1 10.2 事件的相互独立性
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
03教学设计_ 10.2事件的相互独立性
10.2事件的相互独立性教学设计符号相互独立事件A,B 同时发生，记作AB互斥事件A,B 中有一个发生，记作AUB （或A+B ） 计算公式P(AB)=P(A)P(B)P(AUB)=P(A )+P(B)例题讲解例1、一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。
采用不放回方式从中任意摸球两次。
记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与B 是否相互独立？解：因为样本空间Ω={（m,n ）|m,n ∈{1，2，3，4}，且m ≠n}A={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）}B={（1，2），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）} 方法总结判断事件相互独立的步骤：1、写出样本空间Ω，并计算样本点个数；2、分别写出事件的所有基本事件，并计算个数；3、计算P(A),P(B),P(AB);4、判断P(AB)与P(A)P(B)是否相等；若相等，则相互独立；若不相等，则不独立。
思考三：如果事件A 与事件B 相互独立，那么P （AB ）如何计算？事件的相互独立性定义是：对任意两个事件A 与B ，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立。
因此P(AB)=P(A)P(B). 知识拓展如果事件A1，A2，A3，…，An 是相互独立的，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即P(A1A2A3…An)= P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) .例2、甲、乙两名射击运动员进行设计比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶。
""""乙脱靶，甲脱靶则“乙中靶”，“甲中靶”，解：设====B A B A学生分组合作，探究得出独立事件的概率计算。
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件1：10.2 事件的相互独立性
[解] 记甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为事件 D，E，F，则甲不胜
A、乙不胜 B、丙不胜 C 分别为事件－D ，－E ，－F .根据各盘比赛结果
相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为 P＝P(D∩E∩－F )＋P(D∩－E ∩F)＋P(－D ∩E∩F)＋P(D∩E∩F)
＝P(D)P(E)P(－F )＋P(D)P(－E )P(F)＋P(－D )P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)
A [由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二 次摸球的结果没有影响，故事件 A 与 B，A 与 C 均相互独立， 且 A 与 B，A 与 C 均有可能同时发生，说明 A 与 B，A 与 C 均 不互斥，故选 A.]
2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为 0.9，
则他连续做对第 1 题和第 2 题的概率是( )
思考：(1)事件 A 与 B 相互独立可以推广到 n 个事件的一般情形吗？ (2)公式 P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？ [提示] (1)对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果其中任何一个 事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件 A1， A2，…，An 相互独立． (2)公式 P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件 A1， A2，…，An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
【规律方法】 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件 A，B 相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． (2)利用性质：A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
【跟踪训练】
1．坛子里放有 3 个白球，2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A1 表
高中数学必修二 10 2 事件的相互独立性 练习(含答案)
10.2 事件的相互独立性一、选择题1．下列事件A,B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A选项，,A B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，,A B是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故,A B不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.2．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A．0.28B．0.12C．0.42D．0.16【答案】B【解析】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.30.40.12⨯=．选B.3．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A．34B．23C．57D．512【答案】D【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是23(),()34P A P B ==，不获一等奖的概率是2131()1,()13344P A P B =-==-=，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：13215()()()()()()()343412P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+=⨯+⨯=。
4．甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．12【答案】A【解析】甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.甲第一场赢的概率为12，甲第一场输第二场赢的概率为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭.故甲赢得冠军的概率为311244+=.故选A. 5．（多选题）下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )A ．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D ．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A 中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B 中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D 中,设“至少有1人射中目标”为事件A ,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ,则AB B =,因此当()1P A ≠时,()()()P AB P A P B ≠⋅,故A ､B 不独立,6．（多选题）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥【答案】AD 【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确； 又115()30P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误；同理，C 错误； 1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选：AD ．二、填空题7．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为__________． 【答案】56【解析】由于两个人射击是相互独立的，故不全中靶心的概率为1151326-⋅=. 8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．【答案】0.3【解析】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.【答案】【解析】根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12810．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是______．【答案】2 3【解析】设此射手每次射击命中的概率为p ，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为80118181-=． 则41(1)81p -=，可解得23p =，故答案为23． 三、解答题 11．假定生男孩和生女孩是等可能的，令A =｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，B =｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性.（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩.【答案】（1）A ，B 不相互独立 （2）A 与B 是相互独立【解析】（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点 由等可能性可知每个样本点发生的概率均为14这时A ={（男,女）,（女,男）},B ={（男,男）,（男,女）,（女,男）},AB ={（男,女）,（女,男）} 于是()()()131,,242P A P B P AB === 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立.（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}. 由等可能性可知每个样本点发生的概率均为18, 这时A 中含有6个样本点,B 中含有4个样本点,AB 中含有3个样本点.于是()()()63413,,84828P A P B P AB =====, 显然有()()()P AB P A P B =成立,从而事件A 与B 是相互独立的.12．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）1130【解析】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ， 则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.。
10-2 事件的相互独立性——高一数学人教A版(2019)必修第二册洞悉课后习题
10.2 事件的相互独立性——高一数学人教A 版（2019）必修第二册洞悉课后习题【教材课后习题】1.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为( ) A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等2.假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，则()P AB = _______，()P A B =_______.3.若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立.4.甲、乙两人独立地破译份密码，已知各人能破译的概率分别是13，14，求：（1）两人都成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率.5.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=.构造适当的事件A ，B ，C ，使()()()()P ABC P A P B P C =成立，但不满足A ，B ，C 两两独立.6.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题.1E ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A =“两枚都正面朝上”.2E ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件B =“命中两次目标”.3E ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件C “两次都摸到红球”.（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间； （2）指出这三个试验的共同特征和区别； （3）分别求A ，B ，C 的概率.【定点变式训练】7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( ) A.25B.1225C.1625D.458.某校组织《最强大脑》PK 赛，最终A ，B 两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( ) A.827B.49C.1627D.20279.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.C.49D.10.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.1131911.如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A.B.316C.D.131612.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张13.设某批电子手表的正品率为23，次品率为13，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为___________.14.事件A ，B ，C 是互相独立的事件，若1()6P AB =，1()8P BC =，1()8P ABC =，则()P B =_______________.15.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.16.第五届移动互联网创新大赛，于2019年3月到10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为332,,453，且各场输赢互不影响.11614求甲恰好获胜两场的概率.17.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.答案以及解析1.答案：C解析：因为A ，B 中有相同的样本点，如(1,2)，故选项A 、B 错误；因为A 中含有B 中没有的样本点，如，故选项D 错误； 因为1()2P A =，，91()364P AB ==，所以()()()P AB P A P B =，故选项C.正确.2.答案：0.56；0.94解析：，.. 3.答案：见解析解析：若事件A ，B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以()0P AB ≠，即A ，B 不互斥.若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，因为()()0P A P B ⋅>，所以()()()P AB P A P B ≠，即A ，B 不独立.所以事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立. 4.答案：（1）112（2）12解析：设A =“甲能破译密码”，B =“能破译密码”，则A ，B 相互独立.由题意知1()3P A =，1()4P B =. （1）111()()()3412P AB P A P B ==⨯=；（2）1111()()()()34122P A B P A P B P AB =+-=+-=.5.答案：A 与B ，A 与C ，B 与C 都不相互独立解析：设{1,2,3,4}A =，{1,2,3,5}B =，{1,6,7,8}C =，则{1}ABC =，{1,2,3}AB =，(1,1)1()2P B =()()()0.70.80.56P AB P A P B ==⨯=()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB =+-=+-={1}AC =，{1}BC =，所以1()()()2P A P B P C ===，3()8P AB =，1()()8P AC P BC ==，1()8P ABC =.所以()()()()P ABC P A P B P C =⋅，但()()()P AB P A P B ≠，()()()P AC P A P C ≠，()()()P BC P B P C ≠，即A 与B ，A 与C ，B 与C 都不相互独立.6.答案：（1）1E 的空间可表示为1{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=；2E 的样本空间可表示为2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=； 3E 的样本空间可表示为3){(0,0),(0,1,(1,0),(1,1)}Ω=（2）三个试验的共同特征：完成一次试验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果.所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式.三个试验的区别：1E 中的样本点具有等可能性，2E ，3E 中的样本点不是等可能的. （3）1()4P A =；()0.36P B =；1()10P C = 解析：（1）1E 中用有序数对(,)m n ，m ，{0,1}n ∈表示样本点，其中0表示“反面朝上”，1表示“正面朝上”.其样本空间可表示为1{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.2E 中用有序数对()12,x x ，1x ，2{0,1}x ∈表示样本点，其中0表示“末命中”，1表示“命中”.其样本空间可表示为2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.3E 中用有序数对(,)x y ，x ，{0,1}y ∈表示样本点，其中0表示“摸到红球”，1表示“摸到黄球”.其样本空间可表示为3){(0,0),(0,1,(1,0),(1,1)}Ω=. （3）1()4P A =；()0.60.60.36P B =⨯=；1()10P C =. 7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：C解析：比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分包含三种情况：①A 全胜；②第一局A 胜，第二局B 胜，第三局A 胜；③第一局B 胜，第二局A 胜，第三局A 胜.所以比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率. 故选C. 9.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，.设()P A x =，，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是.故选A. 10.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A.11.答案：D解析：由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是42()()105P A P B ===3221212216333333327P ⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()()P AB P AB =()P B y =2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩230.90.10.09⨯=相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯亮的概率为31311616-=.故选D. 12.答案：A解析：由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是11132224+⨯=， 乙获胜的概率是.所以甲得到的游戏牌为31294⨯=（张）， 乙得到的游戏牌为（张）.故选A. 13.答案：427解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为. 14.答案：12解析：设，()P B b =，， 因为1()6P AB =，1()8P BC =，1()8P ABC =，所以1,61(1),81(1),8ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以1,31,21.4a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以1()2P B =.15.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12111224⨯=11234⨯=221433327⨯⨯=()P A a =()P C c =方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=. 16.答案：概率为920解析：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C ， 则， 则甲恰好获胜两场的概率为：()()()()()()()()()()()()P P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ .17.答案：(1)概率为0.398. (2)概率为0.994.解析：(1)用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则()0.8,()0.7,()0.9P A P B P C ===，所以. 由题意得A ，B ，C 之间互相独立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为1()()()P P ABC P ABC P ABC =++0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为.332(),(),()453P A P B P C ===332332332911145345345320⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0.2,()0.3,()0.1P A P B P C ===()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+⋅+21()1()()()10.20.30.10.994P P ABC P A P B P C =-=-⋅=-⨯⨯=。
课时作业1：10.2 事件的相互独立性
10.2 事件的相互独立性1.掷一颗骰子一次，设事件A ：“掷出偶数点”，事件B ：“掷出3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( ) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 答案 B解析 事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此事件A 与B 相互独立.当“掷出6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件.2.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是( ) A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.99 答案 C解析 A i 表示“第i 次击中目标”，i ＝1,2， 则P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.9×0.9＝0.81.3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88 答案 D解析 设“甲被录取”记为事件A ，“乙被录取”记为事件B ，则两人至少有一人被录取的概率P ＝1－P (A B )＝1－(1－P (A ))(1－P (B ))＝1－0.4×0.3＝0.88.4.从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1个球，则23可能是( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率 答案 C解析 记4个选项中的事件分别为A ，B ，C ，D ，则 P (A )＝1－13×12＝56，P (B )＝13×12＝16，P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝23， P (D )＝13×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－13×12＝12. 5.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军.若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.35 C.23 D.12 答案 A解析 根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局，这两种情况互斥.甲队直接胜一局，其概率为P 1＝12；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P 2＝12×12＝14.由互斥事件的概率加法公式可得甲队获胜的概率为P ＝12＋12×12＝34. 6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________. 答案 35解析 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，所以p ＝35.7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________. 答案 35解析 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因为事件M ，N 相互独立，所以能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35.8.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为25，丙及格的概率为23，则三人中至少有一人及格的概率为________.答案2425解析 设甲及格为事件A ，乙及格为事件B ，丙及格为事件C ，则P (A )＝45，P (B )＝25，P (C )＝23，∴P (A )＝15，P (B )＝35，P (C )＝13， 则P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝15×35×13＝125，∴所求概率P ＝1－P (A B C )＝2425.9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.解 记A 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P (A )＝0.5； 记B 表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P (B )＝0.6； 记C 表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记D 表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记E 表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”. (1)易知C ＝AB ，则P (C )＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D ＝(A B )∪(A B )，则P (D )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(3)易知E ＝A B ，则P (E )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2.故P (E )＝1－P (E )＝0.8.10.为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点. (1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； (2)求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率.解 (1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P 1， 则P 1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.(2)消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，消费总额为1 400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，消费总额为1 300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033，所以消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045.11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14答案 C解析 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率为P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 12.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )等于( ) A.29 B.118 C.13 D.23 答案 D解析 由题意知，P (A )·P (B )＝19，P (A )·P (B )＝P (A )·P (B ). 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )(1－y )＝19，(1－x )y ＝x (1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y . ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.13.有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为________. 答案1124解析 一道数学难题恰有一人解出，包括：①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14；②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18；③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124. 14.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 答案 0.128解析 由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，故P ＝P [(A ＋A )A AA ]＝[1－P (A )]·P (A )·P (A )＝0.128.15.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14答案 C解析 灯泡不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的， ∴灯泡不亮的概率为12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯泡亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316.16.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4的概率.解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为 1－14－12＝14，1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P 1＝14×12＝18；都付2元的概率为P 2＝12×14＝18；都付4元的概率为P 3＝14×14＝116.所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元. 所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516.。
教学设计1：10.2 事件的相互独立性
10.2事件的相互独立性教材分析事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.教学目标与核心素养课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.教学重难点重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.教学过程一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断.而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.三、新知探究事件A 与B 相互独立对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B̅， A 与B ， A 与B ̅也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).四、典例分析、举一反三题型一 相互独立事件的判断例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？解：因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K ”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J ”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .解：(1)由于事件A 为“抽到K ”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件. 题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.解：设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=（3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”AB AB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++ ()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116.所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本练习，习题10.2.教学反思两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
高数数学必修一《10.2事件的独立性》教学课件
题型 3 相互独立事件概率的综合应用
例3 某校组织了防溺水知识测试．测试共分为两轮，每位参与测试
的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则
视本次测试成绩为合格．甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在
第一轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为3 ， 3；在第二轮测
54
试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为
2 3
，
25.甲、乙两人在每轮测
试中的成绩是否合格互不影响．
(1)甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？
(2)求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
一题多变 本例条件不变，求甲、乙两人中至多有一人的成绩在本 次测试中合格的概率．
解析：设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”， 则P(CD)＝P(C)P(D)＝25 × 130＝235. E＝“甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格” 所以P(E)＝1－P(CD)＝1－235＝2225.
2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B
＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为( )
A．互斥
B．互为对立
C．相互独立
D．相等
答案：C
解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，所以A、 B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C.
共学案
【学习目标】 (1)理解两个事件相互独立的概念．(2)能进行一些与 相互独立事件有关的概率的计算．(3)理解相互独立事件与互斥事件的 区别．
【问题探究】 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一 枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
10.2事件的相互独立性
注意：当三个事件A、B、C两两独立时， 等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
新知探究
例1 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他
差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的 标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独 立？
猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 3 ，乙每轮猜对的概率为 2 . 在 每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响4，各轮结果也互不影响. 求3 “星 队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、 事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别 表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
② ∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为 1- P( AB) 1 0.02 0.98
归纳：求较为复杂事件的概率的方法
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率; 另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至 多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发 生”“不都发生”等词语的意义. 已知两个事件A,B,那么:
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. (3)事件“两人都脱靶” =AB，所以
P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
人教A版高中数学必修第二册 事件的相互独立性
10.2 事件的相互独立性
问题导入 问题一：试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚 硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币正面朝上”。 事件A的发生是否影响事件B的概率？
因为两枚硬币分别抛掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币 的抛掷结果互相不受影响,所以事件A发生与否不影响事件B发 生的概率。
问题导入 问题三：试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球, 除标号外没有其他差异。采用有放回方式从袋中依次任意摸出 两球。设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到 球的标号小于3”。 事件A的发生是否影响事件B的概率？
因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相 不受影响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率。
新知讲授——事件的相互独立性 思考二：互斥事件与相互独立事件有什么区别？
例题讲解
例1、一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没 有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。记事件 A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球 的标号小于3”,那么事件A与B是否相互独立？
例题讲解 解：因为样本空间Ω={（m,n）|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n} A={（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）} B={（1,2）,（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）}
PA PB 6 1 , PAB 2 1
12 2
12 6
此时PAB PAPB
因此，事件 A与B不独立.
方法总结
判断事件相互独立的步骤： 1、写出样本空间Ω,并计算样本点个数； 2、分别写出事件的所有基本事件,并计算个数； 3、计算P(A),P(B),P(AB); 4、判断P(AB)与P(A)P(B)是否相等；
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(2)P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝156，
P(ξ＝6)＝14×14＋12×14＝136.
栏目 导引
第十章 概 率
概率问题中的数学思想 (1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(－A )＝1) 简化问题，是求解概率问题最常用的方法． (2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻 找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑 加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化 为相互独立事件)． (3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立 方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
栏目 导引
第十章 概 率
1．相互独立的概念
设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝__P__(A__)P__(B__)__，则称事件 A
与事件 B 相互独立． 2．相互独立的性质
若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与_－B___，－A 与__B__，－A 与－B
也都相互独立． ■名师点拨 (1)必然事件 Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立． (2)事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B)．
栏目 导引
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
第十章 概 率
(2)设 ξ 为甲、乙两人所付的租车费用之和，求 P(ξ＝4)和 P(ξ＝
6)的值． 【解】 (1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时
还车的概率分别为14，14.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则 P(A)＝14×12＋12
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第十章 概 率
甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准 确率为 0.8 和 0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的 概率为________． 答案：0.56
一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为 a，第 二道工序的次品率为 b，则该产品的正品率为________． 答案：(1－a)(1－b)
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第十章 概 率
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P(－A －B －C )＝1－P(－A )P(－B )P(－C ) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
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第十章 概 率
1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率． 解：恰有一列火车正点到达的概率为 P3 ＝ P(A －B －C ) ＋ P( －A B －C ) ＋ P( －A －B C) ＝ P(A)P( －B )P( －C ) ＋ P( －A )P(B)P( －C ) ＋ P( －A )P( －B )P(C) ＝ 0.8×0.3×0.1 ＋ 0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
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第十章 概 率
相互独立事件同时发生的概率 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到 上海的三列火车正点到达的概率分别为 0.8，0.7，0.9，假设这 三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
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第十章 概 率
解：记“甲独立地译出密码”为事件 A，“乙独立地译出密码” 为事件 B，A 与 B 为相互独立事件，且 P(A)＝13，P(B)＝14. (1)“2 个人都译出密码”的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112. (2)“2 个人都译不出密码”的概率为 P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－13)×(1－14) ＝12.
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第十章 概 率
它们之间的概率关系如表所示： A，B 互斥
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
P(AB) P(A B)
0 1－[P(A)＋P(B)]
A，B 相互独立 1－P(－A )P(－B )
P(A)P(B) P(－A )P(－B )
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第十章 概 率
甲、乙 2 个人独立地破译一个密码，他们能译 出密码的概率分别为13和14，求： (1)2 个人都译出密码的概率； (2)2 个人都译不出密码的概率； (3)至多有 1 个人译出密码的概率； (4)恰有 1 个人译出密码的概率； (5)至少有 1 个人译出密码的概率．
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第十章 概 率
(3)“至多有 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都译出密 码”， 所以至多 1 个人译出密码的概率为 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13×14＝1112. (4)“恰有 1 个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出 以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件， 所以恰有 1 个人译出密码的概率为 P(A－B ＋－A B)＝P(A－B )＋P(－A B) ＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝152.
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第十章 概 率
相互独立事件的判断 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可 能的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中 最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
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第十章 概 率
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第十章 概 率
(5)“至少有 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出 密码”， 所以至少有 1 个人译出密码的概率为 1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－23×34＝12.
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第十章 概 率
相互独立事件的综合应用 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越 多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两 小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部 分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各 租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12， 超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车 时间都不会超过四小时．
【解】 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男， 男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立．
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第十章 概 率
2．从一副扑克牌(52 张)中任抽一张，记事件 A 为“抽得 K”， 记事件 B 为“抽得红牌”，记事件 C 为“抽得 J”．判断下列每 对事件是否相互独立？为什么？ (1)A 与 B； (2)C 与 A.
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第十章 概 率
解：(1)P(A)＝542＝113，P(B)＝2562＝12.事件 AB 即为“既抽得 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃 K 或方块 K”，故 P(AB)＝522＝ 216，从而有 P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件 A 与 B 相互独立． (2)事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是相互独立 事件．
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第十章 概 率
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有 一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义． 一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)， 那么： (1)A，B 中至少有一个发生为事件 A＋B. (2)A，B 都发生为事件 AB. (3)A，B 都不发生为事件－A －B . (4)A，B 恰有一个发生为事件 A－B ＋－A B. (5)A，B 中至多有一个发生为事件 A－B ＋－A B＋－A －B .
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第十章 概 率
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 是“第一枚为正 面”，事件 B 是“第二枚为正面”，事件 C 是“两枚结果相 同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号) ①A，B；②A，C；③B，C.
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第十章 概 率
解析：根据事件相互独立的定义判断，只要 P(AB)＝P(A)P(B)， P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型 概率公式计算可得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB) ＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证 P(AB)＝P(A)P(B)， P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立 的定义，事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 相互独立，事件 A 与 C 相互独立． 答案：①②③
第十章 概 率
10．2 事件的相互独立性
第十章 概 率
考点
学习目标
核心素养
理解相互独立事件的 相互独立事件的概念
概念及意义
数学抽象
能记住相互独立事件
概率的乘法公式；
相互独立事件同时发 能综合运用互斥事件 数学运算、数学建
生的概念
的概率加法公式
模
及独立事件的乘法公
式解题
第十章 概 率
问题导学 预习教材 P247～P249 的内容，思考？ 3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
第十章 概 率
【解】 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件． 则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以 P(－A )＝0.2，P(－B )＝0.3，P(－C )＝0.1. (1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到 达的概率为 P1＝P(－A BC)＋P(A－B C)＋P(AB－C )＝ P(－A )P(B)P(C)＋P(A)P(－B )P(C)＋P(A)P(B)P(－C ) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.