历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题31 垂直关系（学生版）

1．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）若60ABC ∠=︒，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；

（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由．

2．（2015•重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2

ABC π

∠=

，点D 、E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ．

（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．

3．（2015•福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直

于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，

（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；

（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．

4．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；

（Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论．

5．（2014•福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；

（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．

6．（2014•广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．

7．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． （1）证明：1B C AB ⊥；

（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．

8．（2014•山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，1

2

AB BC AD ==

，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．

（Ⅰ）求证：//AP 平面BEF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．

9．（2013•安徽）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒．已知2PB PD ==，6PA = （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC

（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积．

10．（2013•重庆）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，

3

ACB ACD π

∠=∠=

．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．

11．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒ （Ⅰ）证明：1

AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16AC =，求三棱柱111

ABC A B C -的体积．

12．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．

（1）证明：图2中的

A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；

（2）求图2中的四边形ACGD 的面积．

13．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．

14．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．

（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．

15．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2

3

BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．

16．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为8

3

，求该四棱锥

的侧面积．