第10章 微分方程与差分方程

第十章 微分方程与差分方程

A 级自测题

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）．

A ．xy y e '=．

B ．x xy y e '+=．

C ．22()()0x xy dx y x y dy +++=．

D ．0yy y x '+-=．

2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）．

A ．1y xy y '''++=．

B ．2()5yy y '''+=．

C ．x y xe y ''=+．

D ．2(1)(1)x y x y ''-=+．

3．若连续函数()f x 满足关系式30()()ln 33

x

t f x f dt =+⎰，则()f x 等于（ ）． A ．ln 3x e ． B ．3ln 3x e ． C ．ln 3x e +． D ．3ln 3x e +．

4．函数28x x y A =⋅+是差分方程（ ）的通解．

A ．21320x x x y y y ++-+=．

B ．12320x x x y y y ---+=．

C ．128x x y y +-=-．

D ．128x x y y +-=．

二、填空题（每小题5分，共20分）

1．微分方程2sin d d ρρθθ

+=的阶数为 ． 2．一阶线性微分方程()()y g x y f x '+=的通解为_________．

3．微分方程0y y e '+=满足初始条件(1)0y =的特解为_________．

4．差分方程12x x y y +-=的通解为 ．

三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分）

1．240ydx x dy dy +-=； 2．()220x y dx xydy +-=；

3．3dy y dx x y

=+； 4．0xy y '''+=； 5．(cos )cos 0y y x y dx x dy x x -+=； 6．2

2dy x xy y dx

+=； 7．440y y y '''-+=； 8．322x y y y e '''-+=．

四、求下列差分方程的通解．（每小题5分，共10分）

1．212x x y y x +-=； 2．122x x x y y +-=．

五、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总

相交， 交点记为.A 已知||||MA OA =，且L 过点33(,)22

，求L 的方程．（10分）

B 级自测题

一、选择题（每小题3分，共12分）

1．下面函数中不是方程2()4(1)y y y '=-的解是（ ）．

A ．2cos x ；

B ．2sin x ；

C ．1(cos 21)2

x +； D ．sin 2x ． 2．微分方程2y xdy ydx y e dy -=的通解为（ ）．

A ．()x y x e C =+；

B ．()y x y e

C =+； C ．()y x y C e =-；

D ．()x y x C e =-．

3．若()y y x =是22x y xy y '+=的满足条件1|1x y ==的解, 则3

1()y x dx =⎰( )． A ．ln 5． B ．ln 3． C ．ln 2 ． D ．ln 7．

4．已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y x

α∆∆=++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=，则(1)y 等于（ ）．

A ．2π．

B ．π．

C ．4e π

． D ．4e π

π． 二、填空题 （每小题3分，共12分）

1．通解为12x x y C e C e x -=+-（12,C C 为任意常数）的微分方程是 ．

2．方程2(1)2x y xy '''+=满足条件0|1x y ==，0|3x y ='=的特解是 ．

3．方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9

y =-的解为 ． 4．某公司每年的工资额在比上一年增加10%的基础上再追加三百万元．若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 ．

三、求下列微分方程的通解．（每小题5分，共35分）

1．11dy dx x y

=+-； 2．230y x

dy e dx y

+-=； 3．(cos sin )(sin cos )y y y y y x y dx x y x dy x x x x

+=-；

4．2(1)()0y dx xy y dy ++=；

5．5dy y xy dx

-=． 6．2100y y y '''++=；

7．32x y y y xe '''-+=．

四、设可导函数()x ϕ满足0()cos 2()sin 1x

x x t tdt x ϕϕ+=+⎰，求()x ϕ．（6分） 五、求方程2()0yy y y ''''--=满足初始条件(0)1y =，(0)1y '=的特解．（6分）

六、设函数()(0)y x x ≥二阶可导，且()0y x '>，(0)1y =，过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴围成的三角形的面积记为1S ，区间[]0,x 上以()y y x =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设1221S S -=，求此曲线()y y x =的方程．（9分）

七、某公司的净资产W 因资产本身产生的利息以5%的年利率增长，同时公司还必须以每年二百万元的数额连续地支付职工工资．