点的运动学(h)

第7章 点的运动学
3.加 速 度
t 瞬时: 速度 v(t) t+Δ t 瞬时: 速度 v(t +Δ t ) 或 v(t)+Δv(t)
O
z
v
P P´Δv
r (t ) r'
v'
v'
Δv dv a = lim = =v Δt → 0 Δ t dt
d r a= 2 = r dt
第7章 点的运动学
2
第7章 点的运动学
弧坐标中的加速度表示
dv v a= τ+ n dt ρ
2
加速度表示为自然轴系投影形式
a = at τ + a n n + ab b
dv at = s －切向加速度 = dt
a = at + a n
a = at τ + an n
an =
v
2
ρ
－法向加速度
ab = 0
第7章 点的运动学
2
2
2
j
dx dy dz ax = 2 , ay = 2 , az = 2 dt dt dt
2
2
2
第7章 点的运动学
例题1
＝常数 ϕ ， 椭圆规机构 ω＝
OA= AB= AC= l , BP= d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
1、建立固定参考系Oxy；
2、将所考察的点置于坐 标系中的一般位置；
O
r = r (t)
第7章 点的运动学
x
2. 速 度
t 瞬时: 矢径 r(t) t+Δt 瞬时: 矢径 r (t+Δ t ) 或 r(t)+Δ r(t)
z
v
P
Δr
P´
r (t ) r (t+Δt )
O y
Δr dr v = lim = =r Δt → 0 Δ t dt
x
速 度 —— 描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一 致；速度大小等于矢量的模。
第7章 点的运动学
例 题 4 已知点作平面曲线运动，其运动方程：x=x(t) ，y=y(t) 求：任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及曲率半径。 解：由已知的运动方程可知
2 2 v= x +y
a =a +a
2 2 t
2 n
2 + 2 a= x y
an = a − a
2
2 t
+ y dv x x y at = = 2 2 dt x +y
第7章 点的运动学
速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别
v = vt τ
速度大小 速度方向
t τ + v t τ a =v
a = at + a n
速度大小的变化率
第7章 点的运动学
P
Δϕ
T1 △s
P′ T
第7章 点的运动学
● 自然轴系
自然轴系P－TNB P－空间曲线上的动点；
B(副法线) N(主法线)
s+
T－ 过动点P的密切面内 的切线，其正向指向 弧坐标正向； N－ 密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向 曲率中心； B－ 过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其 正向由B＝T×N 确定。
2
2
= − ω(2l − d )sin ωt vx = x = ωd cos ωt vy = y
第7章 点的运动学
ax = x = −ω2 (2l − d )cosωt a y = y = −ω2 dsinωt
例题2 解：建立图示直角坐标系
u ϕ= t R
y
E
v
M
C
u
x
ϕ
O
运动方程:
sP
T(切线)
第7章 点的运动学
自然轴系的 基矢量 B(副法线) N(主法线)
s+
b=τ×n
s-
b n P τ
自然轴系的 特点 T(切线)
跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。
第7章 点的运动学
第7章 点的运动学
速 度
dr dr ds v= = ⋅ dt ds dt
其中:
dr Δr = lim =1 d s Δt → 0 Δ s
ϕ
2
速度:
dx u vx = = u − u cos( t ) = u(1 − cosϕ ) dt R dy u = u sin( t ) = u sin ϕ vy = dt R
第7章 点的运动学
速度: u dx = u − u cos( t ) = u(1 − cosϕ ) vx = R dt u dy = u sin( t ) = u sin ϕ vy = R dt 加速度:
dr 的方向与P点的切线方向一致 ds
所以
而
ds =v =s dt
dr =τ ds
v = vτ
第7章 点的运动学
v = vτ
ds v= =s dt
点的速度在切线轴上的投影等于 弧坐标对时间的一阶导数。
z 若 s > 0 ,则
v > 0 ，即点沿着s+的方向运动；
反之点沿着s－的方向运动；
第7章 点的运动学
△s
P
曲 率
Δϕ dϕ k = lim = Δt →0 Δs ds
T′
●曲线在点P的曲率的倒数，称 为曲线在点 P 的 曲率半径 ，用 ρ 表 示，有
Δθ
T1 △s
P′ T
1 ρ= k
P
第7章 点的运动学
● 密切面
在图中点P′趋近于P，即
Δs
T′
趋近于零的过程中，包括直线 PT 和 PT1的平面，将绕PT转动而趋近于某 一极限位置；在这极限位置的平面称 为曲线在点P的密切面或曲率平面。
n
τ´
Δτ dτ = lim Δϕ → 0 Δ ϕ dϕ
当Δ ϕ →0 时， τ 和τ ´ 以及 Δτ 同处 于P点的密切面内，这时， Δτ 的极 限方向垂直于τ ，亦即 n 方向。
Δϕ 2 τ sin 2 = lim Δϕ → 0 Δϕ
Δϕ sin 2 =1 = lim Δϕ → 0 Δϕ 2
dτ =n dϕ
3、根据已知的约束条件 列写点的运动方程。
第7章 点的运动学
P点的运动方程：
x = (2l − d )cosϕ = (2l − d )cosϕ y = dsinϕ = dsinϕ
P 点的轨迹方程
⎛ x ⎞ ⎛ y⎞ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⎜ ⎝ 2l − 百度文库 ⎠ ⎝ d ⎠
ϕ = ωt
P点的速度： P点的加速度：
第7章 点的运动学
v ρ= an
2
例题5
求例2任意瞬时该点的切向加速度、法向加速度及 曲率半径。
y C O
2
解：由例2的计算结果得:
u
x
ut v = 2 u sin 2R
a= u a +a = R
2 x 2 y
M
ϕ
2 u ut 2 2 an = a − at = sin R 2R
dv u ut at = = cos dt R 2R
(a, i ) = 90D − ϕ , (a, j ) = ϕ
第7章 点的运动学
§7-3
弧坐标要素与运动方程
自然法
弧坐标具有以下要素：
1、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)； 2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)； 3、有相应的坐标系(自然轴系)。
如果点沿着已知的轨迹运动，则点的 运动方程，可用点在已知轨迹上所走 过的弧长随时间变化的规律描述。
u x = ut − R sin( t ) R u y = R − R cos( t ) R
2 2 v = vx + vy = u (1 − cosϕ ) 2 + sin 2 ϕ
= u 2(1 − cosϕ ) = 2u sin
vx ϕ cos(v, i ) = = sin v 2 vy ϕ cos(v, j ) = = cos v 2
, vy = y , vz = z vx = x
第7章 点的运动学
3.加 速 度
z P
dx dy dz dr v = = i + j + k = vx i + vy j + vz k dt dt dt dt
v
r k iO
x y
z
a
y x
dv d x d y d z = 2 i+ 2 j+ 2 k a= dt dt dt dt = ax i + a y j + az k
第7章
点的运动学
※ 描述点运动的变矢量法 ※ 描述点运动的直角坐标法 ※ 描述点运动的弧坐标法 ※ 结论与讨论
第7章 点的运动学
§7-1
1. 运动方程
运动方程 —— 变矢量法中 ， 运动方程用点在任意瞬时t 的 位置矢量 r(t) 表示。
矢量法
z P
P´ P″
r
r´
r″
y
r (t) 简称为 位矢。
第7章 点的运动学
s = f (t)
几个概念 ● 曲线的曲率
● Δϕ （取绝对值）称为曲线对 应于弧 PP′ 的 邻角 ，可用来说明该 曲线的弯曲程度。 ●比值
Δϕ Δs 可用来表示弧PP′
T′
T1
Δϕ
P′ T
的平均弯曲程度，并称为平均曲率。 ●当点 P′ 趋近于点 P时，平均曲率 的极限值称为曲线在点P处的曲率，用k 表示，有 Δϕ dϕ k = lim = Δt →0 Δs ds
y
x
连接速度矢量端点的曲线 方向沿速度端图的切线， 并指向速度端图运动的方向。
§ 7-2 §7-2
1.运动方程
直角坐标法
自由度——描述系统所需要的独立坐标的个数
z P
v
不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由 3个方程确定：
r k
y
z
a
iO
x
O
j
x
x = f1(t)
y
y = f2(t) z = f3(t)
z
v = vτ
中 v和 τ 分别表示速度的大小与方向。
第7章 点的运动学
加速度
根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式
, v = vτ a=v
τ + vτ a=v
τ = ?
dτ dτ dϕ ds = = ⋅ ⋅ τ dt dϕ ds dt
?
第7章 点的运动学
1
ρ
=v s
Δϕ
τ
P
Δτ
τ´
第7章 点的运动学
例题3
已知：R， ϕ= ωt ( ω为常数） s
C 2ϕ a O A M B
求：(1)小环M 的运动方程、速度、加速度 (2)小环M 相对于 AB 杆的速度、加速度 解：建立图示弧坐标 运动方程:
ϕ
v
s = R(2ϕ ) = 2Rω t
加速度: 速度:
ds = 2 Rω v= dt
点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。
第7章 点的运动学
点的运动学应用的两类问题 z 第一类问题：
已知运动轨迹，确定速度与加速度； 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。
z 第二类问题：
已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和 运动轨迹－第一类问题的反运算。
dτ dτ dϕ ds v = = ⋅ ⋅ τ = n dt dϕ ds dt ρ
第7章 点的运动学
τ + vτ a=v
dτ dτ dϕ ds v = n = τ = ⋅ ⋅ ρ dt dϕ ds dt
dv v2 a = τ+ n dt ρ
加速度表示为自然轴系投影形式
a = at τ + a n n + ab b
a= a +a ,
2 t 2 n
at tan θ = an
at
θ
a
几点讨论
an
dv s 表示速度矢量大小的变化率； = z 切向加速度 a t = dt 2 v 表示速度矢量方向的变化率； z 法向加速度 a n =
ρ
z
ab = 0
即 abb=0, 表明加速度 a 在副法线方向没有分量； 还表明速度矢量 v 和加速度矢量 a 都位于密切面内。
第7章 点的运动学
2.速 度
z P
将矢径表示成:
r = xi + yj + zk
v
r k i
x O y
= (x i + y j + z k ) v=r + y ) + ( xi j + zk
(Oxyz)为定参考系:
y
z
a
j
x
di dj dk = = =0 dt dt d t
=x i+ y j+ z k = vx i + v y j + vz k v=r
第7章 点的运动学
dv at = =0 dt 2 v an = = 4 Rω 2 R
(2) 建立图示直角坐标系 运动方程:
C y' O 2ϕ M
x' B
x′ M = 2 R cosϕ = 2 R cosωt
速度:
ϕ
dx ′ M v′ = = −2 Rω sin ωt M dt
加速度:
A
dv′ 2 M ′ aM = = −2Rω cosωt dt
dvx u 2 u u2 ax = = sin t = sin ϕ R R R dt dv y u 2 u u2 ay = = cos t = cosϕ dt R R R
y C
O
M
ϕ
a
u
x
ax cos(a, i ) = = sin ϕ a ay cos(a, j ) = = cosϕ a
2 u 2 2 a = ax + ay = R
第7章 点的运动学
2
v2 ut ρ = = 4R sin an 2R
结论与讨论
描述点运动的三种方法比较
● 变矢量法－结果简明，具有概括性，且与坐标选择
无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。
● 直角坐标法－实际问题中，一种广泛应用的方法。 ● 弧坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，其最大特