一般三次方程谢国芳求根公式的推导方法1(利用复三角函数的方法)

一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则

—— 谢国芳 Email: roixie@

【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解

一般三次方程（包括复系数情形）320ax bx cx d +++=的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。

【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法

1 一般三次方程的简化

对于一个一般形式的三次方程320ax bx cx d +++= (0)a ≠, 两边同除以a ，即可化为首项系数为1的三次方程

320b c d

x x x a a a

+

++=, 然后作变量代换

3b

x y a =-

,

（1） 可消去二次项，将它化为下面的形式：

30y py q ++=, （2） 其中

2233b ac p a -=-, 323922727abc b a d

q a --=-.

（3） 下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数0p ≠.[1]

2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式

在方程（2）中作变量代换[2]

y z =, （4） 利用三倍角公式

3cos34cos 3cos z z z =-,

方程（2）即化为

cos3z =

, （5）

定义参数

χ=

, （6）

称之为三次方程3

0y py q ++=的关键比(key ratio)，于是式（5）即

cos3z χ=. （7）

当χ为实数且1χ≤时，令1

cos θχ-=，可得其一般解为

32z n θπ=±+, 即 23

3n z θ

π

=±

+

()n ∈ 取0,1,1n =-，即可得到z 在一个周期内的六个值：

22, , 33333z θθπθπ

=±±+±-

但cos z 只取下面这三个值：

22cos cos , cos(), cos()

33333z θθπθπ

=+-

代入式（4），即得方程3

0y py q ++=的三个根：

1

2

332cos()332)33y y y θθπθπ

⎧=⎪⎪

⎪⎪

=+⎨⎪

⎪=-⎪⎪⎩

（8） 其中1

cos θχ-=

, χ=

(, 1)

c c 危.

当关键比χ为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们

把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数χ都可求得其解.

根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）：

cos 2

iz iz

e e z -+=, （9）

方程（7）等价于

332

iz iz

e e χ-+=, 它可以化为一个以3iz e 为元的二次方程：

323()2()10iz iz e e χ-+=,

解得

3iz e χ=±

（10）

定义参数 W χ=+ （11）

注意到恒等式

( 1χχ-+=, （12）

由式（10）可解得

iz

e =或

代入式（9），再由式（4）即得方程3

0y py q ++=的根为

y =

+, （13） 其中

W χ=+,

χ=

. （14）

三个值正好对应于方程的三个根. [3]

3 简约三次方程的另一个求根公式

定义参数

λ （15）

亦称之为三次方程3

0y py q ++=的关键比，对比关键比χ的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注2和附录1）

= （16）

则i χλ=, 于是

(W i i i χλλλ=+=+=+=+

定义参数Z λ=+

, 则W iZ =, 故（参见附录1中的式（31）及其解释）

/6i e π=,

代入求根公式（13）可得

/2/6/62/3( i i i i y e e e e ππππ-===

-

因为2/3i e π乘以

的三个值，所以上式即

y =

, （17） 其中

Z λ=+,

l =

（18）

的三个值亦正好对应于方程的三个根.

4 一般三次方程的两个求根公式

为了把求根公式（13）和（17）推广到一般三次方程320ax bx cx d +++=，只需把相应的简约三次方程3

0y py q ++=的关键比χ和l 直接用系数,,,a b c d 表出即可.

将由式（3）给出的,p q 值代入χ和l 的定义式（参见式（6）、（15））可得[4]

323239227abc b a d

χ--

32λ.

定义23D b ac =-, 则有

32χ=

,

32λ=

. （19）

我们可以把它们称为三次方程320ax bx cx d +++=的关键比. 分别根据求根公式（13）和求根公式（17），并注意到23D p a =-和3b x y a

=-（参见式（1）、（3）），我们就得到了下面的结果.

定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数

2

3D b ac =-,

32χ=

,

W χ=+

（20）

则当0D ≠时它的根为[5]

x =

（21）

设i W W e β

=，W 为复数W 的模，arg W β=为其幅角主值（πβπ-<≤），

的三个值为

/3i β,

(2)/3i βπ+,

(2)/3i βπ-.

代入式（21），即得方程的三个根：

123x x x ⎧⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎪

=

⎨⎪

⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎩

定义实参数ρ=并利用欧拉公式cos sin i e i q q q =+，可将它们改写为