高考数学一轮复习 单元能力测试卷10A

高考数学一轮复习 单元能力测试卷10A

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)

1．(2010·上海春季高考)若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线

D ．平行、相交、是异面直线都有可能 答案 D

2．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )

A.1

4 B.12 C.36

D.34

答案 D

解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝3

4

.

3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于( )

A.3

4 B.74

C.37

7

D.43

答案 A

解析 ∵BC ⊥CD ，BC 是AC 在平面BCD 上的射影， ∴AC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC ， ∵AD ⊥AB ，∴AC ⊥AB ，∴θ＝∠DAC ，

∴sin θ＝CD AD ＝3

4

.

4．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π

3

R (R 为地球

半径)，那么x 等于( )

A ．30

B ．45

C ．60

D ．75

答案 B

解析 记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π

3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相

差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是

2

2R ，x ＝45，选B. 5．设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α；③α∥β；④α⊥β.其中可能的情况有( )

A ．1种

B ．2种

C ．3种

D ．4种

答案 C

解析 ①③④都有可能，②不可能，否则有b ⊥a ，与已知矛盾．

6．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，ΔBCD 是锐角三角形，那么必有( ) A ．平面ABD ⊥平面ADC B ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD 答案 C

解析 由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD .又AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD .

7．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝AA 1＝a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是( ) A ．a B.2a C.2

2

a D.3a

答案 C

解析 取A 1C 的中点O ，连接AO . ∵AC ＝AA 1，∴AO ⊥A 1C .

又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .

因此AO ⊥平面A 1BC ，即AO 的长等于A 到平面ABC 的距离，解得AO ＝

22

a . 8．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°.若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )

A ．13

B ．11

C ．9

D ．7

答案 B

解析作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC. ∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.

∴O为△ABC的外心．

∴OA＝

AB

2sin∠BCA

＝

15

2sin120°

＝5 3.

∴PO＝PA2－OA2＝11为所求．

9．高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器(下有底)，可放置最大球的半径是( )

A.3

2

B．2

C.32

2

D. 2

答案 B

解析如上图所示，过球心作平行于底的截面，R＝23tan30°＝2.

10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )

A．是AC和MN的公垂线

B．垂直于AC，但不垂直于MN

C．垂直于MN，但不垂直于AC

D．与AC，MN都不垂直

答案 A

解析∵MO在面ABCD上的射影为OD，OD⊥AC，∴OM⊥AC，又∵MO在面CC1D1D中的射影与MN垂直，∴MO⊥MN，∴OM是AC和MN的公垂线．

11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )

A.

2

2

B.

3

2

C. 2

D. 3

答案 C

解析 如图，△ABE 为题中三角形，

由已知得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF ＝23BE ＝233

， ∴AF ＝AB 2

－BF 2

＝

4－43

＝8

3

， ∴△ABE 的面积为S △＝12×BE ×AF ＝1

2

×3×

8

3

＝ 2.故选C. 12．已知二面角α—l —β的平面角为θ，PA ⊥α，PB ⊥β，A 、B 为垂足，且PA ＝4，

PB ＝5，设A 、B 到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹是下列图形中的( )

答案 D

解析 如图，PO 2

＝PA 2

＋OA 2

＝PB 2

＋OB 2

， ∴16＋x 2

＝25＋y 2.

∴x 2

－y 2＝9且x ≥3，y >0.故选D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，PM ⊥平面ABC ，当BC ＝18，PM ＝33时，

PN 和平面ABC 所成的角是________．

答案 30°

解析 ∵PM ⊥平面ABC ，∴∠PNM 为PN 与平面ABC 所成的角．

tan ∠PNM ＝PM MN ＝339＝3

3

，∴∠PNM ＝30°.

14．有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交