幻方的性质与应用

郑州大学毕业论文题目：幻方的性质与应用

学生姓名：学号：

专业：信息与计算科学专业

院（系）：

完成时间

2010年5月20日

目录

幻方的性质与应用 (1)

摘要 (1)

引言 (2)

1幻方及其基本性质 (2)

2幻方的构造 (4)

3幻方的应用 (8)

综述 (9)

结束语及致谢 (10)

参考文献 (10)

幻方的性质与应用

【摘要】首先，我们简单的介绍一般幻方的定义以及一些特殊的幻方，然后

随着我们对幻方的研究我们又着重介绍了幻方的一些构造，，最后我们浅谈一下有关幻方的应用前景，比方说在美术设计方面的应用，在智力开发方面的应用，在科学技术方面的应用等等。

【abstract】 First, we simply introduce the general definition of magic squares as well as some special magic square，Then as we study magic squares we have highlighted some of the magic square construction，For example, from low-order magic square Magic Squares, Magic Squares of odd order, even order magic square construction and general construction of magic square.， Finally, we look at the Magic Square of prospects，For example, in the art design application, the application of intellectual development in science and technology-based applications。

【关键字】幻方的定义幻方的构造幻方的应用

【keyword】 The definition of magic squares Magic Square Application of Magic Squares

1幻方及其基本性质

1.1幻方的定义

1.2几种常见的幻方

2幻方的构造

2.1由低阶幻方构造高阶幻方的方法

2.2奇数阶幻方的构造

2.3偶数阶幻方的构造

2.4一般幻方的构造

3幻方的应用前景

3.1幻方应用于美术设计

3.2幻方应用于智力的开发功能

3.3幻方应用于科学技术之中

引言

所谓幻方也叫纵横图，就是在n n的方阵中放入从1开始到2n个自然数，在一

定的布局下各行，各列和两条对角线上的数字之和正好相等，这个和数就叫幻方常数或幻和。由于幻方具有这种特殊的性质，几千年来吸引着数学家和数学爱好者的兴趣，并进行了广泛深入的研究，在本论文中我们主要探讨幻方的基本性质及其构造它的一般方法，最后我们在浅谈一下有关它的一些应用前景。

1幻方及其基本性质

1.1幻方的定义

幻方是一系列的数排列成一个方阵，使它的每行和，每列和以及每条

对角线和均为一个定数，我们把这个定数记作S ，称为幻方和。通常的幻方是人们熟知的由整数1,2,3…..2n 排成一个

n n 阶幻方，幻方

中所有整数和为22112n n ，其中的幻方的幻和S=221

12

n n ，当

n=时我们称此幻方是平凡的，当n=2时，可以证明该种幻方是不存在的，当n=3时这样的幻方（在同构的意义下）仅有一个，n=4时，有

880个，n=5时，至少有60000个幻方，对于n 5时幻方的计数问题

还没解决，我们列举了n=3,4,5时的几个幻方，如下图

861357942 151144679128105

1113316

2 178

15

241235

7

16

146132042210193

122118259

112 n=3 n= 4 n=5 图1-1

1.2 几种常见的幻方

1.2.1 完全幻方：对于奇数阶幻方，假若关于其中心位置的任意对

称位置上的两个数之和是一个定数，并且这个定数是中心位置上的数的两倍，则称此幻方是一个完全幻方。例如图1-2给出的5阶幻方是一个完全幻方，其中心位置是13，关于中心位置任意对称的两个位置上的和为26。

171023

11

4

518624127251319120821142316915

22 图1-2

1.2.2 广义幻方:上面我们给出的通常的幻方和完全幻方，其中阵

中的2n 个数都是取自1,2,3….2n ，下面我们给出一些普通的幻方，其2n 个数不完全取自集合{1,2,3….2n }，容易验证他们也满足幻方的基本性质，如图1-3

1813

2616119

204

1713829161

14183712619411 3681

79426831

7

942

r r r r r r r r （r 18）

图1-3

若幻方中的2n个数均为不同的素数，则称其为一个广义幻方，例如图1-4中的两个幻方都是广义幻方。

1731739767 307157107227 127227257137 3474737367

56959449

239359479

269659149图1-4

1,2.3 殆幻方与同心幻方：如果一个幻方是由r+1，r+2，….r+ 2

n构成的幻方，则称该幻方为殆幻方，容易见这种这种幻方中的每个数减去r 即可得通常的幻方。我们也可从通常的幻方中删掉第一行与第n行，删掉第一列和第n列获得殆幻方，如图1-5中的5阶幻方，删掉第一列与第五列，第一行与第五行，中间剩下的由9,10，…..17构成的3阶殆幻方

56237

24

1710 22124 1813158

11

16925 114 1920322146340 124241 45351332315

14

342826166 4421 7172325273343 20293039 112422

193736181538 12

10494847894

图1-5 图1-6

反之，若将殆幻方作为核，我们可以构造出一系列奇数阶幻方，例如图1-6中的7阶幻方，其核为21,22，.....29构成的3阶幻方（r=20）次核是由13,14，.. (37)

构成的5阶殆幻方（r=12）

以3阶殆幻方为核可构造出一系列奇数阶幻方，他们具有一个共同的性质是每一个内核幻方都是一个殆幻方，类似的以一个4阶殆幻方为核我们可构造出一系列偶数阶幻方，使其每个内核幻方也是一个殆幻方，例如1-7中的8阶幻方，它的核是由15,16，….50组成的6阶殆幻方（r=14），内核幻方都是殆幻方的幻方称为同心幻方。

6362559588

14

5615494819209

44

5547253938281810

363031334354 11220 533234352923

4212 133727264052 2441

451617465051 1421 57361606764 2

2568 2

64164 32128

1