第三章 第五节 两个随机变量的分布函数

e − λ2 λ2j P(Y = j )ห้องสมุดไป่ตู้= j!
r
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
于是
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i, Y = r − i )
i =0
4
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i, Y = r − i )
i =0
r
= ∑e
= e
r
-λ1
λ
i 1
i =0 − ( λ1 + λ2 )
X > z N > z ⇔ Y > z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函 数为: FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
17
设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布 函数分别为 (i = 1, …, n) 我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn)的分 布函数. 用与二维时完全类似的方法，可得 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
L1
X
Fmax ( z ) = FX ( x ) FY ( y )
L2 Y
24
于是 Z = max ( X ,Y ) 的概率密度为
′ ( z) f max ( z ) = Fmax
(iii) 备用的情况 由于当系统 L1 损坏时, 系统 L2 才开始工作, L1 X 因此整个系统 L 的寿命为
Z = X +Y
为
29
30
关于另一个的证明参考书本80页
31
例7 某公司提供一种地震保险，保险费Y的概率 密度是：
｛
保险赔付X的概率密度是：
其他
｛
其他
假设X和Y相互独立，求Z=Y/X的概率密度。
32
例7
｛ ｛
时，
其他
其他
解：当
；当
时，
33
总结
第二章定义 对离散随机变量：直接求解概率
P(Y = r ) = P[ g ( X ) = r ]
X Y X Y
L1
L2
L2
L2
Y
20
解
(i) 串联的情况
由于当系统 L1 , L中有一个损坏时 , 系统 L 就停止 2 工作, 所以此时 L 的寿命为
Z = min ( X ,Y )
因为 X 的概率密度为
X
− αx
Y
αe fX ( x) = 0 ,
所以 X 的分布函数为
, x>0, x≤0,
⇓
此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形, 请自行写出结论.
14
更一般地, 可以证明: 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态 分布
15
二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数. 1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
−∞ −∞
变量代换
交换积分次序
7
FZ ( z ) = ∫ [ ∫
−∞
z
∞
−∞
f ( u − y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密 度为:
f Z ( z) = F ( z) = ∫
' Z
∞
−∞
f ( z − y, y )dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
Z = min ( X ,Y )的概率密度为 ′ ( z) f min ( z ) = Fmin
指数分布
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(ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 L1 , L2 都损坏时, 系统 L 才停 止工作，所以此时 L 的寿命为
Z = max ( X ,Y )
故 Z = max ( X ,Y ) 的分布函数为
−∞
∞
0 ≤ x ≤1 z −1 ≤ x ≤ z
暂时固定
故当 当
或 时，
z
f Z ( z ) = 0. 时，
f Z ( z ) = ∫ dx = z 0
当
1
z = x +1
时，
z
2 z 1 z 11 O zz −
z=x
f Z ( z ) = ∫ dx= 2 − z z −1
于是
z , 0 ≤ z < 1, f Z ( z ) = 2 − z ,1 ≤ z < 2, 0 , 其它 .
fZ ( z) = ∫
∞
−∞ ∞
f X ( z − y ) fY ( y )dy f X ( x ) fY ( z − x )dx
∫
−∞
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
9
例4
若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
1, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 0,
求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式
) x 0 ) x
x
故
1 − e − αx , x > 0 , FX ( x ) = x≤0, 0 , 1 − e − βy , y > 0 , FY ( y ) = y≤0, 0 ,
类似地 , 可求得 Y 的分布函数为
22
于是 Z = min ( X ,Y ) 的分布函数为
Fmin ( z ) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
18
特别地，当 X1,…,Xn 相互独立且具有相同分布函 数F(x)时，有
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例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统L1 , L2 连接 而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii)备用 (当系统 L1 损坏时, 系统 L2开始工作) , 如下图所示. 设 L1 , L2 的寿命分别为 X ,Y , 已知它们的概率密度 分别为 指数分布 αe − αx , x > 0 , βe − βy , y > 0 , fX ( x) = fY ( y ) = x≤0, y≤0, 0 , 0 , 其中 且 。试分别就以上三种连接 方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度. L1 X L1
x2 − 2
2 z− x) ( −
1 = e 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z − ( x − )2 2
dx
12
1 = e 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z − ( x − )2 2
dx
z 令 t = x− , 得 2
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
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若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2) 若X和Y 独立， 结论又如何呢? 用类似的方法可以证明: ，
和第二章一样，无论是多少个随机变量的函数的分 布，我们都用同样的方法进行求解。 题目如果定义 并且X，Y相互独立。 对连续随机变量： （例如， ），
= ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
这里， D={(x, y): 常见
L2 Y
25
fZ ( z) = ∫
当且仅当
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y )dy
y > 0, z − y > 0,
故
即 0< y< z 时
z
z= y
上述积分的被积函数不等于零. 当 z ≤0 时 ,
f Z ( z ) = 0.
z
O
z
y
当 z>0 时,
26
于是Z = X+ Y的概率密度为
L1
L2
FX ( x ) = ∫
x
−∞
f X ( t )dt
21
FX ( x ) = ∫
当 x≤0 时 ,
x
−∞
f X ( t )dt
x −∞
FX ( x ) = ∫ 0dt = 0
0 x −∞ 0
当 x > 0 时 , FX ( x) = ∫ 0dt + ∫ αe −αt dt = 1 − e − αx
x
11
例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同 的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 解 由卷积公式
f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx
−∞
∞
1 ∞ 2 = e ⋅ e dx ∫ 2π −∞ z2 1 ∞ − 2 − ( x 2 − zx ) = e ⋅e dx ∫ 2π −∞
i!
r!
(r - i)! r r! i r -i λ 1 λ2 ∑ i = 0 i!(r - i)!
r
⋅e
- λ2
λ
r -i 2
=
e
− ( λ1 + λ2 )
r!
(λ1 + λ2 ) ,
r=0,1,…
即Z服从参数为
的泊松分布.
5
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率 密度 解 Z=X+Y的分布函数是:
对连续随机变量
然后写成积分的形式
最后
34
总结
和第二章一样，无论是多少个随机变量的函数的分 布，我们都用同样的方法进行求解。 题目如果定义 并且X，Y相互独立。 对离散随机变量：（一般考试范围为 ） （例如， ），
P( Z = r ) = P[ g ( X , Y ) = r ]
35
总结
2
一、Z = X + Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解
P( Z = r ) = P( X + Y = r )
= ∑ P ( X = i, Y = r − i )
i =0
f Z ( z) = F ( z) = ∫
' Z
∞
−∞
f ( x, z − x)dx
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式
8
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘 密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
f ( z) = Z
卷积公式
r
r
= ∑ P( X = i ) P(Y = r − i )
i =0
由独立性
= a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
3
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 λλ 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y 服从参数为 的泊松分布. 解 依题意
e − λ1 λ1i P( X = i) = i!
27
需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都 是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值
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三、 Z = Y/X 及Z = XY的分布
设 (X, Y) 是二维连续型随机变量，它们的概率密度函数 分别为f(X, Y) ，那么Z = Y/X和Z = XY依然为二维连续型随机变 量，其概率密度分别为： 掌握证明的过程 又如果X, Y相互独立，设(X, Y) 关于X, Y的边缘密度分别 和 ，那么：
第五节 两个随机变量的函数 的分布
Z = X+Y 的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 Z = Y/X 和 Z = XY 的分布 课堂练习 小结
1
在第二章中，我们讨论了一维随机变量函 数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求 出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布? 下面我们用几个具体的函数来讨论
X ≤ z M ≤ z⇔ Y ≤ z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z) 即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
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2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z) =1-P(X>z,Y>z)
f Z ( z) = ∫
0 ≤ x ≤1 0 ≤ z − x ≤ 1
∞
−∞
f X ( x) fY ( z − x)dx
0 ≤ x ≤1 z − 1 ≤ x ≤ z
10
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 也即
f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx
y
FZ= ( z) P ( Z ≤ z)
= P ( X + Y ≤ z)
= ∫∫ f ( x, y)dxdy
D
0
x
x+ y= z
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.
6
FZ ( z ) =
化成累次积分,得
∞
x+ y≤ z
∫∫ f ( x, y)dxdy
z− y −∞
y y 0
x
x+ y= z 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
得
FZ ( z ) = ∫ [ ∫
−∞
f ( x, y )dx]dy
FZ ( z ) = ∫ [ ∫ f (u − y, y )du ]dy
−∞ z −∞ ∞
∞
z
= ∫ [ ∫ f (u − y, y )dy ]du