四川大学微积分 函数的连续性(精选)
微积分函数的连续性
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
微积分
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
微积分
例2
讨论函数
f (x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
微积分
例3 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2 sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点 x 0 连续.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
微积分
设：
x : x0 x, Vx @x x0
2019年四川大学微积分函数的连续性.ppt
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
微积分
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
" " 定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
微积分
设：
x : x0 x, x x x0
y : f ( x0 ) f ( x),
x0
y
f ( x) f ( x0 )
定义1： lim y 0
x x0
微积分
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
微积分第三讲函数的连续性
第三讲函数的连续性(The Continuity of function )阅读：第二章2.4pp.44pp.44——50,预习:第三章3.1pp.51pp.51——58,练习pp49--50习题 2.4:1至8;9,(1),(2),(3);10,(1),(3);14;15.作业pp49--50习题 2.4:9,(4);10,(2);11;12;13.2-4函数连续的定义及其性质2-4-1函数连续性的定义(1)定义：函数的连续性描述函数)(x f y =的渐变性态,在通常意义下，我们对函数连续性有三种描述：其一，当自变量x 有微小变化时,其函数y 的变化也是微小的；其二,自变量x 的微小变化不会引起因变量y 跳跃；其三，从几何上理解,连续函数的图形可以一笔画成,无间断.以上只是连续性的直观理解,实质上是相意的反复,在数学上要确切地刻画函数连续性概念,必须用极限作定量地描述:定义1:设函数f 在0x 的某邻域中有定义,若)()(lim 00x f x f x x =→,则称函数f 在点0x 连续,0x 称为是f 的一个连续点;否则就称f 在点0x 间断,0x 称为是f 的一个间断点.注一:函数f 在点x 0连续蕴含以下三个条件，缺一不可:(1)f 在x 0的某邻域有定义;(2)f 在点x 0的极限存在;(3)极限值等于函数值。
以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。
注二：函数f 在点x 0连续意味着极限运算与函数运算可交换，即)()lim ()(lim 000x f x f x f x x x x ==→→定义2:设函数f 在],(0x a 有定义,且)()(lim 00x f x f x x =−→,则称函数f 在点x 0左连续;设函数f 在),[0b x 有定义,且)()(lim 00x f x f x x =+→,则称函数f 在点x 0右连续.定义3:如果函数f 在开区间),(b a 中每一个点都连续,则称f 在),(b a 连续,记作),(b a C f ∈;如果函数f 在),(b a 连续,并且在点a 右连续、在点b 左连续,称f 在闭区间],[b a 上连续,记作],[b a C f ∈.(2)间断点分类：根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类:1可去间断点:若)(lim 0x f x x →存在，但不等于)(0x f ,称0x 是f 的可去间断点。
高等数学：（11）函数的连续性（第一章极限）
高等数学：（11）函数的连续性（第一章极限）
我们生活中有很多关于连续函数的例子，如我们的身高随着时间发生变化的过程，河水的流动，一个物体的运动轨迹等等，今天我们就来学习函数的连续性。
一个连续的函数是可以一笔画到底的，不需要间断，如下图：
函数连续的定义：设函数y=f(X)在点Xo的某一领域内有定义，如果当X→Xo时，f(X)的极限值等于f(Xo), 那么称函数f(X)在点Xo连续。
一般关于函数连续的题目都是给出一个分段函数，告诉我们该函数在某处连续，然后让我们求出分段函数中的未知参数。
我们只需要求出函数在题目给的连续点的极限值，并将极限值与函数在那一点的值建立一个等式，解出未知数。
有时题目还会让我们讨论左右极限的情况，如下例题：
谢谢观看。
微积分第1章函数、极限与连续之连续函数的概念和性质
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
x 1
x 1
左右极限存在不相等
所以 x =1为跳跃间断点
前页 后页 结束
3.无穷间断点
f(x)在点 x的0 左、右极限至少有一个是无穷
大，则称 x 为0 f(x)的无穷间断点
例4y
1 x
x=0为无穷间断点
4.振荡间断点
当 x时x，0 函数值不断地在两点之间跳
动，左右极限均不存在
续函数。 因此,基本初等函数在其定义域内连续.
定理3设函数y = f(u)在点 处u 0连续,u= f (x)在点 处连x 0 续,
且 u0 ,则复(x合0)函数
在点yf处[连(x续)]. x 0
即： lx ix0m f[(x) ]f[(x0)]
因此,一切初等函数在其定义区间内连续. 前页 后页 结束
解 函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义
所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点
(Ⅰ)
x2 x
lim
x1
x (x2 1)
所以x = -1是函数的无穷间Fra bibliotek点(Ⅱ)
x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x11) 1 x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x1 1) 1
微积分函数的连续性(函数不连续就不能用微积分进行研究吗)
微积分函数的连续性（函数不连续就不能用微积分进行研究吗）示波器正在检查方波信号一般的微积分教程，第一章就是函数，极限，连续。
接着讲导数，再后边讲拉格朗日中值定理等。
条件都是函数在闭区间内连续，在开区间内可导微积分也是可以用来研究函数不连续的点的。
典型的，用傅里叶级数合成方波信号方波信号函数在零点突然跳动，从负一跳动到正一，那这样的波形可以用正弦波和余弦波合成吗？这不止是个理论问题，也是个实际问题。
因为计算傅里叶级数系数只用到积分，没有用到微分，所以函数不连续点，也可以做傅里叶级数展开。
展开以后级数的和，在这点等于左极限和右极限的平均值。
由什么样的函数可以进行傅里叶级数展开这个问题，又引发了什么是函数的积分这个问题，实现了积分的黎曼定义到勒贝格积分定义的发展。
这不是玄学讨论，正余弦波的合成结果，可以用示波器实实在在看。
数学理论的发展也是受实际应用的激发而产生的，不是凭空想象出来的。
类似于瓦特刚发明蒸汽机的时代，没有人讨论发动机是不是必须有活塞这样的问题。
因为当时各种机械都需要将动力输出为旋转运动，所以发动机都是有活塞的。
等飞机刚发明以后，人们依然在飞机上采用活塞式发动机。
但是飞机飞行，不需要有轮子，只要有向后的推力就可以了。
所以以前发动机上，用于把往复运动转化为旋转运动的一套机制，在飞机上其实没有必要。
就有人想到了把活塞式发动机驱动螺旋桨的飞机更换为喷气发动机，把冗余的活塞去掉。
这样提高了能量转化效率，极大的提高了飞机的飞行速度。
这时候，讨论发动机是否必须有活塞，什么情景下需要活塞就有意义了。
那喷气发动机发明以前的发动机教科书，第一章一定不会给发动机分类，分成活塞式和非活塞式。
现在好多微积分教材，第一章讲函数，极限，连续，又给间断点做了分类，分成第一类间断点和第二类间断点。
就是类似喷气式发动机发明以后，发动机教科书第一章给发动机分类。
问题在于，喷气发动机人们在日常生活中，已经见过，所以讨论这个分类，学生觉得正常，一点也不觉得玄。
高等数学川大教材课后习题讲解
高等数学川大教材课后习题讲解高等数学是大学数学课程的重要组成部分，而川大教材则是高等数学教材中的一本经典之作。
课后习题是学生巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将对高等数学川大教材中的部分课后习题进行讲解，帮助学生更好地理解和应用所学知识。
一、极限与连续1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(x)在点x = 2处的极限。
解析：根据极限的定义，当x趋近于2时，f(x)趋近于多少？我们可以直接代入x = 2计算f(x)的值，即可得到答案。
代入后，得到f(2) = 11。
因此，f(x)在点x = 2处的极限为11。
2. 设函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)，求f(x)在点x = 2处的极限。
解析：在这个题目中，当我们直接代入x = 2计算f(x)的值时，分母会为0，导致结果不确定。
为了解决这个问题，我们可以进行因式分解，得到f(x) = x + 2。
因此，在点x = 2处，f(x)的极限为4。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数f'(x)。
解析：根据导数的定义，我们需要对f(x)进行求导操作。
对于多项式函数，求导时保持指数不变，系数乘上指数，并将指数减1。
因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，它的导数f'(x) = 6x - 2。
2. 求函数f(x) = e^x - sinx的导数f'(x)。
解析：在这个题目中，我们需要使用指数函数和三角函数的导数公式来计算导数。
根据指数函数和三角函数的导数公式，我们可以得到f(x)的导数f'(x) = e^x - cosx。
三、定积分与不定积分1. 求函数f(x) = x^3在区间[0, 2]上的定积分。
解析：对于定积分，我们可以使用求不定积分的方法来计算。
对于f(x) = x^3，我们先求得它的不定积分F(x) = 1/4 * x^4 + C。
然后，我们计算区间[0, 2]上的定积分值，即F(2) - F(0) = 1/4 * 2^4 - 1/4 * 0^4 = 4 - 0 = 4。
大学微积分上册第二章函数的连续性ppt课件
即
f
(x)
sin x
x
,
x0
为连续函数
1 , x 0
18
x 1, x 0
例8.函数
f
(x)
0,
x 0 在 x 0处,
x 1, x 0
f (0) 0,
lim
x0
f (x)
lim (x 1)
x0
1
lim
x0
f
(
x)
lim (
x0
x
1)
1
y
y x 1
1
o•
x
-1
y x 1
lim
x0
lim 2 sin
x0
x
2
cos
x0
x
2
0
所以 f (x) sin x在点 x0 处连续.
由 x0 的任意性知, f (x) sin x在整个数轴上连续,
所以 y sin x 为连续函数.
类似可证 y cosx 为连续函数.
7
定义3
设函数 y f (x) 在点 x0 某邻域内有定义,
23
定理3 (复合函数的连续性)
设函数 u g( x ) 在点 x x0 处连续, 函数 y f (u)在点u u0处连续, 则 函数 y f ( g( x )) 在点 x x0 处连续
g( x0 ) u0
lim f ( g( x )) f ( lim g( x ))
x x0
x x0
x 因 x 0 时, 函数值在-1与1之间变动无限多次,
称 x 0为函数 f (x) sin 1 的震荡间断点.
x
16
例6.函数 f ( x) x2 1 在 x 1处 无定义, 从而间断.
大学数学-微积分-连续
详细描述
不定积分是微积分中的一个基本概念，它表示原函数在 某区间上的积分值。不定积分的结果是一个函数集合， 这些函数之间相差一个常数。不定积分具有线性性质， 即两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差 。此外，不定积分还具有积分常数性质，即在对函数进 行积分时，可以在积分结果中添加或减去任意常数。最 后，不定积分具有微分性质，即函数的微分与函数的积 分互为逆运算。
定积分的应用
总结词
定积分在解决实际问题中有着广泛的应 用，如求平面图形的面积、求曲线的长 度、计算变力沿直线所做的功等。
VS
详细描述
定积分在实际问题中有着广泛的应用。例 如，求平面图形的面积时，可以将图形分 成若干个小矩形，然后计算每个小矩形的 面积和，最后取极限得到整个图形的面积 。此外，定积分还可以用于求曲线的长度 、计算变力沿直线所做的功等问题。这些 应用都表明了定积分的实用性和重要性。
连续性在数学与其他学科中的应用
在物理学中，连续性的概念广泛应用于解决力学、热学、电磁学等问题，如物体运动轨迹的连续性、 温度变化的连续性等。
在经济学中，连续性被用于描述经济变量的变化规律和趋势，如价格、需求和供给等函数的连续性分析。
在计算机科学中，连续性的概念对于理解数据结构和算法设计具有重要意义，如连续存储和离散存储的 区别。
函数在点$x_0$处的左极限是指当$x to x_0$且$x < x_0$时，函数值的趋势；右极限 是指当$x to x_0$且$x > x_0$时，函数值的趋势。
连续函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则 该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在，则 该点的函数值是有限的。
局部有界性
微积分之极限与连续
极限的计算方法
直接代入法
对于简单的初等函数，可以直接代入求得极限。
洛必达法则
对于复杂函数的极限，可以使用洛必达法则进行求解，即当分子和 分母的导数都存在时，可以求得极限。
等价无穷小替换
在求极限的过程中，可以将复杂的表达式替换为简单的等价无穷小， 从而简化计算。
极限的应用举例
求函数极值
通过求导数并令其为零，再利用极限的性质判断极值点，从而确定函数的极值。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号性等性质，这些性质帮助我们更好地理解极限的概念和应用。
极限的计算方法
直接代入法
对于简单的初等函数，可以直接代入求得极限。
洛必达法则
对于复杂函数的极限，可以使用洛必达法则进行求解，即当分子和 分母的导数都存在时，可以求得极限。
等价无穷小替换
在求极限的过程中，可以将复杂的表达式替换为简单的等价无穷小， 从而简化计算。
定积分的计算方法
直接法
直接法是计算定积分的基本方法， 它通过不定积分的计算公式和性 质，将定积分转化为不定积分进 行计算。
换元法
换元法是一种常用的计ห้องสมุดไป่ตู้定积分 的方法，它通过引入新的变量替 换原来的变量，将复杂的定积分 转化为容易计算的定积分。
分部积分法
分部积分法是另一种计算定积分 的方法，它通过将两个函数的乘 积进行求导和积分，将定积分转 化为容易计算的定积分。
3
乘积法则
两个函数的乘积的导数等于一个函数的导数乘以 另一个函数加上另一个函数的导数乘以这个函数。
导数的应用举例
01
02
03
单调性判别
通过求函数的导数，可以 判断函数的单调性，从而 确定函数的增减性。
四川大学微积分 两个重要的极限
微积分
练习题答案
一、1、ω ； 5、 5、0； 二、1、2； 5、 5、3. 三、 lim x n = 2 .
x→∞
2 2、 ； 2、 3
3、1； 3、 7、 7、e 2 ； 3、e 2 a ； 3、
6、 6、e ；
1 2、 ； 2、 e
1 ； 3 1 8、 8、 ； e
4、 4、
4、e −1 ； 4、
4、 lim x ⋅ cot 3 x = __________ .
x →0
sin x 5、 lim = __________ . x →∞ 2 x
6、 lim(1 + x ) = _________ .
x→0
1 x
微积分
1 + x 2x 7、 lim ( ) = _________ . x→∞ x 1 x 8、 lim (1 − ) = _________ . x →∞ x 求下列各极限: 二、求下列各极限 1 − cos 2 x 1、 lim x→0 x sin x 2、 lim (tan x ) tan 2 x
∴ {xn } 是有界的 ;
∴ lim x n 存在.
n→ ∞
1 = 3− < 3 n
1n 记为lim(1 + ) = e n→∞ n
(e = 2.71828L )积分可以证明对于连续变量x，也有：
1 x lim 1 + ) = e （ x →∞ x
或写成
lim 1 + y ) = e （
y →0
微积分
第二章 极限与连续
• • • • • • • 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性
数学微积分中的极限与连续性
数学微积分中的极限与连续性教案：数学微积分中的极限与连续性引言：数学微积分是研究变化率和积分问题的数学分支，是现代科学和工程学的基础。
其中，极限和连续性是微积分理论的重要概念，它们在解决实际问题和数学证明中起着关键作用。
本教案将详细介绍极限与连续性的概念和性质，帮助学生更好地理解和应用微积分知识。
一、极限的概念与性质1.1 极限的定义极限就是数列或函数在某点或某个趋近于某点的过程中的最终值。
数列极限的定义为：对于给定的正数ε，如果存在正整数N，使得当n大于等于N时，数列中的每一项与极限的差的绝对值都小于ε，那么这个极限就存在。
函数极限的定义类似，只需用x代替n。
1.2 极限的性质极限有唯一性、有界性、保号性和四则运算法则等性质，它们是求解极限问题时的重要基础。
二、连续性的概念与性质2.1 连续函数的定义连续函数是指在其定义域内无间断点的函数。
简单地说，就是图像没有突变、无断开和跳跃的点。
2.2 连续函数的性质连续函数有局部有界性、介值性和初等函数的连续性等性质。
这些性质有助于我们理解和运用连续函数的知识。
三、极限与连续性的关系3.1 连续函数与极限的关系连续函数的定义和极限定义紧密相关，连续函数必须满足极限存在的要求。
而连续函数的存在可以简化极限的计算。
3.2 极限与连续性的运用极限与连续性在微积分中具有重要的应用，如求导和积分等。
它们是微积分的基础，为其他数学知识的发展提供了重要支撑。
四、极限与连续性的扩展4.1 无穷极限除了有限极限，还存在着无穷极限。
无穷极限有正无穷、负无穷和无穷小等概念，对于研究函数的渐近性和性质有重要意义。
4.2 中值定理中值定理是微积分中关于极限和连续性的重要定理之一。
它包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理，应用广泛。
五、案例分析与实践应用在实际问题中，极限和连续性的概念与性质可以帮助我们解决各种复杂的数学和科学问题。
通过具体案例的分析与讨论，学生能够更好地理解和应用这些概念。
大学数学函数的连续性
说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。
y
y
a
o
bx
y f (x)
a
o
bx
y f (x)
在区间内部取得最大值和最小值
在区间端点取得最大值
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
介值定理 The intermediate value theorem
函数是闭区间上的连续函数。
如果函数y=f(x)在x0点连续, 则必须
y
同时满足下列三个条件：
f (x0 x)
y f (x)
y
(1) f(x)在x0的某个邻域内有定义
f (x0)
x
(2) 极限值 lim f (x) 存在 x x0
(3) 极限值与函数值 f (x0) 相等
o
x0 x0 x x
定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变
则称函数 f (x) 在点 x0 处不连续，点 x0称为函数 f (x)的间断点。
y
2
1
o
123
4x
Discontinuity at x =1 and x =2
◆函数的间断点的类型
可去间断点(1)——第一类
(1) f (x)在x0有定义,
f
(
x x0
f (x)
初等函数求极限的方法代入法.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例1 求 lim 1 x 2 1 .
x0
x
解 原式 lim( 1 x2 1)( 1 x2 1)
x0
四川大学微积分 极限与连续
只要取 δ = ε ,
x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 1
2
x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1
微积分
例5
证明 : 当x0 > 0时, lim
x → x0
x=
x0 .
证 ∵ f ( x) − A =
——刘徽 刘徽
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微积分
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
⋯⋯
⋯⋯
正 6 × 2 n −1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,⋯ , An ,⋯
S
微积分
2、截丈问题： 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰 1 第一天截下的杖长为 X 1 = ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 = + 2 ; 2 2
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; x > X 表示x → ∞的过程 .
微积分
1、定义： 、定义：
定义 1 不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x > X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
( −1)n−1 当 n 无限增大时 , xn = 1 + 无限接近于 1. n
无限接近” 问题: 无限接近 意味着什么? 问题 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 刻划它.
∵
xn − 1 = ( −1)
n −1