17,18平面图及图的着色
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本节的主要内容
–平面图的基本概念 平面图的基本概念 –欧拉公式 欧拉公式 –平面图的判断 平面图的判断 –平面图的对偶图 平面图的对偶图 –顶点着色及点色数 顶点着色及点色数 –地图的着色与平面图的点着色 地图的着色与平面图的点着色 –边着色及边色数 边着色及边色数
平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图 图中顶点的着色 地图的着色与平面图的点着色 边着色 本章小结 习 作 题 业
定理16. 阶简单连通的平面图, 为极大平面图 定理16.7 设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图,G为极大平面图 16 为 ≥ 阶简单连通的平面图 当且仅当G的每个面的次数均为 。 当且仅当 的每个面的次数均为3。 的每个面的次数均为
证 明 思 路
本节只证明必要性,即设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图,G 阶简单连通的平面图, 本节只证明必要性,即设 为 ≥ 阶简单连通的平面图 为极大平面图, 的每个面的次数均为3。 为极大平面图,则G的每个面的次数均为 。 的每个面的次数均为 由于n≥ 必为简单平面图, 每个面的次数均≥ 由于 ≥3, 又G必为简单平面图,可知,G每个面的次数均≥3。 必为简单平面图 可知, 每个面的次数均 。 因为G为平面图,又为极大平面图。可证G不可能存在次数 不可能存在次数>3 因为 为平面图,又为极大平面图。可证 不可能存在次数 为平面图 的面。 的面。
三、极大平面图 1、 定义 、 定义16. 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之 定义16.3 若在简单平面图 中的任意两个不相邻的顶点之 16 间加一条新边所得图为非平面图,则称G为极大平面图 为极大平面图。 间加一条新边所得图为非平面图,则称 为极大平面图。 注意:若简单平面图G中已无不相邻顶点, G显然是极大平 注意: 若简单平面图 中已无不相邻顶点, 显然是极大平 中已无不相邻顶点 面图, 平凡图) 都是极大平面图。 面图,如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 、 定理165 极大平面图是连通的。 定理165 极大平面图是连通的。 定理166 阶极大平面图中不可能有割点和桥。 定理166 n(n≥3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。 ≥ 阶极大平面图中不可能有割点和桥
二、平面图的面与次数(针对平面图的平面嵌入) 平面图的面与次数(针对平面图的平面嵌入) 1、 定义 、 定义16. 是平面图, 定义16.2 设G是平面图, 16 是平面图 G的面 的面——由G的边将 所在的平面划分成的每一个区域。 的边将G所在的平面划分成的每一个区域 的面 由 的边将 所在的平面划分成的每一个区域。 无限面(外部面) 面积无限的面, 无限面(外部面)——面积无限的面,记作 0。 面积无限的面 记作R 有限面(内部面) 有限面(内部面)——面积有限的面 ,记作 1, R2, …, Rk。 面积有限的面 记作R 的边界——包围面 i的所有边组成的回路组。 包围面R 面Ri的边界 包围面 的所有边组成的回路组。 的次数——Ri边界的长度,记作 边界的长度,记作deg(Ri)。 面Ri的次数 。
i =1 i =1 i =1 i =1 k k k k
经整理得 n-m+r = k+1。 。
2、 与欧拉公式有关的定理 、 定理16. 为连通的平面图, 定理 16.10 设 G为连通的平面图 , 且每个面的次数至少为 16 为连通的平面图 l(l 3),则 G的边数与顶点数有如下关系: 的边数与顶点数有如下关系: , 的边数与顶点数有如下关系
2、几点说明 、 若平面图G有 个面 可笼统地用R 个面, 表示, 若平面图 有k个面,可笼统地用 1, R2, …, Rk表示,不需 要指出外部面。 要指出外部面。 回路组是指:边界可能是初级回路( 回路组是指:边界可能是初级回路(圈),可能是简单回 也可能是复杂回路。特别地, 路,也可能是复杂回路。特别地,还可能是非连通的回路 之并。 之并。
(3)设m=k(k≥1)时成立,当m=k+1时,对G进行如下讨论。 设 = 时成立, 进行如下讨论。 时成立 = 时 进行如下讨论 是树, 是非平凡的, 中至少有两片树叶。 若G是树,则G是非平凡的,因而 中至少有两片树叶。 是树 是非平凡的 因而G中至少有两片树叶 为树叶, 仍然是连通图, 设v为树叶,令G'=G-v,则G'仍然是连通图,且G'的边数 为树叶 , 仍然是连通图 的边数 m'=m-1=k,n'=n-1,r'=r。 , , 。 由假设可知 n'-m'+r'=2,式中n',m',r'分别为 的顶点数, ,式中 , , 分别为G'的顶点数, 分别为 的顶点数 边数和面数。 边数和面数。 于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 于是 不是树, 中含圈。 若G不是树,则G中含圈。 不是树 中含圈 设边e在 中某个圈上 中某个圈上, 仍连通且m'=m-1=k 设边 在G中某个圈上,令G'=G-e,则G'仍连通且 , 仍连通且 , n'=n,r'=r-1。 , 。 由假设有 n'-m'+r'=2。 。 于是 n-m+r=n'-(m'+1)-(r'+1)=n'-m'+r'=2
R1
R0 R2
R3
平面图有4个面, 平面图有 个面,deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。 个面 。
定理16.4 平面图G中所有面的次数之和等于边数 的两倍, 中所有面的次数之和等于边数m的两倍 定理16.4 平面图 中所有面的次数之和等于边数 的两倍,即
(2)是(1)的平面嵌入,(4)是(3)的平面嵌入。 ) )的平面嵌入, ) )的平面嵌入。
2、 几点说明及一些简单结论 、 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入,但讨论某些性质时, 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入,但讨论某些性质时,一定是指平 面嵌入。 面嵌入。 K5和K3,3都不是平面图。 都不是平面图。 定理16. ′⊆G, 为平面图, 定理16.1 设G′⊆ ,若G为平面图,则G′也是平面图。 16 ′⊆ 为平面图 ′也是平面图。 定理16. ′⊆G, 也是非平面图。 定理16.2 设G′⊆ ,若G′为非平面图,则G也是非平面图。 16 ′⊆ ′为非平面图, 也是非平面图 都是非平面图。 推论 Kn(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。 ≥ 和 ≥ 都是非平面图 定理16.3 若G为平面图,则在G中加平行边或环所得图还是平面图。 定理16.3 为平面图,则在 中加平行边或环所得图还是平面图。 为平面图 中加平行边或环所得图还是平面图 即平行边和环不影响图的平面性。 即平行边和环不影响图的平面性。
定理16.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图 ,有 个连通分支的平面图G, 定理16.9 对于具有 个连通分支的平面图 n-m+r = k+1 其中n, 分别为G的顶点数 其中 ,m,r分别为 的顶点数,边数和面数。 分别为 的顶点数,边数和面数。
证明
的连通分支分别为G 并设G 的顶点数、 设G的连通分支分别为 1、G2、…、Gk,并设 i的顶点数、 的连通分支分别为 、 边数、面数分别为n 边数、面数分别为 i、mi、ri、i=1,2,…,k。 , , , 。 由欧拉公式可知: 由欧拉公式可知 ni-mi+ri = 2,i=1,2,…,k , , , , 易知, m = ∑ mi,n = ∑ ni 易知,
小节结束
一、欧拉公式相关定理 1、 欧拉公式 、 定理16.8 对于任意的连通的平面图G, 定理16.8 对于任意的连通的平面图 ,有 n-m+r=2 其中, 、 、 分别为 的顶点数、边数和面数。 分别为G的顶点数 其中,n、m、r分别为 的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 对边数 作归纳法。 作归纳法 (1) m=0时,由于 为连通图,所以 只能是由一个孤立顶 为连通图, = 时 由于G为连通图 所以G只能是由一个孤立顶 点组成的平凡图, 点组成的平凡图,即n=1,m=0,r=1,结论显然成立。 ,结论显然成立。 (2) m=1时,由于 为连通图,所以 为连通图, = 时 由于G为连通图 所以n=2,m=1,r=1,结论 , 显然成立。 显然成立。
i =1 i =1 k k
(161)
由于每个G 有一个外部面, 只有一个外部面, 由于每个 i 有一个外部面,而G只有一个外部面,所以 的面数 只有一个外部面 所以G的面数 k r = ∑ ri − k + 1
i =1
于是, 于是,对(161)的两边同时求和得 的两边同时求和得
2k = ∑ (ni − mi + ri ) = ∑ ni − ∑ mi + ∑ ri = n − m + r + k − 1
只有右边的图为极大平面图。 只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。 因为只有该图每个面的次数都为 。
四、极小非平面图 定义16. 若在非平面图G中任意删除一条边 所得图G′为平面 中任意删除一条边, 定义16.4 若在非平面图 中任意删除一条边,所得图 为平面 16 则称G为极小非平面图 为极小非平面图。 图,则称 为极小非平面图。 由定义不难看出: 由定义不难看出: K5, K3,3都是极小非平面图。 都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 极小非平面图必为简单图。 例如:以下各图均为极小非平面图。 例如:以下各图均为极小非平面图。
假设存在面R 的次数deg(Ri)=s≥4, 假设存在面 i的次数 , 如图所示。 如图所示。
s
S-1
不相邻, 内加边(v 不破坏平面性, 在G中,若v1与v3不相邻,在Ri内加边 1,v3)不破坏平面性,这 中 不破坏平面性 是极大平面图矛盾, 必相邻,由于R 的存在, 与G是极大平面图矛盾,因而 1与v3必相邻,由于 i的存在, 是极大平面图矛盾 因而v 必在R 边(v1,v3)必在 i外。 必在 类似地,v2与v4也必相邻,且边(v2,v4)也必在 i外部,于是必 类似地, 也必相邻,且边 也必在R 外部, 也必在 产生(v 相交于R 是平面图, 产生 1,v3)与(v2,v4)相交于 i的外部,这又矛盾于 是平面图, 与 相交于 的外部,这又矛盾于G是平面图 所以必有s= , 中不存在次数大于或等于4的面 所以必有 =3,即G中不存在次数大于或等于 的面,所以 的 中不存在次数大于或等于 的面,所以G的 每个面为3条边所围 也就是各面次数均为3。 条边所围, 每个面为 条边所围,也就是各面次数均为 。
∑ deg( R ) = 2m
证 明
i =1 i
r
其中r为G的面数
本定理中所说平面图是指平面嵌入。 本定理中所说平面图是指平面嵌入。 ∀e∈E(G), e∈E(G), 为面R 的公共边界上的边时, 1当e为面 i和Rj(i≠j)的公共边界上的边时,在计算 i和Rj的次 为面 的公共边界上的边时 在计算R 数时, 各提供 各提供1。 数时,e各提供 。 只在某一个面的边界上出现时, 2当e只在某一个面的边界上出现时,则在计算该面的次数时 只在某一个面的边界上出现时 提供2。 ,e提供 。 提供 于是每条边在计算总次数时,都提供 ,因而deg(Ri)=2m。 于是每条边在计算总次数时,都提供2,因而 。
16 平面图
一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 、 定义16. 定义16.1 16 G可嵌入曲面 可嵌入曲面S——如果图 能以这样的方式画在曲面 上 如果图G能以这样的方式画在曲面 可嵌入曲面 如果图 能以这样的方式画在曲面S上 即除顶点处外无边相交。 ,即除顶点处外无边相交。 G是可平面图或平面图 是可平面图或平面图——若G可嵌入平面。 若 可嵌入平面。 是可平面图或平面图 可嵌入平面 G的平面嵌入 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 画出的无边相交的平面图。 的平面嵌入 画出的无边相交的平面图 非平面图——无平面嵌入的图。 无平面嵌入的图。 非平面图 无平面嵌入的图
本节的主要内容
–平面图的基本概念 平面图的基本概念 –欧拉公式 欧拉公式 –平面图的判断 平面图的判断 –平面图的对偶图 平面图的对偶图 –顶点着色及点色数 顶点着色及点色数 –地图的着色与平面图的点着色 地图的着色与平面图的点着色 –边着色及边色数 边着色及边色数
平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图 图中顶点的着色 地图的着色与平面图的点着色 边着色 本章小结 习 作 题 业
定理16. 阶简单连通的平面图, 为极大平面图 定理16.7 设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图,G为极大平面图 16 为 ≥ 阶简单连通的平面图 当且仅当G的每个面的次数均为 。 当且仅当 的每个面的次数均为3。 的每个面的次数均为
证 明 思 路
本节只证明必要性,即设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图,G 阶简单连通的平面图, 本节只证明必要性,即设 为 ≥ 阶简单连通的平面图 为极大平面图, 的每个面的次数均为3。 为极大平面图,则G的每个面的次数均为 。 的每个面的次数均为 由于n≥ 必为简单平面图, 每个面的次数均≥ 由于 ≥3, 又G必为简单平面图,可知,G每个面的次数均≥3。 必为简单平面图 可知, 每个面的次数均 。 因为G为平面图,又为极大平面图。可证G不可能存在次数 不可能存在次数>3 因为 为平面图,又为极大平面图。可证 不可能存在次数 为平面图 的面。 的面。
三、极大平面图 1、 定义 、 定义16. 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之 定义16.3 若在简单平面图 中的任意两个不相邻的顶点之 16 间加一条新边所得图为非平面图,则称G为极大平面图 为极大平面图。 间加一条新边所得图为非平面图,则称 为极大平面图。 注意:若简单平面图G中已无不相邻顶点, G显然是极大平 注意: 若简单平面图 中已无不相邻顶点, 显然是极大平 中已无不相邻顶点 面图, 平凡图) 都是极大平面图。 面图,如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 、 定理165 极大平面图是连通的。 定理165 极大平面图是连通的。 定理166 阶极大平面图中不可能有割点和桥。 定理166 n(n≥3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。 ≥ 阶极大平面图中不可能有割点和桥
二、平面图的面与次数(针对平面图的平面嵌入) 平面图的面与次数(针对平面图的平面嵌入) 1、 定义 、 定义16. 是平面图, 定义16.2 设G是平面图, 16 是平面图 G的面 的面——由G的边将 所在的平面划分成的每一个区域。 的边将G所在的平面划分成的每一个区域 的面 由 的边将 所在的平面划分成的每一个区域。 无限面(外部面) 面积无限的面, 无限面(外部面)——面积无限的面,记作 0。 面积无限的面 记作R 有限面(内部面) 有限面(内部面)——面积有限的面 ,记作 1, R2, …, Rk。 面积有限的面 记作R 的边界——包围面 i的所有边组成的回路组。 包围面R 面Ri的边界 包围面 的所有边组成的回路组。 的次数——Ri边界的长度,记作 边界的长度,记作deg(Ri)。 面Ri的次数 。
i =1 i =1 i =1 i =1 k k k k
经整理得 n-m+r = k+1。 。
2、 与欧拉公式有关的定理 、 定理16. 为连通的平面图, 定理 16.10 设 G为连通的平面图 , 且每个面的次数至少为 16 为连通的平面图 l(l 3),则 G的边数与顶点数有如下关系: 的边数与顶点数有如下关系: , 的边数与顶点数有如下关系
2、几点说明 、 若平面图G有 个面 可笼统地用R 个面, 表示, 若平面图 有k个面,可笼统地用 1, R2, …, Rk表示,不需 要指出外部面。 要指出外部面。 回路组是指:边界可能是初级回路( 回路组是指:边界可能是初级回路(圈),可能是简单回 也可能是复杂回路。特别地, 路,也可能是复杂回路。特别地,还可能是非连通的回路 之并。 之并。
(3)设m=k(k≥1)时成立,当m=k+1时,对G进行如下讨论。 设 = 时成立, 进行如下讨论。 时成立 = 时 进行如下讨论 是树, 是非平凡的, 中至少有两片树叶。 若G是树,则G是非平凡的,因而 中至少有两片树叶。 是树 是非平凡的 因而G中至少有两片树叶 为树叶, 仍然是连通图, 设v为树叶,令G'=G-v,则G'仍然是连通图,且G'的边数 为树叶 , 仍然是连通图 的边数 m'=m-1=k,n'=n-1,r'=r。 , , 。 由假设可知 n'-m'+r'=2,式中n',m',r'分别为 的顶点数, ,式中 , , 分别为G'的顶点数, 分别为 的顶点数 边数和面数。 边数和面数。 于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 于是 不是树, 中含圈。 若G不是树,则G中含圈。 不是树 中含圈 设边e在 中某个圈上 中某个圈上, 仍连通且m'=m-1=k 设边 在G中某个圈上,令G'=G-e,则G'仍连通且 , 仍连通且 , n'=n,r'=r-1。 , 。 由假设有 n'-m'+r'=2。 。 于是 n-m+r=n'-(m'+1)-(r'+1)=n'-m'+r'=2
R1
R0 R2
R3
平面图有4个面, 平面图有 个面,deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。 个面 。
定理16.4 平面图G中所有面的次数之和等于边数 的两倍, 中所有面的次数之和等于边数m的两倍 定理16.4 平面图 中所有面的次数之和等于边数 的两倍,即
(2)是(1)的平面嵌入,(4)是(3)的平面嵌入。 ) )的平面嵌入, ) )的平面嵌入。
2、 几点说明及一些简单结论 、 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入,但讨论某些性质时, 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入,但讨论某些性质时,一定是指平 面嵌入。 面嵌入。 K5和K3,3都不是平面图。 都不是平面图。 定理16. ′⊆G, 为平面图, 定理16.1 设G′⊆ ,若G为平面图,则G′也是平面图。 16 ′⊆ 为平面图 ′也是平面图。 定理16. ′⊆G, 也是非平面图。 定理16.2 设G′⊆ ,若G′为非平面图,则G也是非平面图。 16 ′⊆ ′为非平面图, 也是非平面图 都是非平面图。 推论 Kn(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。 ≥ 和 ≥ 都是非平面图 定理16.3 若G为平面图,则在G中加平行边或环所得图还是平面图。 定理16.3 为平面图,则在 中加平行边或环所得图还是平面图。 为平面图 中加平行边或环所得图还是平面图 即平行边和环不影响图的平面性。 即平行边和环不影响图的平面性。
定理16.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图 ,有 个连通分支的平面图G, 定理16.9 对于具有 个连通分支的平面图 n-m+r = k+1 其中n, 分别为G的顶点数 其中 ,m,r分别为 的顶点数,边数和面数。 分别为 的顶点数,边数和面数。
证明
的连通分支分别为G 并设G 的顶点数、 设G的连通分支分别为 1、G2、…、Gk,并设 i的顶点数、 的连通分支分别为 、 边数、面数分别为n 边数、面数分别为 i、mi、ri、i=1,2,…,k。 , , , 。 由欧拉公式可知: 由欧拉公式可知 ni-mi+ri = 2,i=1,2,…,k , , , , 易知, m = ∑ mi,n = ∑ ni 易知,
小节结束
一、欧拉公式相关定理 1、 欧拉公式 、 定理16.8 对于任意的连通的平面图G, 定理16.8 对于任意的连通的平面图 ,有 n-m+r=2 其中, 、 、 分别为 的顶点数、边数和面数。 分别为G的顶点数 其中,n、m、r分别为 的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 对边数 作归纳法。 作归纳法 (1) m=0时,由于 为连通图,所以 只能是由一个孤立顶 为连通图, = 时 由于G为连通图 所以G只能是由一个孤立顶 点组成的平凡图, 点组成的平凡图,即n=1,m=0,r=1,结论显然成立。 ,结论显然成立。 (2) m=1时,由于 为连通图,所以 为连通图, = 时 由于G为连通图 所以n=2,m=1,r=1,结论 , 显然成立。 显然成立。
i =1 i =1 k k
(161)
由于每个G 有一个外部面, 只有一个外部面, 由于每个 i 有一个外部面,而G只有一个外部面,所以 的面数 只有一个外部面 所以G的面数 k r = ∑ ri − k + 1
i =1
于是, 于是,对(161)的两边同时求和得 的两边同时求和得
2k = ∑ (ni − mi + ri ) = ∑ ni − ∑ mi + ∑ ri = n − m + r + k − 1
只有右边的图为极大平面图。 只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。 因为只有该图每个面的次数都为 。
四、极小非平面图 定义16. 若在非平面图G中任意删除一条边 所得图G′为平面 中任意删除一条边, 定义16.4 若在非平面图 中任意删除一条边,所得图 为平面 16 则称G为极小非平面图 为极小非平面图。 图,则称 为极小非平面图。 由定义不难看出: 由定义不难看出: K5, K3,3都是极小非平面图。 都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 极小非平面图必为简单图。 例如:以下各图均为极小非平面图。 例如:以下各图均为极小非平面图。
假设存在面R 的次数deg(Ri)=s≥4, 假设存在面 i的次数 , 如图所示。 如图所示。
s
S-1
不相邻, 内加边(v 不破坏平面性, 在G中,若v1与v3不相邻,在Ri内加边 1,v3)不破坏平面性,这 中 不破坏平面性 是极大平面图矛盾, 必相邻,由于R 的存在, 与G是极大平面图矛盾,因而 1与v3必相邻,由于 i的存在, 是极大平面图矛盾 因而v 必在R 边(v1,v3)必在 i外。 必在 类似地,v2与v4也必相邻,且边(v2,v4)也必在 i外部,于是必 类似地, 也必相邻,且边 也必在R 外部, 也必在 产生(v 相交于R 是平面图, 产生 1,v3)与(v2,v4)相交于 i的外部,这又矛盾于 是平面图, 与 相交于 的外部,这又矛盾于G是平面图 所以必有s= , 中不存在次数大于或等于4的面 所以必有 =3,即G中不存在次数大于或等于 的面,所以 的 中不存在次数大于或等于 的面,所以G的 每个面为3条边所围 也就是各面次数均为3。 条边所围, 每个面为 条边所围,也就是各面次数均为 。
∑ deg( R ) = 2m
证 明
i =1 i
r
其中r为G的面数
本定理中所说平面图是指平面嵌入。 本定理中所说平面图是指平面嵌入。 ∀e∈E(G), e∈E(G), 为面R 的公共边界上的边时, 1当e为面 i和Rj(i≠j)的公共边界上的边时,在计算 i和Rj的次 为面 的公共边界上的边时 在计算R 数时, 各提供 各提供1。 数时,e各提供 。 只在某一个面的边界上出现时, 2当e只在某一个面的边界上出现时,则在计算该面的次数时 只在某一个面的边界上出现时 提供2。 ,e提供 。 提供 于是每条边在计算总次数时,都提供 ,因而deg(Ri)=2m。 于是每条边在计算总次数时,都提供2,因而 。
16 平面图
一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 、 定义16. 定义16.1 16 G可嵌入曲面 可嵌入曲面S——如果图 能以这样的方式画在曲面 上 如果图G能以这样的方式画在曲面 可嵌入曲面 如果图 能以这样的方式画在曲面S上 即除顶点处外无边相交。 ,即除顶点处外无边相交。 G是可平面图或平面图 是可平面图或平面图——若G可嵌入平面。 若 可嵌入平面。 是可平面图或平面图 可嵌入平面 G的平面嵌入 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 画出的无边相交的平面图。 的平面嵌入 画出的无边相交的平面图 非平面图——无平面嵌入的图。 无平面嵌入的图。 非平面图 无平面嵌入的图