,还有一些其他的动力性质,并且文中提出是动力系统理论研究的强有力工具之一。一般符号动力系统的动力学性质的研究是一个远未解决的课题。

张子芳[4]讨论了一些多项式系统的D-稳定性，给出了一类离散动力系统稳定或者渐近稳定的充要条件，解决了其稳定性的判别，然后引入辅助判别式，获得了多项式系统新的D-稳定性判据和Scher稳定性判据。

文献[5]则是有关于动力系统的复杂性以及点串，基于局部化（点对或点串）的思想，本文总结了作者近年来在与混沌、熵以及系统回复属性相关的系统复杂性问题方面所取得的进展。决了Devaney混沌是否蕴含着Li—Yorke混沌这一长时间的公开问题。说明了“许多”紧度量空间其上存在完全混沌的系统，这些空间包括一些可数的紧度量空间、康托集和任意维的连续统。助于熵串和序列熵对，刻画了拓扑K系统以及拓扑null系统的结构。最后，

使用弱不交性，开覆盖的复杂性函数以及回复时间集对系统回复属性进行了更为细致的分类。

P.Walters主要研究了遍历性理论的研究的最基础的内容，在这里仅作为一部分的参考。见文献[6]。

文献[7]用符号动力系统的观点，对无穷多个状态变量的CNN系统的研究作了一个新的尝试。它并不是直接讨论系统的动力学行为，而是将CNN的输入视为某个特定符号空间的符号序列。因此输入与输出之间就构成了该间上的一个自映射，成为输入-输出映射。置以合适的拓扑，则这个空间极其输入-输出映射就构成了一个拓扑动力系统，称这个动力系统为CNN符号动力系统。这篇文献主要就是介绍这种符号动力系统并研究它的性质，在文章中也仅供参考之用。

文献[8]文献[9]文献[11]则是一般符号动力系统的性质，它将符号动力系统推广到一般的情况，讨论当X为可分度量空间时，一般符号动力系统及其特例的浑沌性质及应用。再从微分方程谈及到符号动力系统，并且简单的分析了符号动力系统的一些基本空间性质，它利用符号动力系统来研究浑沌系统，以及三分康托集的一些性质，还讨论了可列无穷个符号组成的无穷序列空间∑(Z~+)上移位映射σ的动力性质，得到(∑(Z~+)，σ)是拓扑混合的。证明了子移位(∑_A(Z~+)，σ_A)拓扑混合的充分必要条件，同时构造了∑(Z~+)＼∑(K)中的一个Li-Yorke浑沌集合。

成丹丹在文献[10]主要给我们讲解了乘积符号动力系统它研究自然现象随时间演变的极限行为.经过Poincare,Lyapunov,Birkhoff,等人的奠基和发展,动力系统已成为现代数学的重要分支之一.在动力系统的研究中,我们知道符号动力系统发挥着重要的作用,这是因为符号动力系统既是动力系统研究中重要的研究对象,同时也是研究一般动力系统的有利工具.那么我们为什么要研究乘积符号动力系统呢?首先,与符号动力系统相比,乘积符号动力系统具有符号动力系统的典型特征,同时乘积符号动力系统的动力性状比符号动力系统要复杂,即在对一般动力系统的研究中,乘积符号动力系统比符号动力系统的研究范围要广.其次,乘积符号动力系统是紧致完全不连通的动力系统的典型代表(我们知道符号动力系统不是紧致完全不连通的动力系统的典型代表),它为刻画一般动力系统的轨道结构,尤其是非扩张动力系统的轨道结构提供了框架.在本文中我们系统的引入了乘积符号动力系统的概念,研究了乘积符号动力系统的基本动力性状,定义了一个动力系统相对于乘积符号动力系统的转移不变集(广义转移不变集)及乘积符号动力系统的子转移,并给出了判断一个动力系统有广义转移不变集的充要条件和一般动力系统可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力系统中的充要条件.论文的