振动力学试题

1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。

解：

系统的动能为 2

2

1∙=θJ T

2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ+= 3322θθk k =

联立以上两式得 θθ3

23

2k k k += θθ3223k k k +=

系统的势能为 (

)[]2

2

33222213

23

23212

1212121θ

θθθk k k k k k k k k k U +++=

++=

利用θωθn =∙

和U T =可得 ()

()

3232132n k k J k k k k k +++=

ω

2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。

解：

平面在液体中上下振动时：

02=++∙

∙

∙kx x S x m μ d

n d n T T m k πξωωπω2-1,220====

k

S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==⇒= k

S k 2

22

--1μξ=

2020220

-2-22T T T ST m

k S k T T T T d d

d πμμ=⇒=

3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。

解：

先求刚度矩阵。 令0x 1,==θ得：

22212111a k b k a a k b b k k +=⋅+⋅=

b k 221-k =

令1,0==x

θ得：

a k k 212-=

222-k k =

则刚度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2222221--k a

k a k a k b k K

再求质量矩阵。 令0,1==∙

∙∙

∙x θ ，得：

0,3

1

212111==m a m m

令1,0==∙

∙∙∙x θ，得：

22212,0m m m ==

则质量矩阵为： ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡=22

1

003

1m a m M

故频率方程为： 0-2

=M K ω

4.在图所示系统中，已知m 和k 。用瑞利法计算系统的基频。

解:

近似的选取假设模态为

()T

5.25.11=ψ

先求解刚度矩阵：

令0,2-,30,11312113,21===⇒==k k k k k x x 令k k k k k k x x -,3,2-0,12322213,12===⇒== 令k k k k k x x ===⇒==3323132,13,-,00,1 则刚度矩阵为：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k

k k k k

k K -0

-32-02-3

易得质量矩阵为：()m m m diag M 2=

由瑞利商公式：

()2175.115.2ω==ψψψψ=ψm

k

M K R T

T

m

k 461

.01=⇒ω

5.长为l 、单位长度质量为l ρ的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上，如图所示。物块质量为m ，弹簧刚度系数为k ，静平衡位置在0=y 处。弦线微幅振动，弦内张力F 保持不变，求弦横向振动的频率方程。

解：

模态函数的一般形式为： ()a

x

C a

x

C x ωωφcos

sin

21+=

边界条件为： ()()()()t l ky t

t l y m x t l y F t y ,-,-,,0,022∂∂=∂∂= 边界条件化为： ()()()()l k l m l F φφωφφ

-,002'==

导出02=C 及频率方程： ()

k m a F a

l

-tan 2ωωω=

，其中l

F

a ρ=