均值不等式学案(共两课时)

§ 均值不等式（1）

学习目标：

1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；

2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。

重点难点：

重点：理解均值不等式; 难点：均值不等式的应用。

一、 探求新知

如何用代数法证明均值定理：

,,2a b a b R ++∈≥如果那么

a b =时，等号成立。

二、深度研究：

（1）均值定理内容：________________________________________________________.

对任意两个正实数,a b ，数2

a b +叫做,a b 的__________,a b 的__________ 均值定理的文字表述：___________________________________________________________. 均值不等式中等号成立条件是： _______________________.

（2）均值不等式与不等式22

2a b ab +≥的关系如何

（3）均值定理的几何解释：

做线段AD=a ，延长AD 至点B ，使DB=b （,0a b >）以AB 为直径做半圆O ，过D 点做CD AB ⊥于D ，交半圆于点C ，连接AC ，BC ，OC 。当点D 在线段AB （端点除外）上运动时，试探讨OC 与CD 的大小关系。

三、学以致用：

探究一、均值不等式在不等式证明中的应用：

例1：已知0,ab >求证：

2,b a a b +≥并推导出式中等号成立的条件．

跟踪练习1：

（1）求函数1y x x

=+（0x >）的值域。

（2）已知,,a b R +∈求证：11()() 4.a b a b

++≥

探究二、利用均值不等式求最值：

m，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最例2 ：（1）一个矩形的面积为1002

短最短周长是多少

（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大最大面积是多少

由例2的求解过程，可以总结出以下规律：

【结论】

跟踪练习2：

（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小

（2）把36写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大

跟踪练习3：

一段长为l米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大求出这个最大值。

四、总结反思（本节课我们学到了哪些知识）

五、讨论研究课题

（1）你还能用什么方法证明均值不等式

（2）均值不等式还有哪些变形形式

§均值不等式（1）当堂检测

班级： 姓名： 限时：5分钟 分数：___________ 必做题（每题5分）

1、（5分）设01,x <<则函数(1)y x x =-的最大值是（ ）

A 1 B

12 C 14 D 18

2、（5分）已知,x y 均为正数，且1,x y +=则

11x y +的最小值是（ ）

A 3+ B

C 2 +

D 4

3、（5分）已知点(,)P x y 在直线240x y +-=上运动，求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点P 的坐标。

选做题：

4、已知0,0,a b ≥≥且2a b +=，则那么下列结论正确的是（ ）

A 12ab ≤

B 12

ab ≥ C 222a b +≥ D 222a b +≤

§ 均值不等式（2）

学习目标：

1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；

2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。

重点难点：

重点：理解均值不等式; 难点：均值不等式的应用。

一、复习巩固

（1）均值定理内容：______________________________.

对任意两个正实数,a b ，数2

a b +叫做,a b 的__________,a b 的__________ 均值定理的文字表述：___________________________________________________________. 均值不等式中等号成立条件是： _______________________.

二、 例题讲解

例1. 求函数1y x x

=+的值域。

变式训练：（1）求函数3(2)2

y x x x =+

>-的最小值以及相应的x 的值。

（2）下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）

A ．4y x

x =+ B ．2)y x R +=∈ C ．4x x y e e -=+ D ．4sin (0)sin y x x x

π=+

<<

题型小结：

例2：求函数223()(0)x x f x x x

-+-=>的最大值，以及此时x 的值。

变式练习：求函数223()(0)x x f x x x

-+=>的最小值，以及此时x 的值。

跟踪练习1：求函数2

4()(0)2

x f x x x =≠+的最大值以及相应的x 值。

跟踪练习2：求函数24(1)1

x x y x x -+=>-的最小值及相应的x 的值。

题型小结：

三、课堂小结：

§均值不等式（2）当堂检测

班级：姓名：限时：5分钟分数：___________