幻方的性质与应用
幻方的原理和应用
幻方的原理和应用什么是幻方？幻方是一种特殊的方阵，它的特点是每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方最早出现在中国古代数学书籍《周髀算经》中，被称为“洛书”。
幻方按照数字的奇偶性可以分为奇阶幻方和偶阶幻方。
奇阶幻方的阶数为奇数，偶阶幻方的阶数为偶数。
奇阶幻方更为常见，因为奇阶幻方的构造方法更为简单。
下面将分别介绍奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
奇阶幻方的构造方法奇阶幻方的构造方法有多种，其中最著名的是三阶幻方的构造方法，即“阳线法”。
阳线法的步骤如下：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字（1）的右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在最后一行的下一列；5.若已到达了最后一列，将下一个数字放在前一列的同一行；6.重复上述步骤，直到填满整个方阵。
三阶幻方的构造方法比较简单，而对于更高阶的奇阶幻方，可以通过一些变形和旋转的方法得到。
偶阶幻方的构造方法与奇阶幻方相比，偶阶幻方的构造方法更加复杂。
最常见的偶阶幻方是四阶幻方，也被称为“Dürer方阵”。
下面介绍四阶幻方的构造方法：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字的正右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在第四行的下一列；5.若已到达了第四列，将下一个数字放在前一列的第一行；6.若已到达了第一行且第四列，将下一个数字放在前一列的第四行。
其他偶阶幻方的构造方法与四阶幻方类似，采用类似的规则和变形即可获得。
幻方的应用幻方不仅仅是一种有趣的数学结构，还有一些实际应用。
以下是一些幻方应用的例子：1.密码学：幻方可以用作加密和解密的基础。
通过将明文编码为幻方中的数字，可以实现简单的加密算法。
2.游戏设计：幻方可以用作游戏中的谜题或迷宫的基础。
在游戏中，玩家可能需要解决幻方中的数字组合，以获得进一步的线索或通向下一关卡。
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
幻方（一）1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学目标数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
神奇的幻方小课题研究报告
神奇的幻方小课题研究报告神奇的幻方小课题研究报告【导语】幻方，是指一个矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等的特殊矩阵。
它以其独特的数学性质和趣味性，吸引了众多数学爱好者的关注。
本文将深入探讨幻方的原理、发展以及应用，帮助读者全面了解这一神奇的数学现象。
【概述】幻方最早可以追溯到中国古代的《周髀算经》中，其中详细介绍了3阶幻方的构造方法。
随后，幻方的研究逐渐发展起来，并在各个国家和时期都有所贡献。
幻方独特的数学性质使其成为数学和逻辑的重要研究对象，同时也被广泛应用于密码学、游戏以及图像处理等领域。
【主体】一、幻方的基本原理幻方的基本原理是通过排列数字，使得矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等。
在初步了解幻方之后，我们可以通过以下步骤来构造一个简单的3阶幻方：1. 将数字1放在矩阵中间的行、最左侧的列。
2. 将数字2放在数字1的上方。
3. 将数字3放在数字2的右上方。
4. 依次类推，将数字4至9依次放入矩阵中，直至填满整个矩阵。
二、幻方的发展历程幻方最早出现在中国古代，《周髀算经》中记载了3阶幻方的构造方法。
在随后的历史中，欧洲的数学家也开始对幻方进行研究，如德国数学家Euler以及瑞士数学家Lagrange等。
在18世纪，Lagrange提出了一个重要的定理——拉格朗日定理，即任何一个正整数都可以表示为4个平方数之和。
而这一定理与幻方之间的联系被后来的数学家进一步研究和发展。
三、幻方的应用领域1. 密码学：幻方可用于密码学中的加密和解密过程，通过将明文和密文映射到一个幻方上，实现信息的保密性。
2. 游戏：幻方被广泛用于各类数字游戏中，如数独、魔方等。
通过排列和填充数字，玩家需要根据幻方的规则来达到游戏目标。
3. 图像处理：幻方可以用于图像生成和编码，通过将图像的像素值与幻方矩阵的数字对应，实现图像的压缩和解压缩。
【总结与回顾】通过本文的探讨，我们对幻方的原理、发展和应用有了更深入的理解。
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幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
《有趣的小学数学—幻方问题》
幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。
像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。
在幻方中这个相等的和就叫做幻和。
2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。
3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。
（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。
( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。
例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。
接着一一填出各个空格中的数。
例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。
幻方量化 简介
幻方量化1. 引言幻方是一种特殊的正方形矩阵，其中每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
幻方在古代就被广泛研究，并且具有一些神秘的数学性质。
近年来，幻方也被引入到量化交易领域，用于构建量化交易策略。
本文将介绍幻方的基本概念和性质，以及如何将其应用于量化交易。
2. 幻方的基本概念2.1 正常幻方正常幻方是指每个数字都是唯一且不重复的幻方。
最简单的3阶正常幻方如下：8 1 63 5 74 9 22.2 奇阶幻方和偶阶幻方根据幻方的阶数（即矩阵的行数和列数），可以将幻方分为奇阶幻方和偶阶幻方。
奇阶幻方是指阶数为奇数的幻方，而偶阶幻方是指阶数为偶数的幻方。
奇阶幻方和偶阶幻方具有不同的构造方法和性质。
2.3 非正常幻方非正常幻方是指其中的数字可以重复的幻方。
非正常幻方也可以用于量化交易中的策略构建。
3. 幻方的性质3.1 幻方的对称性幻方具有多种对称性，包括水平对称、垂直对称、主对角线对称和副对角线对称。
这些对称性可以用于幻方的构造和分析。
3.2 幻方的旋转和镜像幻方可以通过旋转或镜像操作得到新的幻方。
这些操作可以改变幻方中数字的位置和排列方式，从而产生不同的幻方。
3.3 幻方的数学性质幻方具有一些有趣的数学性质，包括： - 幻方的数字之和等于幻方的阶数乘以幻方的中间数字 - 幻方的数字之和等于每行、每列和对角线上数字之和的平均数 - 幻方的每个数字都可以表示为其他数字的和或差4. 幻方在量化交易中的应用4.1 幻方信号生成幻方可以用于生成量化交易的信号。
通过将幻方中的数字映射到交易品种的价格或指标上，可以构建出一系列的交易信号。
这些信号可以用于判断交易的买入和卖出时机。
4.2 幻方的组合及优化幻方可以与其他技术指标和交易策略进行组合和优化。
通过将幻方的信号与其他指标的信号进行叠加或加权，可以得到更加准确和可靠的交易信号。
4.3 幻方的参数优化幻方中的数字可以作为交易策略的参数进行优化。
通过对幻方的数字进行调整和优化，可以找到最佳的参数组合，从而提高交易策略的盈利能力。
数学 幻方知识点
数学幻方知识点一、知识概述《幻方知识点》①基本定义：幻方就是一个正方形的数阵。
在这个数阵里，横着每行数字加起来的和、竖着每列数字加起来的和以及两条对角线上数字加起来的和，都相等。
比如一个3×3的幻方，就像一个九宫格，给每个格子里填上不同的数，满足刚刚说的这些和相等的条件。
②重要程度：幻方在数学里算是比较有趣又有挑战性的一部分。
它能锻炼咱们对数字的感觉和计算能力，还能加深对数字规律的理解。
而且它和一些更高级的数学知识也有点联系，算入门数学里比较独特的一块。
③前置知识：首先要对基本的加法运算特别熟练，得能快速准确地算出一些数字的和。
另外，对数字顺序得很熟悉，比如说1到9这些自然数的顺序。
还有就是对数阵这个概念得有点概念，知道行列是怎么回事。
④应用价值：幻方可不光是在纸上玩玩数字游戏。
在编程里，特别是设计算法的时候能涉及到幻方的原理，像是怎么让程序快速找到满足幻方规则的数字组合。
而且从研究数字规律的角度看，幻方里藏着不少数学奥秘，可能对密码学之类的可以提供一些思路。
二、知识体系①知识图谱：幻方在数学里属于数字规律探索这个分支里的。
算是一种特殊的数字组合现象，不是像四则运算那样基础，但在探索数字多种组合奥秘这一块是很有代表性的。
②关联知识：和加法运算有着直接联系，因为都是靠加法来确定幻方的和是否相等的。
和数列也有点关系，幻方里每行每列的数字可以看成是一个特殊的数列。
③重难点分析：难点就是找到那一套满足幻方条件的数字组合，特别是幻方规格大一些的时候，像5×5，7×7的幻方就更难了。
重点是要清楚幻方的定义和确定幻方和的计算方法。
④考点分析：在考试里，如果是数学竞赛可能会碰到幻方的题目。
一般会考查你能不能找到幻方的缺失数字，或者判断一组数字能否组成幻方，考查方式就是给你个残缺的幻方或者一组数字，让你按幻方的规则去处理。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：幻方核心就是它的数字组合满足特定的和相等的条件。
人教版七年级上数学《 实验与探究 填幻方》课堂笔记
《实验与探究填幻方》课堂笔记以下是《实验与探究填幻方》的课堂笔记，供您参考：一、概念与性质幻方是一个由整数排列而成的正方形矩阵，其特点是将矩阵中每条横行、纵列和对角线上的数字相加，结果都等于同一个常数。
幻方具有如下性质：1.每行、每列、每条对角线上的数字相加都等于同一个常数。
2.任意两个数在水平方向或垂直方向上的和相等。
3.幻方的四个角上的数分别是正方形的四个顶点上的数。
二、填幻方的方法与规律1.定义法：根据幻方的定义，从第一行开始，将数字1至n^2按顺序填入矩阵中，使得每行、每列、每条对角线上的数字相加都等于同一个常数。
2.观察法：观察已有的幻方，发现其规律并运用规律填写。
3.奇偶性法：根据填入的数字的奇偶性来填写幻方。
例如，当填入的数字为偶数时，将其放在正方形的下边和右边；当填入的数字为奇数时，将其放在正方形的上边和左边。
4.对称性法：根据数字的对称性来填写幻方。
例如，当填入的数字为对称数字时，将其放在正方形的对称位置上。
5.最小最大法：先确定幻方中最小的数和最大的数，再将其他数字填充到剩余的位置上。
6.相邻数对法：先确定相邻的两个数字，再将其他数字填充到剩余的位置上。
7.逐步完善法：从第一行开始，先填写第一个数字，然后逐步完善其他数字，直到填满整个矩阵。
三、填幻方的步骤1.确定幻方的阶数和常数。
2.根据定义法或观察法或其他方法填写第一行或第一列或对角线上的数字。
3.根据规律填写其他位置上的数字。
4.检查每行、每列、每条对角线上的数字相加是否等于同一个常数。
四、填幻方的注意事项1.在填写幻方时要注意遵循规律，不要盲目填写。
2.在填写幻方时要检查每行、每列、每条对角线上的数字相加是否等于同一个常数。
3.在填写幻方时要尽可能使用多种方法进行尝试，以得到最优解。
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
幻方
幻方（一）李明亮幻方是我国古代研究的算术内容之一，在中国，至少已有两千多年的历史了。
它最早被称为“洛书”（就是三行幻方）。
据说，大禹治水时，在洛水看到一只神龟背上有奇特的图案，这就是“洛书”——《周易》称：“河出图，洛出书。
”幻方就是由“洛书”与“河图”发展而来的。
在甄鸾（公元六世纪北周人）注的《数术记遗》一书中，称幻方为“九宫算”。
南宋的杨辉把幻方叫做“纵横图”，并对幻方进行了深入的研究，例如，他构造三行幻方的方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
”他还进一步研制出了四至十行的幻方。
在幻方里，每一横行（以下简称行）、每一竖行（以下简称列）、每一对角线上的数的和都相等。
我们把幻方中的这个相等的和称为幻方定数。
组成幻方的数一般是等差数列（按顺序排列的一列数，每相邻的两个数的差都相等）。
如用1、3、5、……15、17这九个数可以制成一个三行幻方。
把n2个数按一定的顺序排成n行n列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这n2个数就可以制成n行幻方。
如用2、4、6，9、11、13，16、18、20也可以制成三行幻方。
一、幻方的制法（一）行数为奇数的幻方的制法（以七行幻方为例）１．选1、2、3、……49这４９个数，把它们按顺序排成７行７列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数２５为中心），使斜方阵中间行（22、23、24、25、26、27、28这一行）和中间列（4、11、18、25、32、39、46这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成４９个方格，其中２４个是空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２．２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填9和41，后填1和49。
学而思幻方课堂笔记word精品
第一讲幻方
、幻方（每行、每列、每条对角线和相等） 1•幻和：每行、每列、每条对角线的和
2.
中心数：奇阶幻方的中心 3•阶数：n x n 的幻方称为n 阶幻方 、填幻方 1. 奇阶幻方：耳朵法、罗伯法
4阶有规律，其他无规律 罗伯
法 “ 1”居上行正中央 依次斜填切莫忘 上出框时往下填 右出框时左边放 排重就要退回来 右上排重一个样
三、幻方的性质 1. 幻和=总和十3=中心数x 3
2. 中心数=幻和十3=总和十9=两侧和十2
3. 角数=两对边中间数十2（黄金三角） 第一讲幻方
一、 幻方（每行、每列、每条对角线和相等）
1. 幻和：每行、每列、每条对角线的和
2. 中心数：奇阶幻方的中心
3. 阶数：n x n 的幻方称为n 阶幻方
二、 填幻方
1.奇阶幻方：耳朵法、罗伯法
4阶有规律，其他无规律 罗伯
法 “ 1”居上行正中央 依次斜填切莫忘 上出框时往下填 右出框时左边放 排重就要退回来 右上排重一个样
三、幻方的性质 1. 幻和=总和十3=中心数x 3
2. 中心数=幻和十3=总和十9=两侧和十2
3. 角数=两对边中间数十2（黄金三角） 2.偶阶幻方：只有 耳朵法
九子斜排
上下对易
左右相更
四维挺出
2.偶阶幻方：只有 耳朵法
九子斜排
上下对易
左右相更
四维挺出。
4年级全册数学知识点：幻方(教师版)
第十四讲幻方--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
3、比较法利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
4、掌握好3阶幻方中的规律。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍。
思维导引-幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案第一章：幻方的概念与性质1.1 幻方的定义介绍幻方的概念，让学生理解幻方是一种特殊的方阵，其特点是每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
1.2 幻方的性质解释幻方的性质，包括：奇数阶幻方的存在性、最小正整数解的存在性、幻方的对称性等。
1.3 幻方的构造方法介绍构造幻方的方法，包括：递推法、矩阵法、迭代法等。
第二章：数阵的基本概念2.1 数阵的定义解释数阵的概念，让学生理解数阵是一种由数字排列成的阵列，可以有多种不同的排列规则。
2.2 数阵的类型介绍常见的数阵类型，包括：线性数阵、矩阵数阵、幻方数阵等。
2.3 数阵的性质解释数阵的性质，包括：数阵的行列式、逆矩阵数阵的存在性等。
第三章：幻方与数阵的关系3.1 幻方是一种特殊的数阵说明幻方是一种特殊的数阵，其特点是每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
3.2 数阵的幻方化介绍将一般数阵转化为幻方的方法，包括：行列式法、矩阵变换法等。
3.3 幻方的数阵表示解释如何将幻方表示为数阵，以及如何利用数阵的性质来研究幻方的性质。
第四章：幻方的应用4.1 幻方在数论中的应用介绍幻方在数论中的应用，例如：证明费马大定理、研究素数的分布等。
4.2 幻方在组合数学中的应用解释幻方在组合数学中的应用，例如：构造拉丁方、解决排列组合问题等。
4.3 幻方在其他领域的应用探讨幻方在其他领域的应用，例如：在计算机科学中的应用、在经济学中的应用等。
第五章：数阵的应用5.1 数阵在数学中的应用介绍数阵在数学中的应用，例如：解线性方程组、研究矩阵的性质等。
5.2 数阵在物理中的应用解释数阵在物理中的应用，例如：描述量子力学中的状态向量、研究物质的结构等。
5.3 数阵在其他领域的应用探讨数阵在其他领域的应用，例如：在工程学中的应用、在生物学中的应用等。
第六章：幻方的制作技巧与练习6.1 幻方的手工制作教授学生如何通过手工计算制作小阶幻方，例如3x3、4x4幻方。
趣味数学-幻方
泛对角线幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条泛 对角线上的数字之和相等。
正交幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条正 交线上的数字之和相等。
03 幻方的数学原理
数学基础
代数基础
幻方是在一定规则下，将数字填 入一个正方形网格中，每个数字 代表一个坐标，通过代数运算找
出对应的数字。
04 幻方的应用与拓展
幻方在游戏中的应用
数独
这是一种基于幻方原理的数字游戏，玩家需要将数字1-9填入一个3x3的格子中， 使得每行、每列以及每个3x3的子格中都包含这9个数字。
棋盘游戏
一些棋盘游戏如井字游戏（Tic Tac Toe）和连珠（Gomoku）也可以视为幻方 在游戏中的应用，玩家需要在棋盘上放置棋子，使得满足特定的排列规则。
趣味数学-幻方
目录
• 幻方简介 • 制作幻方的方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的应用与拓展 • 趣味数学与幻方
01 幻方简介
幻方的定义
01
幻方是一种将数字、图形或符号 按照特定规则排列在正方形网格 中的数学游戏。
02
幻方要求每一行、每一列以及对 角线上的数字或符号之和都相等 ，或者遵循特定的数学关系。
偶数阶幻方的构造公式
将n阶幻方看作是一个n×n的矩阵，矩 阵中的元素可以用坐标表示，通过代数 运算和矩阵变换，可以得出偶数阶幻方 的构造公式。
幻方的数学证明
奇数阶幻方的。
偶数阶幻方的证明
通过数学归纳法和代数运算，可 以证明偶数阶幻方的构造方法是 正确的。
幻方的历史与起源
幻方最早可以追溯到中国的洛书， 据传为黄帝时期的大臣洛所创。
在中世纪，幻方逐渐传播到欧洲， 成为数学家和哲学家们研究的对
幻方ppt课件
偶数阶幻方的构造方法
偶数阶幻方中最常用的是四阶和八阶幻方。四阶幻方的构 造方法是将1放在第一行中间，然后按顺序将其它数字填入 ，每行从左到右填入数字，每列也从左到右填入数字，保 证每个数字都不重复。
单人幻方游戏
九宫格幻方
将1至9的数字填入3x3的九宫格中，使得每行、每 列以及对角线的数字之和都相等。
16格幻方
将数字1至16填入4x4的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
25格幻方
将数字1至25填入5x5的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
奇数阶幻方
由奇数个数字组成的幻方，通常为3×3、5×5等。这类幻 方构造相对简单，但也有一定的难度。
偶数阶幻方
由偶数个数字组成的幻方，如4×4、6×6等。这类幻方构 造较为复杂，需要遵循一定的规律和技巧。
广义幻方
不仅限于数字，还可以用字母、符号等代替数字，甚至可 以是非线性的矩阵。这类幻方更加灵活多变，具有更广泛 的用途。数学中的规律美 Nhomakorabea规律之美
幻方中的数字按照一定的规律排 列，这种规律美是数学中非常重
要的美学特征之一。
逻辑之美
幻方的构造过程需要遵循一定的 逻辑，这种逻辑美也是数学中非
常重要的美学特征之一。
统一之美
幻方中的数字虽然千变万化，但 都遵循着统一的规律和逻辑，这 种统一美也是数学中非常重要的
美学特征之一。
数学中的逻辑美
多人幻方挑战赛
团队赛
01
多个团队同时进行幻方挑战，以最快完成且符合规则的团队为
初中填幻方教案
初中填幻方教案一、教学目标：1. 让学生掌握幻方的概念，了解幻方的性质。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容：1. 幻方的概念及其性质。
2. 填幻方的方法。
3. 幻方在实际生活中的应用。
三、教学过程：1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的方阵，如棋盘、门票等，引导学生发现其中的规律。
提问：你们能发现这些方阵有什么特别之处吗？2. 新课导入：介绍幻方的概念。
幻方是指一个 n×n 的方阵，它的每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
例如，一个 3×3 的幻方，它的每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
3. 幻方的性质：引导学生通过观察、分析、归纳出幻方的性质。
如：幻方的数字必须是连续的自然数；幻方的数字分布具有对称性等。
4. 填幻方的方法：讲解填幻方的方法，引导学生动手实践，尝试填出一个 3×3 的幻方。
提示学生可以利用性质中的规律进行填空。
5. 幻方在实际生活中的应用：展示一些幻方在实际生活中的应用，如棋盘、门票等。
引导学生发现幻方在生活中的重要性。
6. 课堂练习：设计一些填幻方的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调幻方的概念、性质以及填幻方的方法。
四、教学评价：1. 学生能准确地描述幻方的概念和性质。
2. 学生能运用所学的知识，独立地填出一个幻方。
3. 学生能理解幻方在实际生活中的应用，提高解决实际问题的能力。
五、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力。
同时，要关注学生在学习过程中的个体差异，给予个别化的指导，使全体学生都能掌握所学知识。
此外，要注重课堂练习的设计，让学生在实践中巩固所学，提高解决问题的能力。
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郑州大学毕业论文题目：幻方的性质与应用学生姓名：学号：专业：信息与计算科学专业院（系）：完成时间2010年5月20日目录幻方的性质与应用 (1)摘要 (1)引言 (2)1幻方及其基本性质 (2)2幻方的构造 (4)3幻方的应用 (8)综述 (9)结束语及致谢 (10)参考文献 (10)幻方的性质与应用【摘要】首先，我们简单的介绍一般幻方的定义以及一些特殊的幻方，然后随着我们对幻方的研究我们又着重介绍了幻方的一些构造，，最后我们浅谈一下有关幻方的应用前景，比方说在美术设计方面的应用，在智力开发方面的应用，在科学技术方面的应用等等。
【abstract】 First, we simply introduce the general definition of magic squares as well as some special magic square，Then as we study magic squares we have highlighted some of the magic square construction，For example, from low-order magic square Magic Squares, Magic Squares of odd order, even order magic square construction and general construction of magic square.， Finally, we look at the Magic Square of prospects，For example, in the art design application, the application of intellectual development in science and technology-based applications。
【关键字】幻方的定义幻方的构造幻方的应用【keyword】 The definition of magic squares Magic Square Application of Magic Squares1幻方及其基本性质1.1幻方的定义1.2几种常见的幻方2幻方的构造2.1由低阶幻方构造高阶幻方的方法2.2奇数阶幻方的构造2.3偶数阶幻方的构造2.4一般幻方的构造3幻方的应用前景3.1幻方应用于美术设计3.2幻方应用于智力的开发功能3.3幻方应用于科学技术之中引言所谓幻方也叫纵横图，就是在n n的方阵中放入从1开始到2n个自然数，在一定的布局下各行，各列和两条对角线上的数字之和正好相等，这个和数就叫幻方常数或幻和。
由于幻方具有这种特殊的性质，几千年来吸引着数学家和数学爱好者的兴趣，并进行了广泛深入的研究，在本论文中我们主要探讨幻方的基本性质及其构造它的一般方法，最后我们在浅谈一下有关它的一些应用前景。
1幻方及其基本性质1.1幻方的定义幻方是一系列的数排列成一个方阵，使它的每行和，每列和以及每条对角线和均为一个定数，我们把这个定数记作S ，称为幻方和。
通常的幻方是人们熟知的由整数1,2,3…..2n 排成一个n n 阶幻方，幻方中所有整数和为22112n n ，其中的幻方的幻和S=22112n n ，当n=时我们称此幻方是平凡的，当n=2时，可以证明该种幻方是不存在的，当n=3时这样的幻方（在同构的意义下）仅有一个，n=4时，有880个，n=5时，至少有60000个幻方，对于n 5时幻方的计数问题还没解决，我们列举了n=3,4,5时的几个幻方，如下图861357942 15114467912810511133162 17815241235716146132042210193122118259112 n=3 n= 4 n=5 图1-11.2 几种常见的幻方1.2.1 完全幻方：对于奇数阶幻方，假若关于其中心位置的任意对称位置上的两个数之和是一个定数，并且这个定数是中心位置上的数的两倍，则称此幻方是一个完全幻方。
例如图1-2给出的5阶幻方是一个完全幻方，其中心位置是13，关于中心位置任意对称的两个位置上的和为26。
17102311451862412725131912082114231691522 图1-21.2.2 广义幻方:上面我们给出的通常的幻方和完全幻方，其中阵中的2n 个数都是取自1,2,3….2n ，下面我们给出一些普通的幻方，其2n 个数不完全取自集合{1,2,3….2n }，容易验证他们也满足幻方的基本性质，如图1-318132616119204171382916114183712619411 3681794268317942r r r r r r r r （r 18）图1-3若幻方中的2n个数均为不同的素数，则称其为一个广义幻方，例如图1-4中的两个幻方都是广义幻方。
1731739767 307157107227 127227257137 347473736756959449239359479269659149图1-41,2.3 殆幻方与同心幻方：如果一个幻方是由r+1，r+2，….r+ 2n构成的幻方，则称该幻方为殆幻方，容易见这种这种幻方中的每个数减去r 即可得通常的幻方。
我们也可从通常的幻方中删掉第一行与第n行，删掉第一列和第n列获得殆幻方，如图1-5中的5阶幻方，删掉第一列与第五列，第一行与第五行，中间剩下的由9,10，…..17构成的3阶殆幻方56237241710 22124 18131581116925 114 1920322146340 124241 4535133231514342826166 4421 7172325273343 20293039 112422193736181538 1210494847894图1-5 图1-6反之，若将殆幻方作为核，我们可以构造出一系列奇数阶幻方，例如图1-6中的7阶幻方，其核为21,22，.....29构成的3阶幻方（r=20）次核是由13,14，.. (37)构成的5阶殆幻方（r=12）以3阶殆幻方为核可构造出一系列奇数阶幻方，他们具有一个共同的性质是每一个内核幻方都是一个殆幻方，类似的以一个4阶殆幻方为核我们可构造出一系列偶数阶幻方，使其每个内核幻方也是一个殆幻方，例如1-7中的8阶幻方，它的核是由15,16，….50组成的6阶殆幻方（r=14），内核幻方都是殆幻方的幻方称为同心幻方。
6362559588145615494819209445547253938281810363031334354 11220 5332343529234212 133727264052 2441451617465051 1421 57361606764 22568 264164 321281图1-7 图1-81.2.4 乘积幻方：所谓乘积幻方就是指每一行上的数的乘积，每一列上的乘积，以及每条对角线上的乘积均相等，如图1-8中幻方就是乘积幻方。
2 幻方的构造2.1 由低阶幻方构造高阶幻方的方法已知n 阶幻方n Q 和m 阶幻方m Q 可构造成一个m n 阶的幻方mn Q ，设111212122212.....................m mmm m mma a a a a a Q a a a这里21,2,3....ija m ，i ，j=1,2,3…m 构造出的mn Q 为22211121222212222221211...111...1............11...1n n n n m n n n nn nm n nmnm n n m n n mm n nn a J Q n a J Q n a J Q n a J Q n a J Q n a J Q Q n a J Q n a J Q n a J Q其中n J 是n n 方阵，n J 中的每个元素是1，mn Q 是一个幻方，其行，列和于对角线和均是22112mn m n ，例如令3Q 为1-1中的3阶幻方，构造9阶幻方。
3333339333333333333981911961931951971941991921J Q J Q J Q Q J Q J Q J Q J Q J Q J Q =7164698653465116668703574850526772659495447422619376255602444422325394357596121412720404538586356223528338073781710153032347577791612143136297681741318112.2 奇数阶幻方的构造在介绍通常的奇数阶幻方的一般方法之前，先看一个5阶幻方的例子，见图2-1，并观察其构造规律18259211178151724123571623146132042241019310122118259112若用（i ，j ）表示方阵中第i 行，第j 列的位置，如图，数1,2,3,4,5的安排规律是：若t 在位置（r ，s ）上则数t+1在位置（r-1，s+1）(mod5)例如1放在（1,3）上后由于（1-1,3+1）=（5,4），所以2在位置（5,4）上，同理可得3,4,5的位置分别是（4,5），（3,1），（2,2）接下来若仍然用上面的方法利用5的位置来确定6的位置，那么将会出现6与1的位置 重叠，5与6之间的这种情况称为断步，我们将6放在（3,2）上（3,2）是这样确定的 ，如果5的位置是（r ，s ），则6的位置是（r+1，s ）（mod5），7,8，….10的安排规律与2至5的安排规律相同，10与11之间又出现断步，由于10在（4,1）上，故11在（4+1,1）（mod5）=（5,1）位置上……..按照此方法一直做下去直到把1到25全部填入这个55阵列中为止，将上述规律归纳如下： 1 一般情况：,r st 1,1(mod5)1r s t ；2断步情况：,r st 1,(mod5)1rs t这里,r s t 表示t 在（r ，s ）位置上，t {1,2，…..2n },图2-2是应用上面介绍的方法构造的一个7阶幻方，其中顶行上面用虚线标出的哪一行可看做第七行，第七列右面用虚线标出的哪一行视为第一行，图中箭头表示断步是位置变化方向及以后的变化趋势。
31404920211223039481019283013847791827293846681726353746516253436455141315331324424442332433214112213140492022211在上面的构造中我们总是将数1放在顶行正中位置，事实上也可将1放在其它位置上，例如将1放在位置（4,5）上，则相应的安排规律是： 1 一般情况：,r st 1,1(mod 7)1rs t2 断步情况：,r st ,2(mod 7)1r st由上面的所举的例子中我们可以看出构造一个幻方有三个因素： 1 确定1的位置2 非断步情况的位置变化规律3 断步情况的位置变化规律2．3 偶数阶幻方的构造构造偶数阶幻方的方法有很多种，下面我们将介绍其中的一种，我们以6阶幻方为例，介绍其构造方法。