17,18平面图及图的着色

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本节的主要内容
–平面图的基本概念 平面图的基本概念 –欧拉公式 欧拉公式 –平面图的判断 平面图的判断 –平面图的对偶图 平面图的对偶图 –顶点着色及点色数 顶点着色及点色数 –地图的着色与平面图的点着色 地图的着色与平面图的点着色 –边着色及边色数 边着色及边色数
平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图 图中顶点的着色 地图的着色与平面图的点着色 边着色 本章小结 习 作 题 业
定理16. 阶简单连通的平面图, 为极大平面图 定理16.7 设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图,G为极大平面图 16 为 ≥ 阶简单连通的平面图 当且仅当G的每个面的次数均为 。 当且仅当 的每个面的次数均为3。 的每个面的次数均为
证 明 思 路
本节只证明必要性,即设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图,G 阶简单连通的平面图, 本节只证明必要性,即设 为 ≥ 阶简单连通的平面图 为极大平面图, 的每个面的次数均为3。 为极大平面图,则G的每个面的次数均为 。 的每个面的次数均为 由于n≥ 必为简单平面图, 每个面的次数均≥ 由于 ≥3, 又G必为简单平面图,可知,G每个面的次数均≥3。 必为简单平面图 可知, 每个面的次数均 。 因为G为平面图,又为极大平面图。可证G不可能存在次数 不可能存在次数>3 因为 为平面图,又为极大平面图。可证 不可能存在次数 为平面图 的面。 的面。
三、极大平面图 1、 定义 、 定义16. 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之 定义16.3 若在简单平面图 中的任意两个不相邻的顶点之 16 间加一条新边所得图为非平面图,则称G为极大平面图 为极大平面图。 间加一条新边所得图为非平面图,则称 为极大平面图。 注意:若简单平面图G中已无不相邻顶点, G显然是极大平 注意: 若简单平面图 中已无不相邻顶点, 显然是极大平 中已无不相邻顶点 面图, 平凡图) 都是极大平面图。 面图,如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 、 定理165 极大平面图是连通的。 定理165 极大平面图是连通的。 定理166 阶极大平面图中不可能有割点和桥。 定理166 n(n≥3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。 ≥ 阶极大平面图中不可能有割点和桥
二、平面图的面与次数(针对平面图的平面嵌入) 平面图的面与次数(针对平面图的平面嵌入) 1、 定义 、 定义16. 是平面图, 定义16.2 设G是平面图, 16 是平面图 G的面 的面——由G的边将 所在的平面划分成的每一个区域。 的边将G所在的平面划分成的每一个区域 的面 由 的边将 所在的平面划分成的每一个区域。 无限面(外部面) 面积无限的面, 无限面(外部面)——面积无限的面,记作 0。 面积无限的面 记作R 有限面(内部面) 有限面(内部面)——面积有限的面 ,记作 1, R2, …, Rk。 面积有限的面 记作R 的边界——包围面 i的所有边组成的回路组。 包围面R 面Ri的边界 包围面 的所有边组成的回路组。 的次数——Ri边界的长度,记作 边界的长度,记作deg(Ri)。 面Ri的次数 。
i =1 i =1 i =1 i =1 k k k k
经整理得 n-m+r = k+1。 。
2、 与欧拉公式有关的定理 、 定理16. 为连通的平面图, 定理 16.10 设 G为连通的平面图 , 且每个面的次数至少为 16 为连通的平面图 l(l 3),则 G的边数与顶点数有如下关系: 的边数与顶点数有如下关系: , 的边数与顶点数有如下关系
2、几点说明 、 若平面图G有 个面 可笼统地用R 个面, 表示, 若平面图 有k个面,可笼统地用 1, R2, …, Rk表示,不需 要指出外部面。 要指出外部面。 回路组是指:边界可能是初级回路( 回路组是指:边界可能是初级回路(圈),可能是简单回 也可能是复杂回路。特别地, 路,也可能是复杂回路。特别地,还可能是非连通的回路 之并。 之并。
(3)设m=k(k≥1)时成立,当m=k+1时,对G进行如下讨论。 设 = 时成立, 进行如下讨论。 时成立 = 时 进行如下讨论 是树, 是非平凡的, 中至少有两片树叶。 若G是树,则G是非平凡的,因而 中至少有两片树叶。 是树 是非平凡的 因而G中至少有两片树叶 为树叶, 仍然是连通图, 设v为树叶,令G'=G-v,则G'仍然是连通图,且G'的边数 为树叶 , 仍然是连通图 的边数 m'=m-1=k,n'=n-1,r'=r。 , , 。 由假设可知 n'-m'+r'=2,式中n',m',r'分别为 的顶点数, ,式中 , , 分别为G'的顶点数, 分别为 的顶点数 边数和面数。 边数和面数。 于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 于是 不是树, 中含圈。 若G不是树,则G中含圈。 不是树 中含圈 设边e在 中某个圈上 中某个圈上, 仍连通且m'=m-1=k 设边 在G中某个圈上,令G'=G-e,则G'仍连通且 , 仍连通且 , n'=n,r'=r-1。 , 。 由假设有 n'-m'+r'=2。 。 于是 n-m+r=n'-(m'+1)-(r'+1)=n'-m'+r'=2
R1
R0 R2
R3
平面图有4个面, 平面图有 个面,deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。 个面 。
定理16.4 平面图G中所有面的次数之和等于边数 的两倍, 中所有面的次数之和等于边数m的两倍 定理16.4 平面图 中所有面的次数之和等于边数 的两倍,即
(2)是(1)的平面嵌入,(4)是(3)的平面嵌入。 ) )的平面嵌入, ) )的平面嵌入。
2、 几点说明及一些简单结论 、 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入,但讨论某些性质时, 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入,但讨论某些性质时,一定是指平 面嵌入。 面嵌入。 K5和K3,3都不是平面图。 都不是平面图。 定理16. ′⊆G, 为平面图, 定理16.1 设G′⊆ ,若G为平面图,则G′也是平面图。 16 ′⊆ 为平面图 ′也是平面图。 定理16. ′⊆G, 也是非平面图。 定理16.2 设G′⊆ ,若G′为非平面图,则G也是非平面图。 16 ′⊆ ′为非平面图, 也是非平面图 都是非平面图。 推论 Kn(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。 ≥ 和 ≥ 都是非平面图 定理16.3 若G为平面图,则在G中加平行边或环所得图还是平面图。 定理16.3 为平面图,则在 中加平行边或环所得图还是平面图。 为平面图 中加平行边或环所得图还是平面图 即平行边和环不影响图的平面性。 即平行边和环不影响图的平面性。
定理16.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图 ,有 个连通分支的平面图G, 定理16.9 对于具有 个连通分支的平面图 n-m+r = k+1 其中n, 分别为G的顶点数 其中 ,m,r分别为 的顶点数,边数和面数。 分别为 的顶点数,边数和面数。
证明
的连通分支分别为G 并设G 的顶点数、 设G的连通分支分别为 1、G2、…、Gk,并设 i的顶点数、 的连通分支分别为 、 边数、面数分别为n 边数、面数分别为 i、mi、ri、i=1,2,…,k。 , , , 。 由欧拉公式可知: 由欧拉公式可知 ni-mi+ri = 2,i=1,2,…,k , , , , 易知, m = ∑ mi,n = ∑ ni 易知,
小节结束
一、欧拉公式相关定理 1、 欧拉公式 、 定理16.8 对于任意的连通的平面图G, 定理16.8 对于任意的连通的平面图 ,有 n-m+r=2 其中, 、 、 分别为 的顶点数、边数和面数。 分别为G的顶点数 其中,n、m、r分别为 的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 对边数 作归纳法。 作归纳法 (1) m=0时,由于 为连通图,所以 只能是由一个孤立顶 为连通图, = 时 由于G为连通图 所以G只能是由一个孤立顶 点组成的平凡图, 点组成的平凡图,即n=1,m=0,r=1,结论显然成立。 ,结论显然成立。 (2) m=1时,由于 为连通图,所以 为连通图, = 时 由于G为连通图 所以n=2,m=1,r=1,结论 , 显然成立。 显然成立。
i =1 i =1 k k
(161)
由于每个G 有一个外部面, 只有一个外部面, 由于每个 i 有一个外部面,而G只有一个外部面,所以 的面数 只有一个外部面 所以G的面数 k r = ∑ ri − k + 1
i =1
于是, 于是,对(161)的两边同时求和得 的两边同时求和得
2k = ∑ (ni − mi + ri ) = ∑ ni − ∑ mi + ∑ ri = n − m + r + k − 1
只有右边的图为极大平面图。 只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。 因为只有该图每个面的次数都为 。
四、极小非平面图 定义16. 若在非平面图G中任意删除一条边 所得图G′为平面 中任意删除一条边, 定义16.4 若在非平面图 中任意删除一条边,所得图 为平面 16 则称G为极小非平面图 为极小非平面图。 图,则称 为极小非平面图。 由定义不难看出: 由定义不难看出: K5, K3,3都是极小非平面图。 都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 极小非平面图必为简单图。 例如:以下各图均为极小非平面图。 例如:以下各图均为极小非平面图。
假设存在面R 的次数deg(Ri)=s≥4, 假设存在面 i的次数 , 如图所示。 如图所示。
s
S-1
不相邻, 内加边(v 不破坏平面性, 在G中,若v1与v3不相邻,在Ri内加边 1,v3)不破坏平面性,这 中 不破坏平面性 是极大平面图矛盾, 必相邻,由于R 的存在, 与G是极大平面图矛盾,因而 1与v3必相邻,由于 i的存在, 是极大平面图矛盾 因而v 必在R 边(v1,v3)必在 i外。 必在 类似地,v2与v4也必相邻,且边(v2,v4)也必在 i外部,于是必 类似地, 也必相邻,且边 也必在R 外部, 也必在 产生(v 相交于R 是平面图, 产生 1,v3)与(v2,v4)相交于 i的外部,这又矛盾于 是平面图, 与 相交于 的外部,这又矛盾于G是平面图 所以必有s= , 中不存在次数大于或等于4的面 所以必有 =3,即G中不存在次数大于或等于 的面,所以 的 中不存在次数大于或等于 的面,所以G的 每个面为3条边所围 也就是各面次数均为3。 条边所围, 每个面为 条边所围,也就是各面次数均为 。
∑ deg( R ) = 2m
证 明
i =1 i
r
其中r为G的面数
本定理中所说平面图是指平面嵌入。 本定理中所说平面图是指平面嵌入。 ∀e∈E(G), e∈E(G), 为面R 的公共边界上的边时, 1当e为面 i和Rj(i≠j)的公共边界上的边时,在计算 i和Rj的次 为面 的公共边界上的边时 在计算R 数时, 各提供 各提供1。 数时,e各提供 。 只在某一个面的边界上出现时, 2当e只在某一个面的边界上出现时,则在计算该面的次数时 只在某一个面的边界上出现时 提供2。 ,e提供 。 提供 于是每条边在计算总次数时,都提供 ,因而deg(Ri)=2m。 于是每条边在计算总次数时,都提供2,因而 。
16 平面图
一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 、 定义16. 定义16.1 16 G可嵌入曲面 可嵌入曲面S——如果图 能以这样的方式画在曲面 上 如果图G能以这样的方式画在曲面 可嵌入曲面 如果图 能以这样的方式画在曲面S上 即除顶点处外无边相交。 ,即除顶点处外无边相交。 G是可平面图或平面图 是可平面图或平面图——若G可嵌入平面。 若 可嵌入平面。 是可平面图或平面图 可嵌入平面 G的平面嵌入 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 画出的无边相交的平面图。 的平面嵌入 画出的无边相交的平面图 非平面图——无平面嵌入的图。 无平面嵌入的图。 非平面图 无平面嵌入的图
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