抛物线的切线(自己)
刘蒋巍：抛物线的切线与阿基米德三角形及其考察的2个视角
抛物线的切线与阿基米德三角形及其考察的2个视角文/刘蒋巍一．什么是“阿基米德三角形”？抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形被称为阿基米德三角形．二．抛物线切线方程及阿基米德三角形的性质1. 过抛物线上的一点作切线：(1) 过抛物线y 2＝2px 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)； (2) 过抛物线y 2＝－2px 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝－p (x ＋x 0)； (3) 过抛物线x 2＝2py 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＝p (y ＋y 0)； (4) 过抛物线x 2＝－2py 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＝－p (y ＋y 0)． 2. 如图，已知Q 是抛物线x 2＝2py 准线上任意一点，过Q 作抛物线的切线QA ，QB 分别交抛物线于A ，B 两点，M (x 0，y 0)为 AB 的中点，则：(1) 若AB 过焦点F ，则AB 的端点的两条切线的交点Q 在其准线上； (2) 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即x Q ＝x M ； (3) AB 过抛物线的焦点F ； (4) AQ ⊥BQ ；(5) 阿基米德三角形面积的最小值为p 2.三．考察的2个视角视角1：过弦的端点分别作切线问题例1 (2022·唐山三模)在平面直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆N ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14相内切，且与直线y ＝－1相切，记动圆圆心M 的轨迹为曲线C .(1) 求曲线C 的方程；【解答】 设动圆圆心M (x ，y )，半径为r ，由题意知|MN |＝r －12，r ＝y ＋1，于是得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y ，所以曲线C 的方程为x 2＝2y .(2) 过点E (0,1)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作曲线C 的切线l 1，l 2，直线l 1，l 2交于点P .若(AB →＋AP →)·PB→＝0，求直线l 的方程．【解答】 由题意知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，12x 21，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，12x 22，由⎩⎨⎧x 2＝2y ，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得x 2－2kx －2＝0，Δ＝4k 2＋8>0，且x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为y －12x 21＝m (x －x 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －12x 21＝m x －x 1，x 2＝2y ，消去y 并整理得x 2－2mx ＋2mx 1－x 21＝0，则Δ＝4m2－4(2mx 1－x 21)＝0，解得m ＝x 1，切线l 1的方程为y ＝x 1x －12x 21，同理可得，切线l 2的方程为y ＝x 2x －12x 22，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1x －12x 21，y ＝x 2x －12x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1，12x 22－12x 21，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 12，x 1x 2－x 12，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 12，x 2x 2－x 12.因为(AB →＋AP →)·PB →＝0，所以AB →·PB →＋AP →·PB→＝0，即x 2－x 122＋x 2x 1＋x 2x 2－x 124＋x 2－x 124＋x 1x 2x 2－x 124＝0，化简得3＋2x 1x 2＋x 22＝0，因此，x 22＝1，于是得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12或B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，直线l 的斜率k ＝±12，所以直线l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.变式 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，AB 所在直线经过抛物线的焦点F ，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .求证：FM →·AB→为定值．【解答】 由题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ＝16k 2＋16>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，又y ′＝x 2，所以切线的方程分别为MA ：y ＝x 12x －x 214，MB ：y ＝x 22x －x 224，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－1，所以k FM ＝2－x 1＋x 22，故k FM ·k ＝2－x 1＋x 22·x 1＋x 24＝－1，即FM →⊥AB →，所以FM →·AB→＝0，为定值．视角2：定直线上的点引两条切线问题例2 如图，设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过点M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(例2)(1) 求证：A ，B ，M 三点的横坐标成等差数列；【解答】 由题意设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py得y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p .因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p (x －x 0)，所以x 212p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)①， x 222p ＋2p ＝x 2p (x 2－x 0)②，由①②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2，所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2) 当点M 的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410，求此时抛物线的方程．【解答】由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①，②并整理得x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0，所以x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两个根，Δ＝16＋16p 2>0，因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ＝2p ，故由弦长公式得|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋4p 216＋16p 2.又|AB |＝410，所以p ＝1或p ＝2，因此所求抛物线的方程为x 2＝2y 或x 2＝4y .变式 已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E (不同于原点)的直线l 与抛物线D 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与y 轴交于点C .(1) 若EA →＝λ1EC →，EB →＝λ2EC →，求λ1·λ2的值；【解答】 设E (t,0)(t ≠0)，C (0，m )，因为EA →＝λ1EC →，EB →＝λ2EC →，所以⎩⎨⎧x 1－t ，y 1＝λ1－t ，m ，x 2－t ，y 2＝λ2－t ，m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝t －x 1t ，λ2＝t －x 2t . 设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －t )，联立⎩⎨⎧y ＝k x －t，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4kt ＝0，Δ＝16k 2－16kt ＞0，且x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4kt ，所以λ1λ2＝t 2－x 1＋x 2t ＋x 1x 2t 2＝t 2－4kt ＋4ktt 2＝1.(2) 若E (4,0)，过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，并求此定直线的方程．【解答】设M (x ，y )，由x 2＝4y 可得y ＝x 24，故y ′＝x 2，所以抛物线在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214处的切线方程为y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.同理可得抛物线在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224处的切线方程为y ＝x 22x －x 224.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 24.因为E (4,0)，即t ＝4，由(1)可得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16k ，所以⎩⎨⎧x ＝2k ，y ＝4k ，即y ＝2x ，所以点M (x ，y )在直线y ＝2x 上．。
过抛物线上一点的切线方程公式推导
过抛物线上一点的切线方程公式推导抛物线，这个名字听起来就有点高大上，其实它就是一种很常见的数学曲线。
想想你在公园里扔球，球的飞行轨迹就像一条抛物线。
今天，我们就来聊聊过抛物线上某一点的切线方程怎么推导。
听起来有点复杂，但别担心，我们慢慢来，讲得轻松点儿！1. 抛物线的基础知识1.1 抛物线是什么？首先，我们得搞清楚什么是抛物线。
简单来说，抛物线就是一个二次函数的图像，比如 (y = ax^2 + bx + c)。
你把这些字母放在一起，就能画出那种弯弯的、对称的曲线。
哎呀，想象一下，像是一只微笑的弓，超级可爱吧？1.2 为什么要找切线？那么，切线是什么鬼呢？切线就像是那条在某一点上恰好碰到曲线的直线，换句话说，它在那儿和曲线“亲密接触”了一下。
切线可以告诉我们在那一点的斜率，也就是曲线的“瞬时速度”。
对于抛物线来说，切线可以帮助我们理解曲线的走势，简直就像是为抛物线开了一扇窗，让我们看到里面的故事。
2. 推导切线方程的步骤2.1 选定点好了，准备开始推导了。
首先，假设我们要找切线的那一点是 ((x_0, y_0))，而这个点必然在抛物线上，所以我们可以代入公式，得到 (y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c)。
嘿，没想到吧，这里就已经有了第一个线索。
2.2 求斜率接下来，我们得计算在这个点的斜率。
切线的斜率可以通过导数来找。
你可能会想，导数是什么？简单来说，导数就是一种“变化率”，它能告诉我们在某一点上，曲线是往上走还是往下走。
对于这个抛物线，导数是 (y' = 2ax + b)，所以在点 ((x_0, y_0)) 上，斜率就变成了 (m = 2ax_0 + b)。
3. 切线方程的建立3.1 切线方程的公式我们已经有了切线的斜率，接下来要把切线的方程写出来。
切线的方程可以用点斜式来表示：。
y y_0 = m(x x_0)把 (m) 代进去，我们得到：y (ax_0^2 + bx_0 + c) = (2ax_0 + b)(x x_0)。
过抛物线焦点弦端点的切线的探究
过抛物线焦点弦端点的切线的探究抛物线是数学中研究物体受到重力作用时行进轨迹的重要平面曲线。
它求解物理抛物线的运动规律和运行轨迹的研究成为学生数学的重要课题。
本文将研究抛物线焦点弦端点的切线，分析它们的性质和影响，以期为进一步的数学研究提供有益的参考。
抛物线的焦点弦端点的切线就是过抛物线上的任意两个点，再以其中一个点为焦点，将该抛物线最切线作为切线，称为抛物线焦点弦端点的切线。
根据几何原理，由两点围成的弦上的每一点均不在所求的切线上，而这样两点之间的切线就是弦端点的切线，也就是抛物线焦点弦端点的切线。
从抛物线的几何性质可以看出，抛物线焦点弦端点的切线具有以下性质：首先，抛物线焦点弦端点的切线的斜率是有限的，并且斜率的绝对值与两点间的距离成正比；其次，这条切线的直线斜率与焦点弦的抛物线相同；再次，切线的斜率的绝对值的和为0；再者，这条切线的焦点与两点间的距离之和等于焦点弦的长度。
有时，在研究计算抛物线问题时，可以借助抛物线焦点弦端点的切线来求解抛物线的特性，这样就可以很快地解决抛物线的问题，可以有效地避免重复计算的困难。
在实际应用中，抛物线的焦点弦端点的切线可应用于工程中的吊桥，求解类似吊桥问题，可以使用抛物线上路径的焦点弦端点的切线。
抛物线是求解吊桥位置最佳，并可以很容易地计算出一桥梁的一定数量和形状来满足工程要求的最优方案。
此外，抛物线焦点弦端点的切线也可以用来研究体积、重量问题，以决定物体的某些有限的数量和形状，以此节省时间和精力。
总而言之，抛物线焦点弦端点的切线的性质和影响是独特的，超出了抛物线的几何性质本身，因此，有必要深入研究抛物线焦点弦端点的切线，从而可以更好地进行抛物线的相关研究。
抛物线外一点做两条切线轨迹方程
抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。
本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。
2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。
根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。
设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。
4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。
设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。
根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。
由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。
5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。
这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。
抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。
希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。
抛物线中的切线问题(推荐完整)
式表示）
. .
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x p( y y0 )
x2
x1x0 x2 x0
p( x12 2p
p( x22 2p
y0 ) y0 )
A、M、B三点的横坐标成等差数列
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
抛物线中的切线问题
例题：（山东高考）如图，设抛物线方程为
x2 2 py( p 0) ， M 为直线 y 2 p 上任意 一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ． 求证： A，M，B三点的横坐标成等差数列
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
xx0 yy0 r2
2. 设P(x0,
y0
)为椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yy0 b2
1
3. 设P(
x0
,
y0
)为双曲线
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1
高三数学知识点总结抛物线
高三数学知识点总结抛物线高中数学抛物线切线方程1、已知切点Q(x0，y0)，若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x);若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)等。
2、已知切点Q(x0，y0)若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x)。
若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)。
3、已知切线斜率k若y?=2px，则切线y=kx+p/(2k)。
若x?=2py，则切线x=y/k+pk/2(y=kx-pk?/2)。
抛物线相关性质1、过抛物线焦弦两端的切线的交点在抛物线的准线上。
2、过抛物线焦弦两端的切线互相垂直。
3、以抛物线焦弦为直径的圆与抛物线的准线相切。
4、过抛物线焦弦两端的切线的交点与抛物线的焦点的连线和焦点弦互相垂直。
5、过焦弦两端的切线的交点与焦弦中点的连线，被抛物线所平分。
高三学习数学的窍门有哪些1、做题后加强反思高三学生一定要明确一点，就是现在正在做的题，一定不是考试的题。
所以高三学生做题不是目的，学会运用数学题目的解题思路和方法才是正道。
因此，高三学生对于每道题都要加以反思。
2、主动复习总结高三学生想要学好数学，进行章节总结是非常重要的。
在初中的时候，都是教师替学生做总结;但是到了高中之后，就需要学生自己来做了。
所以高三学生需要自己常总结，主动复习。
怎样学好高中数学的方法技巧1.先看笔记后做作业有的高一学生感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。
但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。
因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。
能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。
尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。
如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。
2.做题之后加强反思学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。
而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。
【圆锥曲线】11抛物线切线(含经典题型+答案)
抛物线切线的性质例1：点M （2，1）是抛物线x 2=2py 上的点，则以点M 为切点的抛物线的切线方程为 ．解：将点M （2，1）代入抛物线得：p =2，故以点M 为切点的切线方程为()122+=y x ，即01=--y x例2：过点A （0，2）且和抛物线C ：y 2=6x 相切的直线l 方程为 ．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()003x x yy +=代入点A （0，2）得：0032x y =，与抛物线方程联立得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=⎪⎭⎫⎝⎛004386230000020y x y x x x 或，故切线方程为0843=+-y x 或0=x 。
例3：直线l 经过点（0，2）且与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，满足这样条件的直线l 有 条．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()004x x yy +=代入点A （0，2）得：002x y =，与抛物线方程联立得：()⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒=4200820000020y x y x x x ，或，故存在两条切线，还有一条直线2=y 与抛物线只有一个公共点，故答案为3条。
1.在曲线y=x 2上切线的倾斜角为的点的坐标为 ．2.过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.抛物线2x y =在点M(21,41)处的切线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.设曲线2ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A.12-B.12C.1D.1- 5.函数24x y =在点P （2, 1）处的切线方程为__________________________.6.抛物线x 2=4y 的准线l 与y 轴交于点P ，若直线l 绕点P 以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t= ．7.过点（2，﹣1）引直线与抛物线y=x 2只有一个公共点，这样的直线共有 条．8.过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为 ． 9.（2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于 点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知点A 为抛物线C ：x 2=4y 上的动点（不含原点），过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则△ABF （ ）A ．一定是直角 B ．一定是锐角C ．一定是钝角 D ．上述三种情况都可能11.抛物线x 2=y 在第一象限内图象上一点（a i ，2a i 2）处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i ∈N *，若a 2=32，则a 2+a 4+a 6等于（ ）A ．64 B ．42C ．32D ．2112抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A ．B ．C ．D ．13.已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A 、B.过点A 的抛物线C 的切线y 轴交于点D ，求证；︱AF ︱=︱DF ︱；14.已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1（x 1＞0），过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线于点M ，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1值．15如图所示，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）与直线AB ：y=x+b 相切于点A ．（1）求p ，b 满足的关系式，并用p 表示点A 的坐标；（2）设F 是抛物线的焦点，若以F 为直角顶角的Rt △AFB 的面积等于25，求抛物线C 的标准方程． 例4：已知点P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，过点P 的直线与抛物线C 相切于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为（ ）A ．1B ．C ．D ．3解：P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，故p =6，抛物线C ：y 2=12x ，根据秘籍中的性质（1）可知，AB 中点的纵坐标与P 点纵坐标相等（如图），即20=y ，且AB 过抛物线的焦点；设AB 方程为3+=ky x ，代入抛物线方程得：036122=--ky y ，312621221021=⇒==+=⇒=+k k y y y k y y ，故直线AB 的斜率为3。
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。
本文将详细探讨该问题。
1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。
早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。
随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。
在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。
1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。
通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。
此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。
以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。
接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。
2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。
其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。
抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。
- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。
- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。
2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。
切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。
切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。
抛物线的切线问题
过圆外一点 P
x0
,
y 0
向圆 x2 y2 r2 做切线,切于A、B两
点,求过A、B的直线方程 .
解：设
A
x1,
y 1
,
B
x2 ,
y 2
PA的方程为 x1 x y1 y r2
PB的方程为 x2 x y2 y r2
则有 x1 x0 y1 y0 r2
x2 x0 y2 y0 r2
小结: 1.我们从一高考题出发,挖掘了抛物线与其 切线的内在联系,运用从特殊到一般的数学 归纳思想,得到了切线公式,切点弦公式。对 抛物线的切线问题进行深入研究,数形结合， 合理猜想，探究了切线与相交弦之间的关 系，加深对抛物线中切线应用的理解
2.坐标法是解析几何最重要的思想方法,是 解决直线与圆锥曲线的综合问题的有效方法
x12 4x1 4 p2 0, x22 4x2 4 p2 0,
所以 x1、x2 是方程 x2 4x 4 p2 0 的两根， 因此 x1 x2 4, x1x2 4 p2 ,
x22 x12
又 kAB
2p x2
2p x1
x1 x2 2p
x0 p
,
2
所以 kAB
. p
由弦长公式得
y ·p
A B
o
x
可知A点在直线x0 x y0 y r2 B点在直线 x0 x y0 y r2
所以AB的方程为 x0 x y0 y r2
（山东高考题) 如图，设抛物线方程为 x2=2py (p＞0), M 为直线 y=-2p 上任意一点，过 M 引抛 物线的切线，切点分别为 A，B. (Ⅰ)求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列； (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为（2，-2p）时，
双曲线 抛物线切线的尺规作法
双曲线抛物线切线的尺规作法
双曲线及抛物线是几何学中常见的几何曲线，可以用来描述有限的几何特征。
它们的切线尺规作法可以在许多场合中使用，以提供准确的结果。
在本文中，我们将探讨双曲线和抛物线的切线尺规作法，以及如何利用它们来解决几何问题。
切线尺规作法是几何学技术中最常用的，用来求取一条曲线上任意两点之间的几何特征。
一般情况下，对于一条双曲线或抛物线，其几何特征可以由一条直线描述，称为切线。
这种工具有助于确定曲线曲率的变化，以及曲线的空间位置信息。
首先，要在双曲线或抛物线上确定切线，需要先确定曲线的几何特性，包括曲线的焦点、离心率和弯曲度。
然后，通过基元方程计算出曲线的几何参数，这些参数可以用来确定切线的方向、长度和其它属性。
一旦把这一切准备就绪，使用尺规可以确定两个点间的几何特征。
使用尺规作绘制双曲线或抛物线切线的过程如下：1、准备尺规，在尺规上标出两个点的坐标；2、用尺规寻找切线的方向，以及在曲线上的分布；3、标记出切线的坐标；4、绘制出双曲线或抛物线切线的结构图。
双曲线抛物线切线的尺规作法为几何学研究者提供了强大的工具，可以用来求解有限几何问题，而不必进行繁琐的计算。
在科学研究和工程应用中，双曲线抛物线切线的尺规作法都可以证明很有用，从而提高科学研究的精确度和准确性。
总之，双曲线抛物线切线的尺规作法是现今几何学技术中一项重要的研究，它在很多科学和工程领域中都得到了广泛应用，为解决几何问题提供了一种简易、有效的方法。
它的研究将有助于更多的学者进行更全面的几何学研究，以拓宽知识面，增强几何思维能力。
抛物线中的切线问题(学生版)
抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解. 1.(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p 2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x2=2py在其上一点P x1,y1处的切线方程,可先把x2=2py化为y=x22p,则y =xp,则抛物线x2=2py在点P x1,y1处的切线斜率为x1p,切线方程为y-y1=x1px-x1.2.(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy中,已知抛物线C:x2=2py p>0,P为直线y=x-1上的动点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,当P在y轴上时,OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程；(2)求点O到直线AB距离的最大值.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点．当AB∥x轴时,|AB|=2．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：|PF|2=|AF|⋅|FB|．4.已知直线l过原点O,且与圆A交于M,N两点,MN=4,圆A与直线y=-2相切,OA与直线l垂直,记圆心A的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)过直线y=-1上任一点P作C的两条切线,切点分别为Q1,Q2,证明：①直线Q1Q2过定点；②PQ1⊥PQ2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d 1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C的焦点是0,1 4,如图,过点D22,t(t≤0)作抛物线C的两条切线,切点分别是A和B,线段AB的中点为M．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：直线MD⎳y轴；(3)以线段MD为直径作圆,交直线AB于MN,求|AB|-|MN||AB|+|MN|的取值范围．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E：y2=2px(p>0)上一点C1,y0到其焦点F的距离为2．(1)求实数p的值；(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线l1、l2,且l1、l2的交点为Q,l1、l2与y轴的交点分别为M、N．求△QMN面积的取值范围．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C上任意一点到F1(-1,0),F2(1,0)距离之和为43,抛物线E：y2=2px的焦点是点F2.3(1)求曲线C和抛物线E的方程；(2)点Q x0,y0是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M, x0<0N,求△QMN的面积的取值范围．6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1的动圆始终与直线l：y=-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)动点A在直线l上,过点A作曲线C的两条切线分别交x轴于B,D两点,当△ABD的面积是32时,求点A坐标.7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C:x2=2py p>0的焦点为F.且F与圆M: x2+y+42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线.A,B是切点,求△PAB面积的最大值.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F,准线与x轴交于D点,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且FA.+FB⋅FB=FA(1)求抛物线C的方程；(2)设P,Q是抛物线C上的不同两点,且PF⊥x轴,直线PQ与x轴交于G点,再在x轴上截取线段GE=GD,且点G介于点E点D之间,连接PE,过点Q作直线PE的平行线l,证明l是抛物线C的切线.9.已知抛物线C:x2=2py,点M-4,4在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．(1)求P点的坐标；(2)点E的坐标为-2,-1,经过点P的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB, EQ的斜率分别为k1,k2,k3,是否存在常数λ使得k1+k2=λk3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10.如图,已知A x1,y1为二次函数y=ax2(a>0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y ､B x2,y2=ax2在点A x1,y1.､B x2,y2处的切线相交于点P x0,y0(1)利用抛物线的定义证明：曲线y=ax2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1､x0､x2成等差数列,y1､y0､y2成等比数列；(3)设抛物线y=ax2焦点为F,过P作PH垂直准线l,垂足为H,求证：∠BPH=∠APF.11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．13.(2022届新未来4月联考)已知直线l:x-ky+k-1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线l⊥x轴时,|AB|=4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求|OD|的最小值．14.过原点O的直线与拋物线C：y2=2px(p>0)交于点A,线段OA的中点为M,又点P3p,0, PM⊥OA．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA=23；③△POM的面积为62．=46,②PM(1),求拋物线C的方程；(2)在(1)的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q(不与原点O重合),过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15.已知抛物线x2=2py(y>0),其焦点为F,抛物线上有相异两点A x1,y1．,B x2,y2(1)若AF⎳x轴,且经过点A的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p=2,且|AF|+|BF|=4,线段AB的中垂线交x轴于点C,求△ABC面积的最大值．16.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,点P m,2=3．(m>0)在抛物线C上,且满足PF(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点G0,4的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP =2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。
高考数学讲义抛物线之切线与定点问题
2014年二轮复习抛物线之切线与定点问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455抛物线之切线与定点2014年高考怎么考自检自查必考点抛物线22y px =分为上下两支，可以分别看成函数求导 对于22y px =求导得2'2yy p =，则'p y y=抛物线22y px =在11(,)A x y 的切线的斜率为1AT p k y = 故切线AT 为111()py y x x y -=- 化简得到11()py x x y =+ 同理切线BT 为22()py x x y =+抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）性质1：过抛物线一弦AB 的中点平行于对称轴的直线与抛物 线交于点P ，若过P 的切线为PT ，则PT //AB性质2：过抛物线上一点P 的切线交其对称轴于点T ，则PF TF =性质3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上TPQBAOyxFOyxA自检自查必考点TF BAOyx性质4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直性质5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴性质7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分 性质8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径性质9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上性质10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必平行于此抛物线的对称轴性质11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上【例1】 证明：过抛物线上一点00M x y （，）的切线方程是：00y y p x x =+（）【例2】 设抛物线2y =2px 的焦点弦AB 在其准线上的射影是11A B ，证明：以11A B 为直径的圆必过一定点22y px =例题精讲【例3】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点．⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值；⑵如果4OA OB ⋅=-u u u r u u u r证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【例4】 如图,过抛物线()220y px p =>上一定点()()000,0,P x y y >作两条直线分别交抛物线于()()1122.,,.A x y B x y(I)求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.yPO xAB【例5】 如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;（II ）当PA PB 与的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y +的值及直线AB 的斜率.x【例6】 如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点(0,c)C 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q（Ⅰ）若2OA OB ⋅=u u u r u u u r，求c 的值；（Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （Ⅲ）试问（Ⅱ）的逆命题是否成立？说明理由。
高中数学抛物线中的切线问题
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M 为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切
点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表示过 A
的切线方程
解: x2 2 py 得 y x2 ，得 y x
2p
p
y'
x x1
x p
x x1
x1 p
过A( x1 ,
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求 过 A, B 两点的直线方程。
.
10
.
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x p( y y0 )
11
结论2:
1.P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物 线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则
直线AB的方程为: x0 x=p(y+y0 )
12
变式4:设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，若 M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
y1)的切线方程为:y-y1
x1 p
(x
x1 )
即: py py1 x1x x12 x1x 2 py1
4
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ， M(x0,y0)为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切 线，切点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表
6
过抛物线外任意一点作切线的方法
2020年第10期(上)中学数学研究23过抛物线外任意一点作切线的方法四川成都七中(610041)杨力康盛摘要在知道抛物线的对称轴和焦点的情况下,通过计算得到过抛物线外任意一点作切线的方法.关键词抛物线外任意一点;焦点;作切线在文章[1]中,给出了过圆锥曲线上任意一点作切线的方法.本文从中受到启发,先证明切线与过抛物线顶点且垂直于对称轴的直线的交点有一特殊性质,然后利用这一性质,给出过抛物线外任意一点作切线的方法,并予以证明.一、先证明一个与抛物线有关的命题命题1过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0),作抛物线的切线l,l与y轴相交于点M,则过M且与l垂直的直线必过抛物线的焦点.证明先求过点P的切线方程.如图1,设切点T(x1,y1),方程y2=2px(p>0)两边对x求导,2yy′=2p,即:y′=p y ,所以y′|x=x1y=y1=py1,由导数的几何意义得,过点T的切线的斜率k=py1,所以过点T的切线方程为:y−y1=py1(x−x1).图1再求切线与y轴的交点坐标.当x=0时,y=y1−px1y1=y21−px1y1=y21−y212y1=y12,,故点M的坐标为(0,y12),所以过M且与l垂直的直线方程为:y−y12=−y1p(x−0),当y=0,x=p2,则与x轴的交点为F(p2,0),命题得证.二、过抛物线外任意一点作切线的方法已知切线上一点P,若再能确定一点即可作出切线.由命题1可知,切线与y轴的交点,点P,抛物线的焦点,三点构成一个直角三角形.利用这个直角三角形,就可作出切线.设P为抛物线外任意一点,F为其焦点,则过点P且与抛物线相切的直线作法如下:第一步:作以P F为直径的圆,与过抛物线顶点且与其对称轴垂直的直线分别交于M与N两点.第二步:连接P M,P N,则直线P M,P N就是过点P且与抛物线相切的直线.证明如图2,以抛物线的顶点O为原点,其对称轴为x轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为y2=2px(p>0),点P(x0,y0).以P F为直径的圆交y轴于点M,则有F M⊥P M,由命题1可知,点M必在过点P且与抛物线相切的直线,则PM图2为抛物线的切线.同理可知,P N也为抛物线的切线.本文提供了一种解决过抛物线外任意一点作切线问题的方法.但这种方法还需要抛物线的焦点位置,能不能找到一种不需要焦点参与的作法?过椭圆与双曲线外一点,如何作切线呢?参考文献[1]康盛.过圆锥曲线上任意一点作切线的方法[J].数学通报,2013(2):39-40.近年来全国新课标卷高考数学试题十分青睐对“利用导数研究不等关系”的考查,而运用重要不等式进行放缩是解决此问题的一大利器.事实上我们还可以积累如下优美的不等关系:e x x+1,e x ex,ln x x−1,ln x xe ,√ab<a−bln a−ln b<a+b2(a>b>0).变式5(2013年高考全国Ⅱ卷理科第21题)已知函数f(x)=e x−ln(x+m).(1)略;(2)证明:当m 2时,f(x)>0.证明当m 2时,ln(x+m) ln(x+2),所以e x−ln(x+m) e x−ln(x+2),由重要不等式e x x+1与ln x x−1得e x−ln(x+2)>x+1−(x+2−1)=0.故当m 2时,f(x)>0.参考文献[1]刘刚.借助导数解决一道含参不等式试题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(2):26-28.。
抛物线的切线公式
抛物线的切线公式
抛物线的切线公式为：y=(2ap+b)(x-p)+q。
其中，p是抛物线的焦点，a
是抛物线的开口大小，b是抛物线的轴向，q是抛物线顶点的纵坐标。
另外，也可以通过设定抛物线方程为y=ax²+bx+c，并设定直线方程为
y=kx+d来求解。
在切点处，将抛物线方程和直线方程联立，整理后得到
ax²+(b-k)x+(c-d)=0。
由于相切时，直线与抛物线只有一个交点，所以上
面的方程只有一个解，即x=-(b-k)/2a。
此时判别式为0：(b-k)²-4a(c-
d)=0。
求出k值后，可以代入判别式中求出d值，也可以先将x代入抛物
线方程求出y，然后将x、y、k代入直线方程求出d。
以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士。
抛物线准线上任意一点引抛物线的两切线
抛物线准线上任意一点引抛物线的两切线过抛物线准线上任意一点做该抛物线的两条切线.证明：两切线互相垂直且切点连线过抛物线焦点
首先,现设切线方程y=kx+b,∵过点（-p/2,0）∴b=pk/2 y^2=2px
y=kx+pk/2 两式联立,消去y,之后你最好自己算一下,这儿不太好打,总之会求出一个关于x的二次方程,因为是切线,所以△=b^2-4ac=0
(pk^2-2p)^2-k^4?鱚2=0 然后展开,会发现乱七八糟的都约了,最后得
k^2=1,取k=1 所以原切线方程：y=x+ p/2 再与抛物线方程联立,求得
x=p/2
抛物线是一种圆锥曲线，指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（该线）。
焦点并不在于准则。
抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由右圆锥形表面和平行于与锥形表面相切的另一平面的平面的交点形成。
第三个描述是代数。
1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)若C为AB中点，则直线 PC的斜率为 0
即BPC APC(即为k PB k PA 0)
性质2：过抛物线准线上任意 一点作抛物线的切线 则过两切点的弦过抛物 线的焦点
性质1推广：已知 AB是经过抛物线 : y 2 2 px( p 0) 的对称轴上一定点 Q（a ,0 ）的弦，过 A、B分别作抛 物线的切线，则两切线 的交点P的轨迹为直线 : x a
1 2 y＝2x ， 由 y＝kx＋1， 4
整理得2x2－4kx－1＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
1 由于Δ1＝16k ＋8>0，x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，
2
所以|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝(1＋k2)(4k2＋2)． 12 27 5 2 2 x－ 8 ＋y－4 ＝32， 由 y＝kx＋1， 4 5 2 1 整理得(1＋k )x － 4 x－16＝0.
[解析]
显然双曲线的渐近线与抛物线的轴不平
x2 y2 b 行，∵双曲线 a2 － b2 ＝1的一条渐近线方程为y＝ a x，由 b y＝ x 方程组 a 2 y＝x ＋1 ＝0， b 消去y得x － x＋1＝0有唯一解，∴Δ a
2
b b 2 即 a －4＝0，∴a＝2，
GZC
[例3]
x2 y2 设双曲线 a2 － b2 ＝1的一条渐近线与抛物线y )
＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( 5 A. 4 5 C. 2 B．5 D. 5
• [分析] (1)利用直线与抛物线的位置关系， 只有一个公共点，则对应方程组有唯一解 得到a、b的关系，进而求出离心率． • (2)结合导数知识，以数助形，应用灵活． • [答案] D
设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k，x1· x2＝－4， ∴|AC|＝ 1＋k2 16k2＋16＝4(k2＋1)． 同理得|BD|＝ 1 1＋ 2 k 16 1 ＋16＝4· (1＋ 2)． k2 k
设F是抛物G：x2＝4y的焦点． 2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA FB 0 延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积 的最小值
x0>0，
所以 x0＝ 2，此时 M( 2，1)． 故存在点 M( 2，1)，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M.
无 人 迹 处 有 奇 观 。
学 林 探 路 贵 涉 远
,
会当凌绝顶，一览众山小。
所以x0＝ 2，此时M( 2，1)． 故存在点M( 2，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
(3)当x0＝
5 2 1 2时，由(2)得Q ， 8 ， 4 5 2 12 3 6 2 ＝ ， 8 ＋ 4 8
⊙Q的半径为r＝
12 27 5 2 2 所以⊙Q的方程为x－ ＋y－4 ＝32. 8
思考性质2推广
例 1： （2007 江苏高考第 19 题）如图，过 C（0，c） （c>0）作直线与 抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线 y 段 AB 和直线 y+c=0 交于 P、Q。 （1）若 OA OB =2，求 c 的值； （2）若 P 为线段 AB 的中点， 求证：AQ 为抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立。
2 2
2
25 1 因此|AB| ＋|DE| ＝(1＋k )(4k ＋2)＋ ＋ . 81＋k2 4
2 2 2 2
1 5 令1＋k ＝t，由于2≤k≤2，则4≤t≤5，
2
25 1 25 1 2 所以|AB| ＋|DE| ＝t(4t－2)＋ 8t ＋4＝4t －2t＋ 8t ＋4，
2 2
5 25 1 设g(t)＝4t －2t＋ 8t ＋4，t∈4，5，
解：(1)依题意知 上．
p F0，2，圆心
p Q 在线段 OF 的垂直平分线 y＝4
p 3p 3 因为抛物线 C 的准线方程为 y＝－2，所以 4 ＝4，即 p＝1， 因此抛物线 C 的方程为 x2＝2y. (2)假设存在点 切线斜率为
x2 0 Mx0， 2 (x0>0)满足条件，抛物线
性质1：过抛物线焦点弦的两 端点作抛物线的切线， 两切线的交点在抛物线 的准线上
例1、 已 知抛 物线 方程 为： y 2 px( p 0), F是
2
其 焦点 ， 过 F作 直线L交 抛物 线于 A、B两 点， 过A、B分 别作 抛物 线的 切线 ， 求 证 : (1)两 切线 的交 点 P在 准线 上
引 例1、 已 知抛 物 线 方程 为 ： y 2 px( p 0), 直 线L
2
过 点P（a ,0 ） ( a 0)交 抛物 线 于 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 两 点， 求: (1) x1 x 2 ( 2) y1 y 2
2
引 例2、 已 知 抛 物 线 方 程 为 ： y 2 px( p 0), A( x1 , y1 )是 抛 物 线 上 一 点 ， 求 过 点 A且 与 抛 物 线相切的直线方程
解： (1)依题意知
p F0，2， 圆心
p Q 在线段 OF 的垂直平分线 y＝ 上， 4
p 3p 3 因为抛物线 C 的准线方程为 y＝－ ，所以 ＝ ，即 p＝1， 2 4 4 因此抛物线 C 的方程为 x2＝2y. (2)假设存在点 线斜率为
x2 0 Mx0， 2 (x0>0)满足条件， 抛物线
A O Q P B x
例 2： （2006 全国高考卷Ⅱ21 题）抛物线 x2=4y 的焦点 F， A、 B 是抛物线上两动点，且 AF FB ，过 A、B 两点分别 B、作抛物线的切线，设其交点为 M。 （1） 证明： FM AB 为定值； （2） 设△ABM 的面积为 S，求出 S 的最小值。
设F是抛物G：x2＝4y的焦点． 2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足 FA FB 0 延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积 的最小值
(2)设 AF 所在直线的斜率为 k， 1 则直线 AF：y＝kx＋1，直线 BF：y＝－kx＋1. y＝kx＋1， 联立 x2 y＝ . 4 得 x2－4kx－4＝0，
a2＋b2 c ∴e＝a＝ a ＝
b 1＋a2＝
5.
• [评析] (1)在双曲线的几何性质中，渐近 线是其独特的一种性质，也是考查的重要 内容，应充分利用双曲线的渐近线方程， 简化解题过程． • (2)导数与解析几何中斜率问题的有机联系 常能出奇制胜． • (3)由a、b、c三者中任何两者的等式关系 皆可求出e.
2
25 因为g′(t)＝8t－2－8t2，
5 5 5 所以当t∈ 4，5 时，g′(t)≥g′ 4 ＝6，即函数g(t)在t∈ 4，5
5 13 1 是增函数，所以当t＝4时，g(t)取到最小值 2 ，因此当k＝2时， 13 |AB| ＋|DE| 取到最小值 2 .
2 2
2．在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦 点，M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过 M，F， 3 O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 . 4 (1)求抛物线 C 的方程； (2)是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
C 在点 M 处的切
x2 y′|x＝x ＝ 2 ′|x＝x0＝x0， 0
2 x0 所以直线 MQ 的方程为 y－ ＝x0(x－x0)． 2
1 x0 1 令y＝4，得xQ＝ 2 ＋4x ，
0
x0 1 1 所以Q 2 ＋4x ，4. 0
又|QM|＝|OQ|，
1 1 x02 1 x2 x02 1 02 故4x － 2 ＋4－ 2 ＝4x ＋ 2 ＋16， 0 0 1 x2 9 02 因此 4－ 2 ＝16，又因为x0>0，
1 ∴S 四边形 ABCD＝ |AC|·|BD| 2 1 1 4k ＋16k ＋8 2 ＝ ×4(k ＋1)·4(1＋ 2)＝ 2 2 k k ＝8k ＋ 2＋16≥2
2 2 2
8
k
8k · 2＋16＝32，
2
8
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 k ＝1 时取“＝” ，故四边形 ABCD 面积的最小值为 32.
2
3．(2012· 山东高考)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C： x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任 意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C 3 的准线的距离为4. (1)求抛物线C的方程； (2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若 存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； 1 (3)若点M的横坐标为 2，直线l：y＝kx＋4与抛物线C有两 个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求 1 当2≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．
2 2
设D，E两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，
k2 27 由于Δ2＝ 4 ＋ 8 >0， 5 2 1 x3＋x4＝ ，x x ＝－ . 41＋k2 3 4 161＋k2 25 1 所以|DE| ＝(1＋k )[(x3＋x4) －4x3x4]＝ 2 ＋ . 81＋k 4
C 在点 M 处的
x2 y′|x＝x0＝ 2 ′|x＝x0＝x0，
x2 0 所以直线 MQ 的方程为 y－ 2 ＝x0(x－x0)．
1 x0 1 令 y＝4，得 xQ＝ 2 ＋4x ， 0 所以