方法论试题库(章节)

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第一章绪论

名词解释：1。方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。

简答：1。数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究

2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究

答。一。关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等

3。试举四种数学中的一般科学认识方法

答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等

4。试举四种数学中的特有的科学认识方法

答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等

论述：1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。

答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。

2。数学方法论的数学功能。

一。科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。三。社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用

3。论述数学思想方法形成和发展的规律：一。从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。二。研究数学思想方法的个体发育，即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。

第二章化归

填空：1。化归的方向或原则也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。

名词解释：1。数学中的化归方法：将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。

简答：1。化归的三个方向：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。

2。化归的三个原则：熟悉性原则，简单性原则，直观性原则。

3。请举出至少三个多维化归方法的例子。

答：变换法，反证法，MM方法

证明题：1。求证：)11(21312

11-+>+

++

+

n n

证明：1(2)34(2)23(2)12(213

12

11+++-+-+->+++

+

n n

)11(2)-+=-n n

2。在单位正方形周界上任意两点连一曲线 ，将正方形分成面积相等的两部分。 求证：该曲线长不小于1。

分析：1。最理想情形：垂线或对角线

2。若端点在对边的线段------------------------------斜线〉垂线段 3。若端点在对边的曲线--------------------两点间线段最短 4。若端点在临边的曲线-----------------将SP 以CA 反射

5。若端点在同边的曲线--------将SP 以CA 反射 （图略）

3 求证：,2210n

n n

n n n C

C C C =++++ 并由此计算(1)∑=n

k k n

k

C

2(2)k n k n

k k C 3)1(1

∑=-

证明：由于,2)(222110n

n n n n n n n n n n b C b a C b a C a C b a =++++=+--

a=b=1时，,)11(210n

n n n n n C C C C ++++=+

a=2,b=1时， n

n

k k n k

n

C 32

)12(0

==

+∑=,

a=1,b=-3时， n

n

k k n k k

n

n C 33)

1()31()2(0

=-=

-=-∑=。

4。证明托勒密定理：已知：AB ，CD 为圆内接四边形ABCD 的对角线， 求证：AB*CD+AD*BC=AC*BD

证明：在BD 上取点E ，使∠BEA=∠DEC ，则△ABE ∽△ACD ，△ABC ∽△AED ，故AB*CD=AC*BE ， AD*BC=AC*ED ，所以AB*CD+AD*BC= AC*BE+ AC*ED=AC*BD

第三章 类比与归纳

填空：类比是由特殊到特殊的思维过程，归纳是由特殊到一般的思维过程，演绎是由一般到特殊的思维过程。

简答： 1。各举出一个平面与空间类比，形与数类比，有限与无限类比的例子。 平面与空间类比：几何中两条直线被三条平行线所截得的线段成比例。

立体几何中两条直线被三个平行平面所截得的线段成比例 形与数类比：解析几何

有限与无限类比：三角形面积等于底与高相乘积的一半，

圆内接正多边形面积等于周长与边心距乘积的一半 圆面积等于周长与半径乘积的一半 2。各举出一个简单类比，复杂类比的例子。