理论力学—质点系运动微分方程

现为2自由度
例 7-2-8 第 7章
长为 l 质量为 m 的均质细杆 AB 位于铅垂平面 内。开始时杆AB紧贴墙面，受微小干扰后B 端由静止状态开始沿水平面滑动。求杆在任 意位置受到墙的约束反力（表示为 的函数 形式）。不计摩擦。
y
质 点 系 动 力 学
A

O
第4章 质系动力学
x
B
解 第 7章
A c x
yc xc
aA
B
讨论 第 7章
当突然把绳AB剪断时，如何补充运动学方程？
O
质 点 系 动 力 学
A

l
B
讨论 第 7章
对瞬心的动量矩定理
y x
除固定点外，瞬心A是另一个 速度为零的点
v A 0; a A 0
质 点 系 动 力 学
但加速度不为零，是动点。 对任意动点的动量矩定理：
2
悬心O：
l
应用互易性可以准确确定摆心位置和等效 摆长，进而算出重力加速度。 l
T 2 g
讨论 第 7章

质 点 系 动 力 学
如果复摆自水平位置释放，求复摆摆至铅 垂位置时转动轴的约束力。 J mga sin d d dt d mga d sin d J t 0 : 90 , 0 mga 2mga 2 sin cos J J 2mga 2 0: , 0 J 2 2 ma maCn ma 2 N n P N n P(1 J ) maC ma N N 0
m l ( cos 2 sin ) X A 2
m l ( sin 2 cos ) YB mg 2
1 ml 2 Y l sin X l cos B A 12 2 2
解 第 7章
m l ( cos 2 sin ) X A 2 m l ( sin 2 cos ) YB mg 2 1 ml 2 Y l sin X l cos B A 12 2 2
如果圆轮对轴O的转动惯量未知，如何测 量它的转动惯量？— 落体观测法
例 7-2-6 齿轮传动 第 7章 已知：主动轮I: J1、r1、Ma。 从动轮II: J2、r2、Mf 求：1、 2
质 点 系 动 力 学
两个刚体
解 第 7章
刚体系问题，可拆成两个刚体，作定轴转动
J11 M a Fr1 Ma 动力学方程 J 2 2 M f Fr2
均质杆 AB 长为 l ，质量为 m ，用两根细绳悬 挂。把B绳突然剪断，求此时杆AB的角加速 度和A绳中的张力。
质 点 系 动 力 学
解 第 7章
AB杆的动力学方程：
mxc mg TA myc 0 1 ml 2 1 lT 12 2 A
o y
A
TA
c
yc
质 点 系 动 力 学
R O

n aC
aτ C
F
C C* mg N
质 点 系 动 力 学

ma C m( R r ) F mg sin ma Cn m( R r ) 2 N mg cos J C Fr
正向
(R r ) / r
几何关系： r (R r )
质 点 系 动 力 学
F mg sin m( R r ) N mg cos m( R r ) 2
3. 微振动的周期
3 (R r ) gsin 0 2
sin
3( R r ) T 2 2g
2g 0 3(R r )
例 7-2-10 第 7章
阅读指南：
1、教材第7.2节
2、习题辅导第6章
第2节 质点系动量矩定理
作 业：7-11；7-12；7-21； 参考题：7-10；7-23；7-26；
2012年12月6日
质系动量矩定理 第 7章 质系对任意动点的动量矩定理
dLA (e) MA mvC v A dt
质 点 系 动 力 学
定点 dLA M (e ) A
质 点 系 动 力 学
0 XO

r1 O r2
W
XO
m1r1 m2 r2 YO m1g m2 g W
解得：
m1 g XO 0 (m1r1 m2 r2 )2 YO (m1 m2 ) g W g 2 2 J O m1r1 m2 r2 m2 g
1 m(R r ) F 2 3 (R r ) gsin 0 圆柱体在圆槽上作大幅摆 2 动的非线性运动微分方程
解 第 7章
2. 圆槽对圆柱体的约束力
ma C m( R r ) F mg sin ma Cn m( R r ) 2 N mg cos
1
Ma M f /i J1 J 2 / i 2
r1 2 1 1 / i r2
刚体平面运动微分方程 第7章 把平面运动分解为跟随质心
的平动加围绕质心的转动。
联合应用质心运动定理和 对质心的动量矩定理
mxC X i myC Yi J C mC ( Fi )
(a) (b) (c)
质 点 系 动 力 学
3 g 0 0; 将式(a)和(b)代入(c)： sin 2l 0 0 d 3g 2 d (1 cos ) l X A 3 mg sin (3cos 2) 4
杆脱离墙的条件：XA = 0
i 1 i 1
质 点 系 动 力 学
LA J A
代入对瞬心的动量矩定理：
dLA dJ A (e) J A MA dt dt
对瞬心的动量矩定理要简化为：
dLA (e) J A M A dt
物体对瞬心的转动惯量 J A 必须保持不变 d J A (e) MA 否则只能写成：
C P
解 第 7章
O
运动微分方程
a
C P
质 点 系 动 力 学
J -mga sin g 令 l J / ma sin 0 l l 为等效摆长 相当于单摆的长度
如摆角 很小（ < 5 ），sin g 0 l 复摆微振动周期为： T 2 l 2 J
dLA (e) MA mvC v A dt
vA 0
O C A N mg F x
对瞬心的动量矩定理：
dLA (e) MA dt
刚体绕瞬心转动，能否进一步写成：
dLA (e) J A M A dt
?
讨论 第 7章
n n
对瞬心的动量矩定理
对瞬心A的动量矩：
LA ri mi vi mi ri 2 J A
dt
讨论 第 7章

对瞬心的动量矩定理
y x
圆盘纯滚动
J A 1 mR 2 + mR 2 3 mR 2 2 2
arccos 2
3
例 7-2-9 第 7章
半径为r、质量为 m的均质圆柱体，在半径 为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 。在初始位置 ＝ 0 ，由静止向下滚动。求： 1. 圆柱体的运动微分方程； 2. 圆槽对圆柱体的约束力； 3. 微振动周期。
O R
质 点 系 动 力 学

C
解 第 7章
1. 圆柱体的运动微分方程 圆柱体作平面运动， 由刚体平面运动微 分方程得：
dt
质心 dLC M (e) C
dt
动量矩守恒
dLA (e) MA dt
(e) MA 0
LA C
刚体定轴转动运动微分方程 第 7章
质系对定轴z的动量矩定理
F1 z F2
质 点 系 动 力 学
J z M z ( Fi ) J z M z ( Fi )
i 1
i 1
y x
质 点 系 动 力 学
x R
解得：
x 2 g sin 3 F 1 mg sin 3 N mg cos
O C A N mg F x
讨论 第 7章
F 1 mg sin , N mg cos 3
y x
质 点 系 动 力 学
圆盘在斜面上不打滑 的条件 F N
取 为广义坐标
xC 1 l sin 2 yC 1 l cos 2 xC l ( cos 2 sin ) 2 yC l ( sin 2 cos ) 2
y
A

XA
质 点 系 动 力 学
C P O
(a) (b) (c)
YB
x
B
刚体平面运动微分方程：
O C A N mg F x
1 tan 3
若圆盘将又滚又滑，
则补充方程为 F ' N 动摩擦系数
x g (sin cos ) 代入得： g 2 cos R
mx mg sin F
1 mR 2 FR 2
为什么不满足 x R ？
n
n
O1
vi ri mi Fn y
惯性矩是质量的二次矩
J z mi ri
i 1 n 2
e w
O x
例 7-2-4 第 7章
设质量为m的刚体悬挂在O点，并可绕一水平 轴O转动，C为刚体的质心。已知质心到悬挂 点O的距离OC = a，求此复摆的微振动周期。
O
质 点 系 动 力 学
单摆与复摆
a
g
mga
可用复摆制作精密测定重力加速度的仪器 可用复摆法测量刚体的转动惯量
讨论 第 7章
当 5 时，复摆的运动为非线性振动。 悬挂中心与摆动中心具有互易性。
O
质 点 系 动 力 学
l J / ma
a
C
l l
JC J C ma a' a l a ' a O' ma ma JC 摆心O’： J C ma2 a a l a a' ma ma
例 7-2-7 第 7章
质量为m、半径为R的均质圆盘沿倾角为 的斜面上只滚不滑。试求圆盘的质心加速度 和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。
y x
质 点 系 动 力 学
自由度=1
O C A N mg F x
解 第 7章
取x为广义坐标
mx mg sin F
0 N mg cos 1 mR 2 FR 2
标出正向定义
YO
质 点 系 动 力 学
( J O m1r12 m2 r22 ) (m1r1 m2 r2 ) g
解得：

r1
O
m1r1 m2 r2 g 2 2 J O m1r1 m2 r2
m1 g
r2
W
XO
m2 g
解 第 7章
(2). 轴承约束反力 质系动量定理
YO
例 7-2-5 第 7章
两个质量为m1和m2的重物分别系在两根不同 的绳子上，两绳分别绕在半径为r1和r2并固结 在一起的两鼓轮上，如所示。设鼓轮对O轴 的转动惯量为JO，重为W。求鼓轮的角加速 度和轴承的约束反力。
YO
质 点 系 动 力 学

r1
O
r2
W
XO
m1 g
m2 g
解 第 7章
(1) 鼓轮的角加速度 取系统为研究对象，对O轴动量矩为 LO ( J O m1r12 m2 r22 ) 动量矩定理：
质 点 系 动 力 学


1
2
运动学方程
1r1 2 r2
F N
N
F'
Mf
1 r2 i 2 r1
Mf J2 J1 2 1 M a i i
r12 r1 J J M Mf a 1 r2 2 1 r2 2
i 1 i 1 n i 1 n n
y
Fn
y' vir ri
C
质 点 系 动 力 学
i
x'
F1
ac
刚体平面运 动微分方程
F2
wk.baidu.com
O
x
刚体相对质心的动量矩
LC ri mi vir mi ri 2 J C J C dLC d(J C ) J C dt dt
i 1 i 1 n n
需补充方程后求解
ac aA art arn
mg x c x
B
xc art 1 l 2 aA 0; art l / 2; arn 0 ( 0)
联立求解得： 3g 2l
TA 1 mg 4
xA 0 约束 yA 0 无力 所以 a A 0
o
y