理论力学—质点系运动微分方程
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
理论力学 第11章 质点运动微分方程
必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第9章 质点动力学的基本方程
PAG 15
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
PAG 2
µ
m
t
PAG 20
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的炮弹以速度 发射, 的炮弹以速度v 例9-2 质量为 的炮弹以速度 0发射,v0与地面夹角为θ,求炮 弹的运动规律。 弹的运动规律。 以炮弹为研究对象， 解:⑴ 以炮弹为研究对象，画受力图 取坐标系， ⑵ 取坐标系，列微分方程
PAG 17
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§9-2 质点的运动微分方程
质量为m的小球以水平速度 射入静水,如水对小球的 的小球以水平速度v 例9-3 质量为 的小球以水平速度 0 射入静水 如水对小球的 阻力F与小球速度 的方向相反,而大小成正比 与小球速度v的方向相反 而大小成正比,即 阻力 与小球速度 的方向相反 而大小成正比 即F=-µv（µ为粘 （ 为粘 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力, ）。忽略水对小球的浮力 滞阻尼系数）。忽略水对小球的浮力,试分析小球在重力和阻 力作用下的运动。 力作用下的运动。 以小球为研究对象， 解:⑴ 以小球为研究对象，画 受力图 取直角坐标系, ⑵ 取直角坐标系,列小球沿 x、y轴的运动微分方程 、 轴的运动微分方程 r r r F = − µvx i − µv y j
理论力学
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第九章 质点动力学的基本方程
静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件 运动学：研究物体运动的几何性质 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质点：只计质量而忽略其形状和大小的物体
研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平移时，刚体 质点； 质点。
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µ
m
t
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理论力学课件 第九章动量定理,质点和质点系动量定理
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx = −m2ω2e cosωt Fy = −m2ω 2e sin ωt + (m1 + m2 )g
由主动力直接引起的静约束力
Fx静 = 0
Fy静 = (m1 + m2 )g
由质点系运动引起的动约束力
vy
ω
O2
e
O1 θ m2 g
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx动 = −m2ω 2e cosωt
5、解方程。
ω
O2
e
O1 θ
例9-3 如图所示，电动机外壳固
定在水平基础上，定子、转子的
质量分别为m1、m2。设定子质心 位 于 转 轴中 心 O1 ， 由 于 制 造 误 差，转子质心O2 到O1的距离为
e，已知转子以匀角速度ω 转
动。求： 基础对电机总的水平和
铅垂反力
偏心转子
解：1、研究对象
9.1 质点和质点系动量定理
思考题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长
为L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向
如图），求该瞬时系统的动量。
p = 2mu ?
u
B
C2
ω
A
C1
D
ω
9.1 质点和质点系动量定理 思考：己知：车身质量m1，车轮总质量m2，履带总质量m3，车身 的速度为v。求其动量。
9.1 质点和质点系动量定理
∑ dpv =
dt
v Fi
e
微分形式的投影式
∑ ∑ p& x = F x p& y = F y
∑ p& z = F z
123质心运动定理理论力学
y A
A, Co
, C
, B
B mg
x
FN
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
? FRex ? Fixe ? 0
即质点系动量在 x方向上守恒，
又：t=0时杆处于静止 故质心运动在x方向上守 恒，有：
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
? rc ?
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（ 特别是刚体）动力学中
具有重要地位。
? mi ri
rc ? 2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc
?
m r1 ? m r2 ? ......? m m? m? ......? m
rn
? ? r1 ? r2 ? ......? rn ? n
1 n ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
（1）
x2 ? ecos? t y2 ? esin? t （2）
(3) 代入质心坐标公式得 质心 c 的运动方程：
? ??
xc
?
m2 m1 ? m2
e cos?
t
?
? ??
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
第九章动力学微分方程(陆)案例
o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt
k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx
k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x
x0
mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
vx |t0 v0 c v0
x
v0m
(1
kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt
k (mg mk
vy )
dy vydt
y
y0
mg k
( k m
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
解:
Fx
ma x
m
d2x dt 2
mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
o r
F
Fy
ma y
m
d2y dt 2
mck
|t0 0, |t0 0 c g / r
岩土基础--理论力学公式
（4）记住三个转动惯量：[1]、均质杆对一端的转动惯量—— J z ml 2 / 3 ； [2]、均质杆对中心轴的转动惯量—— J z ml 2 /12 ； [3]、均质圆盘对中心轴的转动惯量—— J z mR2 / 2 。
动能定理
1、功——W M2 F dr M1
（1）常力在直线运动中的功——W Fs ；
质点的振动
1 固有频率
0 2π f
k m
2 并联弹簧固有频率
0
1 2π
k1 m 2π
k1 k2 m
2 串联弹簧固有频率
1、第二定律（质点动力学基本方程）： F ma
——质点运动微分方程：
m
d2 dt
r
2
F
动量定理
1、质点动量—— p mv
2、质点系动量—— p mivi 或 p mvC （1）质点系动量定理：[1]、微分形式—— dp F edt dI e 或 dp F e ；
dt
[2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、积分形式—— p2 p1 I e 。
[2]、速度： v Rω
[3]、加速度： at R ， an v2 / R Rω2 ，
a at2 an2 R 2 ω4 ， tan a, n / ω2 。
二．
轮系的传动比——主动轮 I 与从动轮 II 的角速度的比值 i12
ω1 ω2
R2 R1
z2 z1
质点动力学的基本方程
（2）定轴转动—— Lz J zω 。
3、质点系动量矩定理—— dLO dt
MO (Fi(e) ) ；
——投影式： d Lx dt
M x (Fi(e) ),
d Ly dt
M y (Fi(e) ),
d Lz dt
动能定理
1、功——W M2 F dr M1
（1）常力在直线运动中的功——W Fs ；
质点的振动
1 固有频率
0 2π f
k m
2 并联弹簧固有频率
0
1 2π
k1 m 2π
k1 k2 m
2 串联弹簧固有频率
1、第二定律（质点动力学基本方程）： F ma
——质点运动微分方程：
m
d2 dt
r
2
F
动量定理
1、质点动量—— p mv
2、质点系动量—— p mivi 或 p mvC （1）质点系动量定理：[1]、微分形式—— dp F edt dI e 或 dp F e ；
dt
[2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、积分形式—— p2 p1 I e 。
[2]、速度： v Rω
[3]、加速度： at R ， an v2 / R Rω2 ，
a at2 an2 R 2 ω4 ， tan a, n / ω2 。
二．
轮系的传动比——主动轮 I 与从动轮 II 的角速度的比值 i12
ω1 ω2
R2 R1
z2 z1
质点动力学的基本方程
（2）定轴转动—— Lz J zω 。
3、质点系动量矩定理—— dLO dt
MO (Fi(e) ) ；
——投影式： d Lx dt
M x (Fi(e) ),
d Ly dt
M y (Fi(e) ),
d Lz dt
第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).
动力学两 类基本问 题：
(1) 已知运 动求力； (2) 已知力 求运动。
ma F
此外，尚有虚位移原理（分析力学一部分）——用动力学方法求解静力学 问题。
6
（动）力学原理分类：
先了解一下
微分 形式 力学 原理 积分 形式
非变分形式（如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程） 变分形式（如虚位移（功）原理、动力 学普遍方程） 非变分形式（如普遍定理、能量守恒原理） 变分形式（如哈密顿原理）
8
三、质点运动微分方程（动力学基本方程）（指惯性参考系下）
即牛二定律的微分形式： ma F
d 2r 矢径式 m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d2s m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
作业：11-3, 11-4
10
如此诸多名称，你一下子记不住，可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础（相当于静力学的公理）
复习或简介以下内容：
一、牛顿三大定律： 请同学叙述，请其他同学回答叙述是否正确。
问题：牛顿定律对刚体是否成立？
二、（运动）参考系：
提问：①什么是惯性参考系和非惯性参考系？一般如何确定惯性参考系？
4
哲 学 家 云： 静止是相对的，运动是绝对的 物理学家云：静止是相对的，运动也是相对的
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
（动）点 刚体 (无质量) 绝对法 合成法 点的 运动 学
理论力学课件-动力学精选全文完整版
第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
《理论力学》第十章 质心运动定理
－－质心运动定理 －－质心运动定理
结论： 结论：
质心“ 1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定 理”。 无论刚体（ ）、质点系做何形式的运 2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运 动，此定理成立。 此定理成立。 3. 质心的运动仅与质系的外力有关，与
内力无关。 内力无关。
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
质心是永远存在， 质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在
在重力场内， 在重力场内，质心与重心重合
Wi ∑ ix C x = W Wi ∑ iy y = C W W ∑ izi z C= W
质心坐标
（二）质心运动定理 d2r i m 2 =F 对每个质点 i i d t 2 dr i 求和 F m 2 =∑ i ∑ i d t 2 2 2 d d dr C 左 = 2 (∑ ir) = 2 (mC) =m 2 边 mi r d t d t d t E I 右 =∑F +F =∑ iE +∑ iI 边 F F i i
mi ∑ ir r = C m ∑ i
问题： 问题：
mi ∑ ix x C= m ∑ i mi ∑ iy y = C m ∑ i mi ∑ iz z C= m ∑ i
构成，每个刚体质心位置已知， 系统由几个刚体构成，每个刚体质心位置已知， 系统质心如何确定？ 1. 系统质心如何确定？ 质心的速度如何确定？ 2. 质心的速度如何确定？
精品课件-理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)
惯性——物体具有保持其原有运动状态的特征
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F ——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
(1 )F 不， 变 a ， m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2)F 不， 变 a， m
物体的运动状态不易改变——惯性大
力的单位:牛[顿],
1N1kg1ms2
二、质点的运动微分方程
ma Fi
m
d2 dt
r
2
Fi
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影 aaxiayjazk
理论力学第十章 质点动力学 基本方程(Y)
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
kt m
y
v0
m sin k
kt m
x x0
vx 0
y0 vy v0
A1 x0 B1 0
A2 0
B2 v0
m k
解法二： mx Fx kx
my Fy ky
（1） m x kx
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F ——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
(1 )F 不， 变 a ， m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2)F 不， 变 a， m
物体的运动状态不易改变——惯性大
力的单位:牛[顿],
1N1kg1ms2
二、质点的运动微分方程
ma Fi
m
d2 dt
r
2
Fi
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影 aaxiayjazk
理论力学第十章 质点动力学 基本方程(Y)
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
kt m
y
v0
m sin k
kt m
x x0
vx 0
y0 vy v0
A1 x0 B1 0
A2 0
B2 v0
m k
解法二： mx Fx kx
my Fy ky
（1） m x kx
10 质点的运动微分方程
于是有，x = v0 t cosα （3）
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式（2），有 v y =
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第十章 质点运动微分方程
当t=0时， y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得：
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt （4） 2 式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
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第十章 质点运动微分方程
§10－ 3质点动力学两类基本问题 10－
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还 须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运 动，速度为v。试问下列各式是否正确？
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第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A．a、b都正确。 B．a、b都不正确。 C．a正确，b不正确。 D．a不正确，b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式（2），有 v y =
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第十章 质点运动微分方程
当t=0时， y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得：
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt （4） 2 式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
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第十章 质点运动微分方程
§10－ 3质点动力学两类基本问题 10－
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还 须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运 动，速度为v。试问下列各式是否正确？
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第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A．a、b都正确。 B．a、b都不正确。 C．a正确，b不正确。 D．a不正确，b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
第十一章 质点运动微分方程理论力学
第十一章 质点运动微分方程 该定律表明：
14
1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时 对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表 现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向 可以完全不同于作用力的方向。 2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点 上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越 大。 这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越 强，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点惯 性大小的度量。
Fmax
2 v0 = P(1 + ) gl
第十一章 质点运动微分方程
25
※ 刚才介绍的是动力学第一类问题，其要点是运动方程的 建立，基本数学方法是求导 ※ 动力学第二类问题，是已知力求运动。基本数学方法是 积分。积分的难易取决于载荷的复杂程度。通常有： F=F（c、t、v、r） ※ 目前要求掌握： F=c F=F（v） F=F（t） F=F（r） 须将积分 变量作变换 dv dv dx m = m ⋅ = F ( x) dt dx dt
第十一章 质点运动微分方程 第二定律（力与加速度关系定律）
13
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作 用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速 度的方向与力的方向相同。 即：
F a= m
或
ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常 称上式为动力学基本方程。 当质点同时受几个力的作用时上式中的F 应理解 为这些力的合力。
α ω α B
l
M
F F N1 N2 an FN2 α mg M
a
a
l
第十一章 质点运动微分方程
A α ω α B l M a FN 1 sin α + FN 2 sin α ρ
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C P
解 第 7章
O
运动微分方程
a
C P
质 点 系 动 力 学
J -mga sin g 令 l J / ma sin 0 l l 为等效摆长 相当于单摆的长度
如摆角 很小（ < 5 ），sin g 0 l 复摆微振动周期为： T 2 l 2 J
dt
质心 dLC M (e) C
dt
动量矩守恒
dLA (e) MA dt
(e) MA 0
LA C
刚体定轴转动运动微分方程 第 7章
质系对定轴z的动量矩定理
F1 z F2
质 点 系 动 力 学
J z M z ( Fi ) J z M z ( Fi )
i 1
i 1
O C A N mg F x
1 tan 3
若圆盘将又滚又滑，
则补充方程为 F ' N 动摩擦系数
x g (sin cos ) 代入得： g 2 cos R
mx mg sin F
1 mR 2 FR 2
为什么不满足 x R ？
标出正向定义
YO
质 点 系 动 力 学
( J O m1r12 m2 r22 ) (m1r1 m2 r2 ) g
解得：
r1
O
m1r1 m2 r2 g 2 2 J O m1r1 m2 r2
m1 g
r2
W
XO
m2 g
解 第 7章
(2). 轴承约束反力 质系动量定理
YO
现为2自由度
例 7-2-8 第 7章
长为 l 质量为 m 的均质细杆 AB 位于铅垂平面 内。开始时杆AB紧贴墙面，受微小干扰后B 端由静止状态开始沿水平面滑动。求杆在任 意位置受到墙的约束反力（表示为 的函数 形式）。不计摩擦。
y
质 点 系 动 力 学
A
O
第4章 质系动力学
x
B
解 第 7章
例 7-2-5 第 7章
两个质量为m1和m2的重物分别系在两根不同 的绳子上，两绳分别绕在半径为r1和r2并固结 在一起的两鼓轮上，如所示。设鼓轮对O轴 的转动惯量为JO，重为W。求鼓轮的角加速 度和轴承的约束反力。
YO
质 点 系 动 力 学
r1
O
r2
W
XO
m1 g
m2 g
解 第 7章
(1) 鼓轮的角加速度 取系统为研究对象，对O轴动量矩为 LO ( J O m1r12 m2 r22 ) 动量矩定理：
质 点 系 动 力 学
1
2
运动学方程
1r1 2 r2
F N
N
F'
Mf
1 r2 i 2 r1
Mf J2 J1 2 1 M a i i
r12 r1 J J M Mf a 1 r2 2 1 r2 2
2
悬心O：等效 摆长，进而算出重力加速度。 l
T 2 g
讨论 第 7章
质 点 系 动 力 学
如果复摆自水平位置释放，求复摆摆至铅 垂位置时转动轴的约束力。 J mga sin d d dt d mga d sin d J t 0 : 90 , 0 mga 2mga 2 sin cos J J 2mga 2 0: , 0 J 2 2 ma maCn ma 2 N n P N n P(1 J ) maC ma N N 0
例 7-2-7 第 7章
质量为m、半径为R的均质圆盘沿倾角为 的斜面上只滚不滑。试求圆盘的质心加速度 和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。
y x
质 点 系 动 力 学
自由度=1
O C A N mg F x
解 第 7章
取x为广义坐标
mx mg sin F
0 N mg cos 1 mR 2 FR 2
均质杆 AB 长为 l ，质量为 m ，用两根细绳悬 挂。把B绳突然剪断，求此时杆AB的角加速 度和A绳中的张力。
质 点 系 动 力 学
解 第 7章
AB杆的动力学方程：
mxc mg TA myc 0 1 ml 2 1 lT 12 2 A
o y
A
TA
c
yc
质 点 系 动 力 学
i 1 i 1 n i 1 n n
y
Fn
y' vir ri
C
质 点 系 动 力 学
i
x'
F1
ac
刚体平面运 动微分方程
F2
O
x
刚体相对质心的动量矩
LC ri mi vir mi ri 2 J C J C dLC d(J C ) J C dt dt
i 1 i 1 n n
(a) (b) (c)
质 点 系 动 力 学
3 g 0 0; 将式(a)和(b)代入(c)： sin 2l 0 0 d 3g 2 d (1 cos ) l X A 3 mg sin (3cos 2) 4
杆脱离墙的条件：XA = 0
dt
讨论 第 7章
对瞬心的动量矩定理
y x
圆盘纯滚动
J A 1 mR 2 + mR 2 3 mR 2 2 2
质 点 系 动 力 学
0 XO
r1 O r2
W
XO
m1r1 m2 r2 YO m1g m2 g W
解得：
m1 g XO 0 (m1r1 m2 r2 )2 YO (m1 m2 ) g W g 2 2 J O m1r1 m2 r2 m2 g
需补充方程后求解
ac aA art arn
mg x c x
B
xc art 1 l 2 aA 0; art l / 2; arn 0 ( 0)
联立求解得： 3g 2l
TA 1 mg 4
xA 0 约束 yA 0 无力 所以 a A 0
o
y
A c x
yc xc
aA
B
讨论 第 7章
当突然把绳AB剪断时，如何补充运动学方程？
O
质 点 系 动 力 学
A
l
B
讨论 第 7章
对瞬心的动量矩定理
y x
除固定点外，瞬心A是另一个 速度为零的点
v A 0; a A 0
质 点 系 动 力 学
但加速度不为零，是动点。 对任意动点的动量矩定理：
y x
质 点 系 动 力 学
x R
解得：
x 2 g sin 3 F 1 mg sin 3 N mg cos
O C A N mg F x
讨论 第 7章
F 1 mg sin , N mg cos 3
y x
质 点 系 动 力 学
圆盘在斜面上不打滑 的条件 F N
取 为广义坐标
xC 1 l sin 2 yC 1 l cos 2 xC l ( cos 2 sin ) 2 yC l ( sin 2 cos ) 2
y
A
XA
质 点 系 动 力 学
C P O
(a) (b) (c)
YB
x
B
刚体平面运动微分方程：
质 点 系 动 力 学
F mg sin m( R r ) N mg cos m( R r ) 2
3. 微振动的周期
3 (R r ) gsin 0 2
sin
3( R r ) T 2 2g
2g 0 3(R r )
例 7-2-10 第 7章
1
Ma M f /i J1 J 2 / i 2
r1 2 1 1 / i r2
刚体平面运动微分方程 第7章 把平面运动分解为跟随质心
的平动加围绕质心的转动。
联合应用质心运动定理和 对质心的动量矩定理
mxC X i myC Yi J C mC ( Fi )
arccos 2
3
例 7-2-9 第 7章
半径为r、质量为 m的均质圆柱体，在半径 为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 。在初始位置 ＝ 0 ，由静止向下滚动。求： 1. 圆柱体的运动微分方程； 2. 圆槽对圆柱体的约束力； 3. 微振动周期。
O R
质 点 系 动 力 学
C
解 第 7章
1. 圆柱体的运动微分方程 圆柱体作平面运动， 由刚体平面运动微 分方程得：
1 m(R r ) F 2 3 (R r ) gsin 0 圆柱体在圆槽上作大幅摆 2 动的非线性运动微分方程
解 第 7章
2. 圆槽对圆柱体的约束力
ma C m( R r ) F mg sin ma Cn m( R r ) 2 N mg cos
dLA (e) MA mvC v A dt
vA 0
O C A N mg F x
对瞬心的动量矩定理：
dLA (e) MA dt
刚体绕瞬心转动，能否进一步写成：
dLA (e) J A M A dt
?
讨论 第 7章
n n
对瞬心的动量矩定理
对瞬心A的动量矩：
LA ri mi vi mi ri 2 J A
阅读指南：
1、教材第7.2节
2、习题辅导第6章
解 第 7章
O
运动微分方程
a
C P
质 点 系 动 力 学
J -mga sin g 令 l J / ma sin 0 l l 为等效摆长 相当于单摆的长度
如摆角 很小（ < 5 ），sin g 0 l 复摆微振动周期为： T 2 l 2 J
dt
质心 dLC M (e) C
dt
动量矩守恒
dLA (e) MA dt
(e) MA 0
LA C
刚体定轴转动运动微分方程 第 7章
质系对定轴z的动量矩定理
F1 z F2
质 点 系 动 力 学
J z M z ( Fi ) J z M z ( Fi )
i 1
i 1
O C A N mg F x
1 tan 3
若圆盘将又滚又滑，
则补充方程为 F ' N 动摩擦系数
x g (sin cos ) 代入得： g 2 cos R
mx mg sin F
1 mR 2 FR 2
为什么不满足 x R ？
标出正向定义
YO
质 点 系 动 力 学
( J O m1r12 m2 r22 ) (m1r1 m2 r2 ) g
解得：
r1
O
m1r1 m2 r2 g 2 2 J O m1r1 m2 r2
m1 g
r2
W
XO
m2 g
解 第 7章
(2). 轴承约束反力 质系动量定理
YO
现为2自由度
例 7-2-8 第 7章
长为 l 质量为 m 的均质细杆 AB 位于铅垂平面 内。开始时杆AB紧贴墙面，受微小干扰后B 端由静止状态开始沿水平面滑动。求杆在任 意位置受到墙的约束反力（表示为 的函数 形式）。不计摩擦。
y
质 点 系 动 力 学
A
O
第4章 质系动力学
x
B
解 第 7章
例 7-2-5 第 7章
两个质量为m1和m2的重物分别系在两根不同 的绳子上，两绳分别绕在半径为r1和r2并固结 在一起的两鼓轮上，如所示。设鼓轮对O轴 的转动惯量为JO，重为W。求鼓轮的角加速 度和轴承的约束反力。
YO
质 点 系 动 力 学
r1
O
r2
W
XO
m1 g
m2 g
解 第 7章
(1) 鼓轮的角加速度 取系统为研究对象，对O轴动量矩为 LO ( J O m1r12 m2 r22 ) 动量矩定理：
质 点 系 动 力 学
1
2
运动学方程
1r1 2 r2
F N
N
F'
Mf
1 r2 i 2 r1
Mf J2 J1 2 1 M a i i
r12 r1 J J M Mf a 1 r2 2 1 r2 2
2
悬心O：等效 摆长，进而算出重力加速度。 l
T 2 g
讨论 第 7章
质 点 系 动 力 学
如果复摆自水平位置释放，求复摆摆至铅 垂位置时转动轴的约束力。 J mga sin d d dt d mga d sin d J t 0 : 90 , 0 mga 2mga 2 sin cos J J 2mga 2 0: , 0 J 2 2 ma maCn ma 2 N n P N n P(1 J ) maC ma N N 0
例 7-2-7 第 7章
质量为m、半径为R的均质圆盘沿倾角为 的斜面上只滚不滑。试求圆盘的质心加速度 和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。
y x
质 点 系 动 力 学
自由度=1
O C A N mg F x
解 第 7章
取x为广义坐标
mx mg sin F
0 N mg cos 1 mR 2 FR 2
均质杆 AB 长为 l ，质量为 m ，用两根细绳悬 挂。把B绳突然剪断，求此时杆AB的角加速 度和A绳中的张力。
质 点 系 动 力 学
解 第 7章
AB杆的动力学方程：
mxc mg TA myc 0 1 ml 2 1 lT 12 2 A
o y
A
TA
c
yc
质 点 系 动 力 学
i 1 i 1 n i 1 n n
y
Fn
y' vir ri
C
质 点 系 动 力 学
i
x'
F1
ac
刚体平面运 动微分方程
F2
O
x
刚体相对质心的动量矩
LC ri mi vir mi ri 2 J C J C dLC d(J C ) J C dt dt
i 1 i 1 n n
(a) (b) (c)
质 点 系 动 力 学
3 g 0 0; 将式(a)和(b)代入(c)： sin 2l 0 0 d 3g 2 d (1 cos ) l X A 3 mg sin (3cos 2) 4
杆脱离墙的条件：XA = 0
dt
讨论 第 7章
对瞬心的动量矩定理
y x
圆盘纯滚动
J A 1 mR 2 + mR 2 3 mR 2 2 2
质 点 系 动 力 学
0 XO
r1 O r2
W
XO
m1r1 m2 r2 YO m1g m2 g W
解得：
m1 g XO 0 (m1r1 m2 r2 )2 YO (m1 m2 ) g W g 2 2 J O m1r1 m2 r2 m2 g
需补充方程后求解
ac aA art arn
mg x c x
B
xc art 1 l 2 aA 0; art l / 2; arn 0 ( 0)
联立求解得： 3g 2l
TA 1 mg 4
xA 0 约束 yA 0 无力 所以 a A 0
o
y
A c x
yc xc
aA
B
讨论 第 7章
当突然把绳AB剪断时，如何补充运动学方程？
O
质 点 系 动 力 学
A
l
B
讨论 第 7章
对瞬心的动量矩定理
y x
除固定点外，瞬心A是另一个 速度为零的点
v A 0; a A 0
质 点 系 动 力 学
但加速度不为零，是动点。 对任意动点的动量矩定理：
y x
质 点 系 动 力 学
x R
解得：
x 2 g sin 3 F 1 mg sin 3 N mg cos
O C A N mg F x
讨论 第 7章
F 1 mg sin , N mg cos 3
y x
质 点 系 动 力 学
圆盘在斜面上不打滑 的条件 F N
取 为广义坐标
xC 1 l sin 2 yC 1 l cos 2 xC l ( cos 2 sin ) 2 yC l ( sin 2 cos ) 2
y
A
XA
质 点 系 动 力 学
C P O
(a) (b) (c)
YB
x
B
刚体平面运动微分方程：
质 点 系 动 力 学
F mg sin m( R r ) N mg cos m( R r ) 2
3. 微振动的周期
3 (R r ) gsin 0 2
sin
3( R r ) T 2 2g
2g 0 3(R r )
例 7-2-10 第 7章
1
Ma M f /i J1 J 2 / i 2
r1 2 1 1 / i r2
刚体平面运动微分方程 第7章 把平面运动分解为跟随质心
的平动加围绕质心的转动。
联合应用质心运动定理和 对质心的动量矩定理
mxC X i myC Yi J C mC ( Fi )
arccos 2
3
例 7-2-9 第 7章
半径为r、质量为 m的均质圆柱体，在半径 为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 。在初始位置 ＝ 0 ，由静止向下滚动。求： 1. 圆柱体的运动微分方程； 2. 圆槽对圆柱体的约束力； 3. 微振动周期。
O R
质 点 系 动 力 学
C
解 第 7章
1. 圆柱体的运动微分方程 圆柱体作平面运动， 由刚体平面运动微 分方程得：
1 m(R r ) F 2 3 (R r ) gsin 0 圆柱体在圆槽上作大幅摆 2 动的非线性运动微分方程
解 第 7章
2. 圆槽对圆柱体的约束力
ma C m( R r ) F mg sin ma Cn m( R r ) 2 N mg cos
dLA (e) MA mvC v A dt
vA 0
O C A N mg F x
对瞬心的动量矩定理：
dLA (e) MA dt
刚体绕瞬心转动，能否进一步写成：
dLA (e) J A M A dt
?
讨论 第 7章
n n
对瞬心的动量矩定理
对瞬心A的动量矩：
LA ri mi vi mi ri 2 J A
阅读指南：
1、教材第7.2节
2、习题辅导第6章