第2课时特殊圆周角

第2章对称图形——圆

2.4第2课时特殊的圆周角

知识点1利用直径所对的圆周角是直角求角度

1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为()

A．80°B．60°C．50°D．40°

图2－4－15 图2－4－16 图2－4－17 图2－4－18 2．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为() A．50°B．40°C．45°D．60°

3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.

4．[2017·株洲]如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM ＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.

5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．

图2－4－19

知识点2利用直径所对的圆周角是直角求线段长

6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是()

A.10 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm

图2－4－20 图2－4－21

7．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．

8．[2017·台州]如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不

与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．

(1)求证：△APE是等腰直角三角形；

(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．

图2－4－22

9．如图2－4－23，⊙O 以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于点E ，交BC 于点D.求证：BC ＝2DE.

图2－4－23

10．如图2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC ︵

的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( ) A ．55° B ．60° C ．65° D ．70°

11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°.若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．

图2－4－24 图2－4－25 图2－4－26

12．如图2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②CB 平分∠ABD ；③∠AOC ＝∠AEC ；④AF ＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ；⑥BD ＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．

13．如图2－4－27，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E.

(1)若∠B ＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．

图2－4－27

14．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.

(1)求证：∠B＝∠D；

(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．

图2－4－28

15．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.

(1)∠E的度数为________；

(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；

(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．

图2－4－29

1．C [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°，则∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.故选C .

2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠ADB ＝90°.

∵∠ABD ＝∠ACD ＝40°，

∴∠BAD ＝180°－90°－40°＝50°. 3．90 [解析] 连接AC ，则∠ACB ＝90°. 根据圆周角定理，得∠ACE ＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠ACB ＝90°. 4．80

5．解：如图，连接BC ，则∠ADC ＝∠B.

∵∠ADC ＝50°， ∴∠B ＝50°.

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，

∴∠BAC ＝40°.

∵∠CEB ＝∠ACD ＋∠BAC ，∠ACD ＝60°， ∴∠CEB ＝60°＋40°＝100°. 6．B 7．13

8．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∴∠AEP ＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°，

∴△APE 是等腰直角三角形．

(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PAE ＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE.

在△APC 和△AEB 中，⎩⎨⎧AC ＝AB ，

∠CAP ＝∠BAE ，AP ＝AE ，

∴△APC ≌△AEB ，∴PC ＝EB.

∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE ＝90°， ∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝4. 9．证明：连接AD ，BE.

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.

又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝DC ，

即BC ＝2DC.

∵∠DAE ＝∠DBE ，∠ADE ＝∠ABE ，

∴∠DEC ＝∠DAE ＋∠ADE ＝∠DBE ＋∠ABE ＝∠ABC ＝∠C ，