《待定系数法》习题

《待定系数法》习题

一、基础过关

1．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向下平移h 个单位，沿x 轴向左平移k 个单位得到y ＝x 2－2x ＋3的图象，则h ，k 的值分别为

( ) A ．－2，－1

B ．2，－1

C ．－2,1

D ．2,1

2．已知()()2231x x x ax b +-=-+，则a ，b 的值分别为

( ) A ．2,3

B ．2，－3

C ．－2,3

D ．－2，－3

3．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为 ( ) A ．()2221y x =--

B ．()2221y x =+-

C ．()2221y x =++

D ．()2221y x =-+ 4．已知二次函数221y x ax =-+在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．a≤2或a≥3

B ．2≤a≤3

C ．a≤－3或a≥－2

D ．－3≤a≤－2 5．二次函数的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (2,0), 并且在y 轴上的截距为4，则函数的解析式为________________________________________________________________________．

6．如图所示，抛物线()2

213y x m x m =-++++与x 轴交于A 、B 两点，且OA ＝3OB ，则m ＝________.

7．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求此二次函数的解析式．

二、能力提升

8．已知函数2

y ax bx c =++，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图中的( )

9．设函数()()()2020x bx c,x f x ,x ⎛++≤= >⎝

若f(－4)＝f (0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为

( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

10．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f (x )的解析式为

__________．

11．已知二次函数f (x )对一切x ∈R ，有f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝0，且f(x) ≥－1.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若直线l 过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x 轴左侧的交点，求l 在y 轴上的截距．

三、探究与拓展

12．若二次函数满足f(x ＋1)－f(x)＝2x 且f(0)＝1.

(1)求f (x )的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．

答案

1．A 2．A 3．A 4．A

5．y ＝－x2＋4

6．0

7．解 方法一 设f(x)＝ax2＋bx ＋c (a≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之，得

⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，

c ＝7，

∴所求二次函数的解析式为y ＝－4x2＋4x ＋7.

方法二 设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵f(2)＝f(－1)，

∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2

＝12.∴m ＝12. 又根据题意函数有最大值为n ＝8，

∴y ＝f(x)＝a(x －12

)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1，解之，得a ＝－4. ()2

21484472f x x x x .⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝

⎭ 方法三 依题意知：f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，

故可设()()()21f x a x x ,-+＝即()221f x ax ax a .---＝ 又函数有最大值8，

即()2

42184a a a ,a

---= 解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．

∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

8．D

9．C

10()1

322f x x +＝或()1522

f x x +＝ 11．解 (1)由f (2－x )＝f (x )，得二次函数图象的对称轴为x ＝1，由f (x )≥－1对一切x ∈R 成立，

得二次函数的最小值为－1.

设二次函数的解析式为

()()211f x x --＝a

∵f(－1)＝0，∴4a －1＝0，∴14

a =， ()()221113114424

f x x x x ∴--=--＝ (2)设直线l 的解析式为g(x)＝kx ＋b.

由(1)知，抛物线顶点为C (1，－1)， 由21130424

x x ,--=，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴l 过点A (－1,0)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝－1－k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ k ＝－12b ＝－12，

∴一次函数为y ＝－12x －12

. 在y 轴上的截距为b ＝－12

. 12．解 (1)设()()20f x ax bx c a ≠＝＋＋，由f (0)＝1，∴c ＝1，()2

1f x a x bx .∴+＝＋ ()()12f x f x x +－＝，

22ax a b x,∴++= ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

b ＝－1 (2)由题意：212x x x m -+>+在[－1,1]上恒成立，即2

310x x m -+->在[－1,1]上恒成立． 令()2

2343125g x x x m x m,⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝

⎭ 其对称轴为x ＝32

， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ()()11310min g x g m ,==-+->

∴m<－1.