方法论试题库(章节)

方法论试题库（章节）第一章绪论名词解释：1。

方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。

简答：1。

数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究2。

数学方法论中数学内容辩证性质的研究答。

一。

关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。

二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等3。

试举四种数学中的一般科学认识方法答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等4。

试举四种数学中的特有的科学认识方法答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等论述：1。

宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。

答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。

微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。

2。

数学方法论的数学功能。

一。

科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。

二。

思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。

三。

社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。

四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用3。

论述数学思想方法形成和发展的规律：一。

从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。

二。

研究数学思想方法的个体发育，即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。

第二章化归填空：1。

化归的方向或原则也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。

名词解释：1。

数学中的化归方法：将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。

简答：1。

化归的三个方向：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。

2。

化归的三个原则：熟悉性原则，简单性原则，直观性原则。

3。

请举出至少三个多维化归方法的例子。

答：变换法，反证法，MM方法证明题：1。

求证：)11(2131211-+>++++n n证明：1(2)34(2)23(2)12(2131211+++-+-+->++++n n)11(2)-+=-n n2。

在单位正方形周界上任意两点连一曲线 ，将正方形分成面积相等的两部分。

求证：该曲线长不小于1。

分析：1。

最理想情形：垂线或对角线2。

若端点在对边的线段------------------------------斜线〉垂线段 3。

若端点在对边的曲线--------------------两点间线段最短 4。

若端点在临边的曲线-----------------将SP 以CA 反射5。

若端点在同边的曲线--------将SP 以CA 反射 （图略）3 求证：,2210nn nn n n CC C C =++++ 并由此计算(1)∑=nk k nkC2(2)k n k nk k C 3)1(1∑=-证明：由于,2)(222110nn n n n n n n n n n b C b a C b a C a C b a =++++=+--a=b=1时，,)11(210nn n n n n C C C C ++++=+a=2,b=1时， nnk k n knC 32)12(0==+∑=,a=1,b=-3时， nnk k n k knn C 33)1()31()2(0=-=-=-∑=。

4。

证明托勒密定理：已知：AB ，CD 为圆内接四边形ABCD 的对角线， 求证：AB*CD+AD*BC=AC*BD证明：在BD 上取点E ，使∠BEA=∠DEC ，则△ABE ∽△ACD ，△ABC ∽△AED ，故AB*CD=AC*BE ， AD*BC=AC*ED ，所以AB*CD+AD*BC= AC*BE+ AC*ED=AC*BD第三章 类比与归纳填空：类比是由特殊到特殊的思维过程，归纳是由特殊到一般的思维过程，演绎是由一般到特殊的思维过程。

简答： 1。

各举出一个平面与空间类比，形与数类比，有限与无限类比的例子。

平面与空间类比：几何中两条直线被三条平行线所截得的线段成比例。

立体几何中两条直线被三个平行平面所截得的线段成比例 形与数类比：解析几何有限与无限类比：三角形面积等于底与高相乘积的一半，圆内接正多边形面积等于周长与边心距乘积的一半 圆面积等于周长与半径乘积的一半 2。

各举出一个简单类比，复杂类比的例子。

答：简单类比：几何中两条直线被三条平行线所截得的线段成比例。

立体几何中两条直线被三个平行平面所截得的线段成比例。

复杂类比：解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一（不变号）解不等式步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一（可能变号）2。

试举出三个关于归纳的生活谚语的例子。

答：农业谚语“有收无收在于水，收多收少在于肥”“发尽桃花水，必有旱黄梅”气象谚语“热在三伏，冷在三九”“东虹日出西虹雨”养身之道“饭后百步走，活到九十九”“饭前喝汤，有利健康；饭后喝汤，身体发胖”证明题：设n ∈N ，求证：)]4()[2)(1(241])([2)1(1b a nb n n n b r n a r r nr -+++=-++∑=证明：（1）n=1时，左边=a=右边 （2）n=k 若成立，n=k+1时，a k kb r r b r k a r r b r k a r r kr kr k r 2)2)(1(2)1(])([2)1(])1([2)1(1111+++++-++=-+++∑∑∑==+=)]4()1)[(2)1)((1)1)((1(241b a b k k k k -+++++++=故对n ∈N 成立。

第4章 联想与直觉填空：1。

联想的三个基本法则为：类似联想法则，相反联想法则，接近联想法则。

2。

数学联想是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。

3。

直觉思维的主要特征有整体性，或然性，简约性，创造性，直接性，不可解释性等。

4。

数学联想是一种再现性想象，是进行类比、归纳、模拟、猜想等似真推理的基础。

5。

按照数学直觉思维的智力品质分类，小高斯凭直觉判断1+2+3+…+100=5050是一种十分娴熟的思维技能，属于再现性数学直觉思维，哈密尔顿发现四元数属于创造性数学直觉思维 名词解释：数学联想：是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。

求解题：一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，且地板的两条对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色。

如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖总数是多少呢？答：地板只有两条对角线上的瓷砖是黑色的，共有101块黑色瓷砖，故正方形有51列，瓷砖总数有512=2601块。

已知：,0111=+-++-++-caa c bcc b abb a 求证：三数a,b,c 之中至少有两个相等。

证明：令a=tan α,b=tan β,c=tan γ,则原题条件变为：tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=0.由（α-β）+（β-γ）+（γ-α）=0，上式又可化为tan(α-β)*tan(β-γ)*tan(γ-α)=0，则tan(α-β)，tan(β-γ)，tan(γ-α)中至少有一个为零，故原题得证。

第5章 数学的论证方法填空：1。

数学证明必须遵循的规则有：论题必须明确，论题应当保持同一，论据必须可靠，论据不能依赖于论题，证明必须遵守推理规则。

2。

间接证法主要有反证法与同一法。

3。

根据推理方向，数学证明分为分析法与综合法。

证明题1。

求证： cos100为无理数证明：若cos100为有理数，记cos100=p/q(p,q互为质数)，则Q ∈-==03010cos 310cos 430cos 23，矛盾。

故结论成立。

2。

在△ABC 中，AK ：KC=3：1，BP ：PC=2：1，AP 和BK 相交于M 。

求证：118,119==BK BM APAM证明：设,,y BK BMx AP AM==则B A y C A y C A x B A x M A )1(433231-+=+=，解之得：118,119==y x第6章 数学的抽象方法名词解释：抽象：透过事物的现象，深入事物的里层，把事物的本质抽取出来的过程和方法。

填空：1。

数学有别于其他学科，研究对象的抽象性表现在特殊的抽象形式，特殊的抽象高度。

2。

哥尼斯堡七桥问题是数学抽象基本形式的理想化抽象，同余数类是数学抽象基本形式的等价抽象，虚数是存在性抽象。

3。

公理化方法中设置公理的三项基本要求为：相容性，独立性，完备性 简答：1。

数学抽象的基本形式答：理想化抽象，等价抽象，强抽象与弱抽象，存在性抽象 2。

布尔巴基学派认为，数学研究的三种基本结构是什么？答：代数结构，序结构，拓扑结构解答题：1。

7只茶杯，杯口朝上，将其中4只翻转过来（杯口朝上的变为杯口朝下，杯口朝下的变为杯口朝上），称为一次“运动”。

试问：是否能经过有限多次运动，使得茶杯的杯口全部朝下？解：赋予一只茶杯杯口朝上：+1，朝下：-1，一只茶杯一次运动：*（-1）则初始状态：（+1）*…*（+1）=+1，（-1）*…*（-1）=（-1）7=-1，经过运算（-1）4n， 故不可能。

2。

“七桥问题”德国哥尼斯堡市内有一条布勒尔河，在这条河上有两个支流，在城中心汇成大河，河中间是岛区，河上有七座桥，如图：解：抽象：岛、岸——A ，B ，C ，D桥——AB ，AC ，AD ，BC ，BD 七条曲线概括：一笔画解决：A ，B ，C ，D 皆为奇异点，而一笔画图形至多有两个奇异点具体化：不能从任何一点出发，经过每座桥一次且仅一次而回到出发点第9章 数学的美学方法填空1。

怀特海德说：“只有音乐堪与数学裨美” 2。

罗素说：“数学，如果正确的看待他，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，它可以纯净到崇高的地步，…”3。