第10章 微分方程与差分方程
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
第十章 偏微分方程数值解法
第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ 其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。
填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。
求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。
证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。
微分方程与差分方程
N， ，
N (t )
Nm Nm r ( t t 0 ) 1 N 1 e 0
.
下面,我们对模型作一简要分析. （1）当 t , N (t ) N m ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 N m ； （2）当 0 N N m 时, 数； （3） 由于
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
N (t ) N 0 e r (t t0 ) ,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计 1961 年地球上的人口总数为 3.06 10 ,而在以后 7 年中,人口总数
9
9 以每年 2%的速度增长,这样 t 0 1961 , N 0 3.06 10 , r 0.02 ,于是
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
定义 3：代数方程组
（5）
f ( x, y) 0 的实数根 x x0 , y y0 ，称它为（5）的一个平衡点 g ( x, y) 0
（或奇点） ，记为 P0 ( x0 , y0 ) . 定义 4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 x (t ) ， y (t ) 都满足
2 T D 0
特征根为 1,2
T T 2 4D . 2
下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究： 1） T 4 D 0
2
3
华南农业大学数学建模培训
ⅰD0 ⅱD0
2
T 0 T 0
二根异号
二根同正 二根同负
O 是不稳定结点 O 是稳定结点
O 是鞍点
显然 O(0, 0) 为系统的奇点，记系统系数矩阵 A
微分方程与差分方程习题课总结
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
差分方程的解
如果函数y = φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
代入原方程, 得 P dP = f ( y, P ). dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y = C1 y1 + C2 y2也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y + py + qy = 0
特征方程为 r 2 + pr + q = 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 = r2
复根r1,2 = i
通解的表达式
y = C1e r1 x + C2e r2 x y = (C1 + C2 x)e r2 x
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y = Ce− P( x)dx （用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y = e− [ P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx + C ] （用常数变易法）
3.可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n) = f ( x) 型
(2) 0，1 设yx = x zx
微分方程差分方程
微分方程差分方程（原创实用版）目录1.微分方程和差分方程的定义2.微分方程和差分方程的联系与区别3.微分方程和差分方程的应用领域正文微分方程和差分方程都是数学领域中重要的方程式，它们各自具有独特的性质和应用，但在某些方面也存在相似之处。
本文将从定义、联系与区别以及应用领域三个方面对微分方程和差分方程进行介绍。
一、微分方程和差分方程的定义微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，描述了物理量在时间、空间上的变化规律。
微分方程中的未知函数通常表示某一物理量的瞬时变化率，如速度、加速度等。
差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了离散系统中各变量之间的变化关系。
差分方程中的未知函数通常表示某一离散系统中各个时刻的变量值，如数列、矩阵等。
二、微分方程和差分方程的联系与区别1.联系微分方程和差分方程都是描述系统变化的数学模型，它们之间存在一定的联系。
微分方程是差分方程的连续形式，而差分方程是微分方程的离散形式。
这意味着，当微分方程中的自变量离散化时，可以得到相应的差分方程；反之，当差分方程中的自变量连续化时，可以得到相应的微分方程。
2.区别微分方程中的未知函数通常表示物理量的瞬时变化率，而差分方程中的未知函数表示离散系统中各个时刻的变量值。
这意味着，微分方程描述的是连续系统中的变化规律，而差分方程描述的是离散系统中的变化规律。
此外，微分方程和差分方程的求解方法也有所不同。
微分方程通常采用积分方法求解，而差分方程则采用代数方法求解。
三、微分方程和差分方程的应用领域微分方程广泛应用于物理、工程、生物学等领域，描述了各种连续现象的变化规律。
例如，牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等都包含微分方程。
差分方程在计算机科学、信息处理、控制论等领域具有重要应用。
例如，数值方法中的欧拉法、龙格 - 库塔法等用于求解常微分方程；离散系统中的状态转移方程、输入输出关系等都可以用差分方程来描述。
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：1.微分方程与差分方程的定义及区别2.微分方程的应用领域3.差分方程的应用领域4.求解微分方程和差分方程的方法5.两者在实际问题中的结合与转化正文：微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。
尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。
本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。
一、微分方程与差分方程的定义及区别1.微分方程微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。
它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。
微分方程可以分为线性和非线性两类。
2.差分方程差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。
差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。
与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。
2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。
3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。
4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。
三、差分方程的应用领域1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。
2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。
3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。
4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。
四、求解微分方程和差分方程的方法1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
差分方程与微分方程的求解
求解 1. 求差分方程满足初值问题之解：11232133123123(1)3()()()(1)2()()(1)()()2()(1)(1)1,(1)0x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x x x +=-+⎧⎪+=+⎪⎨+=-+⎪⎪===⎩ 解：原差分方程组可化为:112233(1)311()(1)201()(1)112()x n x n x n x n x n x n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则令311201112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求矩阵A 的特征值及特征向量 设特征值分别为123,,λλλ，对应的特征向量分别为123β,β,β.则231121(2)(1)0112λλλλλλ---=-=--=--A E可解得1232,2,1λλλ===设1λ对应的特征向量1111a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，则满足111111022101100a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可化简为11100a b c -=⎧⎨=⎩，令111a b ==可以得到特征向量1110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β同理可得到特征向量2110-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭β，3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β设方程组的通解为：111222333()nnnx n c c c λλλ=++βββ代入特征值、特征向量，可得到方程组的通解为：123110()21211001n n x n c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入初值条件：123(1)(1)1,(1)0x x x ===得到12123322122110n n n n n c c c c c c ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得123120c c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可以令11c =，所以212c =；综上所述，满足方程初值方程组的解为：11()210n x n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 求差分方程之通解：2(4)2(2)()32nx n x n x n n n+-++=-+ 解：原方程的特征方程为：42210λλ-+= 即22(1)0λ-=从而求得特征根为11λ=-（二重），21λ=（二重） 因此原方程所对应的齐次方程的通解为：()(1)()1()n n xn A Bn C Dn =-+++ 即 ()(1)()nxn A Bn C Dn =-+++ 而原方程的特解为2(4)2(2)()3x n x n x n n +-++=-的特解1()x n与(4)2(2)()2n x n x n x n n +-++=的特解2()x n 之和.从而原方程具有如下的特解形式：221201201()()()()2()n x n x n x n n A n A n A B n B =+=++++将特解形式代入原方程，可得0010120014811922402244883914890A A A A A AB B B =⎧⎪+=⎪⎪++=-⎨⎪=⎪⎪+=⎩，从而0120114816124194881A A A B B ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=-⎪⎩综上，原方程的通解为22111148()()()(1)()()2()48624981n n x n xn x n A Bn C Dn n n n n =+=-++++-++- 3. 求微分方程满足初值问题之解：211212212121120d d d 320d d d d d 20d d d (0)1,-1,(0)0d t x x x x x tt t xx x x t t x x x t =⎧++++=⎪⎪⎪++-=⎨⎪⎪===⎪⎩解：方法一：降阶法令13d d x x t =，则原方程组可表示为：13323122312d d d d 320d d d 20d x x t xx x x x tt x x x x t ⎧=⎪⎪⎪++++=⎨⎪⎪++-=⎪⎩化简得：132123323d d d 2d d 22d x x t xx x x t x x x t ⎧=⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--⎪⎩它的系数矩阵为001211022⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，特征方程是01211(2)(2)(1)0022λλλλλλλ--=---=+-++=---A E特征根为1232,2,1λλλ=-==-求得特征根所对应的特征向量分别为1102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T ，21221⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭T ，31121⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T .故方程组的通解为1222123311()121()e 0e 2e 221()1t t t x t x t C C C x t --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭根据初值1120d (0)1,-1,(0)0d t x x x t====得12312323112211202C C C C C C C C ⎧++=⎪⎪-+-=-⎨⎪⎪-+=⎩解得123112,,463C C C === 则原方程组的解为：22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩方法二：消元法设dd t λ=，则原方程组可化为21212(32)(1)0(1)(2)(1)0(2)x x x x λλλλλ⎧++++=⎨++-=⎩(1)(2)λ-得21(2)(21)0(3)x λλλ++--= (2)(3)-得22(2)0x λλ--=解得两个特征根为122,1λλ==- 则2x 可表示为：2212e e ttx C C -=+ 根据初值2(0)0x =得22e e ttx C C -=- 将2x 代入(2)得212e 2e ttx C C λ-+=+ 即211d 2e 2e (4)d t t x x C C t-+=+ 下面用常数变易法求解(4) 先解对应齐次方程11d 20d x x t+=得齐次通解211e t x C -= 由常数变易法，令211(t)etx C -=为非齐次方程(4)的解，代入后得221()e e 2e t t t C t C C --'=+积分得41()e 2e 4tt C C t C =+ 则（4）的通解为2211e e 2e 4t tt C x C C --=++ 根据初值110d (0)0,-1d t x x t===得112142212C C C C C C ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩解得11314C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则221112()e e e 4123t t tx t --=++ 将13C =代入22e e t tx C C -=-得方程组的解为 22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4. 利用待定系数法求解下列初值问题之解：Td (),(0)(0,1)d xA x f t x t=+= 其中TT 1235(,),,()(e ,0)53t x x x A f t -⎛⎫===⎪-⎝⎭解：方法一：待定系数法原方程组所对应的齐次方程组为112212d 35d d 53d x x x tx x xt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩特征方程235(3)25053λλλλ--==-+=--A E求得特征根为1,235i λ=±下求135i λ=+所对应的特征向量，设112αα⎛⎫=⎪⎝⎭ξ 则111225i 50()55i 0ααλαα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 从而可取11α=，则2i α= 于是由132()1e (cos5isin 5)()i t x t t t x t ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到齐次方程的通解为：11322()cos5sin 5e ()sin 5cos5t xt C t t x t C t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下求非齐次方程的特解利用待定系数法，可设特解为12()e ()e t t x t A x t B --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其代入原方程组，可得e 3e 5e ee 5e 3et t t tt t tA AB B A B -------⎧-=++⎪⎨-=-+⎪⎩ 即451540A B A B +=-⎧⎨-=⎩,从而求得441541A B ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因此原方程的通解为113224()cos5sin 541e e ()sin 5cos5541t t x t C t t x t C t t -⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为：13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：常数变易法利用常数变易法，可设特解为11322()()cos5sin 5e ()()sin 5cos5t x t C t t t x t C t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 带回到原方程，可得到132()cos5sin 5e e ()sin 5cos50t tC t t t C t t t -'⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而1132()cos5sin 5e e cos5e ()sin 5cos50e sin 5t t t t C t t t t C t t t t ----'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭进而4142()e cos5()e sin 5t tC t t C t t --'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭两边积分可得414254()e (sin 5cos5)414145()e (sin 5cos5)4141t t C t t t C t t t --⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩因此原方程组的通解为111222()()()()()()x t xt x t x t x t x t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13254sin 5cos5cos5sin 5cos5sin 54141e e sin 5cos5sin 5cos545sin 5cos54141t t t t C t t t t C t t t t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-- ⎪⎝⎭344cos5sin 54141e e sin 5cos54654141t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步
两端分别积分：
2 y 2x +ln2 C1 ,即 2x +2 y C 0( C ln 2 C1 )
这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得
cos y dy cos x dx sin y sin x
两端分别积分：
ln sin y ln sin x ln C , 即 sin y Cesinx
是解，又因为含有两个任意常数 C1,C2 ，且方程是二阶的，故是通解.
4.
已知函数
x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x dt 2
k2x
0 的通解,求满足初始条件
x| t0 2 x| t0 0
的特解. 解 ： 上 题 可 知 是 微 分 方 程 通 解 ， 且 x(t) C1k sin kt C2k cos kt, 代 入 初 值 条 件 x |t 0 2, x |t0 0 ，得 C1 2,C2 0 ，所以特解为 x 2coskt(k 0).
x dx
dx
u 1 du dx u
两端分别积分：
u ln u x C 即 y ln y x C xx
这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
dy
1
y x
dx 1 y
x
令 u y , 则 dy u du , 代入原方程并整理
x dx
dx
u 1 du dx ，两端分别积分： 1 ln 1 2u u2 x 1 C
(3)
y
x
y y2
，
y(2)
1；
(4) y y x y5 ， y(0) 1 .
解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得
dy dx
微分方程差分方程
微分方程差分方程
（原创版）
目录
1.微分方程和差分方程的定义与特点
2.微分方程和差分方程的解法及其应用
3.微分方程和差分方程的关系与区别
正文
微分方程和差分方程是数学领域中两种重要的方程式，它们各自具有独特的定义和特点，并在实际应用中发挥着重要的作用。
首先，我们来了解微分方程。
微分方程是一种涉及函数及其导数的方程，它描述了函数在某一点的变化率与该函数在某一点的取值之间的关系。
微分方程广泛应用于物理、工程、生物和经济等多个领域，其解法主要包括分离变量法、常数变易法、参数方程法等。
通过求解微分方程，我们可以了解许多自然现象和社会现象的变化规律。
接下来，我们来了解差分方程。
差分方程是一种涉及离散函数及其差分（即函数值之差）的方程，它描述了离散函数在某一点的变化与该函数在其他点的取值之间的关系。
差分方程主要应用于计算机科学、信息处理、自动控制等领域，其解法主要包括常数差分法、线性差分法等。
通过求解差分方程，我们可以设计和实现许多高效的算法和控制系统。
微分方程和差分方程虽然各自有独特的定义和特点，但它们之间也存在一定的关系和联系。
差分方程实际上是微分方程在离散情况下的一种特殊形式。
在解决实际问题时，我们可以根据问题的具体性质，选择合适的方程类型进行求解。
总之，微分方程和差分方程在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
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数学建模中的微分方程与差分方程
微分方程和差分方程是数学建模中两个重要的工具，它们在描述和解决现实问题中起到了关键作用。
微分方程描述了变量之间的变化率关系，而差分方程描述了变量在不同时间点之间的差异。
本文将讨论微分方程和差分方程在数学建模中的应用以及它们之间的联系。
首先，微分方程在数学建模中的应用非常广泛。
以生态系统建模为例，人们关心物种之间的相互作用，而微分方程提供了描述这些相互作用的数学工具。
例如，Lotka-Volterra模型是描述捕食者与被捕食者之间的关系，其中包含一组微分方程，描述了捕食者和被捕食者的数量随时间的变化。
另外，微分方程还可以用于描述传染病模型、金融模型等各种实际问题。
其次，差分方程也在数学建模中发挥着重要的作用。
差分方程适用于离散时间点的模型建立。
这种模型可以用于描述各类实际问题，比如金融市场波动、天气预测等。
例如，差分方程可以用来模拟股票价格的变化。
我们可以将股价视作一个时间序列，每个时间点的股价与前一时间点的股价之间存在差异。
通过建立差分方程模型，我们可以预测未来股价的变化趋势。
微分方程和差分方程之间存在紧密的联系。
在某些情况下，当离散时间趋于无穷小时，差分方程可以无限地逼近相应的微分方程。
这个过程被称为“微分方程与差分方程的近似”。
通过这个近似，我们可以将微分方程转化为差分方程进行数值计算，从而得到问题的解决办法。
另外，差分方程也可以通过细化时间步长，将离散的解逼近到连续解，并逼近相应的微分方程解。
在数学建模中，我们需要考虑实际问题的特点，来决定使用微分方程还是差分方程。
一般来说，微分方程适用于描述连续变量之间的关系，而差分方程适用于描述离散变量之间的关系。
根据问题的特点，我们可以选择合适的数学工具，并进行模型建立和求解。
综上所述，微分方程和差分方程在数学建模中是不可分割的。
微分方程用于描述连续变量之间的关系，差分方程用于描述离散变量之间的关系。
虽然它们有着不同的应用场景和数学表达方式，但通过近似和转化，它们可以相互联系，并共同为解决实际问题提供了强有力的工具。
微分方程差分方程
微分方程与差分方程1. 引言微分方程和差分方程是数学中两个重要的概念，它们在许多领域有着广泛的应用。
微分方程主要研究连续变量的变化规律，而差分方程则研究离散变量的变化规律。
本文将对微分方程和差分方程进行详细介绍，并比较它们之间的异同。
2. 微分方程2.1 定义微分方程是描述函数导数与自变量之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0其中y是未知函数，y′表示y的一阶导数，y″表示y的二阶导数，以此类推，y(n)表示y的 n 阶导数。
2.2 分类微分方程可以根据未知函数、自变量、导数之间的关系进行分类。
常见的分类包括：•常微分方程：只涉及一元函数及其有限个阶导数。
•偏微分方程：涉及多元函数及其偏导数。
•线性微分方程：未知函数及其导数之间的关系是线性的。
•非线性微分方程：未知函数及其导数之间的关系是非线性的。
2.3 解法求解微分方程是找到满足方程的函数y的过程。
常见的解法包括：•分离变量法：将微分方程转化为两个变量的乘积形式，然后进行积分得到解。
•齐次方程法：通过变量代换将非齐次方程转化为齐次方程，再通过求解齐次方程得到解。
•常数变易法：对于一阶线性非齐次微分方程，可以通过假设待定系数为常数来求解。
•变量替换法：通过适当的变量替换将微分方程转化为更简单的形式，然后进行求解。
3. 差分方程3.1 定义差分方程是描述离散变量之间关系的方程。
一般形式为：F(n,y(n),y(n+1),…,y(n+k))=0其中n表示自变量取值的序列，y(n)表示对应自变量取值时的函数值。
3.2 分类差分方程可以根据自变量、因变量之间的关系进行分类。
常见的分类包括：•一阶差分方程：差分方程中只包含一阶差分项。
•二阶差分方程：差分方程中包含二阶差分项。
•线性差分方程：未知函数及其差分项之间的关系是线性的。
•非线性差分方程：未知函数及其差分项之间的关系是非线性的。
3.3 解法求解差分方程是找到满足方程的函数y(n)的过程。
微积分第2版-朱文莉第10章 微分方程与差分方程习题详解(1-3节)
微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。
2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。
解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。
3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。
解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。
将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。
将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。
4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。
解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。
微积分 第十章 第一节 差分方程的基本概念
一般地，k 阶差分定义为
k yt (k1 yt ) k1 yt 1 k1 yt
k
(
1)i
C
i k
yt k i
,
k 1, 2,
i0
例1 设 yt t 2 , 求 yt , 2 yt , 3 yt .
yt yt1 yt (t 1)2 t 2 2t 1,
2 yt (yt ) (2t 1) [2(t 1) 1] (2t 1) 2,
5
三、差分方程的解
定义 若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则 称此函数为该差分方程的解.
若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个 数恰好等于差分方程的阶数, 则称该解为差分方程的 通解.
差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解.
6
第一节
1
微分方程刻划了自变量 x 是连续变化的过程中 变量 y 的变化率,在现代科学技术和经济领域中,有 些自变量往往不是连续变化的, 而是取一系列离散 的值,例如按年、月、日等,此时要描述这种自变量 是离散的变化关系就是本章要介绍的差分方程.
显然微分方程和差分方程是两类不同的方程, 但它们有许多共同点,因此与微分方程对照,采用类 比的方法是学习差分方程有效的方法.
3 yt (2 yt ) (2) 0 .
4
二、差分方程
定义 含有未知函数 yt 在 t 的两个或两个以上的函数值 yt , yt1 , 的函数方程称为差分方程；差分方程中所出现的
未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.
G(t, yt , yt1 ,, ytn ) 0, F (t, yt , yt , 2 yt ,, n y为定义在整数集上的函数,简记yt , 一阶差分：yt yt1 yt 一阶差分的差分称为 yt 的二阶差分,
《高等数学B》第十章 微分方程与差分方程 第2节 一阶微分方程
y 微分方程的解为 sin ln x C . x
dx dy . 例 6 求解微分方程 2 2 2 x xy y 2 y xy
y y 2 2 dy 2 y xy x x 2 2 , 2 dx x xy y y y 1 x x
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x )dxdx . Q( x ) e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例7 求方程 y 解
1 P( x) , x
1 sin x y 的通解 . x x
sin x Q( x ) , x
sin x 1 dx x e dx C x
u1 u ( u 2)
3 2
Cx .
微分方程的解为 ( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式 :
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当 Q( x ) 0 , 上方程称为齐次的 .
当 Q( x ) 0 , 上方程称为非齐次的 .
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
dy 2 . 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ) . dx
dy Q( x ) P ( x ) dx , 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx 为 v ( x ) , ln y v ( x ) P ( x )dx , y
微分方程和差分方程简介
常用的解法：分离变量法
形如
dy f (x)g( y) dx
P (x)P ( y)dx Q (x)Q (x) 0
1
2
1
2
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
特征方程 r2 pr q 0的根 两个相异实根 r1 r2 两个相等实根 r r1 r2 一对共扼复根 r1,2 i
齐次方程y py qy 0的通解
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x )erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
二阶非齐次常系数微分方程
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等
表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指
定或由系统规则选定为确省.
例如，微分方程
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
y'(x) y(x h) y(x) h
第10章 微分方程与差分方程习题详解(4-7节)
习题* 10.4(A)1. 计算下列函数的二阶差分.(1) 232x x y -=； (2) x e y 3=； (3) xx y 2)1(2++=.解 (1)32322[2(1)(1)](2)641x y x x x x x x ∆=+-+--=++， 22()(641)1210x x y y x x x ∆=∆∆=∆++=+.(2) 3(1)3x x x y ee +∆=-， 23(1)33(11)3(1)3(1)3332()()[]()(1)x x x x x x x x x y y e e e e e e e e +++++∆=∆∆=∆-=---=-.(3) x x x x x x x x y 2232]2)1[[(]2)11[(12)1(2+++=++-+++=∆++， 21()(2322)22x x x x x y y x +∆=∆∆=∆+++=+.2. 证明：xx x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++11)(1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y证明略. 3. 指出下列差分方程的阶数.(1) x y y x x sin 51=-+； (2) x y y x x =+++122；(3) 013=++++x x x y y y ； (4) x x x y y y =-++12.解 (1) 1阶；(2) 1阶； (3) 3阶； (4) 2阶. 4. 设)1(x y ，)2(x y 分别是差分方程)(11x f ay y x x =++，)(21x f ay y x x =++的解. 试验证：)2()1(x x y y +是差分方程)()(211x f x f ay y x x +=++的解.证明略.习题*10.4(B)1.试验证：x x x C C y )2(321-+=（1C ，2C 为任意常数）是差分方0612=--++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，11=y 的特解.解 222123(2)x x x y C C +++=+-，111123(2)x x x y C C +++=+-，代入差分方程得22112112121211122263(2)[3(2)]6[3(2)]=3[936](2)[642]x x x x x x x x x x x y y y C C C C C C C C C C C C ++++++--=+--+--+---+--++=由00=y ，31=y 得 ⎩⎨⎧=-=+12302121C C C C ， 解之得 1211,55C C ==-.故所求特解为 3(2)55x xx y -=-. 2. 试验证：x C C y x x -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方12312=+-++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，31=y 的特解.解 22122(2)x x y C C x ++=+-+，11122(1)x x y C C x ++=+-+代入差分方程得212322(462)(2332)1x x x x y y y C x x x ++-+=-++--++-=由00=y ，31=y ，有⎩⎨⎧=+=+4202121C C C C ， 解之得 124,4C C =-=.所以特解为442x x y x =-+⨯-.3. 已知x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，求a .解 因为x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，所以x x x e ae e 211=+-+，即e a e 22=+，故)1(2e e a -=.4. 已知差分方程12312=+-++t t t y y y ，(1) 证明函数t C C y t t -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方程的通解；(2) 当00=y ，31=y 时，求差分方程的特解.解 (1)因为)]1(2[3)2(22312122112+-+-+-+=+-++++t C C t C C y y y t t t t t 1)2(221=-++t C C t所以，函数t C C y t t -+=221是差分方程的通解.(2) 由初始条件00=y ，31=y ，得⎩⎨⎧=-+=+312 02121C C C C ， 解之得，41-=C ，42=C . 故所求特解为 t y t t -+-=+224.习题*10.5(A)1. 求下列差分方程的通解.(1) 031=-+x x y y ； (2) 125-=x x y y ；(3) 51=-+x x y y ； (4) 2231=++x x y y .解 （1）原方程的特征方程为30λ-=，特征根为3λ=.故所求通解为3x x y C =（C 为任意常数）.(2) 原方程的特征方程为520λ-=， 特征根为25λ=.故所求通解为 25xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y bx =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 5b =.所以原方程的一个特解为*5x y x =，故原方程的通解为5x y C x =+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为23xx Y C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 25A =. 所以原方程的一个特解为 *25x y =. 故原方程的通解为 *2235x x x x y Y y C ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭. 2．求下列差分方程满足给定初始条件的特解.(1) 0321=-+x x y y ，10=y ； (2) 101=-+x x y y ，20=y ；(3) x y y x x =++51，30=y ； (4) x y y x x +=-+221，40=y .解 （1）原方程的特征方程为230λ-=， 特征根为32λ=.故所求通解为 32xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由10=y ，得1=C ，故原方程满足初始条件的特解为 32xx y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 10A =.所以原方程的一个特解为*10x y x =.故原方程的通解为*10x x x y Y y C x =+=+.由02y =，得2C =，故原方程满足初始条件的特解为102x y x =+.(3) 原方程对应的齐次方程的通解为(5)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得11,636A B ==- 所以原方程的一个特解为*11636x y x =-. 故原方程的通解为 *11636(5)x x x x y Y y C x =+=--+. 由03y =，得10936C =，故原方程满足初始条件的特解为 *10911(5)36636x x x x y Y y x =+=-+-. (4) 原方程对应的齐次方程的通解为12xx Y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得1,0A B ==.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为*12xx x x Y y x y C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由04y =，得4C =.故原方程满足初始条件的特解为*142x x x x x y Y y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.3．设a ，b 为非零常数且01≠+a ，验证：通过变换ab y z x x +-=1可将非齐次方程 b ay y x x =++1化为齐次方程，并求解x y .解 由a by z x x +-=1得1x x by z a =++，所以原式化为b a ba az ab z x x =++++++111，即10x x z az ++=.所以()xx z C a =-.故解为a ba C y x x ++-=1)(.习题*10.5(B)1. 求下列差分方程的解.(1) 0631=-++x y y x x ； (2) xx x y y 3421=++；(3) xx x y y 21=++，20=y ； (4) x y y x x πsin 341=++，10=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为(3)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得46040A AB -=⎧⎨+=⎩，解之得32A =，38B =-.所以原方程的一个特解为*3328x y x =-.故原方程的通解为*33(3)28x x x x y Y y C x =+=-+-. (2) 原方程对应齐次方程的特征方程为240λ+=特征根为2λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(2)x x Y C =-令 3x x x y z =，则有1641x x z z ++=该方程的一个特解为 *110x z =.故原方程的一个特解为 **13310x x x x y z ==⨯ 所以原方程的通解为 *1(2)310x x x x x y Y y C =+=-+. (3) 原方程对应齐次方程的特征方程为10λ+=.特征根为1λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(1)x x Y C =-.令2x x x y z =，则有121x x z z ++=.该方程的一个特解为 *13x z =.故原方程的一个特解为 **1223x x x x y z ==⨯. 所以原方程的通解为*1(1)23x x x x x y Y y C =+=-+⨯. 由02y =，得53C =，故原方程满足初始条件的特解为 *51(1)233x x x x x y Y y =+=-+⨯. (4) 原方程对应齐次方程的特征方程为40λ+=.特征根为4λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(4)x x Y C =-.令cos sin x y A x B x ππ=+，则有0A =，1B =.故原方程的一个特解为*sin x y x π=.所以原方程的通解为*(4)sin x x x x y Y y C x π=+=-+.由01y =，得1C =，故原方程满足初始条件的特解为(4)sin x x y x π=-+.2．设某产品在时期t 的价格为t P ，总供给量为t S ，总需求量为t D .并且有t t P S 21+=，145--=t t P D ，t t D S =（1,2,t =）.(1) 求证：由上述关系可得到差分方程 221=++t t P P ，(2) 已知0P 时，求出t P .证明 （1）由t t D S =，可知11t t S D ++=，即 11254t t P P ++=-，故 221=++t t P P .解（2） 原方程对应的齐次方程的通解为(2)t t Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *t y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数，可得：23A =. 所以原方程的一个特解为 *23t y =. 故原方程的通解为*2(2)3t t t t y Y y C =+=-+. 由0P ，得023C P =-.故原方程满足初始条件的特解为 *022()(2)33t t t t y Y y P =+=--+. 习题*10.6(A)1.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1) 06512=+-++x x x y y y ； (2) 0251012=++++x x x y y y ； (3) 0912=++x x y y ； (4) 12340x x x y y y ----=. 解 （1）原方程的特征方程为2560λλ-+=.特征根为122,3λλ==.故所求通解为1223x x x y C C =+.(2) 原方程的特征方程为210250λλ++=.特征根为125λλ==-.故所求通解为12()(5)x x y C C x =+-.(3) 原方程的特征方程为2109λ+=. 特征根为1,213i λ=±.故所求通解为 121cos sin 322x x y C x C x ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) 原方程的特征方程为 2340λλ--=.特征根为14λ=, 21λ=-.故所求通解为()1241xx x y C C =+-.2.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1)54312=-+++x x x y y y ； (2)84412=+-++x x x y y y ；(3)204623212++=++++x x y y y x x x ；(4)x x x x y y y 532312⨯=+-++；(5)x y y y x x x =-+++4312； (6)42=∆x y ，30=y ，81=y ； (7)12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y Ax =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为()124x x y C C x =+-+.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为121122x x x y C C x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：8A =.所以原方程的一个特解为：*8x y =.故原方程的通解为1211822x xx y C C x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 ()()1212x xx y C C =-+-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx C =++. 代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =，1B =-，3C =.所以原方程的一个特解为*23x y x x =-+.故原方程的通解为()()212123x xx y C C x x =-+-+-+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为 122x x y C C =+（C 为任意常数）.令 5x x x y z =，则有21251523x x z z z ++-+=.该方程的一个特解为 *14x z =.故原方程的一个特解为 **1554x x x xy z ==⨯. 所以原方程的通解为121254x x x y C C =++⨯.习题* 10.6(B)1.求下列差分方程的解.(1) 01212=-+++x x x y y y ，10=y ，101=y . (2) x y y y x x x =-+++4312；(3) 42=∆x y ，30=y ，81=y ；(4) 12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程的特征方程为2120λλ+-=.特征根为13λ=, 24λ=-.故所求通解为()1234xx x y C C =+-.由10=y ，101=y 得122,1C C ==-.故原方程满足初始条件的特解为()234xx x y =⨯--.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx =+.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得110A =，750B =-. 所以原方程的一个特解为*2171050x y x x =-.故原方程的通解为()2121741050xx y C C x x =+-+-. (3) 由 42=∆x y ，即2124x x x y y y ++-+=.对应的齐次方程的通解为12x y C C x =+.由于1是特征方程的重根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：2A =.所以原方程的一个特解为*22x y x =.故原方程的通解为2122x y C C x x =++.由30=y ，81=y ，得123C C ==， 原方程初值问题的解为：2332x y x x =++.(4) 对应的齐次方程的通解为12(2)x x y C C =+-.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：4A =.所以原方程的一个特解为*4x y x =.故原方程的通解为12(2)4x x y C C x =+-+.由00=y ，01=y ，得1244,33C C =-=. 原方程初值问题的解为44(2)433x x y x =-+-+2. 已知a x =1，b x =2，212nn n x x x +=++ )3, 2, ,1(⋅⋅⋅=n ，求通项n x 以及n n x ∞→lim .解 将212nn n x x x +=++改写成 0212112=--++n n n x x x .该方程为二阶常系数齐次线性差分方程. 它的特征方程为021212=--λλ.特征根为：11=λ，212-=λ. 故齐次线性差分方程的通解为 nn C C x ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2121(1C ，2C 为待定常数).由初始条件a x =1，b x =2，代入上述通解，得到⎪⎩⎪⎨⎧=+=-bC C aC C 21214121， 解之得 321b a C +=，)(342a b C -=. 故所给数列的通项 221332-⎪⎭⎫⎝⎛--++=n n a b b a x ，且32lim ba x n n +=∞→. 习题*10.7(A)1. 已知某商品的需求价格弹性为(ln 1)p dQP P dP=-+，且当1=P 时，需求量1=Q . (1) 求商品对价格的需求函数；(2) 当+∞→P 时，需求是否趋于稳定？ 解 (1) (ln 1)pdQ P P dP =-+，ln (ln 1)P P dQ e P dP =-+， ln (ln )P P dQ e d P P =-.所以 ln P PP Q eC C P =-+=-.由于当1=P 时，需求量1=Q .故2C =，即2P Q P =-.(2) 当+∞→P ，0lim =+∞→Q P ，故没有需求.2. 假设某产品的销售量为)(t x 是时间t 的函数.如果该商品销售量对时间t 增长速度dtdx 与销售量)(t x 及销售量接近预饱和水平的程度()(t x N -)之积成正比（N 为饱和水平，0>k 为比例常数），且当0=t 时，N x 41=. (1) 求销售量)(t x ； (2) 求)(t x 增长最快的时刻T . 解 (1)据题意得初值问题)(x N kx dt dx -=，1(0)4x N =. 分离变量得kdt x N x dx=-)(，两边积分得Nkt xCe N x=-.解之得： 1NktNktCNe x Ce =+.由1(0)4x N =，得13C =. 所以销售量为331Nkt Nkt NktNe Nx e e -==++. (2) ()22331NktNkt dx N ke dt e ---=+， ()()3223231331Nkt NktNkt N k e e d x dt e -----=+. 令220d x dt =，得ln 3T Nk=.所以这个时候)(t x 增长最快. 3. 已知某商品的需求量Q 与供给量S 都是价格P 的函数：2)(P aP Q Q ==，bP P S S ==)(.其中0>a ，0>b 为常数，价格P 是时间t 的函数，且满足)]()([P S P Q k dtdP-= （k 为正常数）. 假定当0=t 时，价格1=P .试求： (1) 需求量等与供给量的均衡价格e P ；(2) 价格函数)(t P ；(3) )(lim t P t +∞→.解 （1）需求与供给量相等时有)()(2P S bP P aP D ===故均衡价格为 13e a p b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由条件有)]()([P S P Q k dtdP-=32()kb a p p b =-.分离变量得233e p dp kbdt p p =--，积分得 333kbt e p p Ce -=+.由 p (0)=1，得31e p C -=.故价格函数为13333()(1)kbte e p t p p e-⎡⎤=+-⎣⎦.（3）对函数p(t)求极限得13333lim ()lim (1)kbte e e t t p t p p ep -→+∞→+∞⎡⎤=+-=⎣⎦.其经济意义为：在所给方程约束下，价格函数最终趋于均衡价格.4. 某林区实行封山育林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t 木材的变化率与当时的木材数成正比.假设10年时这个林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多年后才能砍伐？解 所求函数为 ()p p t =.所满足的微分方程为()dpkp t dt=. 该方程的通解为：()kt p t Ce =由(0)10p =，得C ＝10.由，(10)20p =得1ln 210k =. 故 ln 21010t p e=.当40p =的时候，可解得20p =.也就是说20年后才能砍伐.5. 在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入Y ，国民储蓄S 和投资I 均为时间t 的函数，且在任一时刻t ，储蓄额)(t S 为国民收入)(t Y 的101倍， 投资额)(t I 是国民收入增长率dt dY 的31.0=t 时，国民收入为5（亿元）.设在任一时刻t 的储蓄额全部用于投资，试求国民收入)(t Y .解 由题意知1()()101()3()()S t Y t dY I t dt S t I t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩. 所以310dY Y dt =，解之得310t Y Ce =.再由0=t 时，国民收入为5（亿元），可得5C =，所以国民收入310()5t Y t e=.6. 设总人数N 是不变的，t 时刻得某种传染病的人数为)(t x ，设t 时刻)(t x 对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，0)0(x x =（比例常数0>r ，表示传染给正常人的传染率）且00)(x t x =.求)(lim t x t +∞→，并对所求结果予以解释.解 由题意可得下面的微分方程()dxr N x dt=-，0)0(x x =. 用分离变量法，可得()rt x t N Ce -=-.再由0)0(x x =，得0C N x =-.故方程的解为0()()rt x t N N x e -=--.当t →+∞的时候，()x t N =.这就意味着当不采取预防措施的话，所有人都会得病. 7.（存款模型）设t S 为t 年末存款总额，r 为年利率，t t t rS S S +=+1，且初始存款为0S ，求t 年末的本利和.解 由t t t rS S S +=+1，得1(1)0t t S r S +-+=.对应的特征方程是(1)0r λ-+=，特征根1r λ=+.于是原来方程的解为(1)t t S C r =+.将初始条件代入，得0S C =，所以方程的特解为0(1)tt S S r =+.t 年末的本利和就是0(1)t t S S r =+.习题*10.7(B)1. 假设某渔场鱼量的自然增长服从Logistic 规律：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d ， 其中，r 为固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量. 已知渔场的初始鱼量为0)0(x x =. 试求)(t x 及)(lim t x t +∞→.解 微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d 它是一个可分离变量的一阶微分方程. 分离变量，得t r x N x xN d )(d =-，上式两端积分，得C rt x N x ln )ln(ln +-=-+-，即rt Ce x xN -=-. 由初始条件0)0(x x =，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10x NC .代入上式，得rt e x N N t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0.N t x t =+∞→)(lim .2. 设)(t S 为t 时刻的储蓄，)(t I 为t 时刻的投资，)(t Y 为t 时刻的国民收入. 收入的一部分作为储蓄，收入的增长率与投资成正比，且储蓄全部用于投资. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====)0( )()(d d )()()(0Y Y t I t S t Y t I t Y t S βα，其中α，β为正常数，0Y 为初期国民收入，00>Y . 该模型称为多马(E.D.Domer)经济增长模型.试求)(t Y 、)(t S 和)(t I 的函数关系式.解 由前三个方程消去)(t S 和)(t I ，可得关于)(t Y 的微分方程Y tYλ=d d ，0>=βαλ，其通解为t Ce t Y λ=)(.由初始条件0)0(Y Y =，得0Y C =. 于是有 te Y t Y λ0)(=，从而有t e Y t Y t I t S λαα0)()()(===.3.（消费模型） 设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，t I 为t 期的投资，它们之间有如下关系⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=+=----)(1111t t t t tt t t t I C Y Y Y bY I a Y C θβα，其中α，β，a ，b 和θ均为常数，且10<<α，10<<β，10<<θ，10<+<βα，0≥a ，0≥b .若已知初期的国民收入0Y 为已知，试求t Y 与t 的函数关系.解 将11t t C Y a α--=+和11t t I Y b β--=+代入1111()t t t t t Y Y Y C I θ-----=--并整理得1[1(1)]()t t Y Y a b θαβθ--+--=-+.其对应的特征方程是[1(1)]0λθαβ-+--=，特征根为[1(1)]λθαβ=+--.所以对应的齐次方程的通解为[1(1)]t y C θαβ=+--.假设原来方程的特解为y A *=，代入原方程得1a bA αβ+=--.所以原来方程的通解为[1(1)]1t t a bY C θαβαβ+=+--+--.由0Y 为已知，得01a bC Y αβ+=---.所以原来方程的特解为0[1(1)]11tt a b a b Y Y θαβαβαβ⎛⎫++=-+--+ ⎪----⎝⎭. 4. 设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，I 为投资（各期相同），它们之间有如下关系：I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，且已知0=t 时，0Y Y t =，其中10<<α，0>β，试求t Y 和t C .解 由I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，得差分方程1t t Y Y I αβ--=+.特征方程为0λα-=，得λα=.该方程所对应的齐次差分方程的通解为t t Y C α=.由于1不是特征方程的根，可设t Y A *=为非齐次方程的一个特解，代入原来的方程得1IA βα+=-，从而通解为 1t t I Y C βαα+=+-，故011t t I I Y y ββααα++⎛⎫=-+⎪--⎝⎭， 而011t t t I IC Y I y ββαααα++⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭. 5. 设某商品的供需方程分别为⎪⎭⎫⎝⎛∆-+=--1131312t t t P P S ， t t P D 440-=，且以箱为计量单位.设1-t P 和2-t P 分别表示第1-t 期和第2-t 期的价格（单位：百元/箱），供方在t 期的售价为1131--∆-t t P P ，需方以价格t P 就可以使该商品在第t 期售完.已知40=P ，1P =413，试求t P 的表达式. 解 因为111121*********()12233t t t t t t t t S P P P P P P P -------⎛⎫⎛⎫=+-∆=+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，t t P D 440-=.依题意，t t S D =，即 124228t t t P P P --++=.特征方程为 24210λλ++=，得1,214λ=-±，1,4αβ=-=12v ==，tan βθα==23πθ=. 故方程对应的齐次方程的通解为12122(cos sin )233tt t t P C C ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1不是特征方程的根，故可设特解为t P a *=，代入得4a =.故原来方程的通解为121224cos sin 233tt t t P C C ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由已知40=P ，1P =413，得120,C C ==所以 124sin 23tt t P π⎫=⎪⎭.总习题 10(A)1. 填空题.(1)(考研题)设)sin cos (21x C x C e y x+=(1C ，2C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该微分方程为022=+'-''y y y .解 由通解可知，特征方程的特征根为i ±=12,1λ，故特征方程为0222=+-λλ.故二阶常系数线性齐次微分方程为022=+'-''y y y .(2) (考研题)二阶常系数非齐次线性微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为x x x e e C e C y 23212-+=.解 齐次线性微分方程034=+'-''y y y 的特征方程为0342=+-λλ的特征根为11=λ，31=λ，故微分方程034=+'-''y y y 的通解为x x e C e C y 321+=.设微分方程xey y y 2234=+'-''的特解形式为xAe y 2*=，代入方程x e y y y 2234=+'-''，得2-=A ,故特解为x e y 2*2-=.所以，微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为xx x e e C e C y 23212-+=.(3) 已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解是1)1()1(221+-+-=x C x C y .解 因为 11-=x y ，122-=x y 是对应齐次方程的两个线性无关的解.(4) 已知()xe x x C C y -++=221是某个二阶非齐次线性微分方程的通解，则该方程是x e x y y --=-''2.(5) 03='+''y y x 的通解为231C xC y +=. 解 原方程变形为xxy y d 3d -=''，积分得1ln ln 3ln C x y +-=' 即 31x C y ='，再积分，得23123112C xC C x C y +=+-=. (6) 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有的形式为b axe y x+=*.解 因为0=-''y y 的特征方程012=-λ的特征根 为12,1±=λ，而1)(+=x e x f ，1=λ为单根，所以设特解b axe y x +=*形式.(7) 微分方程0d 2d )(3=-+y x x x y 满足561==x y的特解x x y +=3*51. 解 将方程改写成2212x y x y =-'，解得 x C x C x e x e y x x x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-3d 212d 2151d 2.由初始条件561==x y ，得1=C .故特解x x y +=3*51. (8) 过点⎪⎭⎫⎝⎛0,21且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为)(arcsin 1C x xy +=.解 所给方程改写成xx x y y arcsin 11arcsin 2=-+'，)(arcsin 1d arcsin 1d 1arcsin 1d 1arcsin 122C x x C x e x e y x x x xx x+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰---.(9) (考研题)微分方程02='+''y y y 满足10==x y ，210='=x y 的解1+=x y .解 令p y ='，则y p py d d =''，则原方程变为0d d 2=+p ypyp， 即0=p 或0d d =+p ypy由于0=p 不满足210='=x y ，故0d d =+p y py . 方程分离变量，得到解 yC p y 1=='. 代入初始条件10==x y，210='=x y ，得到211=C ，即 yy 21='，即22C x y +=. 由10==x y ，12=C .故所求特解为1+=x y .(10) 设线性无关的函数1y ，2y ，3y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，则该非齐次方程的通解是3212211)1(y C C y C y C y --++=.解 因31y y -与32y y -是对应齐次方程的解，且由1y ，2y ，3y 线性无关，得到31y y -与32y y -也是线性无关的，故非齐次方程的通解是32122113322311)1()((y C C y C y C y y y C y y C y --++=+-++-=.2. 选择题.(1) 下列函数（ A ）中是方程xyy 2='的解. (A) 24x y =； (B) xy 2= ； (C) x y 1=； (D) xy 52=.(2) 方程x e y -=''的通解为=y （ C ）.(A) x e -； (B)x e - ； (C)21C x C e x ++-； (D) 21C x C e x ++--. (3) 下列方程中为线性方程的是（ C ）.(A) 02)(2=+'-'x y y y x ； (B)0)(5)(7542=+-'+''x y y y ； (C)0)()(2222=++-dy y x dx y x ； (D) 0=+'+''y y y x . (4) 下列方程中，属可分离变量的方程是（ C ）.(A) 0)sin(=+ydy dx xy x ； (B))ln(y x y +=' ；(C) y x dx dy sin =； (D) 221y e y x y x =+'. (5) 微分方程0=+xdyy dx 满足43==x y 的特解是（ A ）.(A) 2522=+y x ； (B)043=+y x ； (C) C y x =+22； (D) 222=-x y .(6) 微分方程xe y dxdy dx y d =++222是（ (B)、(C)、(D) ）. (A) 齐次； (B) 线性的 ； (C) 常系数的； (D) 二阶的.(7) 微分方程022=+y dx yd 的通解为（ D ）.(A) x A y sin =； (B) x y cos =； (C) x B x y cos sin +=； (D) x x A y cos sin +=.3. 求下列微分方程的通解.(1) 023=+'+ye y xy ； (2) n x x e x ny dx dy =-；(3) x y y y -='； (4) x yx y dx dy 22+-=； (5) 2x y y ='+''； (6) 22093++=+'-''x ey y y x.解 (1) 方程可化为3313x ydy e e -=dx ， 上式两端积分得C e ex y +=-33（C 为任意常数）.(2) 对应的齐次方程0dy ny dx x-=，可以得到一个特解 n y x *=.此时利用系数变异法可设原方程的解为()n y A x x =.将上式代入原来的方程可解得11()()()n n n x n A x x nA x x nA x x e x --'+-=.即()xA x e '=，即()xA x e C =+.从而原方程的通解为()x n y e C x =+（C 为任意常数）.(3) 原方程可化为1dx x dy y=-， 利用一阶线性方程的通解公式得11()dydyy y x eC edy -⎰⎰=+⎰（C 为任意常数）⎪⎭⎫⎝⎛+=2211y C y . 即 C y xy =-22. (4) 令y ux =，则dy duu x dx dx=+，从而可化为分离变量方程du x dx=，得到 ln(ln ||u x C =-+.将y ux =代入上式化简得y C =.(5) 对应的齐次方程的特征方程20λλ+=的根为120,1λλ==-，所以对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.假设原来方程的特解是 2()y x Ax Bx C *=++，代入原来的方程，解得1,1,23A B C ==-=. 故原来方程的通解为3212123x Y C C e x x x -=++-+.(6) 对应的齐次方程的特征方程 29200λλ-+=的根为124,5λλ==，所以对应的齐次方程的通解为4512x x Y C e C e =+.假设原方程的特解设为 3xy Ae Bx C *=++，代入原方程，解得1149,,220400A B C ===. 故原方程的通解为453121149220400x x x Y C e C e e x =++++. 4. 求下列微分方程满足初始条件的特解. (1) 2211xy y x y +--='，11==x y；(2) x x y y xx y sin )1(133232+=++'，10==x y ；(3) dx y x xydy )(22+=，e y ex 2==；(4) 022=-'-''x ey y ，10==x y，10='=x y ；(5) x y y y cos 2=+'+''，00==x y ，230='=x y . 解（1）分离变量得=，两边积分得=-，即C =.将初始条件11x y ==代入上式，得C =故所求特解为（2）方程两端除以2y 得211333()(1)sin 1x y y x x x--'-+=++. 令1z y -=，可得到关于变量z 的一阶线性方程2333(1)sin 1dz x z x x dx x-=-++. 利用常数变易法求出通解，再代回变量和初始条件，得特解为3sec 1xy x =+. （3）22dy x y dx xy +=， 即 21()y dy x y dxx+=， 令y u x =，则dy du u x dx dx=+，代入上式得21du u u x dx u++=.分离变量得 1udu dx x =， 两边积分得 1udu dx x=⎰⎰.即 211ln 2u x C =+.将 yu x=，e y e x 2==代入，解得11C =.故所求特解为222(ln 1)y x x =+.（4）特征方程为220r r -=，特征根为120,2r r ==. 设特解为 *20xy b xe =，代入题设方程解得 012b =. 故所求通解为221212x x y C C e xe =++.将01,1x x yy =='==代入上式，解得 1231,44C C ==.则所求特解为231(12)44x y x e =++.(5) 特征方程为2210r r ++=，特征根为121r r ==-. 对应的齐次方程的通解为 12()xY C C x e -=+.设方程的特解为 *cos sin y A x B x =+， 代入得 10,2A B ==.则方程的一个特解为 *1sin 2y x =.原方程的通解为121()sin 2x y C C x e x -=++.将00==x y，230='=x y 代入上式，得120,1C C ==. 则所求特解为1sin 2x y xe x -=+.5. 求下列差分方程的通解.(1) tt t y y 3231+=++；(2)t y y t t 3sin 21π=-+；(3) tt t t y y y 3426512⋅+=+-++.解 (1) 对应的特征方程为30λ+=，特征根为3-，所以齐次方程的通解为(3)t y C =-，假设一个特解为3ty A B =+，代入原来的方程得12A =，16B =.所以原来方程的通解为11(3)326t t y C =-++.(2) 对应的特征方程为20λ-=，特征根为2.所以对应的齐次方程的通解为2t t Y C =.设原方程的特解为*cossin33t y A t B t ππ=+代入原方程，得3034A B ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 解之得3A =，1B =. 故原方程的通解为*2cos sin 333t t t t y Y y C t t ππ=+=++. (3)原方程对应齐次方程的特征方程是2560λλ-+=.特征根是122,3λλ==，此时对应齐次方程的通解为1223t t t Y C C =+.设一个特解为*3tt y A Bt =+，代入原来的方程得1A =，43B =. 所以原来方程的通解为*12423133t t t t t t y Y y C C t =+=+++⋅.6. 求差分方程 xx x x x y y y 329612+=+-++，满足初始条件10=y ，31=y 的特解.解 对应的齐次方程的特征方程为2690λλ-+=，特征根为123λλ==.对应的齐次方程的通解为12()3x y C C x =+.对方程21692x x x y y y x ++-+=，可设它的一个特解为y Ax B *=+，代入可得到12A B ==. 对21693xx x x y y y ++-+=，由于3是特征方程的重根，故可设它的一个特解为23x y x C *=，代入可得到118C =，所以原来方程的通解为 122111()383221x x x y C C x x ++=++.由初始条件10=y ，31=y ，得1211,29C C ==，故原来方程的特解为211111()33292218x x x x x y ++=++.总习题 10(B)1. 设可导函数)(x f 满足⎰⎰-+=xxdt t x tf x dt t f 0)()(，求)(x f .解 令 t x u -=，则⎰⎰⎰-=--=-0)()()()()(xxxdt t f t x du u f u x dt t x tf .于是，原来的方程等价于()()()xxf t dt x x t f t dt =+-⎰⎰，再两边求导得()1()xf x f t dt =+⎰.此时有(0)1f =，再求导得()()f x f x '=，所以()xf x Ce =.由(0)1f =得1C =. 所以 ()xf x e =.2.已知x e y =是微分方程x y x P y x =+')(的一个解，求此微分方程满足条件02ln ==x y的特解.解 将xe y =代入方程x y x P y x =+')(得()(1)xP x x e -=-，所以可得原来的方程是(1)x xy x e y x -'+-=，即 (1)1x y e y -'+-=.对应的齐次方程的通解为 xx e y Ce -+=. 所以原来方程的通解为xx e x y Ce e -+=+.由02ln ==x y得12C e -=-.所以要求的特解是12x x e xy e e-+-=-.3. 已知曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 解 设所求曲线方程为 )(x f y =，),(y x P 为其上任一点，则过P 点的曲线的切线方程为)(x X y y Y -'=-.由假设，当0=X 时 x Y =，从而上式成为11d d -=-y xx y . 因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-'=1111x y y xy ，的特解. 由公式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )(，得 )d e)1((ed 1d 1C x y xx xx +⎰-⎰=-⎰=Cx x x +-ln ，代入11==x y得 1=C ，故所求曲线方程为)ln 1(x x y -=.4. 某银行账户，以连续复利方式记息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度使用这一账户支付职工工资，若t 以年为单位，写出余额)(t f B =所满足的微分方程，且问当初始存入的数额)0(0f B =为多少时，才能使20年后账户中的余额减之为0元.解 由题意可得如下的方程0.0512000dBB dt=-. 利用分离变量法解此方程得0.05e 240000t B C =+，由00|t B B ==，得0240000C B =-.故 ()0.050240000e 240000t B B =-+. 由题意，令20t =时，0,B =即()00240000e 240000B =-+.由此得10240000240000e B -=-⨯时，20年后银行的余额为零.5.（新产品的推销问题）设某种耐用的新产品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路.假设该产品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加，销售率逐渐增大.但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了.(1) 假设潜在消费总量为N ，在任一时刻t 已经出售的新商品总量为)(t x ，试建立)(t x 所满足的微分方程；(2) 假设0=t 时，0)0(x x =，求出)(t x ； (3) 分析)(t x 的性态，给出商品的宣传和生产策略. 解 (1)()dxkx N x dt=-，k 为比例系数. (2) 利用分离比例法得通解为解之得 11Nkt Nkt NktCNe Nx Ce Ce -==++，由0)0(x x =，得01NC x =-. 0111NktNktNktCNe N x CeN e x -==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭31 (3) 分析)(t x 的性态()221NktNkt dx CN ke dt Ce --=+， ()()3223211Nkt Nkt Nkt CN k e Ce d x dt Ce ----=+. 显然0dx dt >，所以x 单增.令220d x dt =可以推出2N x =，也就是说当销售量小于最大需求量一半的时候，销售速率不断增大，当销售量大于最大需求量一半的时候，销售速率不断减少，当销售量等于最大需求量一半的时候，商品最为畅销.6. 设t S 为t 期的储蓄，t I 为t 期的投资，t Y 为t 期的国民收入，它们之间有如下的关系式⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-0,0,)(0,10,1δδβαβαt tt t t t t I S r Y Y r I Y S ， 试求t Y ，t S ，t I .解 将t S ，t I 代入t t S I δ=得1()t t t Y r Y Y αβδ-+=-，即1()t t r Y rY αδδβ---=-.对应的齐次方程的通解为t r y C r δδα⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 原来方程的特解为y βα*=-，所以原来方程的通解为 tr Y C r δβδαα⎛⎫=- ⎪-⎝⎭. 假设0Y 已经知道，那么0C Y βα=+，那么原来方程的特解为0()tr Y Y r βδβαδαα⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，此时有 0()t t r S Y r δαβδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，01()t t r I Y r δαβδδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.。
《高等数学B》第十章___微分方程与差分方程__第7节__一阶常系数线性差分方程
由于特征方程为 2 = 0 , 得其根为 = 2 , 于是
Yx C 2 ; * y (2) 再求非齐次方程的一个特解 x .
x
由于 1 不是特征根 , 于是令
2 y* b x b1 x b2 x 0
代人原方程 , 得 b0 ( x 1)2 b1 ( x 1) b2 2(b0 x 2 b1 x b2 ) 3 x 2
解 原方程可以改写为
3 y x 1 y x 0 ,
特征方程为
3 1 0 ,
1 其根为 . 于是原方程的通解为 3 1 x yx C ( ) 3 把初始条件 y0 2 代入 , 定出 C = 2 , 因此所求特解为 1 x yx 2( ) . 3
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 由上节定理 3 可知 , 一阶常系数非齐次线性差分方程 (1) 的通解由该方程的一个特解 y* x与相应的齐次方程的 通解之和构成 . 由于相应的齐次方程的通解的求法已经解决 . 因此 , 我们只需要讨论非齐次方程特解 y* x 的求法 . 当右端 f ( x ) 是某些特殊形式的函数时 , 采用待定系 数法求其特解 y* x 较为方便 .
第七节 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
y x 1 ayx f ( x )
其中 a 0 为常数 , f ( x ) 为已知函数 . 当 f ( x ) 0 时 , 称方程 y x 1 ayx 0 (a 0) 为一阶常系数齐次线性差分方程 .
(1)
(2)
若 f ( x ) 0 则 (1) 称为一阶常系数非齐次线性差分方 程. 下面介绍它们的求解方法 .
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法
二阶常系数线性差分方程的解法
（3）二阶常系数非齐次线性方程及其特解形式
设 y * 是方程 y" py'qy f ( x).
的一个特解，Y 是其对应齐次方程的通解，则 y y* Y . 是它的通解，下面给出上述非齐次线性方程的特解 形式.
(1) f ( x) e x Pm ( x)型.
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根为 r1 , r2 ,
对于高阶线性方程也有与上述定理相对应 的定理.
5. 可分离变量的方程
M1 ( x)M 2 ( y)dx N1 ( x) N2 ( y)dy 0,
M 1 ( x) N 2 ( y) N1 ( x) dx M 2 ( y) dy C
其中 N1 ( x), M 2 ( y) 0.
ex (C1 cosx C2 sin x).
ex [(C1 C2 x Ck x k 1 ) cos x ( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x].
k重实根 r
一对虚根 r1,2= i
一对 k 重虚根
r1,2= i
6
齐次方程
dy y ( )的通解为 dx x
y du (u) u ln x C, 其中 u x .
7.
一阶非齐次线性微分方程
y' P( x) y Q( x)
的通解为 8
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x)e dx C ]
xt p B p xt , p 1
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘
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第十章 微分方程与差分方程
A 级自测题
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）．
A ．xy y e '=．
B ．x xy y e '+=．
C ．22()()0x xy dx y x y dy +++=．
D ．0yy y x '+-=．
2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）．
A ．1y xy y '''++=．
B ．2()5yy y '''+=．
C ．x y xe y ''=+．
D ．2(1)(1)x y x y ''-=+．
3．若连续函数()f x 满足关系式30()()ln 33
x
t f x f dt =+⎰，则()f x 等于（ ）． A ．ln 3x e ． B ．3ln 3x e ． C ．ln 3x e +． D ．3ln 3x e +．
4．函数28x x y A =⋅+是差分方程（ ）的通解．
A ．21320x x x y y y ++-+=．
B ．12320x x x y y y ---+=．
C ．128x x y y +-=-．
D ．128x x y y +-=．
二、填空题（每小题5分，共20分）
1．微分方程2sin d d ρρθθ
+=的阶数为 ． 2．一阶线性微分方程()()y g x y f x '+=的通解为_________．
3．微分方程0y y e '+=满足初始条件(1)0y =的特解为_________．
4．差分方程12x x y y +-=的通解为 ．
三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分）
1．240ydx x dy dy +-=； 2．()220x y dx xydy +-=；
3．3dy y dx x y
=+； 4．0xy y '''+=； 5．(cos )cos 0y y x y dx x dy x x -+=； 6．2
2dy x xy y dx
+=； 7．440y y y '''-+=； 8．322x y y y e '''-+=．
四、求下列差分方程的通解．（每小题5分，共10分）
1．212x x y y x +-=； 2．122x x x y y +-=．
五、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总
相交， 交点记为.A 已知||||MA OA =，且L 过点33(,)22
，求L 的方程．（10分）
B 级自测题
一、选择题（每小题3分，共12分）
1．下面函数中不是方程2()4(1)y y y '=-的解是（ ）．
A ．2cos x ；
B ．2sin x ；
C ．1(cos 21)2
x +； D ．sin 2x ． 2．微分方程2y xdy ydx y e dy -=的通解为（ ）．
A ．()x y x e C =+；
B ．()y x y e
C =+； C ．()y x y C e =-；
D ．()x y x C e =-．
3．若()y y x =是22x y xy y '+=的满足条件1|1x y ==的解, 则3
1()y x dx =⎰( )． A ．ln 5． B ．ln 3． C ．ln 2 ． D ．ln 7．
4．已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y x
α∆∆=++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=，则(1)y 等于（ ）．
A ．2π．
B ．π．
C ．4e π
． D ．4e π
π． 二、填空题 （每小题3分，共12分）
1．通解为12x x y C e C e x -=+-（12,C C 为任意常数）的微分方程是 ．
2．方程2(1)2x y xy '''+=满足条件0|1x y ==，0|3x y ='=的特解是 ．
3．方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9
y =-的解为 ． 4．某公司每年的工资额在比上一年增加10%的基础上再追加三百万元．若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 ．
三、求下列微分方程的通解．（每小题5分，共35分）
1．11dy dx x y
=+-； 2．230y x
dy e dx y
+-=； 3．(cos sin )(sin cos )y y y y y x y dx x y x dy x x x x
+=-；
4．2(1)()0y dx xy y dy ++=；
5．5dy y xy dx
-=． 6．2100y y y '''++=；
7．32x y y y xe '''-+=．
四、设可导函数()x ϕ满足0()cos 2()sin 1x
x x t tdt x ϕϕ+=+⎰，求()x ϕ．（6分） 五、求方程2()0yy y y ''''--=满足初始条件(0)1y =，(0)1y '=的特解．（6分）
六、设函数()(0)y x x ≥二阶可导，且()0y x '>，(0)1y =，过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴围成的三角形的面积记为1S ，区间[]0,x 上以()y y x =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设1221S S -=，求此曲线()y y x =的方程．（9分）
七、某公司的净资产W 因资产本身产生的利息以5%的年利率增长，同时公司还必须以每年二百万元的数额连续地支付职工工资．
（1）给出描述该公司净资产W （万元）的微分方程；
（2）求解该方程，并分别给出初始资产值为04000,5000,3000W =三种情况下的特解，并讨论今后公司财务变化特点．（10分）
八、某产品在时刻t 的价格、总供给与总需求分别为t P ，t S 和t D ，且满足条件：（1）21t t S P =+；（2）145t t D P -=-+；
（3）t t S D =．求证：由（1）、（2）、（3）可导出差分方程122t t P P ++=；已知
0P 时，求上述方程的解．（10分）。