高考数学一轮复习 单元能力测试卷10A
高考数学一轮复习各单元检测试卷及答案
高考数学一轮复习单元检测试卷合集［解析版］目录第一章单元能力测试卷 (1)第二章单元能力测试卷 (10)第三章单元能力测试卷 (20)第四章单元能力测试卷 (29)第五章单元能力测试卷 (41)第六章单元能力测试 (51)第七章单元能力测试卷 (59)第八章单元能力测试卷 (67)第九章单元能力测试卷 (76)第十章单元能力测试卷(A版) (88)第十章单元能力测试卷(B版) (100)第十一、十二章单元能力测试卷 (114)第一章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩∁N B 等于( ) A ．{1,5,7} B ．{3,5,7} C ．{1,3,9} D ．{1,2,3}答案 A解析 即在A 中把B 中有的元素去掉．2．设全集为R ，集合A ＝{x |1x ≤1}，则∁R A ＝( )A ．{x |0≤x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 A解析 A ＝{x |1x ≤1}＝{x |1x －1≤0}＝{x |1－x x ≤0}＝{x |x ≥1或x <0}，因此∁R A ＝{x |0≤x <1}．选A.3．已知∁Z A ＝{x ∈Z|x ＜6}，∁Z B ＝{x ∈Z|x ≤2}，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝B D ．∁Z A∁Z B答案 A4．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}答案 A解析 依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.5．(2010·广东卷)“x >0”是“3x 2>0”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件答案 A解析 当x >0时，3x 2>0成立；但当3x 2>0时，得x 2>0，则x >0或x <0，此时不能得到x >0.6．设集合P ＝{x |x 2－x －2≥0}，Q ＝{y |y ＝12x 2－1，x ∈P }，则P ∩Q ＝( )A ．{m |－1≤m <2}B ．{m |－1<m <2}C ．{m |m ≥2}D ．{－1}答案 C解析 本题考查集合的概念及运算，根据题意知P ＝{x |x ≥2或x ≤－1}，又因为当x ∈P 时，y ＝12x 2－1∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，故Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ y |y ≥－12， 故P ∩Q ＝{m |m ≥2}．7．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )或qB ．p 且qC ．(綈p )且(綈q )D ．(綈p )或(綈q ) 答案 D解析 由于命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此，命题綈q 是真命题，于是(綈p )或(綈q )是真命题．8．(2010·浙江)设0<x <π2，则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当0<x <π2时，0<sin x <1，故x sin x <1⇒x sin x sin x <sin x <1⇒x sin 2x <1，但x sin 2x <1⇒x sin x <1sin x ，而1sin x>1，故不能保证x sin x <1，故选B. 9．“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件答案 A10．如下四个电路图，视“开关甲闭合”为条件甲，“灯泡乙亮”为结论乙，以贴切、形象的诠释甲是乙的必要不充分条件的图形是( )答案 B11．(2011·山东潍坊一模)已知集合A 为数集，则“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵“A ∩{0,1}＝{0}”得不出“A ＝{0}”，而“A ＝{0}”能得出“A ∩{0,1}＝{0}”，∴“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的必要不充分条件．12．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )答案 B解析 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点为(12，94)．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{1，a,5}，B ＝{2，a 2＋1}．若A ∩B 有且只有一个元素，则实数a 的值为________．答案 0或－2解析 若a ＝2，则a 2＋1＝5，A ∩B ＝{2,5}，不合题意舍去． 若a 2＋1＝1，则a ＝0，A ∩B ＝{1}． 若a 2＋1＝5，则a ＝±2. 而a ＝－2时，A ∩B ＝{5} ∴a ＝0或a ＝－214．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是________． 答案 若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x <1”的否定是“x ≥1或x ≤－1”．15．(2011·上海春季高考)若a 1 、a 2、a 3均为单位向量，则a 1＝(33，63)是a 1＋a 2＋a 3＝(3，6)的________条件．答案 必要不充分解析 由题意可知，|a 1|＝|a 2|＝|a 3|＝1，若a 1＋a 2＋a 3＝(3，6)，则|a 1＋a 2＋a 3|＝3＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|，a 1、a 2、a 3共线且方向相同，即a 1＝a 2＝a 3＝(33，63)；若a 1＝(33，63)，当a 1、a 2、a 3不全相等时，a 1＋a 2＋a 3≠(3，6)，故为必要不充分条件．16．已知命题p ：α＝β是tan α＝tan β的充要条件． 命题q ：∅⊆A .下列命题中为真命题的有________． ①p 或q ②p 且q ③┐p ④┐q 答案 ①③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)π为圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若aπ＋b ＝cπ＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p 的非并判断真假；(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．解析(1)原命题p的非是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题．(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．否命题：若“aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”真命题．(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．证明如下：充分性：若a＝c，则aπ＝cπ，∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b.即(a－c)π＝d－b.∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0.即a＝c，b＝d∴是充要条件．18．(本小题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|10x＋6>1}．(1)若m＝3，求E∩F；(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．解析(1)m＝3时，E＝{x||x－1|≥3}＝{x|x≤－2或x≥4}，F＝{x|10x＋6>1}＝{x|x－4x＋6<0}＝{x|－6<x<4}．∴E∩F＝{x|x≤－2或x≥4}∩{x|－6<x<4}＝{x|－6<x≤－2}．(2)∵E＝{x||x－1|≥m}，①m≤0时，E＝R，E∪F＝R，满足条件．②m>0时，E＝{x|x≤1－m或x≥1＋m}，由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.综上，实数m 的取值范围为m ≤3. 19．(本小题满分12分)解不等式：2x x －1>1|x |.解析 (1)当x >0时，2x x －1>1x ⇒2x 2－x ＋1x (x －1)>0，∵2x 2－x ＋1>0.∴x (x －1)>0，∴x >1. (2)当x <0时，2x x －1>－1x ，∵x －1<0，x <0，不等式两边同乘以x (x －1)得： 2x 2>－(x －1)，即2x 2＋x －1>0， 得x <－1或x >12.由x <0，得：x <－1.综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cos πx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰有2个元素，求a 的取值集合．解析 依题意得|x ＋1|＋a －1>0，即|x ＋1|>1－a ， ∵a <1，∴1－a >0，∴x ＋1>1－a 或x ＋1<a －1， 即x >－a 或x <a －2，∴A ＝(－∞，a －2)∪(－a ，＋∞)， ∴(∁U A )＝[a －2，－a ]．又∵cos πx ＝1，∴πx ＝2kπ，∴x ＝2k (x ∈Z)， ∴B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}．∵(∁UA )∩B 恰有2个元素，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，0≤－a <2，－4<a －2≤－2，解得－2<a ≤0.∴a 的取值集合为(－2,0]．21．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．解析 由命题p 知0＜c ＜1， 由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52.要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.又由p 或q 为真，p 且q 为假知， p 、q 必有一真一假，①p 为真，q 为假时，p 为真，0＜c ＜1； q 为假，c ≤12，∴0＜c ≤12.②p 为假，q 为真时，p 为假，c ≤0或c ≥1； q 真，c ＞12，∴c ≥1.综上可知，c 的取值范围为0＜c ≤12或c ≥1.22．(本小题满分12分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m } (1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．若存在，求m 的范围． (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若存在，求出m 的范围． 解析 (1)P ＝{x |－2≤x ≤10}， S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1} 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－21＋m ＝10，∴m 不存在． (2)若存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，∴S ⊆P .若m ＜0，即S ＝∅时，满足条件． 若S ≠∅，应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥1－m 1－m ≥－2m ＋1≤10解之得 0≤m ≤3.综之得，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．第二章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 的映射，则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．2个答案 A解析 当f (0)＝－1时f (1)可以是0或1，则有2个映射． 当f (0)＝0时，f (1)＝1，则有1个映射． 2．函数y ＝1ln (x －1)的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1,2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪[3，＋∞)答案 C解析 由ln(x －1)≠0得x －1>0且x －1≠1，由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln (x －1)的定义域是(1,2)∪(2，＋∞)．3．已知f (x )＝a |x －a |(a ≠0)，则“a <0”是“f (x )在区间(0,1)内单调递减”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )＝a |x －a |(a ≠0)在(0,1)内单调递减的充要条件是a <0或a ≥1，故选A. 4．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A ．2 B.23 C.13 D ．1答案 B解析 由题可知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a的最小值为23.故选B.5．设f (x )是R 上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )等于( )A ．x (1＋3x ) B ．－x (1＋3x ) C ．－x (1－3x ) D ．x (1－3x )答案 C解析 令x <0，则－x >0 ∴f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x )∵f (－x )＝f (x )＝－x (1－3x )6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝(13)x ，那么f －1(0)＋f －1(－9)的值为( )A ．7B ．2或7C ．7或12D ．2答案 D7．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10)答案 D解析 y ＝f (x ＋8)可看作是y ＝f (x )左移8个单位 ∴y ＝f (x )关于x ＝8对称，两侧单调性相反． 8．函数y ＝2－|x |的单调递增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．非奇非偶函数答案 B解析 画出y ＝2－|x |的图象如图：故选B.9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B.15 C ．4 D.14答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b －3的图象恒过点(2,0)，∴4＋2a ＋b －3＝0，即2a ＋b ＋1＝0，则a 2＋b 2＝a 2＋(1＋2a )2＝5a 2＋4a ＋1＝5(a ＋25)2＋15，∴a 2＋b 2的最小值为15.10．已知偶函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝3x ＋49，则f (log 135)的值等于( )A ．－1 B.2950 C.10145 D ．1答案 D解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )是以2为周期的周期函数． 因为log 135∈(－2，－1)，log 135＋2＝log 1359∈(0,1)，又f (x )为偶函数且x ∈[－1,0]，f (x )＝3x ＋49，∴当x ∈[0,1]时，f (x )＝3－x ＋49，所以f (log 135)＝f (log 135＋2)＝f (log 1359)＝3－log 1359＋49＝3log 359＋49＝59＋49＝1，故选D.11．将函数y ＝3x ＋a 的图象C 向左平移一个单位后，得到的是函数y ＝f (x )的图象，若y＝f (x )的反函数是一个奇函数，则实数a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3答案 C12．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2 (x ≤1)31－x －2 (x >1)的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]答案 D解析 当x ≤1 时，y ＝3x －1－2， ∵0<3x －1≤1，∴－2<y ≤－1. 当x >1时，0<31－x <1， ∴－2<y <－1，综上得：－2<y ≤－1，∴选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝ax －12，f (lg a )＝10，则a 的值为________．答案 10或10－12解析 a lg a －12＝10，两边取10为底的对数得(lg a －12)lg a ＝12，解得lg a ＝1或lg a ＝－12，故a ＝10或a ＝10－12.14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1.5)＝________.答案 2.5解析 f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，故T ＝4，∴f (1.5)＝f (1.5－4)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5.15．某厂有形状为直角梯形的边角料，现从中截取矩形铁片(如图所示)，当矩形面积最大时，矩形的两边x ，y 分别应为________．答案 x ＝15，y ＝12解析 由三角形相似的性质可得：x 24－y ＝2024－8， ∴16x ＝480－20y ，y ＝24－45x .∴S ＝x ·y ＝x ·(24－45x )＝24x －45x 2＝－45(x －15)2＋45×152.当x ＝15，y ＝12时，S 最大．16．设f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 的和为________．答案 －8解析 依题意，当f (x )＝f (x ＋3x ＋4)时，x ＝x ＋3x ＋4，即x 2＋3x －3＝0，此时满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的x 的和为x 1＋x 2＝－3；又f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ＋3x ＋4)，即－x ＝x ＋3x ＋4，即x 2＋5x ＋3＝0，∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的x 的和为x 3＋x 4＝－5.∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 的和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－3＋(－5)＝－8.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f (1x )．(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．解析 (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R ，又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示(2)∵g (x )＝f (1x )＝1(1x )2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)， ∴g (x )＋f (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即g (x )＋f (x )＝1(x ≠0)点评 利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2， x <0，4， x ＝0(x －2)2， x >0.(1)写出f (x )的单调区间； (2)若f (x )＝16，求相应x 的值．解析 (1)当x <0时，f (x )在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增； 当x >0时，f (x )在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．综上，f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]． (2)当x <0时，f (x )＝16，即(x ＋2)2＝16，解得x ＝－6； 当x >0时，f (x )＝16，即(x －2)2＝16，解得x ＝6. 故所求x 的值为－6或6.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a ＞0，a ≠1) (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．解析 (1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋k ＝4 (1)(log 2a )2－log 2a ＋k ＝k (2)由(2)得log 2a ＝0或log 2a ＝1 解得a ＝1(舍去)或a ＝2 由a ＝2得k ＝2(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为74.20．(本小题满分12分)(1)已知函数y ＝ln(－x 2＋x －a )的定义域为(－2,3)，求实数a 的取值范围；(2)已知函数y ＝ln(－x 2＋x －a )在(－2,3)上有意义，求实数a 的取值范围． 解 (1)据题意，不等式－x 2＋x －a >0的解集为(－2,3)， ∴方程－x 2＋x －a ＝0的两根分别为－2和3. ∴a ＝(－2)×3＝－6.(2)据题意，不等式－x 2＋x －a >0的解集{x |－x 2＋x －a >0}⊇(－2,3)， ∴方程f (x )＝－x 2＋x －a ＝0的两根分别在(－∞，－2]和[3，＋∞)内．∴⎩⎨⎧Δ>0f (－2)≥0f (3)≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <14a ≤－6⇒a ≤－6.a ≤－6.∴a 的取值范围为a ≤－6.21．(本小题满分12分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2010年该产品的利润y (万元)表示为m 的函数． (2)该厂家2010的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大．分析 (1)本题含有多个计算公式：年利润＝年销售收入－总成本；年销售收入＝年销售量×销售价格；总成本＝产品成本＋促销费用；销售价格1.5×每件产品平均成本；产品成本＝固定投入＋再投入；每件产品年平均成本＝产品成本/年销售量．(2)转化为求函数y ＝f (m )的最大值．解析 (1)由题意可知当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，即k ＝2. ∴x ＝3－2m ＋1.由题意，得每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，则2010年的利润y ＝x [1.5×8＋16xx ]－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8(3－2m ＋1)－m＝－16m ＋1－m ＋28(m ≥0)，即y ＝－16m ＋1－m ＋28(m ≥0)．(2)下面证明当0≤m ≤3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是增函数． 设0≤m 1＜m 2≤3，则y 1－y 2＝(－16m 1＋1－m 1＋28)－(－16m 2＋1－m 2＋28)＝(16m 2＋1－16m 1＋1)＋(m 2－m 1) ＝16(m 1－m 2)(m 2＋1)(m 1＋1)＋(m 2－m 1)＝(m 1－m 2)[16(m 2＋1)(m 1＋1)－1]，∵0≤m 1＜m 2≤3，∴m 1－m 2＜0,0＜(m 2＋1)(m 1＋1)＜16. ∴16(m 2＋1)(m 1＋1)＞1. ∴16(m 2＋1)(m 1＋1)－1＞0. ∴y 1＜y 2.∴当0≤m ≤3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是增函数． 同理可证，当m ＞3时，函数y ＝－16m ＋1－m ＋28是减函数． 则当m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)，∴该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元． [注]：也可用导数法求最值．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解 (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． ∵f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．第三章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＜0 B ．f ′(x 0)＞0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在答案 B2．三次函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝13答案 A解析 y ′＝3ax 2－1，由y ′≤0得3ax 2－1≤0. ∴a ≤0.3．如果函数f (x )＝x 4－x 2，那么f ′(i)＝( ) A ．－2i B ．2i C ．6i D ．－6i 答案 D解析 因为f ′(x )＝4x 3－2x ，所以f ′(i)＝4i 3－2i ＝－6i. 4．若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( ) A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋2 答案 B解析 用f (1)＝－1验证即可．5．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )的该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项满足题意．6．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )的极大值为f (3，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 答案 D解析 由函数y ＝x ·f ′(x )的图象可知 x ∈(－∞，－3)，f ′(x )<0，f (x )单减 x ∈(－3,3)，f ′(x )>0，f (x )单增x ∈(3，＋∞)，f ′(x )<0，f (x )单减，∴选D.7．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(x )|x ＝0＝e x (cos x －sin x )|x ＝0＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.8．(2011·《高考调研》原创题)家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析 由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B.9．已知f (x )＝{ 2x ＋3，x ≠，x ＝1，下面的结论正确的是( )A ．f (x )在x ＝1处连续B ．f (1)＝5 C.lim x →1f (x )＝2 D.lim x →1f (x )＝5 答案 D解析 当x ≠1时，lim x →1(2x ＋3)＝5≠2，故A 、C 错误．故选D. 10．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )n ∈(N *)的前n 项和( )A.n n －1B.n ＋1nC.n n ＋1D.n ＋2n ＋1答案 C解析 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ，又f ′(x )＝2x ＋1.∴{m ＝2，m －1＝1.∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x .⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n 2＋n ，a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1， S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.11．(2010·江西卷)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215答案 C解析 f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 12．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )答案 A解析 f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)∴f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π3)∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)∴f ′(π3)＝－cos π3＝－12∴f ′(x )＝cos x －1≤0，∴f (x )为减函数 ∵b ＝log 32>log 31＝0>－12＝a∴f (a )>f (b )．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．li m x →π 2sin 2x1＋cos 3x 的值是________．答案 43解析 约掉零因子1＋cos x .14．已知曲线y ＝－13x 3＋2与曲线y ＝4x 2－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为________．答案 12解析 ∵两曲线在x 0处切线互相垂直∴(－x 20)·(8x 0)＝－1 ∴x 0＝12.15．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12， 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎨⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12.解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y ＝f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．19．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r 是瓶子的半径，单位是cm ，已知每出售1 mL 饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小． 解析 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是 y ＝f (r )＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π(r 33－r 2)，0<r ≤6.f ′(r )＝0.8π(r 2－2r )， 当r ＝2时，f ′(r )＝0.当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低．所以半径为2 cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶装饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm 时，利润最大．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－m ln x .(1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是递增的，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e ]上的最大值和最小值．解析 (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在(12，＋∞)上恒成立．而f ′(x )＝x －m x ，即m ≤x 2在(12，＋∞)上恒成立，即m ≤14.(2)当m ＝2时，f ′(x )＝x －2x ＝x 2－2x，令f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e )时，f ′(x )>0，故x ＝2是函数f (x )在[1，e ]上唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (2)＝1－ln2，又f (1)＝12，f (e )＝12e 2－2＝e 2－42>12，故f (x )max＝e 2－42.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 依题意得{f ′(2)＝0，f (2)＝－6，解得⎩⎨⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2. ∴令f ′(x )<0，得－13<x <2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是(－13，2)．不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵K PQ ＝1，由图可知z ≥1或z <－2，即z ＝ba －1的范围是(－∞，－2)∪[1，＋∞)．22．(本题满分12分)(2010·湖北卷，理)已知函数f (x )＝ax ＋bx ＋c (a >0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(1)用a 表示出b ，c ；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解析(1)f ′(x )＝a －bx 2，则有{f (1)＝a ＋b ＋c ＝f ′(1)＝a －b ＝1，解得{b ＝a －1，c ＝1－2a .(2)由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1x＋1－2a .令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)(x －1－aa)x 2，(ⅰ)当0<a <12时，1－a a>1.若1<x <1－aa ，则g ′(x )<0，g (x )是减函数，所以g (x )<g (1)＝0，即f (x )<ln x ．故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立． (ⅱ)当a ≥12时，1－a a≤1.若x >1，则g ′(x )>0，g (x )是增函数，所以g (x )>g (1)＝0，即f(x)>ln x，故当x≥1时，f(x)≥ln x.，＋∞)．综上所述，所求a的取值范围为[12第四章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8答案 A解析 a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24 2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝242．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.3．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 降低0.7 ℃，已知山顶的气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃.那么，此山相对于山脚的高度是( )A ．1500 mB ．1600 mC ．1700 mD ．1800 m答案 C4．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f (n )＋n2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( ) A ．95 B ．97 C ．105 D ．192 答案 B解析f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (20)＝f (19)＋192f (19)＝f (18)＋182……f (2)＝f (1)＋12累加得：f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.5．若ax －1，a y ，a－x ＋1(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的轨迹位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析 ∵成等比， ∴(a y )2＝a x －1·a －x ＋1，即2y ＝x －1－x ＋1，x －1>0，∴x >1.x －1<x ＋1，∴y <0.∴位于第四象限6．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( ) A ．a 9S 8>a 8S 9 B ．a 9S 8<a 8S 9 C ．a 9S 8≥a 8S 9 D ．a 9S 8≤a 8S 9答案 A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 1(1－q 8)1－q －a 8a 1(1－q 9)1－q ＝a 8a 1(q －q 9－1＋q 9)1－q＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.7．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为( )A.12B.22C.32D.33答案 B解析 由题意知2n ＝m ＋m ＋n∴n ＝2m ，n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2 ∴e ＝c a ＝228．设等比数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝1，那么lim n→∞S n 的值为( ) A.83 B.43 C.32 D.23答案 A解析 易求q ＝12，a 1＝43，∴lim n →∞S n＝a 11－q ＝83. 9．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2 ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.10．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)则此数列为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列 答案 D解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0 ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n 又a 1＝1 a 2＝1，∴从第二项起为等比数列11．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则lim n →∞ a n b n 等于( )A ．1 B.63C.23 D.49答案 C解析 根据等差数列性质有a n ＝12(a 1＋a 2n －1)＝12n －1S 2n －1b n ＝12(b 1＋b 2n －1)＝12n －1T 2n －1故lim n→∞a nb n ＝lim n →∞ S 2n －1T 2n －1＝lim n →∞ 4n －26n －2＝lim n →∞2－1n 3－1n＝2312．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，我们称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝2，则a 2009a 2006的个位数字是( )A ．3B ．4C ．6D ．8答案 C解析 由a 1＝a 2＝1，a 3＝2，得a 3a 2－a 2a 1＝1＝d ，设a n ＋1a n ＝b n ，则b n ＋1－b n ＝1，且b 1＝1.∴b n ＝n ，即a n ＋1a n＝n ，∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×1×2×3×…×(n －1)，∴a 2009a 2006＝2006×2007×2008，它的个位数字是6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12解析 S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.14．某人从2009年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2009年12月底取出的本利和应是________元．答案 1223.4解析 应为1200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1200＋0.3×12×132＝1223.4(元)．15．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝a 5，则S 11＝________. 答案 0解析 ∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6，∴a 5＋a 6＝a 5，∴a 6＝0，∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11·2a 62＝11·a 6＝0. 16．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等于________．答案n n ＋1解析 a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n a n ＋1＝1b n ，b n ＝1a n a n ＋1.由a 1＝1，得a 2＝2，a 3＝3，S 1＝1b 1＝1a 1a 2＝12，S 2＝1b 1＋1b 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝11×2＋12×3＝23.可得，S n ＝nn ＋1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在等比数列{a n }中，已知a 3＝112，S 3＝412，求a 1与q .解析 ①当q ＝1时，S 3＝3a 3成立，此时a 1＝32；②当q ≠1时，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝92.解得a 1＝6，q ＝－12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12.18．(本小题满分12分)已知数列{a n }成等差数列，S n 表示它的前n 项和，且a 1＋a 3＋a 5＝6，S 4＝12.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)数列{a n S n }中，从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数？解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋6d ＝64a 1＋6d ＝12解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6d ＝－2∴a n ＝－2n ＋8 (n ∈N *)(2)a n S n ＝(－2n ＋8)(－n 2＋7n )∵－2n ＋8从第5项起为负数，－n 2＋7n 从第8项起为负数． ∴a n ·S n 从第8项起，恒为正整数19．(本小题满分12分)(2010·山东卷，理)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1， 所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1) ＝n4(n ＋1)，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).20．(本小题满分12分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1， ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列， ∴a n ＝2－n .(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1， 即a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1，∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列，∴b n ＝32×3n －1＝3n2， ∴S n ＝32(1－3n )1－3＝34(3n －1)．21．(本小题满分12分)(2010·四川卷，文)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)设{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4.解得a 1＝3，d ＝－1. 故a n ＝3－(n －1)＝4－n .(2)由(1)的解答可得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n . 两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1. ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，(q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，(q ≠1).22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2010的n的最小值．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减得a n ＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1. a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n .所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1. 所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. 若T n －22n －1>2010， 则2＋(2n －1)·2n ＋12n －1>2010，即2n ＋1>2010.由于210＝1024,211＝2048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式T n －22n －1>2010的n 的最小值是10.1．(2010·江西卷，文)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( )A ．(－2)n －1B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n答案 A解析 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.2．曲线y ＝1－x 2上存在不同的三点到点(2,0)的距离构成等比数列，则构成的等比数列的公比不可能是( )A.32 B.33C.12D. 3答案 C解析 易知曲线y ＝1－x 2是半圆，不妨设点(2,0)到曲线y ＝1－x 2上不同的三点的距离分别为d 1，d 2，d 3，它们构成的等比数列的公比为q .不妨令d 3＝d 1q 2，显然1≤d 3≤3，所以1d 1≤q 2≤3d 1，又1≤d 1≤3，所以33≤q ≤3，q 不能取到12，故选C.。
高考数学一轮复习综合测试卷一含解析新人教A版
综合测试卷(一)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z =2-i 1+i(i 为虚数单位),则复数z 的模等于( )A.√102B.3√22C.√3D.√52答案 A 由于z =2-i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2,∴|z |=|12-32i |=√(12)2+(-32)2=√102.故选A .2.(2019江西南昌外国语学校适应性测试,1)已知集合M ={x |0<x <5},N ={x |m <x <6},若M ∩N ={x |3<x <n },则m +n 等于 ( )A.9B.8C.7D.6答案 B 因为M ∩N ={x |0<x <5}∩{x |m <x <6}={x |3<x <n },所以m =3,n =5,因此m +n =8.故选B . 3.(2020九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 ( )A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案 C 本题主要考查空间几何体的结构特征,考查数学抽象、数学运算的核心素养.由已知条件“胡夫金字塔的底部周长除以其高度的两倍,得到商为3.14159”可得,胡夫金字塔的原高为230×42×3.14159≈146.4米,则胡夫金字塔现高大约为146.4-10=136.4米,故选C . 4.(2019广西梧州调研,6)若抛物线x 2=2py (p >0)上一点(1,m )到其准线的距离为54,则抛物线的方程为( )A.x 2=y B.x 2=2y 或x 2=4y C.x 2=4y D.x 2=y 或x 2=4y答案 D 由已知可得m =12p ,则12p +p 2=54,化简得2p 2-5p +2=0,解得p =12或p =2,所以抛物线方程为x 2=y 或x 2=4y.5.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x ,y 之间的线性回归方程为p^=-0.7x +10.3,且变量x ,y 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误．．的是 ( ) x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ,y 之间成负相关关系B.可以预测,当x =20时,p^=-3.7 C.m =4D.该回归直线必过点(9,4)答案 C 由-0.7<0,得变量x ,y 之间成负相关关系,故A 说法正确;当x =20时,p^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B 说法正确; 由表格数据可知。
人教A版高考数学一轮总复习单元检测卷全套全册
单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019四川成都二模,1)设全集U=R,集合A={x|-1<x<3},B={x|x≤-2或x≥1},则A∩(∁U B)=() A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<3}C.{x|-2≤x<3}D.{x|x≤-2或x>-1}2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为x x<-或x>,则不等式bx2-5x+a>0的解集为() A.B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.已知x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A. p:∃x0∈A,2x0∈BB. p:∃x0∉A,2x0∈BC. p:∃x0∈A,2x0∉BD. p:∀x∉A,2x∉B4.(2019湖南株洲质检二)已知命题p:∀x>0,e x>x+1,命题q:∃x∈(0,+∞),ln x≥x,则下列命题正确的是() A.p∧q B.( p)∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)5.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2019江西南昌二模)设正实数x,y满足x>,y>2,不等式≥m恒成立,则m的最大值为()A.2B.4C.8D.16二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019山东济南历下区检测)若2<a<5,3<b<10,则t=的取值范围为.8.已知函数f(x)=log a(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+4=0上,其中mn>0,则的最小值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知正数x,y满足x+y=1.(1)求xy的最大值;(2)求的最小值.10.(15分)已知集合A={x|x2-(2a-2)x+a2-2a≤0},B={x|x2-5x+4≤0}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求a的取值范围.11.(15分)已知平面区域D由以P(1,2),R(3,5),Q(-3,4)为顶点的三角形内部和边界组成.(1)写出表示区域D的不等式组;(2)设点(x,y)在区域D内变动,求目标函数z=2x+y的最小值;(3)若在区域D内有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=mx+y(m<0)取得最小值,求m的值.参考答案单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(A)1.A∵∁U B={x|-2<x<1};∴A∩(∁U B)={x|-1<x<1}.故选A.2.C由题意知a>0,且,-是方程ax2-5x+b=0的两根,解得∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,故选C.3.C原命题的否定是∃x0∈A,2x0∉B.4.C令f(x)=e x-x-1,f'(x)=e x-1,x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0,∴e x>x+1,p真;令g(x)=ln x-x,g'(x)=-1=,x∈(0,1),g'(x)>0;x∈(1,+∞),g'(x)<0,∴g(x)max=g(1)=-1<0,所以g(x)<0,即ln x<x在(0,+∞)上恒成立,q假;故选C.5.A当a>0,b>0时,a+b≥2,若a+b≤4,则2a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.6.D设y-2=a,3x-2=b(a>0,b>0),=8≥16,当且仅当a=b=2,即x=,y=4时取等号.故选D.7.t<t<2<a<5,3<b<10表示的可行域如图,则t=的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率,显然OA的斜率是最大值,OB的斜率是最小值,由题意可知A(3,5),B(10,2).k OA=,k OB=,因为AB不是可行域内的点,所以t=的取值范围为t<t<.答案为t<t<.8由f(x)=log a(x+3)-1知,f(x)过定点A(-2,-1).因为点A在直线mx+ny+4=0上,所以2m+n=4.又mn>0,所以m>0,n>0,所以==+2,当且仅当,即m=,n=3时取等号,所以的最小值为9.解(1)已知x,y均为正数,所以xy≤2=,当且仅当x=y=时,等号成立.(2)=3+3+2=3+2,当且仅当,即x=-1,y=2-时,等号成立;故的最小值为3+210.解A={x|x2-(2a-2)x+a2-2a≤0}={x|a-2≤x≤a},B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.(1)∵A∩B=⌀,a-2>4或a<1,即a>6或a<1.∴a的取值范围是(-∞,1)∪(6,+∞);(2)∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,∴A⫋B,则解得3≤a≤4.∴a的取值范围是[3,4].11.解(1)首先求三直线PQ、QR、RP的方程.易得直线PQ的方程为x+2y-5=0;直线QR的方程为x-6y+27=0;直线RP的方程为3x-2y+1=0.注意到△PQR内任一点(x,y)应在直线RP、PQ的上方,而在QR的下方,故应有(2)由已知得直线y=-2x+z,z取最小值时,此直线的纵截距最小.作直线l:2x+y=0,将直线l沿区域D平行移动,过点Q时z有最小值,所以z min=-2.(3)直线z=mx+y(m<0)的斜率为-m,结合可行域可知,直线z=mx+y(m<0)与直线PR重合时,线段PR上任意一点都可使z=mx+y(m<0)取得最小值,又k PR=,因此,-m=,即m=-单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019湖南六校联考,2)已知集合A=,则∁R A=()A.[-3,1)B.(-∞,-3)∪[1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3]∪(1,+∞)2.下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=sin x+,x∈0,C.y=D.y=x+-3,x>13.(2019江西临川一中模拟)已知命题p:∀x∈R,x2-2ax+1>0;命题q:∃x∈R,ax2+2≤0.若p ∨q为假命题,则实数a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,-2]D.[-1,1]4.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.35.(2019天津,3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2019安徽六安质检)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.实数x,y满足不等式组则z=|4-x-2y|的最大值为.8.已知命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;命题q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,且p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知命题p:“∀x∈[-1,1],不等式x2-x-m<0成立”是真命题.(1)求实数m的取值范围;(2)若q:-4<m-a<4是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.10.(15分)已知变量x,y满足约束条件(1)画出上述不等式组所表示的平面区域;(2)求z=2x-y的最大值;(3)求z=(x+1)2+(y-4)2的最小值.11.(15分)已知函数f(x)=x2+2ax-b.(1)若b=8a2,求不等式f(x)≤0的解集;(2)若a>0,b>0,且f(b)=b2+b+a,求a+b的最小值.参考答案单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(B)1.B∵(x+3)(x-1)≤0且x≠1,∴A={x|-3≤x<1},∴∁R A=(-∞,-3)∪[1,+∞).2.D对于A,不能保证x>0.对于B,不能保证sin x=1;对于C,不能保证=1;对于D,∵x>1,∴y=x+-3=x-1+-2≥2-2=4-2=2,当且仅当x-1=,即x=3时等号成立,故选D.3.A∵p∨q为假命题,∴p,q均为假命题,若命题p为假命题,则Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1,或a≥1;若命题q为假命题,则a≥0,∴实数a的取值范围是a≥1,故选A.4.A由题意得A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3,故选A.5.B由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.6.B由题意,可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a1,a2,a3,a4,a5.则a1,a2,a3,a4,a5成等差数列,设公差为d.a1+a2+a3+a4+a5=5,a1+a2=a3+a4+a5.整理上面两个算式,得,解得所以a5=a1+4d=+4×-=故选B.7.21实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图所示.由图可知,阴影部分表示的是△ABC的三边及其内部部分.联立即C(3,1).联立得A(7,9).z=|4-x-2y|=|x+2y-4|,令a=x+2y-4得y=-x+2+,显然直线过A(7,9)时,a最大,此时a=21,直线过C(3,1)时,a最小,此时a=1,故z=|a|,故z的最大值是21.8.(-∞,-2]∪[-1,3)设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由题意得得m<-1,故p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,故q为真时,-2<m<3.由p∨q为真命题,p∧q为假命题,可知命题p,q一真一假.当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3.故实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).9.解(1)由题意命题p:“∀x∈[-1,1],不等式x2-x-m<0成立”是真命题.所以m>x2-x在-1≤x≤1恒成立,即m>(x2-x)max,x∈(-1,1).因为x2-x=x-2-,所以-x2-x≤2,即m>2,所以实数m的取值范围是(2,+∞).(2)由p得,设A={m|m>2},由q得,设B={m|a-4<m<a+4},因为q:-4<m-a<4是p的充分不必要条件;所以q⇒p,但p q,∴B⫋A;所以a-4≥2,即a≥6,所以实数a的取值范围是[6,+∞).10.解(1)变量x,y满足约束条件的可行域如图:(2)直线z=2x-y经过B,那当x=2,y=4时z取最大值0.(3)由可行域可知,z=(x+1)2+(y-4)2,几何意义是可行域内的点与(-1,4)的距离的平方,显然是直线x=1与(-1,4)距离取得最小值,所以z=(x+1)2+(y-4)2的最小值4.11.解(1)因为b=8a2,所以f(x)=x2+2ax-8a2,由f(x)≤0,得x2+2ax-8a2≤0,即(x+4a)(x-2a)≤0,当a=0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|x=0};当a>0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a};当a<0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a};综上所述,不等式f(x)≤0的解集为:当a=0时解集为{x|x=0},当a>0时解集为{x|-4a≤x≤2a},当a<0时,解集为{x|2a≤x≤-4a};(2)因为f(b)=b2+2ab-b,由已知f(b)=b2+b+a,可得2ab=a+2b.即=1,由a+b=(a+b)×1=(a+b)=1++2当且仅当a=b,即a=1+,b=时取等号.所以a+b的最小值为单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x2.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c3.函数f(x)=的图象大致为()4.(2019山东实验中学模拟,6)已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且a=log 52,b=ln 2,c=-20.1,则f(a),f(b),f(c)满足()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(a)<f(b)C.f(c)<f(b)<f(a)D.f(a)<f(b)<f(c)5.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是()A.0B.-2C.-D.-36.已知函数f(x)=-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.47.已知函数f(x)是偶函数,定义域为R,单调增区间为[0,+∞),且f(1)=0,则(x-1)f(x-1)≤0的解集为()A.[-2,0]B.[-1,1]C.(-∞,0]∪[1,2]D.(-∞,-1]∪[0,1]8.已知函数f(x)=|x|·e x(x≠0),其中e为自然对数的底数,关于x的方程f(x)+-λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.0,B.(2,+∞)C.e+,+∞D.2e+,+∞二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.(山东高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数10.若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是()A.2B.C.3D.11.(2019江苏南京期中)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品12.(2019山东黄岛期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x);②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有>0;③f(-1)=0.则下列选项成立的是()A.f(3)>f(-4)B.若f(m-1)<f(2),则m∈(-∞,3)C.若>0,则x∈(-1,0)∪(1,+∞)D.∀x∈R,∃M∈R,使得f(x)≥M三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019浙江宁波期中)已知函数f(x)=则f(f(-2))=;若f(a)=2,则实数a=.14.若函数f(x)=log a(x+5)+1(a>0且a≠1),图象恒过定点P(m,n),则m+n=;函数g(x)=ln(x2+m)的单调递增区间为.15.(2019广东广雅中学模拟)对于函数f(x),如果存在x0≠0,使得f(x0)=-f(-x0),则称(x0,f(x0))与(-x0,f(-x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=e x-a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a的取值范围是.16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)解关于x的不等式:f(x)≤-1;(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?20.(14分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.21.(14分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.C A选项:当x>0时,y=,此时函数单调递减,故A错误;B选项:函数定义域为(0,+∞),故函数为非奇非偶函数,故B错误;C选项:(-x)2+2|-x|=x2+2|x|,函数为偶函数;当x>0时,y=x2+2x,此时x2和2x均为增函数,所以整体为增函数,故C正确;D选项:y=2-x=为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故D错误.2.D∵y=(x>0)是增函数,∴a=>b=∵y=x是减函数,∴a=<c=,∴b<a<c.3.D根据题干中的表达式得|x|≠2,故f(x)为偶函数,排除A,B,图中必有渐近线x=2或x=-2,当x从x轴正方向趋向于2时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于+∞,故排除C,故选D.4.D∵0<a=log52<log5,1>b=ln2>ln,∴f(a)<f(b)<f(1),又f(c)=f(-20.1)=f(20.1)>f(1),∴f(a)<f(b)<f(c),故选D.5.C x2+ax+1≥0ax≥-(x2+1)⇔a≥-,∵函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数,∴当x时,f(x)≥f+2=,=-,即a≥-,a的最小值是-6.B函数f(x)=-sin x在[0,2π]上的零点个数为函数y=的图象与函数y=sin x的图象在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B.7.C由题意可知,函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(-1)=0,令x-1=t,则tf(t)≤0.∴当t≥0时,f(t)≤0,0≤t≤1;当t<0,f(t)≥0,t≤-1,∴0≤x-1≤1或x-1≤-1.∴x≤0或1≤x≤2.故选C.8.D f(x)=|x|·e x=当x>0时,由f(x)=x·e x,得f'(x)=e x+x·e x=e x(x+1)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数;当x<0时,由f(x)=-x·e x,得f'(x)=-e x-x·e x=-e x(x+1).当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,∴当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=作出函数f(x)=|x|·e x(x≠0)的图象的大致形状如图所示.令f(x)=t,则方程f(x)+-λ=0化为t+-λ=0,即t2-λt+2=0, 要使关于x的方程f(x)+-λ=0有四个相异实根,则方程t2-λt+2=0的两根一个在0,上,一个在,+∞上.则+2<0,解得λ>2e+∴实数λ的取值范围是2e+,+∞.故选D.9.ABC∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),①f(-x+2)=-f(x+2),②∴由①可得f[-(x+1)+1]=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2),③∴由②③得f(-x)=f(-x+2),即f(x)的周期为2,∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数,∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,故选ABC.10.AB指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,当a>1时,可得y min=,y max=a,那么+a=,解得a=2,当0<a<1时,可得y max=,y min=a,那么+a=,解得a=,故a的值可能是或2.故选AB.11.BD由该车间5小时某种产品的总产量y(千克)与时间x(小时)的函数图象,得:前三小时内,每小时的产量逐步减少,故①错误,②正确;最后两小时均没有生产,故③错误,④正确.故选BD.12.CD定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x),说明函数是偶函数;②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有>0,说明函数在(0,+∞)是增函数;③f(-1)=0.所以f(3)<f(4)=f(-4)成立,所以A不正确;若f(m-1)<f(2),可得|m-1|<2,则m∈(-1,3),所以B不正确;由题意y=是奇函数,若>0,又f(-1)=0,可得x∈(-1,0)∪(1,+∞),所以C正确;因为函数是连续函数,又是偶函数,在x>0时是增函数,所以∀x∈R,∃M∈R,使得f(x)≥M,正确;故选CD.13-2或4∵函数f(x)=f(-2)=|-2|=2,f(f(-2))=f(2)=;∵f(a)=2,∴当a≤0时,f(a)=|a|=2,解得a=-2;当a>0时,f(a)==2,解得a=4.综上,实数a的值为-2或4.14.-3(2,+∞)当x+5=1时,即x=-4,不论a为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),∴m=-4,n=1,∴m+n=-3;∴函数g(x)=ln(x2-4),定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),令u(x)=x2-4,u(x)>0,递增区间为(2,+∞),g(u)=ln u在定义域内为增函数,复合函数g(u(x))根据同增异减性质,函数g(x)递增区间为(2,+∞).15.(1,+∞)依题意,知f(x)=-f(-x)有非零解,由f(x)=-f(-x)得e x-a=-(e-x-a),即a=e x+>1(x≠0),所以当f(x)=e x-a存在奇对称点时,实数a的取值范围是(1,+∞). 16.[3,4]根据题意知9(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所以9(2BC+x)x,得BC=,由得2≤x<6.所以y=BC+2x=(2≤x<6),由y=10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x 的取值范围为[3,4].17.解(1)不等式f(x)≤-1即为-10.当a<-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪[0,+∞);当a=-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);当a>-1时,不等式解集为(-2,0].(2)任取0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0,∴要使f(x)在(0,+∞)上单调递减,即f(x1)-f(x2)>0,只要a+1<0,即a<-1,故当a<-1时,f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.解(1)E=f(t)=t=6时,E(6)=35.(2)0<t≤3时,H(t)=t++20,H(t)≥24⇒t+4,由0<t≤3,得a≥-t2+t=-(t-2)2+所以a∈,+∞.19.解(1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票价格为y元,则y=即y=(2)设旅行社获利S元,则S=即S=因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大值12000.又S=-10(x-60)2+21000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.20.解(1)设f(x)=a(a>0).因为f(1)=0,所以(a-1)=0.又因为t≠0,所以a=1,所以f(x)=(t≠0).(2)因为f(x)=(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在上的最小值f(x)min=f(-1)==-5,所以t=-;当-1,即-4≤t≤-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-=-5,所以t=±2(舍去);当,即t>-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-5,所以t=-(舍去).综上所述,t=-21.解(1)由x+-2>0,得>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-在[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角α的终边上一点,则cos 2α=()A. B.-C. D.2.已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=()A. B. C.- D.-3.(2019山东烟台一模)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象向右平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,且f=-,则当ω取最小值时,函数f(x)的解析式为()A.f(x)=sin2x+B.f(x)=sin2x-C.f(x)=sin4x+D.f(x)=sin4x-4.(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为() A.3 B.4C.+1D.二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.(2019广东中山期末)将函数f(x)=2sin x+-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.函数g(x)的图象关于点-,0对称B.函数g(x)的周期是C.函数g(x)在0,上单调递增D.函数g(x)在0,上最大值是16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,下列结论正确的是()A.△ABC的边长可以组成等差数列B.>0C.D.若b+c=8,则△ABC的面积是三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式为弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB的长是米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是平方米.8.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=a sin x-2cos x的一条对称轴为x=-,f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥0.10.(15分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+sin x++sin x+,x∈R.(1)求f(2 019π)的值;(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cos α的值.11.(15分)(2019广东揭阳二模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且a2=4S.(1)若C=60°,且b=1,求a边的值;(2)当=2+时,求∠A的大小.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.B因为点P(1,-2)是角α的终边上一点,所以sinα==-所以cos2α=1-2sin2α=1-2×-2=-故选B.2.C∵sinα+2cosα=,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,∴tan2α==-故选C.3.C将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象向右平移个单位长度后,可得y=sinωx-+φ的图象;∵所得图象关于y轴对称,∴-+φ=kπ+,k∈Z.∵f=-=sin(π+φ)=-sinφ,即sinφ=,|φ|<,φ=∴-=kπ+,k∈Z,得ω=-6k-2>0,k∈Z.则当ω取最小值时,取k=-1,可得ω=4,∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin4x+.故选C.4.C设∠ABC=α,∠ACB=β,则AC2=AB2+BC2-2·AB·BC cosα=4-2cosα.由正弦定理得sinβ=所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosβ+=3+4-2cosα+2=7+2 sinα-2cosα=7+2sinα-,故当α=时,取得最大值为+1.故选C.5.ABD将函数f(x)=2sin x+-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin2x+-1的图象,由于当x=-时,f(x)=-1,故函数g(x)的图象关于点-,-1对称,故A错误;函数g(x)的周期为=π,故B错误;在0,上,2x+,g(x)单调递增,故C正确;在0,上,2x+,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.故选ABD.6.AD由已知可设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k>0),则a=k,b=k,c=k,∵a∶b∶c=7∶5∶3,∴2b=a+c,即△ABC的边长可以组成等差数列,故A正确;∴sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3,C错误;又cos A==-<0,∴△ABC为钝角三角形,=bc cos A<0,B错误;若b+c=8,则k=2,∴b=5,c=3,又A=120°,∴S△ABC=bc sin A=,D正确.故选AD.7.2由弧长为米,半径等于2米,可得圆心角为,∴OD=1米,则AB=2BD=2米;∴弧田面积S=(弦×矢十矢2)=[2(2-1)+(2-1)2]=8函数f(x)=a sin x-2cos x=sin(x+θ),其中tanθ=-, 函数f(x)的一条对称轴为x=-,可得f-=-a-2=-a-3,所以,解得a=2.∴θ=-;对称中心横坐标由x-=kπ(k∈Z),可得x=kπ+(k∈Z);又f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,∴|x1+x2|=2kπ+,当k=0时,可得|x1+x2|=9.(1)解因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin2x-+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)证明由(1)可知,f(x)=sin2x-+1.当x时,2x-,sin,sin+1∈[0,+1].当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值0.所以当x时,f(x)≥0.10.解(1)由题得f(x)=sin x+cos x+sin x+cos x=3sin x+,所以f(2019π)=3sin2019π+=3sinπ+=-3sin=-(2)由(1)知f(x)=3sin x+.由f(α)=1得sinα+=,又因为0<α<π,故<α<,所以cosα+=-,所以cosα=cosα+-=-11.解(1)由a2=4S,a2=4ab sin C,∴a=2b·sin C,∵C=60°且b=1,∴a=2=3.(2)当=2+时,=2-,∵a2=4S=b2+c2-2bc cos A,∴4bc sin A=b2+c2-2bc cos A,即2bc(sin A+cos A)=b2+c2,∴4sin A+==4,得sin A+=1.∵A∈(0,π),∴A+,则A+,得A=单元质检卷四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019广东珠海二模)已知tan α=-2,其中α为三角形内角,则cos α=()A.-B.C. D.-2.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的对称中心是()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为()A.8B.9C.10D.74.如图,函数y=|tan x|cos x0≤x<,x≠的图象是()二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线x=对称B.函数f(x)的图象关于点-,0对称C.函数f(x)在区间-上单调递增D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为6.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个命题中正确命题有()A.满足条件的△ABC不可能是直角三角形B.当A=2C时,△ABC的周长为15C.当A=2C时,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为D.△ABC的面积的最大值为40三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是A,B,C的对边.若A=2B,则(1)角B的取值范围是.(2)的取值范围是.8.已知实数a>0,若函数f(x)=a(sin x+cos x)-sin x cos x(x∈R)的最大值为,则a的值为.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019重庆渝中区一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2a cos C=b.(1)证明:A=C;(2)若B为钝角,△ABC的面积为a2,求.10.(15分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.11.(15分)(2019山东济南一中期末)已知向量a=cos x,sin x,b=cos,sin,且x∈-.(1)当x=时,求a·b及|a+b|的值;(2)若函数f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-1,求实数λ的值.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(B)1.A∵tanα=-2<0,<α<π,则sinα=-2cosα,代入sin2α+cos2α=1得cos2α=,则cosα=-,故选A.2.C函数f(x)=sin2x+cos2x=sin由题意,得g(x)=sin x+=cos x,所以函数g(x)的对称中心是,k∈Z.3.B由题意得ac sin120°=a sin60°+c sin60°,即ac=a+c,得=1,得4a+c=(4a+c)=+5≥2+5=4+5=9,当且仅当,即c=2a时,取等号,故选B.4.C∵y=|tan x|cos x=∴函数y=|tan x|cos x0≤x<,x的图象是C.故选C.5.BCD由题图可知,A=2,,∴T==π,则ω=2,又2+φ=π,∴φ=,满足0<|φ|<π,则f(x)=2sin2x+.∵f=-1,∴f(x)的图象不关于直线x=对称;∵f-=0,∴f(x)的图象关于点-,0对称;由x∈-,得2x+-,则f(x)在区间-上单调递增;由f(x)=2sin2x+=1,得sin2x+=,∴2x++2kπ或2x++2kπ,k∈Z.取k=0,得x=0或;取k=1,得x=π或函数y=1与y=f(x)-x的图象的所有交点的横坐标之和为+π+6.BCD a=6,4sin B=5sin C即4b=5c,设b=5t,c=4t,由36+16t2=25t2,可得t=,满足条件的△ABC可能是直角三角形,故A错误;a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,b=,由,sin C≠0,可得4cos2C-1=,解得cos C=,sin C=,可得sin A=2sin C cos C=,可得c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;S△ABC=bc sin A=设△ABC的内切圆半径为R,则R=,S△AOB=cR=故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),又4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n),可得4=5,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+m+9=0,化为m+2+n2=2,则A的轨迹为以-,0为圆心,半径为的圆,可得△ABC的面积的最大值为6=40,故D正确.7.(1)∵A=2B,A+B+C=π,∴C=π-3B,∵△ABC是锐角三角形,∴0<2B<且0<π-3B<,解得<B<(2)由正弦定理得,=2cos B,<B<,得<cos B<,即,令t=().=t+=g(t),则g(t)在t∈()上单调递增.∴g(t)∈的取值范围是.8设t=sin x+cos x=sin x+,则t∈[-],则t2=sin2x+cos2x+2sin x·cos x=1+2sin x·cos x,∴sin x cos x=∴g(t)=f(x)=a(sin x+cos x)-sin x cos x=at-=-t2+at+,对称轴方程为t=a>0,当0<a<时,g(t)max=g(a)=,解得a=2(舍);当a时,g(t)max=g()=-a=,解得a=a的值为9.(1)证明∵b=2a cos C,∴由正弦定理得sin B=2sin A cos C,∵B=π-(A+C),∴sin(A+C)=2sin A cos C,则sin A cos C+cos A sin C=2sin A cos C,sin A cos C-cos A sin C=0,即sin(A-C)=0,∵A,C∈(0,π),∴A-C∈(-π,π),则A-C=0,∴A=C.(2)解由(1)可得a=c,∵△ABC的面积为a2,ac sin B=a2,∴sin B=,∵sin B=,且B为钝角,<B<,<π-2A<,<A<,<sin A<,∴sin2A=sin(A+C)=sin B=,∵sin2A+cos2A=1,∴sin A=或sin A=(舍去).∴sin A=,10.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+11.解(1)因为向量a=cos x,sin x,b=cos,sin,所以a·b=cos x·cos+sin x·sin=cos x-x=cos x,|a+b|====2cos,当x=时,则a·b=cos|a+b|=2cos=2×cos(2)函数f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos x-4λcos.由于x∈-,所以-,故f(x)=cos x-4λcos,cos,1,进而可得f(x)=2cos2-4λcos-1=2cos-λ2-2λ2-1.当1时,当且仅当cos=λ时,f(x)取得最小值,即f(x)min=-2λ2-1=-1,解得λ=0.不满足1,故舍去;当λ>1时,当且仅当cos=1时,f(x)取得最小值,即f(x)min=2-4λ-1=-1,解得λ=,不满足λ>1,故舍去;当λ<时,当且仅当cos时,f(x)取得最小值,即f(x)min=2-4λ-1=-1,解得λ=,满足λ<综上所述,λ=单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2019福建漳州质检二,1)=()A. B.C. D.2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则有()A.=2B.C.=3D.23.(2019浙江嘉兴一中期中)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1).若,则实数m的值为()A. B.- C.-3 D.-4.(2019安徽皖西南联盟联考)设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是() A.(1,8) B.(-16,-2)C.(1,-8)D.(-16,2)5.(2019四川成都检测)已知向量a=(,1),b=(-3,),则向量b在向量a方向上的投影为()A.-B.C.-1D.16.已知菱形ABCD的边长为m,∠ABC=60°,则=()A.-m2B.-m2C.m2D.m27.(2019湖南衡阳八中期中)已知向量a=(3,-4),|b|=2,若a·b=5,则a与b的夹角为()A. B. C. D.8.(2019湖南长沙一中模拟一)已知i为虚数单位,复数z满足(1+2i)z=(1+i)(2-i),则|z|=()A. B.C. D.9.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)10.(2019湖南长沙一中期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=()A.B.C.D.11.(2019天津高考模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,,点P是△ABC所在平面内的一点,当取得最小值时,=()A. B.-9C.7D.-12.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是()A.0,B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2019四川绵阳模拟)已知向量a=(sin 2α,1),b=(cos α,1),若a∥b,0<α<,则α=.14.(2019河南名校联盟压轴卷四,14)已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则c在a+b上的投影是.15.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为.16.(2019江西景德镇一中期中)以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使A=90°,则的坐标为.参考答案单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入1.A i.故选A.2.B由2=0,得=-2=2,即=2=2,所以,故选B.3.C因为=(3,1),=(2m,m+1),所以3×(m+1)=2m,∴m=-3.故选C.4.B因为向量a与向量b垂直,所以2×6+4k=0,解得k=-3,所以a+b=(8,1),则向量(-16,-2)与向量a+b共线,故选B.5.A向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos<a,b>,∴|b|·cos<a,b>==-,故选A.6.D如图,设=a,=b.则=()=(a+b)·a=a2+a·b=m2+m·m·cos60°=m2+m2=m2.7.B由a=(3,-4)得|a|==5,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=5×2cos<a,b>=5,解得cos<a,b>=,∴a与b的夹角为,故选B.8.C由题意得,z==1-i,|z|=故选C.9.C设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).10.D设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).∵(c+a)∥b,∴2(y+2)=-3(x+1),①∵c⊥(a+b),∴3x-y=0.②联立①②两式,得x=-,y=-,故选D.11.B=||·||cos B=||2,∴||·cos B=||,,∠CAB=,以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(0,3).设P(x,y),则=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10], 所以当x=2,y=1时取最小值,此时=(2,1)·(-6,3)=-9.故选B.12.D由题意得=(2+cosα,2+sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大、最小值,故选D.13向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,则sin2α-cosα=0,即2sinαcosα=cosα.又∵0<α<,∴cosα≠0,∴sinα=,∴α=14.-a+b=(-2,1),(a+b)·c=-1,所以,c在a+b上的投影是=-15以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,.设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则=2x+y,令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取最大值16.(-2,5)或(2,-5)设B(x,y),=(5,2),=(x-5,y-2),因为△OAB是等腰直角三角形,且A=90°,所以=0,||=||,即解方程组得所以=(2,-5)或=(-2,5).。
高考数学一轮复习 第一章 单元测试卷
第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．(2014·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)答案 B解析∵x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}．故选B.2．(2014·浙江理)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅B．{2}C．{5} D．{2,5}答案 B解析由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}．故选B. 3．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁N B)等于( )A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}答案 A解析即在A中把B中有的元素去掉．4．“x>0”是“3x2>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案 A解析当x>0时，3x2>0成立；但当3x2>0时，得x2>0，则x>0或x<0，此时不能得到x>0.5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( ) A．(綈p)或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．(綈p)或(綈q)答案 D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．6．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0答案 C解析 应用命题否定的公式即可．7．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 C解析 c ＝0时，原命题为假，逆命题为真，根据命题间的关系应选C. 8．已知∁Z A ＝{x ∈Z |x ＜6}，∁Z B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝B D ．∁Z A ∁Z B 答案 A9.设全集为R ，集合M ＝{y |y ＝2x ＋1，－12≤x ≤12}，N ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x )}，则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )答案 C解析 ∵－12≤x ≤12，y ＝2x ＋1，∴0≤y ≤2，∴M ＝{y |0≤y ≤2}．∵x 2＋3x >0，∴x >0或x <－3，∴N＝{x |x >0或x <－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁R M )∩N ，又∁R M ＝{x |x <0或x >2}，∴(∁R M )∩N ＝{x |x <－3或x >2}，故选C.10．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[－6，－2] C ．(2,6) D ．(－6，－2)答案 A解析 ∵命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，∴2≤m ≤6.11．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5答案 C解析 命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4，故其充分不必要条件是实数a 的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞)D ．(－∞，－12]答案 A解析 当x ∈[0,3]时，[f (x )]min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，[g (x )]min ＝g (2)＝14－m ，由[f (x )]min ≥[g (x )]min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，a,5}，B ＝{2，a 2＋1}．若A ∩B 有且只有一个元素，则实数a 的值为________． 答案 0或－2解析 若a ＝2，则a 2＋1＝5，A ∩B ＝{2,5}，不合题意舍去． 若a 2＋1＝1，则a ＝0，A ∩B ＝{1}．若a 2＋1＝5，则a ＝±2.而a ＝－2时，A ∩B ＝{5}． 若a 2＋1＝a ，则a 2－a ＋1＝0无解． ∴a ＝0或a ＝－2.14．已知命题p ：α＝β是tan α＝tan β的充要条件． 命题q ：∅⊆A .下列命题中为真命题的有________． ①p 或q ；②p 且q ；③綈p ；④綈q . 答案 ①③15．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.答案 0解析 由|x ＋2|<3，得－3<x ＋2<3，即－5<x <1.又A ∩B ＝(－1，n )，则(x －m )(x －2)<0时必有m <x <2，从而A ∩B ＝(－1,1)，∴m ＝－1，n ＝1，∴m ＋n ＝0.16．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．答案 1解析 ∵“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题， ∴“任意x ∈R ，使x 2＋2x ＋m >0”是真命题． ∴Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的值． 答案 a ＝2或a ＝3解析 A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． 当B ＝∅时，无解；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝a ，1×1＝a －1，得a ＝2；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝a ，2×2＝a －1，无解；当B ＝{1,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a ，1×2＝a －1，得a ＝3.综上：a ＝2或a ＝3. 18．(本小题满分12分)π为圆周率，a ，b ，c ，d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d . (1)写出p 的否定并判断真假；(2)写出p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？并证明你的结论． 答案 (1)p 的否定是假命题 (2)都是真命题 (3)充要条件，证明略解析 (1)原命题p 的否定是：“若a π＋b ＝c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．假命题． (2)逆命题：“若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ”．真命题． 否命题：若“a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．真命题． 逆否命题：“若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ”真命题． (3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件． 证明如下：充分性：若a ＝c ，则a π＝c π. ∵b ＝d ，∴a π＋b ＝c π＋d .必要性：∵a π＋b ＝c π＋d ，∴a π－c π＝d －b . 即(a －c )π＝d －b .∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0且d －b ＝0. 即a ＝c 且b ＝d .∴“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件． 19．(本小题满分12分)设关于x 的不等式x (x －a －1)<0(a ∈R )的解集为M ，不等式x 2－2x －3≤0的解集为N . (1)当a ＝1时，求集合M ； (2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x |0<x <2} (2)[－2,2]解析 (1)当a ＝1时，由已知得x (x －2)<0，解得0<x <2. 所以M ＝{x |0<x <2}．(2)由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}．①当a <－1时，因为a ＋1<0，所以M ＝{x |a ＋1<x <0}． 因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1<0，所以－2≤a <－1. ②当a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，所以a ＝－1成立． ③当a >－1时，因为a ＋1>0，所以M ＝{x |0<x <a ＋1}． 因为M ⊆N ，所以0<a ＋1≤3，所以－1<a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是[－2,2]． 20．(本小题满分12分)已知p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．答案 (52，3]∪[72，＋∞)解析 p 真，则指数函数f (x )＝(2a －6)x的底数2a －6满足0<2a －6<1，所以3<a <72.q 真，令g (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，易知其为开口向上的二次函数．因为x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，所以①Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)＝a 2－4>0，a <－2或a >2；②对称轴x ＝－－3a 2＝3a2>3；③g (3)>0，即32－9a ＋2a 2＋1＝2a 2－9a ＋10>0，所以(a －2)(2a －5)>0.所以a <2或a >52.由⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >2，3a 2>3，a <2或a >52，得a >52.p 真q 假，由3<a <72及a ≤52，得a ∈∅.p 假q 真，由a ≤3或a ≥72及a >52，得52<a ≤3或a ≥72.综上所述，实数a 的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．21．(本小题满分12分)我们知道，如果集合A ⊆S ，那么把S 看成全集时，S 的子集A 的补集为∁S A ＝{x |x ∈S ，且x ∉A }．类似的，对于集合A ，B ，我们把集合{x |x ∈A ，且x ∉B }叫做集合A 与B 的差集，记作A －B .据此回答下列问题：(1)若A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，求A －B ； (2)在下列各图中用阴影表示出集合A －B ；(3)若集合A ＝{x |0<ax －1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}，有A －B ＝∅，求实数a 的取值范围．答案 (1){1,2} (2)略 (3){a |a <－12或a ≥3或a ＝0} 解析 (1)根据题意知A －B ＝{1,2}．(2)(3)∵A －B ＝∅，∴A ⊆B .A ＝{x |0<ax －1≤5}，则1<ax ≤6.当a ＝0时，A ＝∅，此时A －B ＝∅，符合题意；当a >0时，A ＝(1a ，6a ]，若A －B ＝∅，则6a≤2，即a ≥3；当a <0时，A ＝[6a ，1a )，若A －B ＝∅，则6a >－12，即a <－12.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a <－12或a ≥3或a ＝0}． 22．(本小题满分12分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．若存在，求实数m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若存在，求实数m 的取值范围． 答案 (1)m 不存在 (2)m ≤3 解析 (1)P ＝{x |－2≤x ≤10}，S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴m 不存在．(2)若存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件， ∴S ⊆P .若S ＝∅，即m ＜0时，满足条件．若S ≠∅，应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥1－m ，1－m ≥－2，m ＋1≤10，解之得0≤m ≤3.综上得，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．1．(2015·广东广州测试)已知集合A ＝{x |x ∈Z 且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 ∵32－x ∈Z ，x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．设集合M 是R 的子集，如果点x 0∈R 满足：∀a >0，∃x ∈M,0<|x －x 0|<a ，称x 0为集合M 的聚点．则下列集合中以1为聚点的有( )①{nn ＋1|n ∈N }；②{2n|n ∈N *}；③Z ；④{y |y ＝2x}． A ．①④ B ．②③ C ．①② D ．①②④答案 A 解析 ①集合中{n n ＋1|n ∈N }中的元素是极限为1的数列，1是集合{nn ＋1|n ∈N }的聚点；②集合{2n |n ∈N *}中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x －1|≤1，对于a ＝13，不存在0<|x －1|<13，所以1不是集合{2n|n ∈N *}的聚点； ③对于某个a <1，比如a ＝0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有x －1＝0或者x －1≥1，也就是说不可能0<|x －1|<0.5，从而1不是整数集Z 的聚点；④该集合为正实数集，从而1是集合{y |y ＝2x}的聚点．3．对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[－2.1]＝－3.定义在R 上的函数f (x )＝[2x ]＋[4x ]＋[8x ]，若A ＝{y |y ＝f (x )，0<x <1}，则A 中元素的最大值与最小值之和为( )A ．11B ．12C ．14D ．15答案 A解析 当0<x <18时，[2x ]＝0，[4x ]＝0，[8x ]＝0；当78≤x <1时，[2x ]＝1，[4x ]＝3，[8x ]＝7； ∴A 中元素的最大值与最小值之和为7＋3＋1＝11，选A.4．(2015·朝阳期中)同时满足以下4个条件的集合记作A k ：①所有元素都是正整数；②最小元素为1；③最大元素为2 014；④各个元素可以从小到大排成一个公差为k (k ∈N *)的等差数列．那么集合A 33∪A 61中元素的个数是( )A ．96B ．94C ．92D ．90答案 B解析 A 33中元素是首项为1，公差为33的等差数列，那么设项数为m ，则有1＋33(m －1)＝2 014，解得m ＝62；A 61中元素是首项为1，公差为61的等差数列，那么设项数为n ，则有1＋61(n －1)＝2 014，解得n ＝34；A 33∩A 61中元素是首项为1，公差为33×61的等差数列，那么设项数为q ，则有1＋33×61(q －1)＝2 014，解得q ＝2.所以设P 表示元素个数，则有：P (A 33∪A 61)＝P (A 33)＋P (A 61)－P (A 33∩A 61)＝34＋62－2＝94.5．(2015·顺义第一次统练)设非空集合M 同时满足下列两个条件： ①M ⊆{1,2,3，…，n －1}；②若a ∈M ，则n －a ∈M (n ≥2，n ∈N *)． 则下列结论正确的是( )A ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n 2个B ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n2－1个C ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n －12个 D ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n ＋12个答案 B解析 当n ＝2时，M ⊆{1}，且满足1∈M,2－1∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝3时，M ⊆{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝4时，M ⊆{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M .故集合M 的个数为3，故可排除A ，C ，D ，选B.6．(2015·湖北天门调研)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||2x 1－3i|<1，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]答案 C解析 M ＝{y |y ＝|cos2x |，x ∈R }＝[0,1]，N ＝{x ||1＋3i2x |<1}＝{x ||x |<1}＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)，故选C.。
高三理科数学一轮单元卷：第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合 A卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79 C ．79-D ．89-2．已知()3,6AB =u u u r，点B 的坐标为()2,3，则点A 的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()3,1--C ．()1,3D ．()5,93．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1=a ，12=b ，则2-=a b （ ）A ．1B C ．2D ．324．已知3sin 45απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ． C ． D ．5．若()0,α∈π，()sin cos ααπ-+=，则sin cos αα-的值为（ ）A ．3B ．3C ．43 D ．43-6．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()sin sin sin a A b B c b C =+-， 则角A 的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 7．函数()()sin f x A x ωϕ=+020,,A ωϕπ<⎛⎫>> ⎪⎝⎭的图象如图，则ϕ=（ ）A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 8．将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕππ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移56π个单位长度得到cos y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．52,21212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．52,266k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．5,66k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z9．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是（ ） A ．其图象关于直线4x π=-对称 B ．其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．其值域是[]1,3- D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 10．在ABC △中，4C π∠=，2AB =，6AC =cos B 的值为（ ） A ．12B ．3C ．12或3D ．12或12- 11．已知a ，b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则=a b （ ）A B C D 12．命题p ：若向量0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则()sin 0αβ+=． 下列命题为真命题的是（ ） A ．p B ．q ⌝C ．p q ∧D ．p q ∨二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____．14．在锐角ABC △中，1cos 3A =，AC ，ABC △BC =__________． 15．若函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(),(0)a b a b ≤<≤π上单调递增，则b a -的最大值为__________．16．设向量1,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，23α⎫=+⎪⎪⎝⎭b ，若∥a b ，则5sin 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是___________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,2=a ，(),1x =b ， （1）当2+a b 与2-a b 平行时，求x ； （2）当2+a b 与2-a b 垂直时，求x ．18．（12分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求()sin α+π的值； （2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值．19．（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =． （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．20．（12分）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的值域；（2）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4a =，5b c +=，求ABC △的面积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos ,sin αα=a ，()sin ,cos ββ=-b ，（1，求()sin αβ-的值； （2，0β<<π，且()+∥a b c ，求β的值．22．（12分）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量()2,a c b =+x ， 向量()cos ,cos B C =y ，且0⋅=x y ． （1）求B 的大小；（2）若b =BA BC +u u u r u u u r的最小值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】227cos212sin 199αα=-=-=，故答案为B ． 2．【答案】A【解析】设点A 的坐标为(),x y ，又由()3,6AB =u u u r ，()2,3B ，则()()2,33,6AB x y =--=u u u r，即2336 x y =-=⎧⎨⎩-，解得1x =-，3y =-，即点A 的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】A【解析】因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且1=a ，12=b ，所以21-===a b ，故选A ．4．【答案】B【解析】∵5,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 45απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴,44αππ⎛⎫-∈π ⎪⎝⎭，∴4cos 45απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，或45（舍去）∴34sin sin sin cos cos sin 44444455αααα⎡ππ⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B ． 5．【答案】C【解析】由诱导公式得()sin cos sin cos ααααπ-+=+=平方得()22sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<，所以()216sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，sin cos 4αααπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,α∈π，所以3,444απππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4απ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以4sin cos 3αα-=，故选C ． 6．【答案】C【解析】在ABC △，因为()sin sin sin a A b B c b C =+- 由正弦定理可化简得222a b c bc =+-，所以222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，从而3A π=，故选C ．7．【答案】B 【解析】因为2362T πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭=，所以T =π，22Tωπ==， 因为sin 213ϕπ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()232k k ϕπππ∈Z 2+=+，()26k k ϕπ=-π∈Z +，因为2ϕπ<，因此6ϕπ=-，故选B ．8．【答案】C【解析】把函数cos y x =的图象向右平移56π个单位，得到函数5cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）， 得到函数5cos 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕππ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭的解析式为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222232k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ， 解得51212k x k πππ-≤≤π+，k ∈Z ， 则函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选C ．9．【答案】B【解析】选项A ，将4x π=-代入2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中，1y =-为最小值，所以4x π=-是函数的一条对称轴． 选项B ，将12x π=-代入2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中，3y =，从而1y ≠，所以点,112π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数的一个对称中心．选项C ，函数的最大值为3，最小值为1-，所以值域为[]1,3-． 选项D ，ω从3变为1，所以横坐标变为原来的13．所以选B ． 10．【答案】D 【解析】由题意4C π∠=，2c AB ==，6b AC ==， 由正弦定理sin sin b cB C=，则有6sin34sin 2B π==， 因为0B <<π，所以3B π=或23π， 当3B π=时，1cos 2B =，当23B π=时，1cos 2B =-，故选D ． 11．【答案】D 【解析】如图所示在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，AC =+u u u ra b ，3BAC π∠=，4DAC π∠=， 在ABC △中，由正弦定理可得，sin4sin 3π===πa b D ． 12．【答案】D【解析】命题p ：若向量0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此为假命题； 命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则cos cos 1αβ==±，因此12k α=π，22k β=π，或()121﹣k α=π，()221﹣k β=π，1k ，2k ∈*N ．则()sin 0αβ+=，为真命题．下列命题为真命题的是p q ∨，其余为假命题．故答案为D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】25【解析】由tan 2θ=，则22sin cos 12sin cos 1sin cos 5tan tan θθθθθθθθ===++，故答案为25．14．【答案】2 【解析】由题得sin 3A =，1sin 2AC AB A AB ⋅ 2331cos 263BC A BC +-==⇒=，故答案为2．15．【答案】512π【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1112π⎛⎫,π⎪⎝⎭上单调递增， ∴b a -的最大值为5501212ππ-=或111212πππ-=，即b a -的最大值为512π，故答案为512π．16．【答案】79-【解析】因为∥a b ，所以12cos 23αα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以11cos 23αα+=，所以1sin 63απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2527sin 2sin 2cos 22sin 116323699ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案是79-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）12x =；（2）2x =-或72x =． 【解析】由已知得()212,4x +=+a b ，()22,3x -=-a b ， （1）由()()123420x x +⋅-⋅-=得12x =． （2）由()()122430x x +⋅-+⨯=得2x =-或72x =． 18．【答案】（1）45；（2）5665-或1665． 【解析】（1）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin sin 5αα+π=-=． （2）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±． 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=．19．【答案】（1；（2）5． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=． 在ABD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯ 25=．所以5BC =．20．【答案】（1）1⎡-+⎢⎣⎦；（2）ABC S △．【解析】（1）由题意知，())21sin cos 1cos2sin 22f x x x x x x =+-+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ∵[]sin 21,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()sin 213f x x ⎡π⎛⎫=-+-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦．（2）∵sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A ∈π，2,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴03A π-=，解得3A π=．∵4a =，5b c +=，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 可得()222163253b c bc b c bc bc =+-=+-=-，解得3bc =，∴11sin 322ABC S bc A ==⨯=△． 21．【答案】（1）12-；（2）π2β=．【解析】（1）因为()cos ,sin αα=a ，()sin ,cos ββ=-b ， ，且()cos sin sin cos sin αβαβαβ⋅=-+=-a b ．2222+⋅+=a a b b c ，所以()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-．（2）因为5π6α=因为()+∥a b c ，所以11cos sin 022ββ⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．化简得，11sin 222ββ-=，所以π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=． 22．【答案】（1）23B =π；（2）1． 【解析】（1）()2cos cos 0a c B bC ⋅=++=x y ，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，∴()2sin cos sin 0A B B C ++=，∴()sin 2cos 10A B +=．∵(),0,A B ∈π，∴1sin 0,cos 2A B ≠=-，∴23B =π， （2）由余弦定理知2222232cos 2313a c ac c a ac ac ac ac ac =+-π=+≥+=⇒≤+． ∴2222222cos 213BA BC c a ac c a ac ac ac ac +=++π=+-≥-=≤u u u r u u u r ． ∴BA BC +u u u r u u u r 的最小值为1，当且仅当1a c ==时取“”．。
(完整版)高三数学第一轮复习单元测试--数列
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 （ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ ）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．757．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝ （ ）A ．100B ．101C ．200D ．2018．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- 10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第 一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1， 则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n 18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 20．（本小题满分12分） 某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分）已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列； （2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =． ∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ． 因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．7．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ． 10．B ． 正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3. 14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的 n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n Λ估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．ο1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立； 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）; 1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项 （3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项． 理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =， 即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+） 上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1. （3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ， 故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）.下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。
2022高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+重点)第一章集合与常用逻辑用
2022高考数学（理）一轮复习单元测试（配最新高考＋重点）第一章集合与常用逻辑用第一章集合与常用逻辑用语单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、（2020山东理）已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则()UC A B 为（ ） A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,42 ．（2020浙江理）设集合A ={x |1<x <4},B ={x |x 2-2x -3≤0},则A ∩(C R B )=（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)3、【2020韶关第一次调研理】若集合M 是函数lg y x =的定义域，N 是函数y =的定义域，则M ∩N 等于( )A ．(0,1]B ．(0,)+∞C ．φD ．[1,)+∞ 4、【2020厦门期末质检理2】“φ＝2π”是“函数y=sin(x ＋φ)为偶函数的”A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5．（2020湖南理）命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是（ ）A ．若α≠4π,则tanα≠1B ．若α=4π,则tan α≠1C ．若tanα≠1,则α≠4πD ．若tanα≠1,则α=4π6、【2020泉州四校二次联考理】命题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，则（ ）A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+> C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤ D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+> 7、（2020湖北理）命题“0x ∃∈R Q ,30x ∈Q ”的否定是（ ）A ．0x ∃∉R Q ,30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ,30x ∉QC ．x ∀∉RQ ,3x ∈Q D ．x ∀∈RQ ,3x ∉Q8、【2020深圳中学期末理】设集合A={－1, 0, 1}，集合B={0, 1, 2, 3}，定义A ＊B={(x, y)| x ∈A ∩B, y ∈A ∪B}，则A ＊B 中元素个数是（）A.7B.10C.25D.529、【2020粤西北九校联考理3】下列命题错误．．的是（ ） A. 2"2""320"x x x >-+>是的充分不必要条件;B. 命题“2320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“21,320若则x x x =-+≠”;C.对命题：“对0,k >方程20x x k +-=有实根”的否定是:“ ∃k >0，方程20x x k +-=无实根”;D. 若命题:,p x A B p ∈⋃⌝则是x A x B ∉∉且;10、【江西省新钢中学2020届高三第一次考试】在△ABC 中，设命题,sin sin sin :Ac C b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件11、（2020浙江宁波市期末）已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数，且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，则集合{|()()0}x f x g x ≥= （ ）（A ） {|014}x x x ≤≤≤或（B ）{|04}x x ≤≤（C ）{|4}x x ≤ （D ） {|014}x x x ≤≤≥或 12．定义：设A 是非空实数集，若∃a ∈A ，使得关于∀x ∈A ，都有x ≤a (x ≥a )，则称a 是A 的最大(小)值 .若B 是一个不含零的非空实数集，且a 0是B 的最大值，则( )A ．当a 0＞0时，a －10是集合{x －1|x ∈B }的最小值B ．当a 0＞0时，a －10是集合{x －1|x ∈B }的最大值C ．当a 0＜0时，－a －10是集合{－x －1|x ∈B }的最小值D ．当a 0＜0时，－a －10是集合{－x －1|x ∈B }的最大值二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13、（2020上海理）若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ,则A ∩B=_________ .14、【2020江西师大附中高三下学期开学考卷】若自然数n 使得作加法(1)(2)n n n ++++运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因323334++不产生进位现象；23不是“给力数”，因232425++产生进位现象.设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则集合A 中的数字和为__________ 15、【2020三明市一般高中高三上学期联考】下列选项叙述：①.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =” ②.若命题p ：2,10x R x x ∀∈++≠，则p ⌝：2,10x R x x ∃∈++= ③.若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题④.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 其中正确命题的序号有＿＿＿＿＿＿＿ 16、【2020泉州四校二次联考理】已知集合22{(,)||||1|1},{(,)|(1)(1)1}A x y x a y B x y x y =-+-≤=-+-≤，若A B φ⋂≠，则实数a 的取值范畴为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) （2011年朝阳区高三上学期期中）设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式2230x x --≤的解集为N .（Ⅰ）当1a =时,求集合M ；（Ⅱ）若M N ⊆,求实数a 的取值范畴.18、(本小题满分12分) 【山东省潍坊一中2020届高三时期测试理】已知集合{}}0)1(2|{,0)13(2)1(3|22<+--=<+++-=a x a x x B a x a x x A ，（Ⅰ）当a=2时，求B A ⋂；（Ⅱ）求使A B ⊆的实数a 的取值范畴19．(本小题满分10分) 【2020北京海淀区期末】若集合A 具有以下性质： ①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，Ax∈1.则称集合A 是“好集”. （Ⅰ）分别判定集合{1,0,1}B，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判定下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有Axy∈；20、(本小题满分12分)（山东省潍坊市2020届高三上学期期中四县一校联考） 已知集合{}{}R x x B x x x R x A x x ∈<=++≥+∈=-,42|,)23(log )126(log |32222.求⋂A (C R B ).21．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．假如p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范畴．22．(本小题满分12分) 【山东省微山一中2020届高三10月月考理】设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ； (2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范畴．祥细答案 一、选择题 1、【答案】C【解析】}4,0{=A C U,因此{0,24}U C A B =（） ，,选C.2. 【答案】B【解析】A =(1,4),B =(-1,3),则A ∩(C R B )=(3,4).【答案】B 3、【答案】A【解析】因为集合M 是函数lg y x =的定义域，;0>x N 是函数y = 因此01≥-x ，(](](0,),,1,0,1M N M N =+∞=-∞⋂=4、【答案】A【解析】φ＝2π时，y=sin(x ＋φ)=x cos 为偶函数；若y=sin(x ＋φ)为偶函数，则k=ϕZk ∈+,2ππ；选A;5、【答案】C【解析】因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,因此 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”.6、【答案】D【解析】3)62sin(212sin 32cos 12sin 3cos 2)(2≤++=++=+=πx x x x x x f ；P 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+>；7、【答案】D解析:依照对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定.因此选D 8、【答案】B【解析】解：A ∩B ={ 0, 1}，A ∪B {－1, 0, 1, 2, 3}，x 有2种取法, y 有5种取法由乘法原理得2×5=10，故选B 。
2020年高考数学一轮复习 单元能力测试卷10A
第十章 单元能力测试卷(A 版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．(2020·上海春季高考)若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能 答案 D2．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14 B.12 C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于( )A.34 B.74C.377D.43答案 A解析 ∵BC ⊥CD ，BC 是AC 在平面BCD 上的射影， ∴AC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC ， ∵AD ⊥AB ，∴AC ⊥AB ，∴θ＝∠DAC ，∴sin θ＝CD AD ＝34.4．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75答案 B解析 记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 5．设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α；③α∥β；④α⊥β.其中可能的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种答案 C解析 ①③④都有可能，②不可能，否则有b ⊥a ，与已知矛盾．6．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，ΔBCD 是锐角三角形，那么必有( ) A ．平面ABD ⊥平面ADC B ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD 答案 C解析 由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD .又AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD .7．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝AA 1＝a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是( ) A ．a B.2a C.22a D.3a答案 C解析 取A 1C 的中点O ，连接AO . ∵AC ＝AA 1，∴AO ⊥A 1C .又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即AO 的长等于A 到平面ABC 的距离，解得AO ＝22a . 8．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°.若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A．13 B．11 C．9 D．7 答案 B解析作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O为△ABC的外心．∴OA＝AB2sin∠BCA＝152sin120°＝5 3.∴PO＝PA2－OA2＝11为所求．9．高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器(下有底)，可放置最大球的半径是( )A.32B．2C.322D. 2答案 B解析如上图所示，过球心作平行于底的截面，R＝23tan30°＝2.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )A．是AC和MN的公垂线B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC，MN都不垂直答案 A解析∵MO在面ABCD上的射影为OD，OD⊥AC，∴OM⊥AC，又∵MO在面CC1D1D中的射影与MN垂直，∴MO⊥MN，∴OM是AC和MN的公垂线．11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C. 2D. 3答案 C解析 如图，△ABE 为题中三角形，由已知得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF ＝23BE ＝233， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝83， ∴△ABE 的面积为S △＝12×BE ×AF ＝12×3×83＝ 2.故选C. 12．已知二面角α—l —β的平面角为θ，PA ⊥α，PB ⊥β，A 、B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A 、B 到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹是下列图形中的( )答案 D解析 如图，PO 2＝PA 2＋OA 2＝PB 2＋OB 2， ∴16＋x 2＝25＋y 2.∴x 2－y 2＝9且x ≥3，y >0.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，PM ⊥平面ABC ，当BC ＝18，PM ＝33时，PN 和平面ABC 所成的角是________．答案 30°解析 ∵PM ⊥平面ABC ，∴∠PNM 为PN 与平面ABC 所成的角．tan ∠PNM ＝PM MN ＝339＝33，∴∠PNM ＝30°.14．有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为________．答案3πr解析 由题意得交线为半径为32r 的圆周，其长为3πr . 15．在正四面体A —BCD 中，O 为底面△BCD 的中心，M 是线段AO 上一点，且使得∠BMC ＝90°，则AM MO＝________.答案 1解析 如右图所示，设正四面体A —BCD 的棱长为2，由∠BMC ＝90°，得BM ＝ 2.又可得BO ＝233，在Rt △BOM 中，MO ＝63，由勾股定理得AO ＝263，所以得AMMO ＝1.16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BC ⊥平面PAD . 其中正确的有______个． 答案 2解析 将几何图展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥⊥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD证明 取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE 綊12DC又∵AM 綊12DC ，∴NE 綊AM∴四边形AENM 为▱.∴MN ∥AE 又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴ MN ∥平面PAD .18．(本小题满分12分)如右图所示，已知直二面角α—PQ —β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°.(1)证明：BC ⊥PQ ；(2)求二面角B —AC —P 的大小．解析 (1)如右图，在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB .因为α⊥β，α∩β＝PQ ，所以CO ⊥α.又因为CA ＝CB ，所以OA ＝OB .而∠BAO ＝45°，所以∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°.从而BO ⊥PQ . 又CO ⊥PQ ，所以PQ ⊥平面OBC .因为BC ⊂平面OBC ，故PQ ⊥BC . (2)由(1)知，BO ⊥PQ ，又α⊥β，α∩β＝PQ ，BO ⊂α，所以BO ⊥β. 过点O 作OH ⊥AC 于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH ⊥AC . 故∠BHO 是二面角B —AC —P 的平面角．由(1)知，CO ⊥α，所以∠CAO 是CA 和平面α所成的角，则∠CAO ＝30°. 不妨设AC ＝2，则AO ＝3，OH＝AO sin30°＝32. 在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，所以BO ＝AO ＝ 3. 于是在Rt △BOH 中，tan ∠BHO ＝BO OH＝332＝2.故二面角B —AC —P 的大小为arctan2.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°.(1)求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；(2)求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； (3)求点C 1到平面A 1CB 的距离．解析 证明：(1)四边形BCC 1B 1是矩形，∴BC ⊥BB 1. 又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1.∵BC ⊂平面CA 1B ，∴平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1.解：(2)过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，D 即为B 1B 的中点，连接DC . ∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1， 故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角． 在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13.∵四边形A 1ABB 1是菱形，∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴A 1D ＝23，∴tan ∠A 1CD ＝A 1D CD ＝2313＝23913. (3)∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ，∴C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离． 连接AB 1，AB 1与A 1B 交于点O . ∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B . ∵平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC . ∴B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离，又B 1O ＝23， ∴C 1到平面A 1BC 的距离为2 3.20．(本小题满分12分)(09·广东)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 、AA 1的中点．设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解析 (1)点A 、E 、G 、F 在平面DCC 1D 1的投影分别为点D 、E 1、G 1、F ，连结EF 、EE 1、EG 1、ED .则VE －DE 1FG 1＝VF －EE 1G 1＋VD －EE 1G 1＝13×1×1＋13×1×1＝23.(2)∵点E 在平面DCC 1D 1的正投影为点E 1， 则EE 1⊥面DCC 1D 1.∵FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.在△E 1FG 1中，FG 1＝FD 12＋G 1D 12＝2，E 1F ＝FC 12＋E 1C 12＝2，E 1G 1＝2， ∴FE 12＋FG 12＝E 1G 12＝4，∴FG 1⊥FE 1， ∵FE 1∩EE 1于点E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)取正方形ADD 1A 1的中心为M ，连结EM 、AM ，则EM 綊E 1G 1，且EM ⊥面AA 1D 1D ，∴EM ⊥AM .∵AM ＝AG 2＋MG 2＝2，AE ＝AB 2＋BC22＋AG 2＝6，EM ＝2， ∴sin ∠AEM ＝AM AE＝26＝33. ∴异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值为33. 21．(本小题满分12分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角N —B 1M —B 的余弦值． (3)在棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． 解析 (1)证明：∵在底面ABCD 内，BM MA ＝BNNC，∴BM ＝BN ，MN ∥AC . 又∵AC ⊥BD ，∴MN ⊥BD . 又BB 1⊥MN ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D . 而BP ⊂平面BB 1D 1D ，∴MN ⊥BP .(2)解：在AA 1上取点Q ，使A 1Q ∶QA ＝1∶2， 连接PQ 、BQ 、BD ，则PQ ⊥平面A 1ABB 1. ∵PB ⊥平面B 1MN ，∴PB ⊥MN ，PB ⊥B 1M ， ∴根据三垂线定理逆定理，DB ⊥MN ，QB ⊥B 1M . 设BQ ∩B 1M ＝H ，连接NH . ∵NB ⊥平面B 1MB ，∴NH ⊥B 1M ，∴∠NHB 为二面角N —B 1M —B 的平面角． 令AB ＝3，则AQ ＝2，BQ ＝13， ∴cos ∠HBM ＝BH BM ＝BA BQ ＝313，∴在Rt △NBH 中，tan ∠NHB ＝BN BH ＝BM BH ＝133， ∴cos ∠NHB ＝32222.(3)解：存在点P ，且P 在DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.证明如下： ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴C 1C ⊥BD . 又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面ACC 1， 取AC 1中点O ，连接PO ，易证PO ∥BD ， 从而PO ⊥平面ACC 1，∵PO ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.22．(本小题满分12分)如右图所示，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA ＝AD ＝a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小； (2)求证：平面MND ⊥平面PCD ；(3)当AB 的长度变化时，求异面直线PC 与AD 所成角的取值范围． 解析 (1)PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD . 故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角． 在Rt △PAD 中，PA ⊥AD ，PA ＝AD ， ∴∠PDA ＝45°.(2)如右图所示，取PD 中点E ，连结AE 、EN .由M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴EN 綊12CD 綊12AB .∴AMNE 为平行四边形．∴MN ∥AE .在等腰Rt △PAD 中，AE 是斜边的中线，∴AE ⊥PD . 又CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥AE .又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .∴MN ⊥平面PCD .∴平面MND ⊥平面PCD . (3)∵AD ∥BC ，∴∠PCB 为异面直线PC 、AD 所成的角．由三垂线定理知PB ⊥BC . 设AB ＝x (x >0)，∴tan ∠PCB ＝a 2＋x 2a＝1＋x a2>1.又∠PCB 为锐角，∴∠PCB ∈(π4，π2)， 即异面直线PC 、AD 所成角的范围是(π4，π2)．。
新高考数学人教A版一轮总复习集训-模块卷(一)集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式-含解析
模块卷(一)时间:120分钟 分值:145分集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020浙江嘉兴期末,3)设曲线y =x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax +by +c =0垂直,则ab= ( )A.13 B.-13C.3D.-3 答案 B y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,y'|x =1=-3,因为曲线y =x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax +by +c =0垂直,所以(-3)·(-a b)=-1,解得a b=-13,故选B .2.(2020新疆昌吉期中,6)若a >0,b >0,a +2b =3,则3a +6b的最小值为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.9答案 D 本题考查基本不等式在求最值中的应用,考查了数学运算的核心素养. ∵a >0,b >0,a +2b =3,∴3a +6b =13(3a+6b)(a +2b ) =13(3+6b a +6a b +12)≥13×(15+2√6b a ·6ab )=9, 当且仅当6b a =6a b,即a =b =1时取等号, 所以3a +6b的最小值为9.故选D .3.(2019天津耀华中学一模,2)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=sin π2x ,则f (-52)+f (1)+f (2)=( )A.-2-√22B.-1-√22 C.-√22 D.1-√22 答案 C ∵f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数, ∴f (0)=0,f (1)=f (-1)=-f (1),∴f (1)=0, ∴f (-52)+f (1)+f (2)=-f (52)+f (1)+f (0) =-f (12)+0+0=-sin π4=-√22.4.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R ,则“存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C (1)充分性:已知存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,(i )若k 为奇数,则k =2n +1,n ∈Z ,此时α=(2n +1)π-β,n ∈Z ,sin α=sin (2n π+π-β)=sin (π-β)=sin β; (ii )若k 为偶数,则k =2n ,n ∈Z ,此时α=2n π+β,n ∈Z , sin α=sin (2n π+β)=sin β.由(i )(ii )知,充分性成立.(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称,即α=β+2m π或α+β=2m π+π,m ∈Z ,即存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,必要性也成立,故选C .5.(2017山东文,9,5分)设f (x )={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8答案 C 本题考查分段函数与函数值的计算.解法一:当0<a <1时,a +1>1,∴f (a )=√a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a.由f (a )=f (a +1)得√a =2a ,∴a =14.此时f (1a )=f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1>1,∴f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a.由f (a )=f (a +1)得2(a -1)=2a ,无解.综上,f (1a)=6,故选C .解法二:∵当0<x <1时,f (x )=√x ,为增函数,当x ≥1时,f (x )=2(x -1),为增函数,又f (a )=f (a +1),∴√a =2(a +1-1),∴a =14.∴f (1a )=f (4)=6.6.(2020浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f (x )=√a ·4x +a ·2x +3a -6的定义域是R ,则实数a 的取值范围是 ( ) A.[2,+∞) B.[2411,+∞) C.(0,2411] D.(-∞,2411] 答案 A 令t =2x(t >0),则at 2+at +3a -6≥0对t >0恒成立,所以a ≥6t 2+t+3,又6t 2+t+3<63=2,所以a ≥2.故选A .7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减,且f (2)=0,则满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案 D ∵f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (x -1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f (x )在(-∞,0)上单调递减,∴f (x -1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f (x -1)的大致图象如图: 当-1≤x ≤0时,f (x -1)≤0,∴xf (x -1)≥0;当1≤x ≤3时,f (x -1)≥0,∴xf (x -1)≥0.综上,满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.8.(2020山东百师联盟测试五,11)常数a ≠0,下列有关方程x 3+x 2-x -a =0的根的说法正确的是 ( )A.可以有三个负根B.可以有两个负根和一个正根C.可以有两个正根和一个负根D.可以有三个正根答案 BC 方程x 3+x 2-x -a =0可化为x 3+x 2-x =a.令函数f (x )=x 3+x 2-x ,则f'(x )=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1).当x <-1或x >13时,f'(x )>0,当-1<x <13时,f'(x )<0,故f (x )在(-∞,-1),(13,+∞)上为单调增函数,在(-1,13)上为单调减函数,且f (-1)>0,f (13)<0,作出f (x )的图象如图,从而方程x 3+x 2-x -a =0可以有两个正根和一个负根,也可以有两个负根和一个正根,但不会有三个负根,也不会有三个正根.故选BC .9.(多选题)(2020山东枣庄、滕州期末)如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ,从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h ,步行的速度为5km/h ,时间t (单位:h )表示他从小岛到城镇的时间,x (单位:km )表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设u =√x 2+4+x ,v =√x 2+4-x ,则 ( )A.函数v =f (u )为减函数B.15t -u -4v =32C.当x =1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少D.当x =4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 答案 AC A .∵u =√x 2+4+x ,v =√x 2+4-x ,∴√x 2+4=u+v 2,x =u -v 2,uv =4,易知v =4u在(0,+∞)上是减函数,A 正确.B.t =√x 2+43+12-x 5=u+v 6+125-u -v10,整理得15t =u +4v +36,B 错误; C.由A 、B 得15t =u +16u+36≥2√u ·16u +36=44,当且仅当u =16u ,即u =4时取等号,由√x 2+4+x =4,解得x =32=1.5,C 正确;D.x =4时,t =2√53+85,t -3=2√53-75=10√5-2115=√500-√44115>0,t >3,D 错误.故选AC. 10.(2020山东夏季高考模拟,12)函数f (x )的定义域为R ,且f (x +1)与f (x +2)都为奇函数,则 ( ) A.f (x )为奇函数 B.f (x )为周期函数 C.f (x +3)为奇函数 D.f (x +4)为偶函数答案 ABC 本题主要考查函数的奇偶性,周期性,考查逻辑推理的核心素养.∵f (x +1)为奇函数,∴f (-x +1)=-f (x +1), ∴f (-x )=-f (x +2),又∵f (x +2)为奇函数,∴f (-x +2)=-f (x +2), ∴f (-x )=-f (x +4),∴-f (x +2)=-f (x +4), ∴f (x +2)=f (x +4),即f (x +2)=f (x ),∴f (x )是周期为2的奇函数,∴f (x +4)是奇函数. 由于f (x )的周期为2,且f (x +1)是奇函数, ∴f (x +3)=f (x +1)是奇函数,故A ,B ,C 均正确.11.(多选题)(2020海南调研测试,12)已知函数f (x )=x +sin x -x cos x 的定义域为[-2π,2π),则 ( ) A.f (x )为奇函数 B.f (x )在[0,π)上单调递增C.f (x )恰有4个极大值点D.f (x )有且仅有4个极值点答案 BD 因为f (x )的定义域为[-2π,2π),所以f (x )是非奇非偶函数.f'(x )=1+cos x -(cos x -x sin x )=1+x sin x ,当x ∈[0,π)时,f'(x )>0,则f (x )在[0,π)上单调递增,显然f'(0)≠0,令f'(x )=0,得sin x =-1x,分别作出y =sin x ,y =-1x在区间[-2π,2π)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故f (x )在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f (x )只有2个极大值点,故选BD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2020浙江“七彩阳光”联盟4月模考,11)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |1<x <4},则A ∩B = ;A ∩(∁R B )=.答案 (1,2];[-1,1]解析 本题考查集合的基本运算.A =[-1,2],B =(1,4),所以A ∩B =(1,2],∁R B =(-∞,1]∪[4,+∞),所以A ∩(∁R B )=[-1,1].13.(2020天津,14,5分)已知a >0,b >0,且ab =1,则12a +12b +8a+b的最小值为 .答案 4 解析 12a +12b +8a+b =a+b 2ab +8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4,当且仅当a+b 2=8a+b,即(a +b )2=16,也即a +b =4时取等号.又∵ab =1,∴{a =2+√3,b =2-√3或{a =2-√3,b =2+√3时取等号,∴12a +12b +8a+b的最小值为4.14.(2020浙江嘉兴二模,16)已知函数f (x )={lnx ,x >0,(12)x -2,x ≤0,若f (f (a ))≤0,则实数a 的取值范围为 . 答案 [-log 23,0]∪[1e,e]解析 本题考查分段函数和不等式的求解,属于基础题.令f (x )≤0,即{lnx ≤0,x >0或{(12)x-2≤0,x ≤0,解得0<x ≤1或-1≤x ≤0,所以f (f (a ))≤0等价于0<f (a )≤1或-1≤f (a )≤0,所以{0<lna ≤1,a >0或{0<(12)a-2≤1,a ≤0或{-1≤lna ≤0,a >0 或{-1≤(12)a-2≤0,a ≤0,解得-log 23≤a ≤0或1e≤a ≤e .15.(2018江苏,11,5分)若函数f (x )=2x 3-ax 2+1(a ∈R )在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 答案 -3解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值. ∵f (x )=2x 3-ax 2+1,∴f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ).若a ≤0,则x >0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,又f (0)=1,∴f (x )在(0,+∞)上没有零点,∴a >0.当0<x <a 3时,f'(x )<0,f (x )为减函数;当x >a 3时,f'(x )>0,f (x )为增函数,∴x >0时,f (x )有极小值,为f (a 3)=-a 327+1. ∵f (x )在(0,+∞)内有且只有一个零点, ∴f (a 3)=0,∴a =3.∴f (x )=2x 3-3x 2+1,则f'(x )=6x (x -1).x -1(-1,0) 0(0,1) 1f'(x )+-f (x )-4增1减∴f (x )在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4. ∴最大值与最小值的和为-3.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(10分)(2019安徽黄山模拟,18)已知函数f (x )=log 2(12x +a). (1)若函数f (x )是R 上的奇函数,求a 的值;(2)若函数f (x )的定义域是一切实数,求a 的取值范围;(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围. 解析 (1)因为函数f (x )是R 上的奇函数, 所以f (0)=0,求得a =0.(2分)当a =0时,f (x )=-x 是R 上的奇函数. 所以a =0为所求.(4分)(2)因为函数f (x )的定义域是一切实数,所以12x +a >0恒成立.即a >-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0), (6分) 故只要a ≥0即可.(7分)(3)由已知得函数f (x )是减函数,故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)=log 2(1+a ),最小值是f (1)=log 2(12+a).(8分)由题设得log 2(1+a )-log 2(12+a)≥2⇒{a +12>0,a +1≥4a +2.(11分)故-12<a ≤-13.(12分)17.(12分)已知函数f (x )=(x -√2x -1)·e -x(x ≥12). (1)求f (x )的导函数;(2)求f (x )在区间[12,+∞)上的取值范围.解析 本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力. (1)因为(x -√2x -1)'=1-1√2x -1,(e -x )'=-e -x,所以f'(x )=(11√2x -1)e -x -(x -√2x -1)e -x=√2x -1-2)e -x √2x -1>12).(2)由f'(x )=√2x -1-2)e -x√2x -1=0,解得x =1或x =52. 因为x 12 (12,1) 1 (1,52) 52(52,+∞)f'(x )- 0 + 0- f (x )12e -12 ↘↗12e -52 ↘又f (x )=12(√2x -1-1)2e -x≥0,所以f (x )在区间[12,+∞)上的取值范围是[0,12e -12].18.(12分)(2019山西晋中模拟,18)已知f (x )=ax 2-2x +1-a ,a ∈R .(1)求f (x )在[0,2]上的最小值g (a );(2)若关于x 的方程f (2x )=(a +1)·4x -a ·(2x +1)-2x +1+3有正实数根,求实数a 的取值范围. 解析 (1)当a =0时,f (x )=-2x +1在[0,2]上单调递减,故最小值g (a )=f (2)=-3. 当a ≠0时,f (x )=ax 2-2x +1-a 是关于x 的二次函数,其图象的对称轴为x =1a.①当a <0时,x =1a<0,此时f (x )在[0,2]上单调递减, 故最小值g (a )=f (2)=3a -3; ②当a >0时,x =1a>0,当1a ∈(0,2),即a >12时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,2)上单调递增,故最小值g (a )=f (1a )=1-a -1a; 当1a∈[2,+∞),即0<a ≤12时,f (x )在[0,2]上单调递减, 故最小值g (a )=f (2)=3a -3.综上所述,g (a )={3a -3,a ≤12,1-1a-a ,a >12.(2)f (2x )=(a +1)4x-a (2x+1)-2x +1+3即a ·4x-2x +1+1-a =(a +1)4x-a (2x+1)-2x +1+3,化简得4x-a ·2x+2=0, 令t =2x (t >0),则方程变形为t 2-at +2=0, 根据题意得,原方程4x -a ·2x+2=0有正实数根,即关于t 的一元二次方程t 2-at +2=0有大于1的实数根, 而方程t 2-at +2=0⇔2t+t =a 在(1,+∞)上有实根,令F (t )=2t+t ,t ∈(1,+∞),则F (t )在(1,+∞)上的值域为[2√2,+∞),故a ∈[2√2,+∞). 19.(12分)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2.(1)讨论f (x )的单调性;(2)当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M -m 的取值范围.解析 本题考查导数及其应用的基础知识,考查导数与函数单调性之间的关系以及利用导数求函数最值的方法,考查学生的运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想的应用. (1)f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ). 令f'(x )=0,得x =0或x =a 3.若a >0,则当x ∈(-∞,0)∪(a 3,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(0,a 3)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,0),(a 3,+∞)单调递增,在(0,a 3)单调递减; 若a =0,f (x )在(-∞,+∞)单调递增;若a <0,则当x ∈(-∞,a 3)∪(0,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(a 3,0)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,a 3),(0,+∞)单调递增,在(a 3,0)单调递减.(2)当0<a <3时,由(1)知,f (x )在(0,a 3)单调递减,在(a 3,1)单调递增,所以f (x )在[0,1]的最小值为f (a 3)=-a 327+2,最大值为f (0)=2或f (1)=4-a. 于是m =-a 327+2,M ={4-a ,0<a <2,2,2≤a <3.所以M -m ={2-a +a 327,0<a <2,a327,2≤a <3.当0<a <2时,可知2-a +a 327单调递减,所以M -m 的取值范围是(827,2). 当2≤a <3时,a 327单调递增,所以M -m 的取值范围是[827,1). 综上,M -m 的取值范围是[827,2). 20.(12分)(2019苏州期中,18)已知f (x )=e x-a ex 是奇函数. (1)求实数a 的值;(2)求函数y =e 2x+e -2x-2λf (x )在x ∈[0,+∞)上的值域; (3)令g (x )=f (x )-2x ,求不等式g (x 3+1)+g (1-3x 2)<0的解集. 解析 (1)函数的定义域为R ,因为f (x )为奇函数, 所以f (0)=0,所以1-a =0,所以a =1. (3分)当a =1时,f (-x )=e -x-1e -x =-e x +1ex =-f (x ), 此时f (x )为奇函数. (4分) (2)令e x-1ex =t (t ≥0),所以e 2x+1e 2x=t 2+2, 所以h (t )=t 2-2λt +2,对称轴为直线t =λ. (5分)①当λ≤0时,h (t )∈[h (0),+∞),所求值域为[2,+∞); (7分)②当λ>0时,h (t )∈[h (λ),+∞),所求值域为[2-λ2,+∞). (9分)(3)g (x )的定义域为R .因为f (x )=e x -1e x 为奇函数,所以g (-x )=f (-x )-2(-x )=-f (x )+2x =-g (x ),所以g (x )=f (x )-2x 为奇函数,所以g (x 3+1)+g (1-3x 2)<0等价于g (x 3+1)<g (3x 2-1). (10分)又g'(x )=f'(x )-2=e x +1e x -2≥2-2=0,当且仅当x =0时,等号成立,所以g (x )=f (x )-2x 在R 上单调递增,所以x 3+1<3x 2-1,即x 3-3x 2+2<0, (13分)即(x -1)(x 2-2x -2)<0,所以x <1-√3或1<x <1+√3. (14分)所以不等式的解集是(-∞,1-√3)∪(1,1+√3). (15分)21.(12分)(2020北京房山一模,20)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+2. (1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)讨论函数f (x )的单调性;(3)若a >0,设函数g (x )=|f (x )|,g (x )在[-1,1]上的最大值不小于3,求a 的取值范围.解析 本题考查导数的几何意义、导数的应用、导数与函数的单调性,考查学生解决问题的能力,渗透逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)f'(x )=6x 2-2ax ,由f'(0)=0,f (0)=2,得曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =2.(2)函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ),令f'(x )=0,解得x 1=0,x 2=a 3,若a =0,则f'(x )=6x 2≥0,f (x )在R 上单调递增;若a >0,当x <0时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当0<x <a 3时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x >a 3时,f'(x )>0,f (x )单调递增; 若a <0,当x <a 3时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当a 3<x <0时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x >0时,f'(x )>0,f (x )单调递增.(3)若a >0,函数f (x )的单调递减区间为(0,a 3),单调递增区间为(-∞,0),(a 3,+∞).当a 3≥1,即a ≥3时,f (x )在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,则g (x )max =max {|f (-1)|,|f (0)|,|f (1)|}=max {a ,2,|4-a |}≥3,则a ≥3;当0<a 3<1,即0<a <3时,f (x )在[-1,0]和[a 3,1]上单调递增,在[0,a 3]上单调递减,∴f (x )在x =a 3处取得极小值,极小值为f (a 3)=2-a 327>0,则g (x )max =max {|f (-1)|,|f (0)|,|f (1)|}=max {a ,2,4-a },若g (x )max ≥3,则4-a ≥3,解得a ≤1,又0<a <3,∴0<a ≤1.综上,a 的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).。
2012年高考数学一轮复习单元测试卷一(文科)
2012年高考数学一轮复习单元测试卷一（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =,{1,3,5,7}A =,{3,5}B =，则下列式子一定成立的是（ ） A ．U U C B C A⊆ B ．()()U U C A C B U⋃= C ．U A C B =∅D ．U B C A =∅2．已知函数()sin()12f x x ππ=--，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数3．已知函数()(0,1)a f x log x a a =>≠的图象如右图示，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称，则函数()y g x =的解析式为（ ）A.()2x g x =B. 1()()2xg x = C. 12()log g x x =D.2()log g x x =4．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（ ）5．下列关系式中，成立的是（ ）A ．10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>B ．4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>C ．03135110log 4log ⎪⎭⎫⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>6．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．3ππ44⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．3ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．32ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7．函数x xx f 2log 2cos3)(-=π的零点的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．设函数()()f x x ∈R 为奇函数，1(1),2f =(2)()(2),(5)f x f x f f +=+则=（ ） A ．0B ．1C ．52D ．59．把函数sin(4)6y x π=+上的点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再把所得到的图象向左平移6π个单位，所得函数图象的解析式为（ ） A ．sin(2)3y x π=+B ．5sin(2)12y x π=+C ．cos 2y x =-D ．cos 2y x = 10．已知)(x f 是定义在（-3，3）上的奇函数，当30<<x 时，)(x f如图所示，那么不等式0)(<x xf 的解集是（ ） A ．(3,1)(0,1)(1,3)-- B ．(1,0)(0,1)- C ．(3,1)(0,1)--D ．(0,1)(1,3)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数)2(log 221x y -=的定义域是 ，值域是 ；12．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ；13．若1sin()sin()23x x ππ+++=，则sin 2x 的值为 ； 14．函数)(x f 同时满足下列条件：①是奇函数；②在［0，1］上是增函数；③在［0，1］上最小值为0，则)(x f = （写出一个你认为正确的即可）； 15. 设函数c bx x x x f ++=)(，给出四个命题： ①0=c 时，有)()(x f x f -=-成立；②0,0>=c b 时，方程0)(=x f ，只有一个实数根；③)(x f y =的图象关于点（0,c ）对称； ④方程0)(=x f ，至多有两个实数根。
高三数学一轮复习测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2(x)D. y = -x2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则下列等式中不正确的是（）A. a1 + a2 = 2a1 + dB. a1 + a3 = 2a2C. a1 + a4 = 2a3 + dD. a1 + a5 = 2a43. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心是（）A. (0, 0)B. (1, -2)C. (-1, 2)D. (1, 2)4. 在三角形ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°5. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1 = 2，b3 = 8，则b5的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 1286. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 椭圆7. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，a3 = 9，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 6D. 98. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，则f(x)的极值点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 39. 在三角形ABC中，若AB = AC，则下列结论正确的是（）A. ∠A = ∠BB. ∠A = ∠CC. ∠B = ∠CD. ∠A = ∠B = ∠C10. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的值域是（）A. [-2, 2]B. [0, 2]C. [2, +∞)D. (-∞, 2]二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a5 = 9，则a1 =______，d = ______。
2022年高考数学一轮复习 单元能力测试卷11-12
第十一、十二章单元能力测试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．2022年8月，“莫拉克”强台风给我国台湾地区带来了半个世纪以来最严重的洪水灾害．为有效地帮助台湾灾民消除灾后恐惧心理，某心理咨询中心拟从4名男咨询师和3名女咨询师中选派3名赴台湾救灾，则所选派的咨询师中既有男性又有女性的方法共有A．180种B．35种C．31种D．30种答案 D2．1＋101＋错误!10展开式中的常数项为A．1 B．C1012C．C201D．C2022答案 D解析因为1＋101＋错误!10＝[1＋1＋错误!]10＝2＋＋错误!10＝错误!＋错误!20>0，所以T r＋1＝C20r错误!20－r错误!r＝C20r10－r，由10－r＝0，得r＝10，故常数项为T11＝C2022，选D 3．已知盒子中有散落的围棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是答案 A解析所求概率为错误!＝错误!4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为C．16 D．12答案 C解析依题意可知，二年级的女生数为2000×＝380人，那么三年级的学生人数是2000－373－377－380－370＝500经计算可得总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故应在三年级抽取的学生人数为64×错误!＝165．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小王的同事中，给其发短信问侯的概率为1,,,0的人数分别为8,15,14,3人，今年五一节时，通常情况下，小王应收到同事问侯的短信条数为A．8 B．27C．37 D．38答案 B解析Eξ＝8＋×15＋×14＋0×3＝276．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ的值为A．4 B．5C．D．475答案 C解析ξ＝3,4,5＝8＋4＋6＝18种，故所求概率为＝错误!＝错误!10．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如下表：组号12345678频数11141213131210 则第6A．B．14C．D．15答案 C解析运用频率、频数的定义，注意其区别以及频率范围，易知频数为15，则频率为，故选C11．设随机变量ξ服从正态分布N0,1，记Φ＝Pξ0D．P|ξ|>α＝1－Φαα>0答案 D解析因为正态分布N0,1关于轴对称，所以A、B、C正确．12．已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ＝，则a的值为C．7 D．8答案 C解析由题意得＋＋b＝1，且Eξ＝4×＋0.1a＋9b＝，因此b＝，a＝7，选C二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．答案90解析小明和小勇都有C52种选购方法，根据乘法原理，选购方法总数是C52C52＝100种．选购的两本读物都相同的方法数是C52＝10种．故所求的选法种数为100－10＝90 14．2022年奥运会足球预选赛亚洲区决赛俗称九强赛，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．答案错误!解析P＝错误!＝错误!＝错误!15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望Eξ＝________答案 1解析由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以Pξ＝0＝错误!＝错误!，Pξ＝2＝错误!＝错误!，故Eξ＝0×错误!＋2×错误!＝116．设为非负实数，随机变量ξ的概率分布为：则Eξ的最大值为答案错误! 1解析由表可得错误!从而得∈[0，错误!]，期望值Eξ＝0×错误!－＋1×＋2×错误!＝＋1，当且仅当＝错误!时，Eξ最大值＝错误!；方差Dξ＝0－－12×错误!－＋1－－12×＋2－－12×错误!＝－2－＋1＝－＋错误!2＋错误!，当且仅当＝0时，Dξ最大值＝1三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．本小题满分10分见如下表格，回答表格下面的问题：分组频数频率～ 3～ 4～12～12～13～ 4～ 2合计501完成上表；2根据上表，画出频率分布直方图；3据上表和图估计，数据在～范围内的概率是多少解析 1分组频数频率～3错误!～4错误!～12错误!～12错误!～13错误!～4错误!～2错误!合计50 12频率分布直方图如下：3P<ξ<＝18．本小题满分12分某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布，观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元；先答哪个题由观众自由选择，只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为错误!，错误!你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大说明理由．解析设甲先答A、B所获奖金分别为ξ、η元，则有Pξ＝0＝1－错误!＝错误!，Pξ＝a＝错误!1－错误!＝错误!，Pξ＝3a＝错误!×错误!＝错误!Pη＝0＝1－错误!＝错误!，Pη＝2a＝错误!1－错误!＝错误!，Pη＝3a＝错误!×错误!＝错误!所以Eξ＝0×错误!＋a×错误!＋3a×错误!＝错误!；Eη＝0×错误!＋2a×错误!＋3a×错误!＝错误!由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样．19．本小题满分12分为备战2022年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：1该选手一次射击命中8环以上含8环的概率；2该选手射击2发子弹取得19环以上含19环成绩的概率．解析以该选手射击的频率近似估算概率．1射击一次击中8环以上的概率约为P＝错误!＝2记一次射击命中10环为事件P1，则P1＝，一次射击命中9环为事件P2，则P2＝，于是两次射击均命中10环的概率约为PA＝P12＝，两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为PB＝C21P1P2＝，即该选手射击2发子弹取得19环以上含19环成绩的概率约为20．本小题满分12分在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：1恰有两道题答对的概率；2至少答对一道题的概率．解析视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为错误!由独立重复试验的概率计算公式得：1恰有两道题答对的概率为P42＝C42错误!2错误!2＝错误!2法一：至少有一道题答对的概率为1－P40＝1－C40错误!0错误!4＝1－错误!＝错误!法二：至少有一道题答对的概率为C41错误!错误!3＋C42错误!2错误!2＋C43错误!3错误!＋C44错误!4错误!0＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!21．本小题满分12分2022·天津卷，理某射手每次射击击中目标的概率是错误!，且各次射击的结果互不影响．1假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；2假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；3假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解析1设X为射手在5次射击击中目标的次数，则X～B5，错误!，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率PX＝2＝C52×错误!2×1－错误!3＝错误!2设“第i次射击击中目标”为事件A i i＝1,2,3,4,5；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则PA＝PA1A2A3\toA4\toA5＋P\toA1A2A3A4\toA5＋P\toA1\toA2A3A4A5＝错误!3×错误!2＋错误!×错误!3×错误!＋错误!2＋错误!3＝错误!3由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6Pξ＝0＝P\toA1\toA2\toA3＝错误!3＝错误!；Pξ＝1＝PA1\toA2\toA3＋P\toA1A2\toA3＋P\toA1\toA2A3＝错误!×错误!2＋错误!×错误!×错误!＋错误!2×错误!＝错误!；Pξ＝2＝PA1\toA2A3＝错误!×错误!×错误!＝错误!；Pξ＝3＝PA1A2\toA3＋P\toA1A2A3＝错误!2×错误!＋错误!×错误!2＝错误!；Pξ＝6＝PA1A2A3＝错误!3＝错误!所以ξ的分布列是22本小题满分12配如下：1从观看比赛的学生中任选2从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；3如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的，记观看足球比赛的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析1设“从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛”为事件A 则PA＝错误!＝错误!即从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是错误!2解法一设“所选的3名学生均没有观看足球比赛”为事件B则PB＝错误!＝错误!，所以P错误!＝1－PB＝错误!即从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率为错误!解法二设“从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛”为事件C则PC＝错误!＝错误!3解法一ξ的可能取值为0,1,2,3,4由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为错误!所以Pξ＝0＝C40错误!0错误!4＝错误!；Pξ＝1＝C41错误!1错误!3＝错误!；Pξ＝2＝C42错误!2错误!2＝错误!＝错误!；Pξ＝3＝C43错误!3错误!1＝错误!；Pξ＝4＝C44错误!4错误!0＝错误!随机变量ξ的分布列为：所以Eξ＝0×错误!＝错误!解法二由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为错误!则随机变量ξ～B4，错误!．所以随机变量ξ的分布列为：所以Eξ＝n＝4×。
21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习单元评估检测(六)(第十章)
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单元评估检测(六)(第十章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020·丽水模拟)某班上午有五节课,计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节,要求语文与化学相邻,且数学不排第一节,则不同排法的种数为( ) A.24 B.36 C.42 D.48【解析】选B.由题得语文和化学相邻有种顺序;将语文和化学看成整体与英语、物理全排列有种顺序,排好后有4个空位,数学不在第一节有3个空位可选,则不同的排课法的种数是2×6×3=36.2.(2020·宁波模拟)某五所大学进行自主招生,同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀,并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读,则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同的大学)的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.五所大学自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况, 其中满足条件:仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同的大学)的录取情况有种,则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同的大学)的概率为P==.3.若-n的展开式中第四项为常数项,则n= ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.依题意,T4=·-3·,因为其展开式中第四项为常数项,所以-1=0,所以n=5.4.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,又有X的数学期望为E(X)=3,则a+b= ( )A. B.0 C.- D.【解析】选A.依题意可得X的分布列为X 1 2 3 4P a+b 2a+b 3a+b 4a+b依题意得解得a=,b=0,故a+b=.5.某商场进行购物摸奖活动,规则是:在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球(小球除标号外其他完全相同),每次摸奖需要同时取出两个球,每位顾客最多有两次摸奖机会,并规定:若第一次取出的两球号码连号,则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同,则为中奖.按照这样的规则摸奖,中奖的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.分两种情况,第一种第一次摸到连号,则概率为P(A)==,第二种情况对应概率为P(B)=·=,所以中奖的概率为P(A)+P(B)=+=.6.(2020·金华模拟)五人进行过关游戏,随机出现左路和右路两种选择.若选择同一条路的人数超过2人,则他们每人得1分;若选择同一条路的人数小于3人,则他们每人得0分,记小强游戏得分为ξ,则E(ξ)= ( )A. B. C. D.【解析】选B.五人进行过关游戏,随机出现左路和右路两种选择.若选择同一条路的人数超过2人,则他们每人得1分;若选择同一条路的人数小于3人,则他们每人得0分,所以P(ξ=1)=++=,P(ξ=0)=1-=,所以E(ξ)=1×+0×=.7.若随机变量ξ的分布列为ξ0 1P m n其中m∈(0,1),则下列结果中正确的是( )A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2【解析】选C.由分布列可知,随机变量ξ服从两点分布,故E(ξ)=n=1-m,D(ξ)=n(1-n)=(1-m)m=m-m2.8.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为,,,,只有通过前一关才能进入下一关,其中,第三关有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.第一种情况:该选手通过前三关,进入第四关,所以P1=××=,第二种情况:该选手通过前两关,第三关没有通过,再来一次通过,进入第四关,所以P2=×××=.所以该选手能进入第四关的概率为+=.9.如果{a n}不是等差数列,但若∃k∈N*,使得a k+a k+2=2a k+1,那么称{a n}为“局部等差”数列.已知数列{x n}的项数为4,记事件A:集合⊆,事件B:{x n}为“局部等差”数列,则条件概率P= 世纪金榜导学号( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意知,事件A共有·=120个基本事件,事件B:“局部等差”数列共有以下24个基本事件,(1)其中含1,2,3的“局部等差”数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3,共3个, 含3,2,1的“局部等差”数列同理也有3个,共6个.(2)含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.(3)含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1,共 2个,含4,3,2的同理也有2个.(4)含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4,共4个, 含5,3,1的同理也有4个,共24个,所以P(B|A)==.10.如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有世纪金榜导学号( )A.360种B.720种C.780 种D.840种【解析】选B.由题干图可知,区域2,3,5,7不能同色,所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且各区域的颜色均不相同,所以涂色方法有×2=720(种).【变式备选】某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )A.×种B.×54种C.×54种D.×种【解析】选C.因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据分步乘法计数原理可得共有×54种情况.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知随机变量X～B(n,p),E(X)=2,D(X)=,则p=________.【解析】由随机变量X～B(n,p),E(X)=2,D(X)=,可得np=2,np(1-p)=,解得p=,n=8.答案:12.(2020·金华模拟)在二项式的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.【解析】展开式的通项T k+1=x8-k,若为常数项,则8-k=k,即k=4,所以()4=280,即常数项为280;由通项可知系数为有理数,即()k为有理数,即k可取0,2,4,6,8,共有5项.答案:280 513.某工厂生产10个产品,其中有2个次品,从中任取3个产品进行检测,则3个产品中至多有1个次品的概率为________.【解析】3个产品中至多有1个次品,拆分为3个产品中没有次品和3个产品中恰有1个次品,所以所求的概率为P=+=+=.答案:【一题多解】因为3个产品中次品的个数为0,1,2,所以“3个产品中至多有1个次品”的对立事件为“3个产品中恰有2个次品”,所以所求的概率为P=1-=1-=.答案:14.(2020·嘉兴模拟)一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球,从中摸出两个球,则恰有一个黑球的概率是________.若X表示摸出黑球的个数,则E(X)=________.【解析】从中摸出两个球,则恰有一个黑球的概率是P===;X可取:0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.E(X)=0×+1×+2×=.答案:15.小明口袋中有3张10元,3张20元(因纸币有编号,认定每张纸币不同),现从中掏出纸币超过45元的方法有________ 种;若小明每次掏出纸币的概率是等可能的,不放回地掏出4张,刚好是50元的概率为________.【解析】超过45元即为掏出纸币50元,60元,70元,80元,90元,如果掏出纸币50元,则2张20元,1张10元,或3张10元,1张20元,共有+=12种方法;如果掏出纸币60元,则2张20元,2张10元,或3张20元,共有+=10种方法;如果掏出纸币70元,则3张20元,1张10元,或2张20元,3张10元,共有+=6种方法;如果掏出纸币80元,则3张20元,2张10元,共有=3种方法;如果掏出纸币90元,则3张20元,3张10元,共有1种方法;所以共有32种方法.设“如果不放回地掏出4张,刚好是50元”为事件A,则所有的基本事件的总数为=15,A中含有的基本事件的总数为3,所以P(A)==.答案:3216.(2020·绍兴模拟)有甲、乙、丙三项任务,甲、乙各需1人承担,丙需2人承担且至少1人是男生.现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是________.(用具体数字作答)【解析】因为丙需2人承担且至少1人是男生,所以有两种情况:(1)一男生一女生选丙任务;(2)二男生选丙任务.(1)一男生一女生选丙任务:不同的选法种数为··=3×3×4×3=108;(2)二男生选丙任务:不同的选法种数为·=3×4×3=36,所以从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是108+36=144.答案:14417.(2020·台州模拟)一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=________;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=________. 世纪金榜导学号【解析】ξ1可取值为0,1,2,P(ξ1=0)==,P(ξ1=1)==,P(ξ1=2)==,所以E(ξ1)=0×+1×+2×=;ξ2可取值为0,1,2,P(ξ2=0)==,P(ξ2=1)==,P(ξ2=2)==,所以E(ξ2)=0×+1×+2×=.答案:三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)在二项式(n∈N*)的展开式中,第三项的系数与第四项的系数相等.(1)求n的值,并求所有项的二项式系数的和.(2)求展开式中的常数项.【解析】 (1)因为二项式(n∈N*)的展开式的通项公式为T r+1=(x3)r,由已知得2n-3=2n-2,即=2,解得n=8,所有二项式系数的和为+++…+=2n=28=256.(2)展开式中的通项公式T r+1=(x3)r=28-r x r-8x3r=28-r x4r-8, 若它为常数项时,4r-8=0,r=2.所以常数项是T3=26=1 792.19.(15分)(2020·台州模拟)某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研,项目A:通信设备.根据调研,投资到该项目上,所有可能结果为:获利40%、损失20%、不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,a;项目B:新能源汽车.根据调研,投资到该项目上,所有可能结果为:获利30%、亏损10%,且这两种情况发生的概率分别为b,c.经测算,当投入A, B两个项目的资金相等时,它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.(1)求a, b, c的值.(2)若将100万元全部投到其中的一个项目,请你从投资回报稳定性考虑,为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.【解析】(1)依题意,++a=1,所以a=,设投入到项目A,B的资金都为x万元,变量X1和X2分别表示投资项目A 和B所获得的利润,则X1和X2的分布列分别为X10.4x -0.2x 0PX20.3x -0.1xP b c由分布列得E(X1)=0.4x×+(-0.2x)×+0×=0.2x,E(X2)=0.3bx-0.1cx,因为E(X1)=E(X2),所以0.3bx-0.1cx=0.2x,即0.3b-0.1c=0.2,又b+c=1,解得b=,c=,所以a=,b=,c=.(2)当投入100万元资金时,由(1)知x=100,所以E(X1)=E(X2)=20,D(X1)=(40-20)2×+(-20-20)2×+(0-20)2×=600,D(X2)=(30-20)2×+(-10-20)2×=300,因为D(X1)>D(X2),说明虽然项目A和项目B的平均收益相等,但项目B 更稳妥,所以,从风险控制角度,建议该投资公司选择项目B.20.(15分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果,设小孩对四种食物排出的序号依次为x A x B x C x D,家长猜测的序号依次为y A y B y C y D,其中x A x B x C x D,y A y B y C y D都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义X=(x A-y A)2+(x B-y B)2+(x C-y C)2+(x D-y D)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(i)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率; (ii)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程).(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解,说明理由.【解析】(1)(i)若家长对小孩的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,所以先考虑小孩的排序x A x B x C x D为1234的情况,家长的排序有=24种等可能的结果.其中满足“家长的排序与1234对应位置的数字完全不同”的有2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321共9种结果,所以相应的概率为=.若小孩对四种食物的排序是其他情况,只需要将角标A,B,C,D按照小孩的排序1234的顺序调整即可,所以他们在一轮游戏中,对四种食物排成的序号完全不同的概率为.(ii)根据(i)的结果,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,列出所有情况,分别计算每种情况下的X的值.所以X的分布列为X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20P(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下:假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,则由(1)知,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为=.这个结果发生的可能性很小,所以可以认为这个家长对小孩的饮食习惯比较了解.21.(15分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资结算方案如下:甲公司底薪70元,每单抽成2元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成4元,超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表: 世纪金榜导学号甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单38 39 40 41 42数天数10 20 20 40 10(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取2天,求这2天送餐单数都大于40的概率.(2)若将频率视为概率,记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望.【解析】(1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M,则P(M)==.(2)设乙公司送餐员送餐单数为a,则当a=38时,X=38×4=152;当a=39时,X=39×4=156;当a=40时,X=40×4=160;当a=41时,X=40×4+1×6=166;当a=42时,X=40×4+2×6=172.所以X的所有可能取值为152,156,160,166,172.故X的分布列为:X 152 156 160 166 172P所以E(X)=152×+156×+160×+166×+172×=162.22.(15分)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为P n.(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所跳站数之和X的分布列与数学期望.(2)证明:P n+1-P n=-(P n-P n-1)(2≤n≤98).(3)求P99,P100的值. 世纪金榜导学号【解析】(1)X的值为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,所以X的分布列如下:X 3 4 5 6P所以期望为E(X)=3×+4×+5×+6×=.(2)因为棋子跳到第n站,可以分解为两个情形:第一种是棋子先跳到第n-2站,再掷出反面,其概率为P n-2;第二种是棋子先跳到第n-1站,再掷出正面,其概率为P n-1,所以P n=(P n-1+P n-2),即P n-P n-1=-(P n-1-P n-2),所以P n+1-P n=-(P n-P n-1)(2≤n≤98).(3)由(2)知数列{P n-P n-1}(n≥1)是首项为P1-P0=-1=-,公比为-的等比数列.所以P n-P n-1=(P1-P0)=.由此得到P99=++…++1=.又P99-P98=,则P98=,由于跳到第99站时,自动停止游戏,故有P100=P98=.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
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高考数学一轮复习 单元能力测试卷10A一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．(2010·上海春季高考)若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能 答案 D2．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14 B.12 C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于( )A.34 B.74C.377D.43答案 A解析 ∵BC ⊥CD ，BC 是AC 在平面BCD 上的射影， ∴AC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC ， ∵AD ⊥AB ，∴AC ⊥AB ，∴θ＝∠DAC ，∴sin θ＝CD AD ＝34.4．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75答案 B解析 记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 5．设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α；③α∥β；④α⊥β.其中可能的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种答案 C解析 ①③④都有可能，②不可能，否则有b ⊥a ，与已知矛盾．6．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，ΔBCD 是锐角三角形，那么必有( ) A ．平面ABD ⊥平面ADC B ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD 答案 C解析 由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD .又AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD .7．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝AA 1＝a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是( ) A ．a B.2a C.22a D.3a答案 C解析 取A 1C 的中点O ，连接AO . ∵AC ＝AA 1，∴AO ⊥A 1C .又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即AO 的长等于A 到平面ABC 的距离，解得AO ＝22a . 8．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°.若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A ．13B ．11C ．9D ．7答案 B解析作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC. ∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O为△ABC的外心．∴OA＝AB2sin∠BCA＝152sin120°＝5 3.∴PO＝PA2－OA2＝11为所求．9．高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器(下有底)，可放置最大球的半径是( )A.32B．2C.322D. 2答案 B解析如上图所示，过球心作平行于底的截面，R＝23tan30°＝2.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )A．是AC和MN的公垂线B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC，MN都不垂直答案 A解析∵MO在面ABCD上的射影为OD，OD⊥AC，∴OM⊥AC，又∵MO在面CC1D1D中的射影与MN垂直，∴MO⊥MN，∴OM是AC和MN的公垂线．11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C. 2D. 3答案 C解析 如图，△ABE 为题中三角形，由已知得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF ＝23BE ＝233， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝83， ∴△ABE 的面积为S △＝12×BE ×AF ＝12×3×83＝ 2.故选C. 12．已知二面角α—l —β的平面角为θ，PA ⊥α，PB ⊥β，A 、B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A 、B 到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹是下列图形中的( )答案 D解析 如图，PO 2＝PA 2＋OA 2＝PB 2＋OB 2， ∴16＋x 2＝25＋y 2.∴x 2－y 2＝9且x ≥3，y >0.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，PM ⊥平面ABC ，当BC ＝18，PM ＝33时，PN 和平面ABC 所成的角是________．答案 30°解析 ∵PM ⊥平面ABC ，∴∠PNM 为PN 与平面ABC 所成的角．tan ∠PNM ＝PM MN ＝339＝33，∴∠PNM ＝30°.14．有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为________．答案3πr解析 由题意得交线为半径为32r 的圆周，其长为3πr . 15．在正四面体A —BCD 中，O 为底面△BCD 的中心，M 是线段AO 上一点，且使得∠BMC ＝90°，则AM MO＝________.答案 1解析 如右图所示，设正四面体A —BCD 的棱长为2，由∠BMC ＝90°，得BM ＝ 2.又可得BO ＝233，在Rt △BOM 中，MO ＝63，由勾股定理得AO ＝263，所以得AMMO ＝1.16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BC ⊥平面PAD . 其中正确的有______个． 答案 2解析 将几何图展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥⊥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD证明 取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE 綊12DC又∵AM 綊12DC ，∴NE 綊AM∴四边形AENM 为▱.∴MN ∥AE 又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴ MN ∥平面PAD .18．(本小题满分12分)如右图所示，已知直二面角α—PQ —β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°.(1)证明：BC ⊥PQ ；(2)求二面角B —AC —P 的大小．解析 (1)如右图，在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB .因为α⊥β，α∩β＝PQ ，所以CO ⊥α. 又因为CA ＝CB ，所以OA ＝OB .而∠BAO ＝45°，所以∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°.从而BO ⊥PQ . 又CO ⊥PQ ，所以PQ ⊥平面OBC .因为BC ⊂平面OBC ，故PQ ⊥BC . (2)由(1)知，BO ⊥PQ ，又α⊥β，α∩β＝PQ ，BO ⊂α，所以BO ⊥β. 过点O 作OH ⊥AC 于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH ⊥AC . 故∠BHO 是二面角B —AC —P 的平面角．由(1)知，CO ⊥α，所以∠CAO 是CA 和平面α所成的角，则∠CAO ＝30°. 不妨设AC ＝2，则AO ＝3，OH ＝AO sin30°＝32.在Rt△OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°，所以BO＝AO＝ 3.于是在Rt△BOH中，tan∠BHO＝BOOH＝332＝2.故二面角B—AC—P的大小为arctan2.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.(1)求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3)求点C1到平面A1CB的距离．解析证明：(1)四边形BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1.又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC⊂平面CA1B，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1.解：(2)过A1作A1D⊥B1B于D，D即为B1B的中点，连接DC.∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角．在矩形BCC1B1中，DC＝13.∵四边形A1ABB1是菱形，∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴A1D＝23，∴tan∠A1CD＝A1DCD＝2313＝23913.(3)∵B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．连接AB1，AB1与A1B交于点O.∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B.∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC.∴B1O即为C1到平面A1BC的距离，又B1O＝23，∴C1到平面A1BC的距离为2 3.20．(本小题满分12分)(09·广东)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 、AA 1的中点．设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解析 (1)点A 、E 、G 、F 在平面DCC 1D 1的投影分别为点D 、E 1、G 1、F ，连结EF 、EE 1、EG 1、ED .则VE －DE 1FG 1＝VF －EE 1G 1＋VD －EE 1G 1＝13×1×1＋13×1×1＝23.(2)∵点E 在平面DCC 1D 1的正投影为点E 1， 则EE 1⊥面DCC 1D 1.∵FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.在△E 1FG 1中，FG 1＝FD 12＋G 1D 12＝2，E 1F ＝FC 12＋E 1C 12＝2，E 1G 1＝2， ∴FE 12＋FG 12＝E 1G 12＝4，∴FG 1⊥FE 1， ∵FE 1∩EE 1于点E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)取正方形ADD 1A 1的中心为M ，连结EM 、AM ，则EM 綊E 1G 1，且EM ⊥面AA 1D 1D ，∴EM ⊥AM . ∵AM ＝AG 2＋MG 2＝2，AE ＝AB 2＋BC22＋AG 2＝6，EM ＝2， ∴sin ∠AEM ＝AM AE＝26＝33. ∴异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值为33. 21．(本小题满分12分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角N —B 1M —B 的余弦值． (3)在棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． 解析 (1)证明：∵在底面ABCD 内，BM MA ＝BNNC，∴BM ＝BN ，MN ∥AC . 又∵AC ⊥BD ，∴MN ⊥BD . 又BB 1⊥MN ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D . 而BP ⊂平面BB 1D 1D ，∴MN ⊥BP .(2)解：在AA 1上取点Q ，使A 1Q ∶QA ＝1∶2， 连接PQ 、BQ 、BD ，则PQ ⊥平面A 1ABB 1. ∵PB ⊥平面B 1MN ，∴PB ⊥MN ，PB ⊥B 1M ， ∴根据三垂线定理逆定理，DB ⊥MN ，QB ⊥B 1M . 设BQ ∩B 1M ＝H ，连接NH . ∵NB ⊥平面B 1MB ，∴NH ⊥B 1M ，∴∠NHB 为二面角N —B 1M —B 的平面角． 令AB ＝3，则AQ ＝2，BQ ＝13， ∴cos ∠HBM ＝BH BM ＝BA BQ ＝313，∴在Rt △NBH 中， tan ∠NHB ＝BN BH ＝BM BH ＝133， ∴cos ∠NHB ＝32222.(3)解：存在点P ，且P 在DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.证明如下： ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴C 1C ⊥BD . 又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面ACC 1， 取AC 1中点O ，连接PO ，易证PO ∥BD ， 从而PO ⊥平面ACC 1，∵PO ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.22．(本小题满分12分)如右图所示，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA ＝AD ＝a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小； (2)求证：平面MND ⊥平面PCD ；(3)当AB 的长度变化时，求异面直线PC 与AD 所成角的取值范围． 解析 (1)PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD . 故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角． 在Rt △PAD 中，PA ⊥AD ，PA ＝AD ， ∴∠PDA ＝45°.(2)如右图所示，取PD 中点E ，连结AE 、EN .由M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴EN 綊12CD 綊12AB .∴AMNE 为平行四边形．∴MN ∥AE .在等腰Rt △PAD 中，AE 是斜边的中线，∴AE ⊥PD . 又CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥AE .又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .∴MN ⊥平面PCD .∴平面MND ⊥平面PCD . (3)∵AD ∥BC ，∴∠PCB 为异面直线PC 、AD 所成的角．由三垂线定理知PB ⊥BC . 设AB ＝x (x >0)，∴tan ∠PCB ＝a 2＋x 2a＝1＋x a2>1.又∠PCB 为锐角，∴∠PCB ∈(π4，π2)，即异面直线PC 、AD 所成角的范围是(π4，π2)．。