现代控制理论第一章
现代控制理论第1章
控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是系 统的控制。 系统是由客观世界中实体与实体间的相互作用和 相互依赖的若干部分按一定规律组合而成的具有特定 功能的一个整体。 系统具有不同的属性如经济系统、社会系统、 生物系统、物理系统、 化学系统和工程系统等。 系统的分类方法是多种多样的。 动态系统 系统的模型可用微分部分或全部描述 系统
将线性系统更细致的进行分类，可以分为线性定常系统 与线性时变系统, 线性定常系统是描述系统状态的线性微分 或差分方程中的每个系数都是不随时间t 变化的。而线性时 变系统即系统的线性微分或差分方程的系数有随时间t 变化 的系数，不全是常数。
1.6 线性系统理论的主要任务
线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改 变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、 参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。通常，研究 系统运动规律的问题成为分析问题，研究改变运动规律的 可能性和方法的问题则为综合问题或设计。
（3）快速性与平稳性 系统的被控变量从一个值变到另一个值的过程称 为过渡过程。此时系统所表现出来的特性称为动态特 性。过渡过程的快速和平稳是人们所期望达到的又一 目标。控制系统受到外界的作用后，能否从一个平衡 状态迅速地达到另一个平衡状态，这就是系统的快速 性。只有当系统稳定时，才有快速性可言。
1.5 线性系统理论的研究对象
古典控制理论主要以传递函数为基础，以拉氏变 换为数学工具，主要研究单输入- 单输出一类自动控制 系统的分析和设计问题。 现代控制理论主要以线性代数和微分方程为数学 工具，以状态空间法为基础，分析与设计控制系统。 20 世纪70 年代以来控制理论在大系统理论和智 能控制理论方面有了新的突破，有人称之为第三代 控制理论。
前者属于认知系统，后者为改造系统。 (1) 建立系统数学模型
现代控制理论基础第一章
Elements of Modern Control Theory主讲：董霞现代控制理论基础西安交通大学机械工程学院Email：xdong@办公地点：西二楼东207参考教材《现代控制工程》王军平董霞主编西安交通大学出版社教材《现代控制理论基础》（机械类）何钺编机械工业出版社《现代控制工程》（第三版）Katsuhiko Ogata著卢伯英、于海勋译电子工业出版社第一章绪论现代控制理论是在20世纪50年代末、60年代初形成的控制理论。
之所以称其为现代控制理论是与经典控制理论相比较而言的。
1.1 控制理论发展简史目前国内外学术界普遍认为控制理论经历了三个发展阶段：经典控制理论现代控制理论智能控制理论这种阶段性发展是由简单到复杂、由量变到质变的辩证发展过程。
并且，这三个阶段不是相互排斥，而是相互补充、相辅相成的，它们各有其应用领域，并还在不同程度地继续发展着。
控制理论中反馈的概念代表性人物：瓦特（J.Watt)，于1788年发明了蒸汽机飞球调速器。
这是一个典型的自动调节系统，由此拉开了经典控制理论发展的序幕。
控制理论诞生前，人们对于反馈就有了认识。
经典控制理论的诞生1868年，英国物理学家J.C.Maxwell 发表《论调速器》论文，解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈振荡问题；1877年，英国科学家E.J. Routh 建立了劳斯稳定性判据；1895年，德国数学家A. Hurwitz 提出了胡尔维茨稳定性判据；1892年，俄国数学家A. M.Lyapunov 发表了专著《论运动稳定性的一般问题》；1922年，美国的N. Minorsky 研究出用于船舶驾驶的伺服机构并提出PID 控制方法；1932年，美籍瑞典人H. Nyquist 提出了频域内研究系统稳定性的频率判据；经典控制理论的诞生1940年，H. W.Bode引入了对数坐标，使频域稳定性判据更适合工程应用；1942年，H. Harris引入了传递函数概念；1948年，W.R. Evans提出了根轨迹方法；1948年，N. Wiener发表了著名的《控制论》，标志着经典控制理论的诞生。
现代控制理论习题解答(第一章)
Ra
La
i f = 常数
ua
f ia D J
ω
ML
【解】： 设状态变量为：
题 1-2 图
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ia ⎢⎣ω
⎤ ⎥ ⎦
其中 ia 为流过电感上的电流， ω 电动机轴上的角速度。 电动机电枢回路的电压方程为：
eb 为电动机反电势。 电动机力矩平衡方程为
•
ua = La ia + Ra ⋅ ia + eb
(4) y (4) + 3y + 2y = −3u + u
【解】：
5
在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间 表达式。 此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 （1）传递函数为：
状态空间表达式为：
G(s) =
2
s3 + 2s2 + 4s + 6
1⎤
R 2 C1 −1
R2C2
⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1
R1C1 0
⎤ ⎥⎥u i ⎦
y = u0 = [0
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
(2)
设状态变量： x1 = iL 、 x2 = uc 而
1
根据基尔霍夫定律得： 整理得
•
iL = C uc
•
ui = R ⋅ iL + LiL + uc
•
M D = J ω + fω + M L
现代控制理论(刘豹)第一章
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
现代控制理论PPT第一章
13
d 3θ R f d 2θ fR + K e K m dθ K m + + + = u dt 3 L J dt 2 JL dt JL
dθ d 2θ , x3 = 2 dt dt
x1 = θ , x2 =
& 1 x1 0 x = 0 & 0 2 x3 & 0 − fR + K e K m JL
说明：（ ：（1 同一个系统状态变量的选取不是唯一的。 说明：（1）同一个系统状态变量的选取不是唯一的。 状态变量是相互独立的， （2）状态变量是相互独立的，个数等于微分方程的个数 状态变量在初始时刻的值，就是系统的初始状态。 （3）状态变量在初始时刻的值，就是系统的初始状态。
2012年 2012年5月3日星期四
现代控制理论基础---广东工业大学 现代控制理论基础---广东工业大学
−
1 1 x1 LC + L u x 0 2 0
7
1 x1 y= 2012年 2012年5月3日星期四 0 C x2
例2 机电系统（图1-2示） 机电系统（图1 （1）经典法（高阶微分方程）
x1 y = [1 0 0] x2 x3
11
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二 状态变量和状态矢量
状态是系统的运动状态， 状态是系统的运动状态，状态变量是完全表征系统运动状态的 且个数最少的一组变量。例如n阶微分方程描述的系统就有 阶微分方程描述的系统就有n 且个数最少的一组变量。例如 阶微分方程描述的系统就有 个独立的状态变量。当求得n个独立变量随时间变化的规律时 个独立变量随时间变化的规律时， 个独立的状态变量。当求得 个独立变量随时间变化的规律时， 系统状态可完全确定。若变量数目多于n 必有变量不独立； 系统状态可完全确定。若变量数目多于 ，必有变量不独立； 若少于n 又不足以描述系统状态。因此， 若少于 ，又不足以描述系统状态。因此，当系统能用最少的 n个变量完全确定系统状态时， n个变量完全确定系统状态时，则称这 n 个变量为系统的状态 个变量完全确定系统状态时 变量。 变量。（点击观看）
《现代控制理论》第三版第一章.习题答案
第一章 作业参考答案1－1. 求模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：状态方程：()()()1223235634134561111435163131161611116111()bp pp n p p p p p K xx x x J xx K x x x J K K x x x x J J J J 16xK x xK x x K x K x K K x u x x K K K K K x x u K K K ===+--=--++==-=-+⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦=--+输出方程：1x θ=矩阵形式： =xAx +B u y =Cx 其中：211111110100000000011000000000000000b 1p p n p p K J K K J J J J K K K K K K K ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A = 100000Tp K B K ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]100000C =；1－3. 图1－29机械系统。
1M 2M 受外力作用1f 2f 作用，求1M 2M 运动速度输出的状态空间表达式。
解：微分方程111112112()()M yf K c c B y y =---- 22222221121()12()M yf K c B y K c c B =--+-+ y y - 设状态变量[]1212Tc c y y x =[]12Ty y y =，[]12Tf f =u令11x c =，22x c =，31x y =，42x y = 13xx = 24xx = 1111312341111111K K B B x x x x x M M M M M =-+-++ f1121214124322221K K K B B B x x x x x M M M M M ++=--++22f所以 =xAx +B u y =Cx 其中：11111111112112220100001K K B B M M M M K K K B B B M M M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥++⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A =22 1200001010B M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C 00100001⎡⎤=⎢⎥⎦ ⎣1－5. 根据微分方程，写状态方程，画模拟结构图。
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
《现代控制理论》课后习题答案
=
3 2
， c2
=
2s + 5 lim s→−3 s + 1
=
1 2
。
从输入通道直接到输出通道上的放大系数 d = 1，由此可得:
⎡ x1
⎢ ⎣
x 2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡− 1
⎢ ⎣
0
0⎤ − 3⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
y
=
⎡ ⎢⎣
3 2
1 2
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
m
dt
b0
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
dt
b0
m
−∫
−∫
y −∫
a0
a1
a2
进一步简化，可得系统状态变量图为 u
b0
b1
b2
− ∫ x1
− ∫ x2
− ∫ x3 y
a0
a1
a2
3
取 y = x3 ， y = x2 ， y = x1 ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
a(s)
1 a(s)
=
s3
+
1 a2s2 +
a1s
+
a0
， b(s)
=
b2 s 2
+ b1s
+ b0
。
2
由于 s−3 y 相当于对 y 作 3 次积分，故 y = 1 可用如下的状态变量图表示： m a(s)
现代控制理论(第一章)绪论
三、研究线性系统的基本工具
研究有限维线性系统的基本工具是线性代数 或矩阵论。
用线性代数的基本理论来处理系统与控制理 论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到 理论上深刻的结果。
一）矩阵的基本概念
1．矩阵 矩阵定义为矩阵阵列，它的元素可以是实数、
复数、函数或算子。一个n行m列的矩阵表示为
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
a1m
a2
m
anm
a11 a21
AT
a12
a22
a1m a2m
an1
an2
anm
矩阵转置的规律： 1）(AT )T = A 3）(AB )T = BT AT
2）(A+B )T = AT+ BT 4）(kA )T = kAT
6．奇异矩阵与非奇异矩阵
设方阵A的行列式为|A|，如果|A|=0，则称A为奇 异矩阵；如果|A|≠0，则称A为非奇异矩阵。
七）向量的线性相关和线性独立
设有m个n维向量
11
1
12
,
1n
21
2
22
,
2n
m1
,
m
m2
mn
如果存在一组不全为零的数 c1, c2, , cm，使得
c11 c22 cmm 0
则称向量组 1,2, ,m 是线性相关的。如果只有当 c1 c2 cm 0 时，才能使
课程主要章节的计划学时分配
第一章 绪论 第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的可控性、可观测性 第五章 系统稳定性分析 第六章 线性反馈系统的时间域综合
2学时 8学时 4学时 8学时 8学时 10学时
现代控制理论第一章(吴忠强版)
--- n维状态变量;
A=
a 11 a 21 a n1
a 12 a 22 an2
a 1n a 12 a nn
——系统内部状态的联系，称为系统矩阵， 为 n n方阵；
b1 b2 b bn
至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下， 还 可能有输入矢量的直接传递，因而有如下的一般形式：
y 1 c 11 x 1 c 12 x 2 c 1 n x n d 11 u 1 d 12 u 2 d 1 r u r y 2 c 21 x 1 c 22 x 2 c 2 n x n d 21 u 1 d 22 u 2 d 2 r u r y m c m 1 x 1 c m 2 x 2 c mn x n d m 1 u 1 d m 2 u 2 d mr u r
或
x ( t ) x 1 ( t ), x 2 ( t ), , x n ( t )
T
三、 状态空间
x xn l 以状态空间变量x 1 、2 、…、 为坐标轴所构成的n维空 间，称为状态空间。在特定时刻t，状态矢量 x (t ) 在状态空间 t x 中是一点。已知初始时刻 0 的状态 (t 0) ，就得到状态空间中 的一个初始点。随着时间的推移， ) 将在状态空间中描绘出一 x (t 条轨迹，称为状态轨线。
uc
+
R L
uc
1
+
LC
uc
1 LC
R L
u
(1-5)
(1-6)
其相应的传递函数为：
uC (s) u (s)
现代控制理论第一章-控制系统数学模型
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
y bn1z(n1) b1z b0 z b0 x1 b1x2 bn1xn
写成矩阵形式
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系 统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
0
x2
1 M
现代控制理论_第1章
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
状态空间表达式
ɺ = Ax + bu x y = cx
x1 0 x 0 2 x = ⋮ , A = ⋮ xn −1 0 xn −a0 1 0 ⋮ 0 −a1 0 1 ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 0 0 ⋮ , b = ⋮ , c = [1 0 ⋯ 0] 1 0 −an −1 b0
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
实现问题
实现问题：由描述系统输入-输出动态关系 的运动方程式或传递函数，建立系统的状态 空间表达式。 揭示系统的内部关系 讨论单输入单输出线性定常系统
ɺ = Ax + bu x y = cx + du
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
两类实现问题
di 1 Ri + L + ∫ idt = u dt C
本例子中 1. 输入和输出都已 明确； 2. 选择两个独立的 储能元件作为状 态变量； 3. 根据电路的基本 定律列出方程
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
1 y = uc = ∫ idt C
系统状态方程的建立
设状态变量为电感器电流和电容器电压，即
现代控制理论 Modern Control Theory
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
本课程主要内容
系统描述：状态空间表示法 系统分析：状态方程的解、线性系统的能 控和能观测性、稳定性分析 系统设计：状态反馈和状态观测器 最优控制：最优控制系统及其解法
现代控制理论第1章L
第1章绪论1.1 控制系统的构成控制系统的组成和运行的普遍机制是控制论的反馈控制原理。
从信息处理和控制的角度看，控制系统可以看成由施控系统和被控系统两部分组成，并运行于一定的扰动和环境中，如图1–1所示。
施控系统产生控制作用，控制被控系统的物质流、能量流、信息流和资金流在规定的条件下以期望的或最优的方式运行。
扰动图1–1 控制系统的组成施控系统和被控系统的划分应根据实际应用情况定，由所考察的重点确定。
被控系统包括单台机械或设备、生产线、生产过程、以及整个工厂和企业等，它们是接受物质流、能量流、信息流和资金流的对象，也称控制对象。
施控系统应包括传感、控制和执行三部分。
传感是获得被控系统的状态、输出和环境等方面信息的各种手段之总和，包括测量物理变量的传感器，为获得某些不能用测量仪表测量的变量的软测量技术，以及多传感器信息融合技术等。
执行是产生施控系统最终输出信息的各种手段之总和，它可能是驱动部件（如调节阀、电动机、继电器等）、信息转换和通信部件（如与下级计算机的接口）、显示、记录以及图、文、声、多媒体输出部件等。
控制则以计算机为主体，完成控制问题的求解，形成控制算法和控制策略，产生控制规律，它是控制系统的核心。
抽象化后的控制系统结构如图1–2所示。
图1–2 控制系统结构当着重研究控制策略而不关心信息的获取以及控制输出的实现时，将传感简化为求差器，将控制、执行合称控制器，如图1–3所示。
控制策略（狭义也称控制算法）是控制器的核心，是控制理论研究的重点。
图1–3 简化的控制系统1.2 控制理论发展简况在工业应用和理论研究中，控制理论的发展过程大体上可分为三个阶段：经典控制理论、现代控制理论及智能控制理论。
这种阶段性的发展过程是由简单到复杂、由量变到质变的辩证发展过程，是现代科学技术迅速发展对自动控制的程度、精度、范围及其适应能力的需求越来越高，从而推动控制理论发展的结果。
理论来源于实践，反过来指导实践，控制理论的发展过程证明了这个真理。
王金城现代控制理论第一章_习题答案
王金城化工出版社第1章习题参考答案：1-1（a ）选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()11112121dv M g K y K y y M dt---= 对2M ，有()()222123232dv M g K y y K y y M dt+---= 对3M ，有()33323433dv M g K y y K y M dt+--= 令312112233415263,,,,,dy dy dyx y x y x y x v x v x v dt dt dt=========，整理得 ()()()122214253641112334233251262322233,,,,,K K K x x x x x x x x xg M M K K K K K x K K xx x g x x x g M M M M M +====-++++=-++=-+()()()1221123222223433300010000001000000010000001100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦100000010000001000y x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（b ）选12,12,,y y v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()11121111dv M g B v v K y M dt+--= 对2M ，有()22221212dv f M g B v B v v M dt+---= 令1211223142,,,dy dyx y x y x v x v dt dt ======，整理得 11113243134111,,K B Bxx x x x x x x g M M M ===--++ ，112434222B B B f x x x g M M M +=-++所以状态空间描述为1111111122220010000001000011100K B B xx g f M M M B B B M M M ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦10000100y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-2（a ）取电感电流i 和电容电压u 为状态变量，列回路方程122c rc c c u u R (i )u u R di L u u dt u du C dt R ⎧=+++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩令12c x i,x u,y u ===()1212121212112121211r R R R R L(R R )L(R R )L(R R )xx u R C R RC(R R )C(R R )-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦1222121212r R RR R y x u R R R R R R ⎡⎤=--+⎢⎥+++⎣⎦ （b ）选择回路电流a i 和电枢角速度ω为状态变量，有aa a a ae di u R i L K dt ω=++ 力矩平衡方程：a a d J B K i ,dtωω+= 其中a K 为转矩常数 1a a e a a a a adi R K i u dt L L L ω=--+a a K d B i dt J J ωω=-- 令12a x i ,x ,ω==有10a e a aa a R K L L L xx u K B JJ -⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ， []01y x ω==1-3 （1）传递函数为3221375Y(s )U(s )s s s =+++将传递函数中的公因子提出，于是有3123211375Y(s )s U(s )s s s----=+++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图能控标准形：0100001057131x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦u []200y x =能观标准形：0052107001130x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y =x(2)传递函数为：2332132223123Y(s )s s s U(s )s s s s----++==++++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图能控标准形：010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]210y x =能观标准形：003210010120x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =（3）传递函数为：3212332123324515471547Y(s )s s s s s s U(s )s s s s s s------+++---==+++++++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图状态空间描述为：010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]514y x u =---+（4）①12121221212121b s b b s b s Y(s )U(s )s a s a a s a s ----++==++++ 状态空间描述为：1322140101xx u x a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，[]21y b b x =②22121201200111s c Z(s )c c Y(s )c s c s c s s c c ---==++++ 状态空间描述为：332144000101x x y c c x x c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ，301z x c = 两系统串联，得112122332121440001000001000100x x a a x x u x x c c b b x x c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（5）由G(z)有，y(k+3)+4y(k+2)+5y(k+1)+2y(k)=u(k)令12312x (k )y(k )x (k )y(k )x (k )y(k )=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 1230100100102541x (k )x(k )x (k )u(k )x (k )⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123100x (k )y(k )x (k )x (k )⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（6）由G(z)有，y(k+3)+6y(k+2)+11y(k+1)+6y(k)=2u(k+2)+u(k+1)+2u(k)01001001061161x(k )x(k )u(k )⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]123212x (k )y(k )x (k )x (k )⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1-4 （a ）化简系统结构图得系统状态空间描述：1234010000010024220025025x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []0100y x =(b) 化简系统结构图得系统状态空间描述：1112221323255223735353xx u ///x x u ////--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []110y x = []201y x =1-5 (1) 传递函数为21233212332322461246s s s s s G(s )s s s s s s ------++++==++++++ 能控标准形：010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]231y x =能观标准形：006210430121x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =（2）传递函数为24422431332132s s s G(s )s s s s -----+-+==++++ 能控标准形：01000001000001020301xx u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]1300y x =-能观标准形：00021100030103000100x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]0010y x = 1-6（1） 24512122123123(s )(s )G(s )(s )(s )(s )s s s ++-==++++++++状态空间描述：100102010031x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]12122y x =- （2）223533313313(s )G(s )(s )(s )s s (s )+--==+++++++ 状态空间描述：310003010011x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]333y x =-- 1-7（1）∵31I A ()()λλλ-=++ 1213,λλ=-=-∴1003A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦11111111,p Ap ,p λλ⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦，22222131,p Ap ,p λλ⎡⎤=-==⎢⎥-⎣⎦∴1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1111112P ---⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦ 11112B P B -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦∴11020312x x u 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（2）①1111I A I P AP P P P AP P (I A)P λλλλ-----=-=-=-11I A P I A P P P I A I A λλλλ---=-=-=-∴特征值不变②1111G(s )C(sI A)B CP(sI P AP )P B ----=-=- 111C P(sI P AP )P B ---⎡⎤=-⎣⎦11111C P(sI )P PP APP B C(sI A )B -----⎡⎤=-=-⎣⎦∴传递函数不变1-10证明：11G (s )c(sI A)b -=- 12G (s )c(sI A)b -=- ∵T T TA A ,b c ,c b ===∴12T T T T T T TG (s )b (sI A )c b (sI )A c -⎡⎤=-=-⎣⎦ [11T T T T T Tb (sI A )c b (sI A)c --⎤⎡⎤=-=-⎦⎣⎦11TTc(sI A )b G (s )-⎡⎤=-=⎣⎦ ∵系统为单输入单输出，11T G (s )G (S )= ∴两者传递函数相同。
现代控制理论第1章
3
《现代控制理论基础》第一章(讲义)
& x − p1 1 x & 2 0 x 0 & 3 & 0 4 x = • • • • • • & x n 0
Λ
1
x1 x 2 bn − a n bo • bn−1 − a n−1bo u + • Λ • b1 − a1bo xn
(1.5)
y = [0 0 Λ
x1 x 2 • 0 1]• + bou • x n−1 x n
该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定：
& x − p1 1 & x2 • = • • & x n 0
− p2 • • •
(1.8)
x1 x 2 • y = [c1 c2 Λ cn ] + bo u • • xn
《现代控制理论基础》第一章(讲义)
第一章 系统描述
１．１ 引言
一个复杂系统可能有多个输入和多个输出， 并且以某种方式相互关联或耦合。 为了分析 这样的系统， 必须简化其数学表达式， 转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计 算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理 论以 n 个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应 用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增 多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量 微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。 本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、 分析与设计。 本章将首先给出状态空 间方法的描述部分。 将以单输入单输出系统为例， 给出包括适用于多输入多输出或多变量系 统在内的状态空间表达式的一般形式、 线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、 对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用 MATLAB 进行各种模型之间的 相互转换。 第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。 第三章将给出几种主要的设计方法。 本章 1.1 节为控制系统状态空间分析的引言。1.2 节介绍传递函数的状态空间表达式， 并给出状态空间表达式的各种标准形。1.3 节讨论用 MATLAB 进行系统模型的转换（如从 传递函数变换为状态空间模型等） 。
（完整版）现代控制理论
（完整版）现代控制理论第⼀章线性离散系统第⼀节概述随着微电⼦技术，计算机技术和⽹络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到⼴泛的应⽤。
通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。
⼀、举例⾃动测温，控温系统图;加热⽓体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R，电桥失去平衡状态，检流计指针发⽣偏转，其偏转⾓度为)e；(t2. 检流计是个⾼灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦⼒。
当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。
连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。
实现采样的装置成为采样器。
To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样⾓频率 2．信号复现因接触时间很⼩，τo T ??τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是⼀串强度等于矩形脉冲⾯积的理想脉冲，为了去除采样本⾝带来的⾼额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。
实现⽅法：是在采样器之后串联⼀个保持器，及信号复现滤波器。
作⽤：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。
(t)r4.采样系统⼯作过程由保持器5. 采样控制⽅式采样周期To ??=≠=?相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究⽅法（或称使⽤的数字⼯具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不⽤拉式变换法，⼆采⽤z 变换⽅法，状态空间法。
第⼆节信号的采样和复现第⼀节是定性认识与分析，本节是定量研究。
⼀、采样过程从第3个图形可知，采样器输出信号）（t e *是⼀串理想的脉冲信号，k 瞬时）（t e *的脉冲强度等于此时)(T e 的幅值)(0kT e ，即)0(0T e ，)(0T e ，)2(0T e …. )(0nT e ….采样过程可以看成为⼀个幅值调制过程，采样器如同⼀个幅值调制器。
现代控制理论 第一章 绪论
控制论之父— 控制论之父 —维纳 维纳
2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实 2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实 我国著名科学家钱学森 并与1954年出版了《工程控制论》 1954年出版了 践，并与1954年出版了《工程控制论》。
钱学森
从四十年代到五十年代末，经典控制理论的 发展与应用使整个世界的科学水平出现了巨大 的飞跃，几乎在工业、农业、交通运输及国防 建设的各个领域都广泛采用了自动化控制技术。 （可以说工业革命和战争促使了经典控制理论 的发展）。
闭环与开环控制系统的比较
优点 闭环 采用了反馈， 采用了反馈，因而使系统的响 应对外部干扰和内部系统的参 数变化均相当不敏感。 数变化均相当不敏感。 控制精度高 构造简单，维护容易； 构造简单，维护容易； 成本比相应的闭环系统低； 成本比相应的闭环系统低； 不存在不稳定性问题； 不存在不稳定性问题； 当输出量难于测量， 当输出量难于测量，或者要测 量输出量在经济上不允许时， 量输出量在经济上不允许时， 采用开环比较合适（ 采用开环比较合适（比如洗衣 机）。 扰动和标定尺度的变化 将引起误差， 将引起误差，从而使系统 的输出量偏离希望的数值； 的输出量偏离希望的数值； 精度通常较低， 精度通常较低，无自动 纠偏能力。 纠偏能力。 缺点 存在稳定、振荡、超调等问题； 存在稳定、振荡、超调等问题； 系统性能分析和设计较麻烦。 系统性能分析和设计较麻烦。
1.5控制理论中的一些术语
（6）反馈控制 ） 是这样一种控制，它能够在存在扰动的情况下， 是这样一种控制，它能够在存在扰动的情况下，力图 减少系统的输出量与某种参考输入量之间的偏差， 减少系统的输出量与某种参考输入量之间的偏差，且 其工作原理是基于这种偏差。 其工作原理是基于这种偏差。 这里的扰动是指不可预测的扰动。 这里的扰动是指不可预测的扰动。对于可预测或已知 的扰动，总是可以在系统内部加以补偿。 的扰动，总是可以在系统内部加以补偿。
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由于在大多数情形下，数学模型并不完全真实反 映对象的行为，故基于模型的设计可能仍不能应用于 实际系统，以上三个步骤可能会反复地进行——这种 矛盾还导致了上个世纪80年代以来的鲁棒控制器 （Robust Controller) 设计问题，以及更早的如自适应控制 等的提出。 可以说，模型与真实系统的这种不一致导致了许 多控制理论分支的发展，如自适应控制、H-infinity 鲁棒控制方法、智能控制方法等等。
课程的目的与地位
本课程是自动化学院控制学科的专业基础课。 通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的 一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一 步学习其它控制理论奠定坚实的基础。 本课程理论性强，用到较多的数学工具，因此 本课程对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学 生运用数学知识来处理控制问题的能力起到重要的 作用。
五十年代后期，多变量、时变系统在航空航天、 过程控制、计量经济学等的应用中已经变得日益重 要，特别是航空航天控制中对时变系统以及相关的 时域分析的研究，促使以美国科学家Bellman和 Kalman为代表的研究人员对有限维线性系统的状态 空间描述方法进行了深入的研究，导致了可控性、
可观测性等概念的提出。此后，又进一步在极点配 置、二次型调节器设计、状态观测器和估计器、等 价系统、解耦、实现等方面先后取得了进展。 1968年左右，人们发现这一领域的工作没有协 调起来，很零散，一些重要的问题被忽视，于是要 求对线性系统各方面工作进行统一处理。这就形成 了“线性系统”这门学科。此后，线性系统理论不 断得到发展，成为系统科学的基础。它的方法、概 念体系己为许多学科领域所运用，是控制理论、网 络理论、通讯理论以及一般系统理论的基础。现在， 线性系统已成为任何与系统有关学科研究生和本科 生所必修的课程。
进入70年代以后，深入的工程实践凸显出了基于 模型的线性系统的局限性，即系统缺乏对参数不确定 性、干扰及未建模动态等的鲁棒性。众多的科学工作 者在这个领域进行了长时间、艰苦的研究，到80年代 初，在若干领域取得了一系列激动人心的突破，最典 型的是加拿大学者 提出的H-infinity鲁棒控制理论，以 及以前苏联数学家以微分方程为基础发展起来的区间 系统理论。这些都极大丰富了人们对线性系统的认识。 回顾线性系统几十年的发展历程可以看到，它的 每一个 进步几乎都 反映了航 空航天等尖端技术 对控 制的 更高 要求， “它 是 那样的基本和 如此的深刻， 所以毫无疑问，在今后一个可以预见的长时间内，线 性系统仍将是人们继续研究的对象。
主要参考资料：
段广仁.线性系统理论[M].哈尔滨工业大学出版社，2004. 陆军，王晓陵.线性系统理论 [M].哈尔滨工程大学出版社. 2006. 胡寿松.自动控制原理(第五版) [M].科学出版社，普通高 等教育“十一五”国家级规划教材. 2007. 李友善.自动控制原理(第三版) [M].国防工业出版社， 2008.
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尽管这个物理系统可能非常复杂，但通过若干典型响 应的分析却可以猜测，系统或许可以近似地用一个惯 性环节来描述。 若系统的响应不满足要求，传统的设计方法是根 据 经验调整系统参数或者增加补偿器和反馈， 即试 凑方法——这种方法过去和现在都有许多成功的例子， 是广大工程技术人员所常用的方法。 但是，若被控对象很复杂，控制精度要求很高， 则传统的设计方法往往不能得到满意的效果。此时就 需要用到现代控制理论中所提供的方法——这种方法 由于计算机的出现以及航空航天工业的发展在上个世 纪50年代后得到了极大的发展。其主要步骤是：
五、线性系统学习中应注意的几个问题
1. 注意与矩阵论的学习相结合；
2. 学习中注意与经典控制论相结合，特别要注意与 经典控制论中的不同之处和相同之处； 3. 要充分认识到本课程在后续各门课程学习中的基 础地位。
经典控制理论 a.特点 研究对象：单输入、单输出线性定常系统。 解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。 非线性系统：相平面法和描述函数法。 数学工具：常微分方程、差分方程、拉氏变换、 Z变换。 b.局限性 不能应用于时变系统、多变量系统。 不能揭示系统更为深刻的内部特性。
现代控制理论 a.特点 研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、 定常或时变、连续或离散系统。 解决方法：状态空间法（时域方法）。 数学工具：线性代数、微分方程组、矩阵理论。 b.主要标志 1958年，R.E.Kalman采用状态空间法分析系统，提 出能控性、能观测性、Kalman滤波理论 1961年，庞特里亚金极大值原理。 1965年，R.Bellman提出了最优控制的动态规划方法。
课程考核方式
闭卷考试，其中卷面成绩占总成绩的100%，无平 时成绩。
第一章 绪 论
一、系统研究的方法
传统的系统研究方法基于经验。考虑一个例子： 给定一个物理系统（电子或机械的等等）：
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yc
我们假定对系统的内部结构一无所知。为了描述这 个系统的行为，可以在系统的输入端施以一系列典 型信号，并观察其响应，例如：
二、线性系统及其研究的对象
一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可 以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是 由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的， 它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的 本质。因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型 系统，不是物理系统。 控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最 优控制，鲁棒控制，自适应控制等。但可以毫不夸张 地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支 的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
三、研究线性系统的基本工具
研究有限维线性系统的基本工具是线性代数 或矩阵论。 用线性代数的基本理论来处理系统与控制理 论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到 理论上深刻的结果。
四、线性系统研究的历史回顾
从上个世纪三十年代以来，人们就对线性系统 进行了广泛的研究，起初主要是频域方法；而且， 几乎所有的工作都是针对单输入单输出系统的。这 种经典的控制方法一旦推广到多输入多输出系统立 即显现出一系列重大缺陷，所设计出的系统甚至不 能保证系统的稳定性。
1. 建立描述物理系统状态的数学模型。这可以通过 物理定律和数学方程等来得到。一般由微分方程、 偏微分方程或代数方程等构成。 2. 基于模型的系统分析。系统分析一般包括两个方 面：定性分析和定量分析。定性分析主要是指系统 的稳定性、可控性、可观测性等等；定量分析则要 求借助于数字计算机和模拟计算机准确计算出系统 在实际信号作用下的响应。 3. 系统设计。若系统不能满足给定的性能指标，则 需要通过设计控制器或改变控制律等来改善。一般 说来，系统控制器的设计是一个复杂的问题。
课程主要章节的计划学时分配
第一章 绪论 2学时
第二章 线性系统的状态空间描述
第三章 线性系统的运动分析
8学时
4学时
第四章 线性系统的可控性、可观测性
第五章 系统稳定性分析 第六章 线性反馈系统的时间域综合
8学时
8学时 10学时
根据实际情况，各章用学时会稍微有所调整。
教材：
郑大钟.线性系统理论[M].清华大学出版社，2002