56高考数学总复习之【立体几何好题难题集萃】56

解法一： （Ⅰ）．连结 AC、BD，设 AC I BD O .由 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥，所以 PO⊥平面 ABCD，QO⊥平面 ABCD. 从而 P、O、Q 三点在一条直线上，所以 PQ⊥平面 ABCD.
（II）由题设知，ABCD 是正方形，所以 AC BD ．由（I）， PQ 平面 ABCD ，故可以分别以直线 CA、DB、QP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标 系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是 P(0,0,1) ， Q(0,0, 2) ，
（17）（本小题共 14 分）
如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中， AB AC ， PA 平
面 ABCD ，且 PA AB ，点 E 是 PD 的中点.
P
（Ⅰ）求证： AC PB ；
（Ⅱ）求证： PB // 平面 AEC ；
（Ⅲ）求二面角 E AC B 的大小.
解：（1）由 PA 平面 ABCD 可得 PAAC
源自文库7 8
∴二面角
B－A1P－F
的大小为
arccos
7 8
[06 浙江(理)17] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,
AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA＝AD=AB=2BC,M、N 分别为
PC、PB 的中点. 变式 1：求面 PAB 与面 PCD 所成角 利用面积射影或转化为有棱二面角 变式 2：E 为 AD 中点,求面 PAB 与面 PCE 所成角
uuuur uuuur ∴ cos ﹤ MB1, MN ﹥＝
uuuur uuuur
uMuuBur1
MN uuuur
MB1 MN
5 12 5 . 55 5
26
5 故所求二面角 B1 —AM—N 的平面角的余弦值为 5 。
uuuur uuuur （Ⅱ）设 n=(x,y,z)为平面 AMN 的一个法向量，则由 n AM , n MN 得
2 uuur uuur （II） 因为 PB AD (2, 0, 2) (0, 2, 0) 0 ，
所以 PB AD ，又因为 PB DM ，所以 PB 平面 ADMN. uuur uuur
因此 PB, DC 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.
uuur uuur 因为 cos PB, DC
在 Rt△A1QP 中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴ A1P
5.
∵
MQ⊥A1P∴ MQ
A1Q PQ A1P
25 5
∴ MF 2 5 在△FCQ 中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得 QF 3 5
在△FMQ
中， cos FMQ
MF 2 MQ2 QF 2 2MF MQ
同理 FO 是△ADC 的中位线，FO // ABFOAC 由三垂线定理可知EOF 是二面角
E－AC－D 的平面角.又 FO＝ 1 AB＝ 1 PA＝EFEOF＝45而二面角 E AC B 与二面角 22
E－AC－D 互补，故所求二面角 E AC B 的大小为 135.
（19）（本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 5 分，第三小问满分 5 分）
3
2
1 2
y
x
2 3
0 z
0
x y
0
4 3
z
故可取 n (0, 3 ,1) 4
uuuur
5
uuuur 设 MB1 与 n 的夹角为 a，则 cos a
uMuuBur1 n MB1 n
3
2
5
。
55 3
23
uuuur 所以 B1 到平面 AMN 的距离为 MB1 cos a
5 2 5 1。 25
3
uuuur
2 , 0, 0) ， MB1
(0,
1
,1)
,
uuuur MN
(0,
1
,
2
)
。
2
23
因为
uuuur uuuur MB1gAM
3 2
0
0
(
1 )
2
0
1
0
所以
uuuur MB1
uuuur AM
,同法可得
uuuur MN
uuuur AM
。
uuuur uuuur 故﹤ MB1, MN ﹥为二面角 B1 —AM—N 的平面角
∴△FCP 是正三角形，∴PF=1.有 PQ 1 BP 1∴PF=PQ①, 2
∵A1E⊥平面 BEP, EQ EF 3 ∴A1E=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ②, 由①②及 MP 为公共边知△FMP≌△QMP, ∴∠QMP=∠FMP=90o,且 MF=MQ, 从而∠FMQ 为二面角 B－A1P－F 的平面角.
在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足
AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图 1）。将△AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置，使
二面角 A1－EF－B 成直二面角，连结 A1B、A1P（如图 2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面 BEP；
（Ⅱ）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；
B1 H＝ B1 M sin B1MH
5 2
1
1 5
1。故点
B1 到平面
AMN
的距离为
1。
1 解法 2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1 （0，0，1），M（0， 2 ，0）,
C(0,1,0), N (0,1, 2 ) , A (
31 , , 0 )，所以，
3
22
uuuur AM (
（Ⅰ）求二面角 B1－AM－N 的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点 B1 到平面 AMN 的距离。
解法 1：（Ⅰ）因为 M 是底面 BC 边上的中点，所以 AM BC，
又 AM C C1 ,所以 AM 面 BC C1 B1 ，从而 AM B1 M,
B
AM NM，所以 B1 MN 为二面角， B1 —AM—N 的平面角。
P(0, 0,3), B(2, 0, 0), M (1, 1 ,1), D(0, 2, 0) 2
uuur uuur （Ⅱ）因为 PB AD (2, 0, 2) (0, 2, 0) 0
所以 PB⊥AD. 又 PB⊥DM.
uuur uuur 因此 PB AD 的余角即是 BD 与平面 ADMN.所成的角.
B(0, 2 2,0)
所以 AQ (2
uuur 2,0,2) , PB (0, 2
uuur uuur 2, 1) ,于是 cos AQ, PB
uuur uuur uAuuQr PuuBur
3.
AQ PB 9
3 从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos .
9
(Ⅲ)．由（Ⅱ），点 D 的坐标是（0，－ 2 2 ，0）， AD (2 2,2 2,0) ，
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
D1
C1
A1 B1
C D
B
A
A1
解：如图，B、D、A1 到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A1 的中点到平面 的距 离为 3，所以 D1 到平面 的距离为 6；B、A1 的中点到平面 的距离为 5 ，所以 B1 到平面
过平面外一点可作无数直线与已知平面平行（存在性）
(浙江文)（17）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,
PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点.
(Ⅰ)求证：PB⊥DM;
(Ⅱ)(文)求 BD 与平面 ADMN 所成的角。
因为
cos
uuur PB
uuur AD
所以
uuur PB
uuur AD
=
3
3
因此 BD 与平面 ADMN 所成的角为 .
6
(理) （II）取 AD 的中点 G ，连结 BG 、 NG ，
则 BG // CD ， 所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等. 因为 PB 平面 ADMN ， 所以 BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角.
又 B1 M=
B1B2 BM 2
1 1 4
5
,MN=
2
A1
C1 N
A
M
C
MC2 CN 2 1 4 5 , 49 6
连 B1 N，得 B1 N＝
B1C12 C1N 2
1 1 9
10
，在
3
B1 MN 中，由余弦定理得 cos B1MN
B 1M 2 MN 2 B 1 N 2 2gB1M gMN
立体几何好体难解集萃(附参考答案)
浙江理（14）(安徽卷）理科数学（16）多面体上，位于同一 条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 A 在
平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的 三个顶点到 的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四 个顶点中的一个，则 P 到平面 的距离可能是：
L R E
Q
点面距离 [06 湖南(理)18] 如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和
2,AB=4.
(Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.
P
D
C
A
B
A
x
z P
D
C
O B
y
Q
Q
行的直线共有 D
A．4 条
B．6 条
C．8 条
D．12 条
4、若 P 是平面 外一点，则下列命题正确的是 D
（A）过 P 只能作一条直线与平面 相交 （B）过 P 可作无数条直线与平面 垂直
（C）过 P 只能作一条直线与平面 平行 （D）过 P 可作无数条直线与平面 平行
【说明】过一点作已知平面的垂线有且只有一条（唯一性）
（Ⅲ）求二面角 B－A1P－F 的大小（用反三角函数表示）
A
A1
E F
E F
B
PC
图1
B
P
C
图2
19(06 年江苏 19 分)本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，
以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和
运算能力。
解法一：不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 在图 3 中，过 F 作 FM⊥ A1P 与 M，连结 QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
uuur uuur uuPurB DuCuur
10
，
| PB | | DC | 5
10 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin .
5
18、如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长
均为 1，M 是底面 BC 边上的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且
B1
CN＝2C1N.
又 AB AC ，所以 AC平面 PAB，所以
E
A
B
AC PB
F O
D
C
（2）如图，连 BD 交 AC 于点 O，连 EO，则
EO 是△PDB 的中位线，EO // PB
PB // 平面 AEC
（3）如图，取 AD 的中点 F，连 EF，FO，则
EF 是△PAD 的中位线，EF // PA 又 PA 平面 ABCD ，EF平面 ABCD
2 的距离为 5；则 D、B 的中点到平面 的距离为 3 ，所以 C 到平面 的距离为 3；C、A1
2 的中点到平面 的距离为 7 ，所以 C1 到平面 的距离为 7；而 P 为 C、C1、B1、D1 中的一
2
点，所以选①③④⑤。
3. 过平行六面体 ABCD A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 DBB1D1 平
5 25 10 4 36 9 2 5 5
5
。故
5
26
5 所求二面角 B1 —AM—N 的平面角的余弦值为 5 。 （Ⅱ）过 B1 在面 BCC1B1 内作直线 B1H MN ， H 为垂 足。又 AM 平面 BCC1B1 ，所以 AM B1 H。于是 B1 H 平面 AMN，故 B1 H 即为 B1 到平面 AMN 的距离。在 R1B1HM 中，
(理) 求 CD 与平面 ADMN 所成的角 解：方法一： （Ⅱ）(文)连结 DN， 因为 PB⊥平面 ADMN，
所以∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角.
在 RtBDN 中, sin BDN BN 1 , BD 2
故 BD 与平面 ADMN 所成的角是 .
6
方法二：
如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz ,设 BC=1，则 A(0, 0, 0)
在 RtBGN 中， sin BNG BN
10
.
BG 5
故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin
10
.
5
方法二：如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz ，设 BC 1，则
1 A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), B(2, 0, 0),C(2,1, 0), M (1, ,1), D(0, 2, 0) .