第2课时特殊圆周角

第2章对称图形——圆
2.4第2课时特殊的圆周角
知识点1利用直径所对的圆周角是直角求角度
1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为()
A．80°B．60°C．50°D．40°
图2－4－15 图2－4－16 图2－4－17 图2－4－18 2．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为() A．50°B．40°C．45°D．60°
3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.
4．[2017·株洲]如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM ＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.
5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．
图2－4－19
知识点2利用直径所对的圆周角是直角求线段长
6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是()
A.10 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
图2－4－20 图2－4－21
7．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．
8．[2017·台州]如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不
与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
图2－4－22
9．如图2－4－23，⊙O 以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于点E ，交BC 于点D.求证：BC ＝2DE.
图2－4－23
10．如图2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC ︵
的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( ) A ．55° B ．60° C ．65° D ．70°
11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°.若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．
图2－4－24 图2－4－25 图2－4－26
12．如图2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②CB 平分∠ABD ；③∠AOC ＝∠AEC ；④AF ＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ；⑥BD ＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．
13．如图2－4－27，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E.
(1)若∠B ＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．
图2－4－27
14．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
图2－4－28
15．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.
(1)∠E的度数为________；
(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
图2－4－29
1．C [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C ＝90°，所以∠A ＋∠B ＝90°，则∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.故选C .
2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°.
∵∠ABD ＝∠ACD ＝40°，
∴∠BAD ＝180°－90°－40°＝50°. 3．90 [解析] 连接AC ，则∠ACB ＝90°. 根据圆周角定理，得∠ACE ＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠ACB ＝90°. 4．80
5．解：如图，连接BC ，则∠ADC ＝∠B.
∵∠ADC ＝50°， ∴∠B ＝50°.
∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，
∴∠BAC ＝40°.
∵∠CEB ＝∠ACD ＋∠BAC ，∠ACD ＝60°， ∴∠CEB ＝60°＋40°＝100°. 6．B 7．13
8．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∴∠AEP ＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°，
∴△APE 是等腰直角三角形．
(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PAE ＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE.
在△APC 和△AEB 中，⎩⎨⎧AC ＝AB ，
∠CAP ＝∠BAE ，AP ＝AE ，
∴△APC ≌△AEB ，∴PC ＝EB.
∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE ＝90°， ∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝4. 9．证明：连接AD ，BE.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.
又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝DC ，
即BC ＝2DC.
∵∠DAE ＝∠DBE ，∠ADE ＝∠ABE ，
∴∠DEC ＝∠DAE ＋∠ADE ＝∠DBE ＋∠ABE ＝∠ABC ＝∠C ，
∴DE ＝DC ，∴BC ＝2DE. 10．C [解析] 连接BD. ∵D 是AC ︵的中点，即CD ︵＝AD ︵
， ∴∠ABD ＝∠CBD.
∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝1
2×50°＝25°.
∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠DAB ＝90°－25°＝65°. 11.5 22
12．①②④⑥
13．解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠B ＝20°. 又∵OD ∥BC ，∴∠AOD ＝∠B ＝70°. ∵OA ＝OD ，
∴∠DAO ＝∠ADO ＝1
2(180°－∠AOD)＝55°，
∴∠CAD ＝∠DAO －∠CAB ＝35°. (2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝7. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°， 即OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又∵OA ＝OB ，∴OE ＝12BC ＝7
2.
∵OD ＝1
2AB ＝2，
∴DE ＝OD －OE ＝2－
72
. 14． (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC.
又∵CD ＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D. (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.
在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(x －2)2＋x 2＝42，
解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)， ∴BC ＝1＋7.
∵∠B ＝∠E ，∠B ＝∠D ， ∴∠D ＝∠E ， ∴CD ＝CE. ∵CD ＝BC ，
∴CE ＝BC ＝1＋7.
15． (1)如图①，连接OD ，OC ，BD.
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DBC＝30°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠E＝90°－30°＝60°.
(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC. ∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.
(3)如图③，连接OD，OC.
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝∠BED＝60°.。