专题训练(四) 数式规律探究问题的四种类型
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
撷英篇初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析李春月（甘肃省武威市天祝县第二中学，甘肃武威）摘要：初中数学重要组成部分就是规律探究类的题目。
学生学习规律探究类的题目可以增强自身思维的灵敏性，对于智力的提高和思维意识的发散有重要的意义。
规律探究类的提问也是历年来中考考查的重点问题。
因此加强对此类问题的研究和分析是非常有必要的。
主要对初中数学规律探究问题中几个重点题型和解题技巧进行分析。
关键词：初中数学；规律探究；题型；解题方法新人教版初中数学中规律探究类的题目是考查学生的重点问题。
通常情况下，解决规律探究题的关键是让学生根据已知条件，如有规律的图表、算式等，进行观察、分析、总结，最后得出需要的答案[1]。
此类问题需要学生勇于大胆地推测和想象。
在历年来的中考数学试卷中，规律探究类问题占有较大的分值。
下面是笔者根据多年教学经验归纳总结的几个重点题型。
内容如下。
一、类型一：数字排列探究类题型例1：某数阵按照梯形规律依次增加的方式进行排列，如第一行为1，第二行为234，第三行为56789，第四行为10111213141516，第五行为17181920 2122232425…根据数阵的规律，完成以下问题。
（1）第8行最后一个数字是多少？该数字是哪个自然数的平方？第8行一共有几个数？（2）怎样用n的代数式表示第n行的第一个数是多少？最后一个数是多少？第n行共有多少个数？（3）怎样计算第n 行各数之和？解题技巧：通过对以上数字排列的规律进行分析，发现每行数的个数是1、3、5、7…都是奇数列，第n行最后一个数为n2，每行所含有的数字个数为（2n-1），每行第一个数为（n-1）2+1，因此计算得出第8行最后一个数字为64，为自然数8的平方，第8行共有15个数。
根据以上的规律不分析可以推算出第n行各数之和采用n表示为（n-1）2+1+n22（2n-1）=（n2-n+1）（2n-1）。
二、类型二：数字规律探究类题型例2：观察下列各式数：0，3，8，15，24，…根据数字存在的规律，计算第100个数是多少？解题技巧：数字规律类的问题可以采用列序列号的方法找规律。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析数学规律探究是初中数学中的重要内容，它能够帮助学生更好地理解数学知识，提高数学思维能力和解题能力。
在数学规律探究中，问题的类型和解题技巧对于学生的学习非常重要。
本文将对初中数学规律探究问题的类型及解题技巧进行详细分析。
一、问题的类型1. 数列规律问题数列规律问题是指给出一个数列，要求学生按照一定的规律计算出下一个数或者找出规律并求出第n项。
这类问题需要学生熟悉各种数列的特点及规律，能够灵活运用等差数列、等比数列等知识，且需要在解题过程中发现规律，掌握归纳思维的方法。
几何规律问题是指在图形中出现一定的规律，学生要求找出规律并利用规律解决问题。
这类问题需要学生熟悉几何图形的属性及性质，在解题过程中需要运用几何推理和证明的方法。
3. 数学化问题数学化问题是指一些日常生活中难以直接用数学方法解决的问题，需要学生将这些问题数学化，通过分析和求解数学模型得到答案。
这类问题需要学生具备一定的数学建模能力和实际问题解决能力，需要运用代数、函数等数学工具。
统计规律问题是指在一定的数据或样本中，出现某些规律或者需要通过数据分析得到结论。
这类问题需要学生掌握各种统计方法和数据分析能力，能够在解题过程中运用平均数、中位数、众数等统计概念。
二、解题技巧1. 观察性能力解决规律性问题首先需要学生良好的观察能力，能够从数据中发现规律，捕捉事物的本质特征，从而归纳总结出规律规则。
2. 用词准确解决规律性问题需要学生清晰准确地描述规律，学生需要用精准的数学语言描述规律的特点和具体过程。
3. 思维灵活解决规律性问题需要学生具备灵活的思维能力，能够将问题从不同的角度看待，想到不同的解法和思路。
4. 阅读理解能力解决规律性问题需要学生具备良好的阅读理解能力，能够准确读懂题意，在解题过程中准确把握问题的关键点。
5. 归纳思维综上所述，规律性问题是初中数学教学中的重要内容。
在解题过程中需要学生具备较强的观察性能力、数学语言描述能力、灵活的思维能力、阅读理解能力和归纳思维能力等技能。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是指通过观察数列、图形或数据等，在一定的规则下寻找并探究其中的规律性的问题。
这种问题在初中数学中占有很重要的地位，有助于学生培养数学思维能力、观察力和逻辑推理能力。
初中数学规律探究问题的类型可以分为数列规律、图形规律和数据规律三类。
一、数列规律问题：数列规律问题是最常见的一类规律探究问题。
通过观察数列中的数字间的关系，找出数列中的规律，并根据规律继续发展数列的下一项。
解题技巧：1. 观察数列中的数字之间的差值或倍数关系，找出数列的通项公式。
1, 3, 5, 7, ...这个数列中，每项相差2，可推测通项公式为2n-1。
2. 观察数列中的数字之间的乘积关系，找出数列的通项公式。
2, 6, 18, 54, ...这个数列中，每项之间都是前一项乘以3，可推测通项公式为2*3^n-1。
3. 观察数列中的数字之间的其他关系，如开方、乘方、递推等。
1, 2, 4, 8, ...这个数列中，每项都是前一项乘以2，可推测通项公式为2^n。
二、图形规律问题：图形规律问题是通过观察一系列图形的形状、数量、位置等特征，找出其中的规律，并根据规律继续绘制下一个图形。
解题技巧：1. 观察图形中的线段、角度、对称性等几何特征，找出图形的规律。
菱形图形的内角和都是360度，可用来判断菱形的特征。
2. 观察图形之间的变形关系，如旋转、平移、翻转等。
向上平移一次得到下一个图形，可用来判断图形的规律。
3. 观察图形中的数字和符号之间的关系，如大小、顺序、重复等。
图形中重复出现的数字可能有特殊的含义，可以利用这些数字来推测规律。
解题技巧：1. 观察数据之间的数值关系，如加减、乘除、指数等。
一组数据之间的差值相等，可用来推测规律。
2. 观察数据之间的变化趋势，如递增、递减、周期性等。
一组数据呈现递增或递减的趋势，可用来推测规律。
3. 观察数据之间的比例关系，如比值、百分比、占比等。
专题训练(四) 探索规律的四种类型
专题训练(四) 探索规律的四种类型►类型一探索数字的变化规律探索数字的排列规律，关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题．数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数(设为某个字母)作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用含所设字母的式子表示出来，从而解决相关问题．1．已知一组数据，请写出第5个数，并用式子表示第n个数．(1)1，2，3，4，________，…，________；(2)2，4，6，8，________，…，________；(3)3，5，7，9，________，…，________；(4)1，4，9，16，________，…，________．2．观察图4－ZT－1中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2019应标在()图4－ZT－1A．第504个正方形的左下角B．第505个正方形的左上角C．第504个正方形的右下角D．第505个正方形的右上角3．如图4－ZT－2，在2019年8月份的月历表上，任意圈出一个正方形，则下列等式中错误的是()图4－ZT－2A．a＋d＝b＋c B．a－c＝b－dC．a－b＝c－d D．d－a＝c－b4．将正整数依次按下表所示的规律排成4列，根据表中的排列规律，数2019应在()A.第672行第2列B．第672行第3列C．第673行第2列D．第673行第3列►类型二探索单项式的变化规律单项式的变化规律由系数、字母以及字母的指数确定，探索一组单项式的规律，其中字母通常是固定不变的，因此需要探索的是系数和字母的指数的变化规律，这可以转化为探索有理数的变化规律．系数的符号正、负或负、正交替出现时，其规律用式子(－1)n＋1或(－1)n 表示．5．观察下面的一列单项式：－x，2x2，－4x3，8x4，－16x5，…，根据其中的规律，得出第10个单项式是()A ．－29x 10B ．29x 10C ．－29x 9D ．29x 96．观察下列各式：0，x ，x 2，2x 3，3x 4，5x 5，8x 6，…，按此规律写出的第10个式子是________．7．一组按照规律排列的式子：x ，x 34，x 59，x 716，x 925，…，其中第8个式子是________，第n 个式子是________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．8．有下列单项式：－x ，2x 2，－3x 3，4x 4，…，－19x 19，20x 20，…. (1)你能发现它们的排列规律吗？(2)根据你发现的规律，写出第2018，2019个单项式．►类型三探索图形的变化规律探索图形的变化规律有两种方法：一是从形着手，即比较前后图形的异同，找出由前一个图形到后一个图形的变化方式，从而确定图形的变化规律；二是从数着手，即分别计算出前面几个特殊图形的相关数据，然后探索这些数据的变化规律．9．用棋子摆出如图4－ZT－3所示的一组图形：()图4－ZT－3A．3n B．6nC．3n＋6 D．3n＋310．2018·遵义每一层三角形的个数与层数的关系如图4－ZT－4所示，则第2018层的三角形个数为________．图4－ZT－411．观察如图4－ZT－5所示的“蜂窝图”：则第n(n是正整数)个图案中“”的个数是________．(用含n的式子表示)图4－ZT－512．如图4－ZT－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n(n是正整数)个图案中有________个涂有阴影的小正方形．(用含n的式子表示)图4－ZT－613．观察下列砌钢管的横截面(如图4－ZT－7)，则第n(n是正整数)个图中的钢管数是__________．(用含n的式子表示)图4－ZT－714．将一些半径相同的小圆按图4－ZT－8所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆……依此规律，第n(n是正整数)个图形中有__________个小圆．(用含n的式子表示)图4－ZT－8►类型四探索等式的变化规律探索等式的变化规律时，要注意观察等式两边数据的个数，分析各数据间的数量关系，然后用字母表示这组等式．注意：当字母在指定的范围内取最小值时，所得等式要恰好是第1个等式．15．已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，….根据以上等式，猜想：对于正整数n(n≥4)，1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝________．16．已知2＋23＝22×23；3＋38＝32×38； 4＋415＝42×415；… 若10＋a b ＝102×ab (a ，b 为正整数)，则a ＋b ＝________．17．观察下列等式： 第一行：3＝4－1； 第二行：5＝9－4； 第三行：7＝16－9；第四行：9＝25－16； … …按照上述规律，第n 行的等式为_______________________．18．观察下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，… (1)说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系； (2)利用上述规律写出第n 个等式(n 为正整数)．教师详解详析1．(1)5 n (2)10 2n (3)11 2n ＋1 (4)25 n 22．[解析] B 每个正方形上有4个数字，且4个数字从右下角开始逆时针由小到大排列，2019÷4＝504……3，则2019应标在第505个正方形的左上角的位置．3．D4．[解析] D 奇数行3个数依次递增，偶数行3个数依次递减，先确定2019在第几行，再确定它在第几列．因为2019÷3＝673，所以数2019排在第673行第3列．故选D.5．B6．[答案] 34x 9[解析] 从第二项起，字母的指数是连续的正整数；从第三项起，每一项的系数是它前面两项系数的和．所以第8，9，10项分别是13x 7，21x 8，34x 9.7．[答案] x 1564 x2n －1n 2[解析] 根据分子的底数都是x ，而指数是从1开始的奇数；分母是底数从1开始的自然数的平方．因此第8个式子是x 2×8－182＝x 1564，第n 个式子是x 2n －1n 2.故答案为x 1564，x2n －1n2. 8．解：(1)根据给出的单项式，得它们的排列规律为：每个单项式的系数的绝对值与x 的指数相等，都等于自身序号数；奇数项系数为负，偶数项系数为正，所以第n 项为(－1)n nx n .(2)第2018，2019个单项式分别为2018x 2018，－2019x 2019.9．[解析] D 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上如何变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．因为第①个图形中棋子的个数为3＋3＝6；第②个图形中棋子的个数为3×2＋3＝9；第③个图形中棋子的个数为3×3＋3＝12；…所以第○n个图形中棋子的个数为3n＋3.故选D.10．[答案] 4035[解析] 由图可得，第1层的三角形个数为1，第2层的三角形个数为3，第3层的三角形个数为5，第4层的三角形个数为7，第5层的三角形个数为9，……第n层的三角形个数为2n－1，所以当n＝2018时，三角形的个数为2×2018－1＝4035.故答案为4035.11．[答案] 3n＋1[解析] 根据题意可知：第1个图案中有4个“”，第2个图案中有7个“”，第3个图案中有10个“，第4个图案中有13个“”，由此可得出后一个图案都比前一个图案多3个“，所以第n个图案中“”的个数为4＋3(n－1)＝3n＋1.故答案为3n＋1.12．[答案] (4n＋1)[解析] 第1个图中有5个阴影小正方形，从第2个图起，每个图中的阴影小正方形个数都比前一个图中多4个，所以第n个图中阴影小正方形的个数＝5＋4(n－1)＝4n＋1.13．[答案] 32n(n＋1)[解析] 第1个图中钢管数为1＋2＝3，第2个图中钢管数为2＋3＋4＝12×(2＋4)×3＝9，第3个图中钢管数为3＋4＋5＋6＝12×(3＋6)×4＝18，第4个图中钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝12×(4＋8)×5＝30，…依此类推，第n 个图中钢管数为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋(n ＋4)＋2n ＝12(n ＋2n)(n ＋1)＝32n(n ＋1)．14．[答案] (n 2＋n ＋4)[解析] 由题意可知第1个图形中有小圆4＋1×2＝6(个)；第2个图形中有小圆4＋2×3＝10(个)；第3个图形中有小圆4＋3×4＝16(个)；第4个图形中有小圆4＋4×5＝24(个)；第5个图形中有小圆4＋5×6＝34(个)；第6个图形中有小圆4＋6×7＝46(个)……第n 个图形中有小圆[4＋n(n ＋1)]＝(n 2＋n ＋4)个．15．[答案] n 2[解析] 观察发现：等式右边是等式序号数的平方． 16．[答案] 109[解析] 仔细观察式子特点可知：3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，故a ＝10时，b ＝102－1＝99，则a ＋b ＝10＋99＝109.17．2n ＋1＝(n ＋1)2－n 218．解：(1)等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． (2)13＋23＋33＋…＋n 3＝[n （n ＋1）2]2.。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题广泛存在于各种数学题型中，包括数列、几何、方程等多个方面。
解决这类问题需要灵活运用数学知识和思维方法，下面将就规律探究问题的类型及解题技巧进行分析。
（一）数列型规律探究问题1. 根据已知的数列前几项，找出数列的通项公式。
首先观察数列的前几项，如果发现相邻两项之间的差或比具有规律性，那么可以尝试构建通项公式。
对于等差数列，可以通过计算相邻两项的差值来确定数列的公差，从而得到通项公式。
同理，对于等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来确定数列的公比，从而得到通项公式。
2. 根据数列的规律，推断数列中某一位置上的数值。
有时候，问题并没有直接给出数列的前几项，而是给出了数列的规律，并要求求解数列中某一位置上的数值。
这时候，可以根据已知的规律，通过迭代或递推的方式来推断数列中任意位置上的数值。
1. 根据已知的图形形状，找出图形的特点。
有时问题给出了一个图形，需要根据图形的特点找到规律。
这时可以通过观察图形的边数、角度等特征来确定规律。
正多边形的内部角度和是固定的，可以根据这个规律，计算某个正多边形的内部角度和。
2. 根据图形的特点，求解未知的参数。
有时问题给出了一个图形的部分信息，需要求解图形的某些未知参数。
问题给出了一个三角形的三个角度，需要求解这个三角形的形状。
根据三角形的内角和等于180°的性质，可以得到这个三角形的剩余角度，从而确定三角形的形状。
1. 根据已知的关系式，建立方程解决问题。
有时问题给出了一个数学关系，需要找到满足这个关系的解。
问题可能给出了两个数的和或差，需要求解这两个数。
可以通过设一元方程，利用方程的解来求解这个问题。
在解决规律探究问题时，可以运用以下一些技巧：1. 观察法：通过观察题目给出的信息或图形，找出规律，再推测未知的信息或图形。
2. 假设法：根据已知条件进行一些假设，然后进行推理、计算，最后验证假设的结果是否符合题目要求。
中考数学专题复习探索规律问题
专题探索规律问题解读考点考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较,从而发现题中蕴涵的数量关系,通过猜想,再通过计算解决问题．例1一列数：0,-1,3,-6,10,-15,21,……,按此规律第n个数为归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例2有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= 用含字母x和n的代数式表示．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式描述其中的规律,要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点,要注意数形结合．例3如图,是由一些点组成的图形,按此规律,在第n个图形中,点的个数为．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应关系,数形结合总结出图形的变化规律,进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形,发现图形的变化方式,用好数形结合思想解决问题．例4如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+；……,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止．则AP2014= ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律,解答此类问题时,要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有发生变化,从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律,明确发生变化的与没有发生变化的量,从而逐步发现规律．例5如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,……,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1,P2,P3,P4,……Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,……,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,……,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,……,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,……,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．2年中考2015年题组1．2015绵阳将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=A．14 B．15 C．16 D．17考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．2015十堰如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍,并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形的个数是A．222 B．280 C．286 D．2923．2015荆州把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现有等式Am=i,j表示正奇数m 是第i组第j个数从左往右数,如A7=2,3,则A2015=A．31,50 B．32,47 C．33,46 D．34,424．2015包头观察下列各数：1,43,97,1615,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为A．2531 B．3635 C．47 D．6263考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．2015重庆市下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为A．21 B．24 C．27 D．306．2015泰安下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为A．135 B．170 C．209 D．252考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．2015重庆市下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图①中有2个黑色正方形,图②中有5个黑色正方形,图③中有8个黑色正方形,图④中有11个黑色正方形,…,依次规律,图⑩中黑色正方形的个数是A．32 B．29 C．28 D．26考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．2015崇左下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有A．160 B．161 C．162 D．1639．2015贺州观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是A．0 B．3 C．4 D．8考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．2015宜宾如图,以点O为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,…,第19个圆和第20个圆形成的所有圆环,则阴影部分的面积为A ．231π B．210π C．190π D．171π11．2015鄂州在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y 轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是A ．201421）（B ．201521）（C ．201533）（D ．201433）（答案D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．2015庆阳在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1n 是正整数的顶点A2n+1的坐标是A ．4n ﹣3．2n ﹣3．3 D ．313．2015宁德如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x 轴上,点B1,B2,B3…都在直线y x 上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是A ．20142,20142B ．20152,20152C ．20142,20152D ．20152,20142考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．2015河南省如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π个单位长度,则第2015秒时,点P 的坐标是A ．2014,0B ．2015,﹣1C ．2015,1D ．2016,0考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．2015张家界任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和,如：5323+=,119733++=,1917151343+++=,…按此规律,若3m 分裂后其中有一个奇数是2015,则m 的值是A ．46B ．45C ．44D ．4316．2015邵阳如图,在矩形ABCD 中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是A ．2015π B．π C ．3018π D．3024π17．2015威海如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．2015日照观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是A ．36B ．45C ．55D ．66考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．2015宁波如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠,使点A 落在DE 边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015,到BC 的距离记为h2015．若h1=1,则h2015的值为A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换折叠问题；4．规律型；5．综合题．20．2015常州数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个着名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式,你发现的规律是 请用文字语言表达．21．2015淮安将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行,第b 列,则a+b= ．22．2015雅安若1m ,2m ,…,2015m 是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若122015...m m m +++=1525,222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=,则1m ,2m ,…,2015m 中为2的个数是 ．23．2015桂林如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,…,按此规律,第n 行有 个点．24．2015梧州如图是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去,则第⑥个图由 个圆组成．25．2015百色观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 用含n 的式子表示26．2015北海如图,直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点,将线段OA 分成n等份,分点分别为P1,P2,P3,…,Pn﹣1,过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1,T2,T3,…,Tn ﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn ﹣1分别表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积,则当n=2015时,S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．2015南宁如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是 ．28．2015常德取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1,即：,如果自然数m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为 ．29．2015株洲“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为12b S a =+-,孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积,a 和b 中有一个表示多边形边上含顶点的整点个数,另一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特殊的多边形如图1进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,并运用这个公式求得图2中多边形的面积是 ．30．2015内江填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．2猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= 其中n 为正整数,且2n ≥．3利用2猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 31．2015南平定义：底与腰的比是51-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图,已知△ABC 中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC 交AC 于A1．AB=AA1A C；122探究：△ABC是否为黄金等腰三角形请说明理由；提示：此处不妨设AC=13应用：已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB 交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An．n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．33．2015重庆市如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”．1请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除并说明理由；2已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x1≤x≤4,x为自然数,十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．2014年题组1．2014年南平中考如图,将1,若规定a,b表示第a排第b列的数,则8,2与2014,2014表示的两个数的积是A．B．C． D．12．2014年株洲中考在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是A．66,34 B．67,33 C．100,33 D．99,343．2014年宜宾中考如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,……An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是A．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．2014年崇左中考如图,在平面直角坐标系中,A1,1,B﹣1,1,C﹣1,﹣2,D1,﹣2．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是A．﹣1,0 B．1,﹣2 C．1,1 D．﹣1,﹣15．2014年百色中考观察以下等式：32﹣12=8,52﹣12=24,72﹣12=48,92﹣12=80,……由以上规律可以得出第n个等式为．6．2014年衡阳中考 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点0M 的坐标为()10，,将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点1M ,使得100M M OM ⊥,得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点2M ,使得211M M OM ⊥,得到线段2OM ；如此下去,得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律,请直接写出线段2014OM 的长度为 ．答案2014．7．2014年抚顺中考如图,已知CO1是△ABC 的中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3,……,如此继续,可以依次得到点O4,O5,……,On 和点E4,E5,……,En ．则OnEn= AC ．用含n 的代数式表示考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．2014年资阳中考如图,以O0,0、A2,0为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3,……,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是9．2014年宜宾中考在平面直角坐标系中,若点Px,y 的坐标x 、y 均为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4．1求出图中格点四边形DEFG 对应的S,N,L 的值．2已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中a,b为常数,若某格点多边形对应的N=82,L=38,求S的值．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．2014年凉山中考实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n,可以发现．2×1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n+n+n﹣1+n﹣2+……3+2+1把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于nn+1,于是得到1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=12nn+1这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12nn+1下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12nn+1整理这个方程,得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：1三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．2如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．1年模拟1．2015届山东省济南市平阴县中考二模在平面直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P-y+1,x+1叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…．例如：点A1的坐标为3,1,则点A2的坐标为0,4,…；若点A1的坐标为a,b,则点A2015的坐标为A．-b+1,a+1 B．-a,-b+2 C．b-1,-a+1 D．a,b2．2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图 A2多出“树枝”A．32 B．56 C．60 D．643．2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．2015届广东省深圳市龙华新区中考二模如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1,过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2,过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…,以此类推,则△AnBnBn-1的面积为A ．112n -B ．12nC ．114n -D ．14n5．2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO 在y 轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=33x 上,则A2015的坐标是 ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．6．2015届北京市平谷区中考二模在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为()1,0,()0,1,()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．…照此规律重复下去．则点P3的坐标为 ；点Pn 在y 轴上,则点Pn 的坐标为 ．7．2015届北京市门头沟区中考二模在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 如图放置,动点P 从0,3出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第6次碰到矩形的边时,点P 的坐标为 ；当点P 第2015次碰到矩形的边时,点P 的坐标为____________．答案7,4, 0,3 ,1,4．8．2015届安徽省安庆市中考二模一组按规律排列的式子：,,,,…则第n 个式子是 n为正整数．9．2015届山东省威海市乳山市中考一模在直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P′y+1,-x+1叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2,点A2的影子点为A3,点A3的影子点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为a,b,对于任意的正整数n,点An均在y轴的右侧,则a,b应满足的条件是．10．2015届山东省日照市中考模拟如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A1,3,A12,3,A24,3,A38,3,B2,0,B14,0,B28,0,B316,0．1观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是．2若按1题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推出Bn的坐标是．11．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8,则第n个菱形的周长为．12．2015届湖北省黄石市6月中考模拟如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．13．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试若a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数是111(1)2=--．已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推．1分别求出a2,a3,a4的值；2求a1+a2+a3+…+a2160的值．。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一类需要通过观察、归纳、推理等方法来找出数学规律的问题。
这类问题通常涉及数字序列、图形变换、等式变形等方面，要求学生在探究规律的过程中培养逻辑思维能力和数学思维方式，提高解决问题的能力。
一、数字序列类问题数字序列类问题是初中数学中最常见的规律探究问题。
这类问题通常要求学生根据给定的数字序列找出其中的规律，并推算出下一个数字或几个数字。
解决这类问题的关键是观察敏锐和逻辑推理能力。
具体的解题技巧如下：1.观察数字序列中的差值：有些数字序列是等差数列，差值相等；有些数字序列是等比数列，比值相等；有些数字序列可能是其他规律，需要用其他方法来找出。
2.找出数字序列中的特殊数字：有些数字序列中会有特殊的数字，比如首项为1的斐波那契数列，第三个数字开始，每个数字是前两个数字之和。
3.归纳误差法：当已知前几个数字后无法确定规律时，可以假设一个规律并进行验证，找出规律的特点和一般性质，再用这个规律来验证后续数字。
二、图形变换类问题图形变换类问题通常涉及图形的旋转、翻转、平移、缩放等操作，要求学生根据给定的图形或一系列图形的变换找出其中的规律。
解决这类问题的关键是观察图形的形状和位置的变化，利用几何知识进行分析。
具体的解题技巧如下：1.观察图形的对称性：有些图形在某种变换后会保持对称，比如旋转180度后还是原来的图形。
2.观察图形的放大缩小关系：有些图形在变换后会变成原来的图形的倍数，比如放大或缩小一定的倍数。
3.观察图形的平移关系：有些图形在变换后会平移一定的距离，比如向左或向右平移一定的格数。
三、等式变形类问题等式变形类问题通常要求学生通过等式的变形推导出另一个等式，并验证等式的等价性。
解决这类问题的关键是掌握等式变形的基本方法和技巧。
具体的解题技巧如下：1.使用性质和定理：根据等式的性质和定理进行变形，如分配律、合并同类项等；2.开展移项、约去等操作：通过移动变量的位置、约去相同因式等操作推导出新的等式；3.代入数值验证等式的等价性：可以代入一些具体的数值来验证等式是否成立。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是指通过分析数列、图形或公式等数学对象的特点，寻找其中隐藏的规律并加以运用来解决问题的一类问题。
这类问题需要学生具备分析能力、抽象能力、推理能力等多方面的综合能力。
初中数学规律探究问题的类型较为多样，常见的有以下几类：1. 数列问题：通过观察数列中的数字之间的规律，找出数列的通项公式或下一个数字，进而解决问题。
已知数列1、2、4、7、11、16的通项公式是多少？解题技巧：观察数列中相邻数字之间的差或比例是否存在固定规律，如果存在，可通过运算找出通项公式；如果不存在，则考虑是否可以构造新的数列来寻找规律。
2. 图形问题：通过观察图形中的形状、边长、角度等特点，找出图形的规律并解决问题。
已知一个正方形从第一阶到第四阶的边长依次为1、2、3、4，第十个阶的边长是多少？解题技巧：观察图形中相邻部分之间的关系，寻找存在的等差、等比、对称等规律；如果能够构造新的图形来辅助分析，更容易找出规律。
3. 公式问题：通过观察公式中的变量、系数等特点，推测出公式的规律并解决问题。
已知一个等差数列的公差是d，前n项的和为Sn，求第n项的值。
1. 观察法：通过观察数列、图形或公式等数学对象的特点，寻找其中存在的规律。
2. 归纳法：通过观察到的规律，总结规律的表达式或公式。
3. 推理法：通过观察到的规律，根据数学常识进行推理和证明。
4. 验证法：通过代入具体数值，验证所得的规律是否成立。
5. 构造法：通过构造新的数列、图形或公式等，辅助分析和解题。
除了以上解题技巧外，良好的数学基础知识和逻辑思维能力也是解决规律探究问题的重要因素。
平时要加强基础知识的学习，培养逻辑思维能力，多进行思维训练和思维导图的绘制，提高解决问题的能力。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析数学是一门理性思维和逻辑推理的学科，而规律探究则是数学学习中的重要一环。
在初中数学教学中，规律探究问题的类型多种多样，解题技巧也有一定的规律可循。
本文将就初中数学规律探究问题的类型及解题技巧进行分析，希望能够对初中生们的数学学习有所帮助。
一、规律探究问题的类型1. 数列问题数列是规律探究问题中常见的类型，通常以一定的形式给出一组数，要求学生找出其中的规律并继续衍生下去。
例如：1, 2, 4, 8, 16, ...学生需要观察这组数，发现每个数都是前一个数乘以2得到的，于是可以推测出下一个数为32。
这种问题要求学生有一定的观察力和逻辑推理能力。
2. 几何图形问题△, △△, △△△, ...学生需要观察这些图形，发现每个图形都是在上一个图形的基础上增加了一个△，因此可以预测下一个图形为△△△△。
3. 方程式问题1+3=4, 2+5=7, 3+7=10, ...学生需要观察这些等式，发现每个等式的结果都是前两个数的和，因此可以总结出通用的表达式：第n个等式的结果为n+(n-1)。
二、解题技巧分析1. 观察数据特征在解决规律探究问题时，首先要求学生观察给出的数据，发现其中的特征和规律。
这需要一定的观察力和逻辑推理能力。
学生可以通过列出数据表格、绘制图形等方式来帮助自己更好地观察数据特征。
2. 归纳规律一旦观察到数据的特征和规律，接下来就需要学生归纳出这些规律，并尝试总结出一般性的结论。
这需要学生拥有一定的逻辑思维和抽象思维能力，能够将具体的案例推广到一般的情况下。
3. 验证规律在归纳规律之后，学生需要对所得的规律进行验证。
这可以通过运用所得的规律来推测未知的数据，或者通过实际计算来检验所得的规律是否正确。
这能够帮助学生巩固所学的规律，并加深对规律的理解。
4. 培养逻辑思维和抽象思维解决规律探究问题需要学生有较强的逻辑思维和抽象思维能力。
教师在课堂教学中可以通过启发式问题、讨论互动等方式引导学生去发现规律、归纳规律，培养学生的逻辑思维和抽象思维。
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究一、引言数学是一门抽象而又具体的学科，它需要学生在学习和探索中培养逻辑思维和抽象思维能力，这其中又不可或缺的是规律探究。
规律探究问题是初中数学教学中的重要一环，不仅能够锻炼学生的思维能力，还能提高他们的解决实际问题的能力。
本文将探讨规律探究问题在初中数学教学中的类型和解题技巧，并提出一些有效的教学方法和策略。
二、规律探究问题的类型在初中数学教学中，规律探究问题的类型有很多种，下面我们就来列举一些常见的类型：1. 数列的规律探究：这是最基本的规律探究问题类型，学生需要根据给定的数列，找出规律并继续下去。
1，3，6，10，15，21, ...问下一个数是多少？2. 几何图形的规律探究：几何图形的规律探究也是一种常见的类型，比较常见的有拼图问题、几何图形面积和周长的关系、正多边形内角和外角的规律等。
4. 函数图像的规律探究：这类问题需要学生观察函数的图像，从中找出规律。
y=x^2的图像是怎样的？这些都是规律探究问题的常见类型，而在教学中我们需要根据具体情况来设计相应的解题技巧。
面对不同类型的规律探究问题，学生需要掌握不同的解题技巧。
下面我们将分别讨论不同类型规律探究问题的解题技巧。
1. 数列的规律探究：学生在解决数列的规律探究问题时，一般需要观察数列中相邻项的差值，找出它们之间的规律。
也可以观察数列中的乘积或者其他变化规律。
有时通过列出数列的前几项，找出它们之间的变化规律也是一个有效的解题技巧。
2. 几何图形的规律探究：对于拼图问题，学生需要根据图形本身的特点来进行拼图，这就需要他们对几何图形有一定的认识。
而对于面积和周长的关系、内角和外角的规律等问题，则需要学生掌握相关几何知识来解决。
3. 字母的规律探究：对于字母的规律探究问题，学生可以通过列举和找规律的方式来解决。
也可以通过字母之间的位置关系和字母的组合来找规律。
这需要学生具有一定的逻辑思维和抽象思维能力。
2017年中考数学专题复习规律探究问题
规律探究问题【专题点拨】规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题. 类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型．【解题策略】针对此类专题我们在解题过程中要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论。
当然面对具体问题还需要具体分析，找到切入点进行解答。
【典例解析】类型一：数字规律探究例题1：（2016·辽宁丹东·3分）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．【解析】规律型：数字的变化类．根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．变式训练1：（2016广西南宁3分）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．类型二：代数式排列探究例题2：（2016·山东省滨州市·4分）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82； 25×27+1=262； 79×81+1=802； …可猜想第2016个式子为 ．【解析】观察等式两边的数的特点，用n 表示其规律，代入n=2016即可求解． 【解答】解：观察发现，第n 个等式可以表示为：（3n﹣2）×3n+1=（3n﹣1）2， 当n=2016时， （32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2， 故答案为：（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【点评】此题主要考查数的规律探索，观察发现等式中的每一个数与序数n 之间的关系是解题的关键．变式训练2：（2016·山东省东营市·4分）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1， ∴S ＝39―12.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.类型三：图形规律探究例题3：（2016·湖北荆州·3分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（ ）A．671 B．672 C．673 D．674【解析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．变式训练3：（2016·重庆市A卷·4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．85类型四：坐标规律探究例题4：（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O ＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是( )A ．(12)2015B ．(12)2016C ．)2016 D ．)2015[答案] D[考点]三角形的相似，推理、猜想。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是指通过观察数学题目中的规律，通过实际计算或逻辑推理，发现其中的数学规律，并运用规律解题的一类问题。
这类问题在初中数学中经常出现，解决这类问题需要掌握一些解题技巧和分析方法。
一、问题类型1. 数列规律问题：给出一系列数字，要求分析数字之间的规律，并预测下一个数字或找出满足条件的数字。
例如：1，4，9，16，...，下一个数是多少？答案是25，因为给定的数列是平方数列。
解题技巧：观察数列中相邻数字之间的差异或倍数关系，找出规律，并应用规律计算。
2. 图示规律问题：给出一幅图形或图形序列，要求分析图形之间的规律并预测下一幅图形或找出符合规律的图形。
例如：下面的图形序列中，哪个图形是下一个？□□□■■■■□□□■■■■■■□□□■■■■■■■■答案是：□□□■■■■■根据观察可以发现，□表示空白，■表示实心，图形序列遵循奇数行是空白实心交替，偶数行是实心空白交替的规律。
解题技巧：观察图形的形状、组成要素、排列方式等，找出规律，并应用规律预测下一个图形或找出符合规律的图形。
4. 条件规律问题：给出一组满足特定条件的数字或图形，要求分析条件之间的关系并找出满足条件的其他数字或图形。
例如：对于下面的等式，填入适当的数字：1 2 3 = 62 3 4 = 93 4 5 = 12答案是：4 5 6 = 15，等号右边的数字是等号左边三个数字的和。
解题技巧：通过观察和分析给定的条件，找出条件之间的关系，根据关系找出满足条件的其他数字或图形。
二、解题技巧1. 观察比较：解决规律问题首先要通过观察和比较找出数字、图形之间的规律。
可以通过列举题目给出的一些例子来观察，也可以通过自己构造一些例子来观察。
在观察的过程中，要关注数字或图形之间的差异、相似性，以及数字之间的大小关系、图形的形状变化等。
2. 抽象总结：通过观察找到规律后，要将观察到的规律进行抽象和总结，归纳出一个普遍适用的规律。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题是一类旨在培养学生探究能力和提升数学思维的题目。
这类问
题通常要求学生通过观察数列、图形、图表等数学现象，发现其中的规律或性质，并进行
推理和验证。
下面将介绍几种常见的初中数学规律探究问题类型及解题技巧分析。
1. 数列规律问题
数列规律问题是初中数学规律探究问题中最为常见的一种。
这类问题通常给出一个数
列的前几项，要求学生找出数列中的规律，并预测或计算后面的项。
解题时，可以通过观
察数列项之间的差别、比值或其他特点，寻找其中的规律。
常见的解题技巧包括：找出数
列的增长规律（如等差或等比），找出公式或递推关系，并进行验证。
2. 图形规律问题
图形规律问题要求学生观察一系列图形的变化规律，推断出其中的规律性质。
解题时，可以通过观察图形的形状、角度、边长等特征，找出它们之间的联系。
常见的解题技巧包括：找出图形的对称性、旋转性或反射性，找出图形的组成方式或构造方法，并进行验
证。
在解决初中数学规律探究问题时，还需掌握一些基本的解题技巧。
要善于观察和思考，通过抓住问题的关键点，发现并总结问题中的规律。
要善于分析和推理，通过建立模型或
逻辑推理，验证或推导出规律的正确性。
要善于归纳和应用，通过总结规律的特点，解决
同类型或相关的问题。
初中数学规律探究问题的类型较多，解题技巧也需要学生具备一定的观察、推理和应
用能力。
希望同学们通过不断的练习和思考，掌握解题的方法和技巧，提高自己的数学素
养和解决问题的能力。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题是一种常见的问题类型，涉及到数学中的一些规律、性质或者关系。
这种问题要求学生通过观察、思考和归纳总结等方法，找出数学中隐藏的规律，进而解决问题。
一、类型分析：1. 数列的规律探究问题：这种类型的问题要求学生根据给定的数列，找出其中的规律，推测下一项或者特定位置处的数值。
例如：给定数列1，3，5，7，…，学生需要找出这个数列的通项公式，并计算第100项的值。
解题技巧：观察数列中相邻两项之间的差值或者比值是否有规律，尝试使用数学表达式表示，利用已知的条件求解未知项的值。
2. 几何图形的规律探究问题：这种类型的问题要求学生观察给定的几何图形之间的关系，找出其中的规律并推导出结论。
例如：给定一组图形，每个图形都由一些小正方形组成，学生需要找出这些图形的面积与小正方形个数之间的规律。
解题技巧：观察图形中各个元素的数量、形状或者位置的变化规律，推测出图形之间的关系，利用已知的条件推导出未知的结论。
二、解题技巧分析：1. 观察准确：解决规律探究问题的关键是准确观察给定的条件，发现其中的规律，不能遗漏任何细节。
2. 归纳总结：在观察的基础上，要通过归纳总结的方法，将观察到的规律进行概括和总结，形成一个可以适用于所有情况的规律表达式。
3. 测试验证：根据归纳总结得到的规律表达式，进行一定数量的测试，验证这个规律表达式是否正确，是否适用于所有情况。
4. 推演运用：在掌握规律表达式并验证无误后，可以使用这个规律来解决其他类似的问题，进一步运用推演的方法。
5. 灵活运用：在解决规律探究问题时，要善于灵活运用各种数学知识，例如代数、几何、等差等差数列、等比数列等，将不同的数学概念和方法结合起来，找到最优解。
初中数学规律探究问题是一种需要观察、归纳和推演的问题类型。
学生在解决这类问题时，要注重观察准确、归纳总结、测试验证和推演运用，灵活运用各种数学知识，找到解决问题的最优解。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学中，规律探究问题是一类常见的题型，它要求学生根据给定的数学模型或数据，通过发现其中的规律和特点，从而得出结论或预测未来的情况。
在解决此类问题时，
需要注意以下几点：
1. 了解规律探究问题的种类
（1）填空类：给出一些数据，让学生填完整。
这种问题可以引导学生通过数学计算，逐步发现规律并填写合适的数值。
（2）判断正误类：描述一些情况，让学生判断其真实性。
这种问题需要学生分析已
有的数据，了解其特点，再结合自己的数学知识进行判断。
（3）特殊情况类：给出一些数据或模型，要求学生找出其中的特殊规律和特点。
解
决这类问题需要学生具有较强的发现和归纳能力。
（4）推广类：根据已有的模型或数据，推广出更广泛的规律和结论。
这类问题需要
学生通过已有的数学知识和常识，进行全面系统的推理和归纳。
（1）建立模型：将给定数据转化为数学模型，对数据进行排序、分类、分组等处理，从而更好地发现规律。
（2）观察数据特点：通过对数据或模型的观察，发现其规律和特点，了解其数学性质。
（3）运用数学知识：学生需要将已有的数学知识和方法，书面配置在规律探究问题
的解决过程中，例如算术平均数、周期性函数等等。
（4）反复检验结论：通过反复检验自己得出的结论，确保其正确性和可靠性，为发
现更深层次的规律和特点提供条件。
综上所述，规律探究问题是初中数学中非常常见的一部分，解决此类问题需要学生具
有一定的观察、分析和推理能力，同时需要掌握相应的技巧和方法。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析数学规律探究问题是初中数学学习中常见的一类问题，通过对数学规律的探究和分析，培养学生的逻辑思维和推理能力，提高他们的问题解决能力。
下面将介绍一些常见的数学规律探究问题类型及解题技巧分析。
一、数列规律问题数列规律问题是最常见的数学规律探究问题。
解题时，可以根据给定的数列和规律，通过观察和分析，推算出数列的通项公式或者下一个数的值。
常见的数列规律有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
解题技巧：1.观察相邻项之间的差值或比值，判断是等差数列还是等比数列。
2.求出数列的公差或公比，进而得到数列的通项公式。
3.根据已知条件，利用数列的通项公式求出需要的值。
图形规律问题是指通过观察和分析给定的图形，找出其中的规律，推导出图形的性质或者下一个图形的形状。
常见的图形规律有平移、旋转、翻转等。
解题技巧：1.观察图形的对称性和相邻图形之间的关系，判断是平移、旋转还是翻转。
2.根据已知条件，通过推理和逻辑推断，得出图形的性质。
3.根据已知条件，利用图形的性质，推导下一个图形的形状或者位置。
解题技巧：1.观察方程中的系数和常数项之间的关系，判断方程的类型。
2.根据已知条件，通过代入值，解方程得出结论。
3.利用已知方程和规律，推导出下一个方程的解。
概率规律问题是指通过观察和分析一系列事件的发生概率，找出其中的规律，推导出可能的结果。
常见的概率规律有独立事件、互斥事件等。
总结：解决数学规律探究问题需要学生运用观察、分析、推理和推导等数学思维和方法，不仅要灵活运用各种公式和定理，而且要发挥想象力和创造力，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在教学中，教师应该引导学生多做习题和实际应用，培养学生的观察力、分析力和推理能力，提高他们的问题解决能力。
教师也应该注重培养学生的创造力和创新意识，鼓励学生发散思维和多角度思考问题，使学生在探究数学规律问题中获得乐趣和成长。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析一、数字规律探究问题数字规律探究问题是数学学习中常见的一类问题，通常涉及到数字之间的关系和规律。
解决数字规律问题需要学生对数字之间的运算关系进行分析，并找出规律。
一般来说，数字规律问题分为两种类型：基本数字规律和扩展数字规律。
1. 基本数字规律基本数字规律是指数字之间的简单关系，通常呈现在数列或者数字表格中。
给出一个数列1，3，5，7…，要求学生找出其中的规律并补充下一个数。
解决这类问题的关键在于观察数字之间的差异和规律，一般来说可以通过计算相邻数字的差值或者比值来找到规律。
比如上述数列中每个数与前一个数的差值都是2，因此可以得出规律为n与n-1之间的差值递增2。
解题技巧：观察数字之间的差异和规律，可以进行递增、递减、乘法、除法等运算，寻找规律的方式多种多样，需要学生多加练习和思考。
扩展数字规律是指数字之间的复杂关系，通常需要学生更加深入地思考和分析。
给出一个数字表格，要求学生填写其中的空缺部分。
这类问题通常需要学生通过观察数字之间的关系，找到规律并进行推理分析。
解决这类问题需要学生具有很强的逻辑思维能力和分析能力。
解题技巧：对于扩展数字规律问题，学生需要通过分析数字之间的变化规律，尝试找出其中的数学定律，并运用数学原理进行推理和计算。
图形规律探究问题是指通过观察图形之间的关系，找出其中的规律和特点。
这类问题通常呈现为几何图形的变化和组合，要求学生找出其中的规律并进行推理分析。
解决图形规律问题需要学生具有对图形的敏锐观察能力和逻辑推理能力。
解题技巧：观察图形之间的相似性和规律，可以通过旋转、平移、对称等方式进行变换，通过观察图形的对应关系找出规律。
2. 扩展图形规律基本等式规律是指等式之间简单的变化关系，通常呈现为数学公式或者等式变换。
给出一个等式2x+1=5，要求学生找出其中的规律并求解x的值。
解决这类问题需要学生熟练掌握等式的变形和求解方法。
解题技巧：观察等式之间的变化规律，可以通过移项、合并同类项、因式分解等方式进行变形，找出变量的取值范围。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是学习数学过程中常见的一类问题，它要求学生通过观察、归纳、验证等方法，探索数学规律和性质。
这类问题的解题过程不仅能培养学生的观察力、归纳能力和逻辑思维能力，还能加深对数学概念的理解和运用能力。
下面我们来分析一下这类问题的类型及解题技巧。
一、问题类型1. 数列规律问题这类问题要求学生观察数列中的数的变化规律，并找出下一个或若干个数。
给定数列1，4，7，10，...，求下一个数。
2. 图形规律问题这类问题要求学生观察图形中的形状、线条、角度等特征，找出规律。
给定几个图形，让学生找出它们之间的规律，并填入正确的图形。
4. 推理规律问题这类问题要求学生通过已知条件，推理出目标结果。
给定一个等式A=B，B=C，让学生推理出A=C。
5. 概率规律问题这类问题要求学生通过观察事件发生的频率和可能性，找到事件发生的规律。
投掷一个均匀的骰子，求得到偶数的概率。
二、解题技巧1. 观察问题中的已知条件和要求在解决规律探究问题时，首先要仔细观察问题中给定的已知条件和要求，明确问题的目标，有针对性地进行推理和归纳。
2. 利用归纳法进行思考归纳法是解决规律探究问题的基本方法。
通过观察已知的数学对象，找出其中的规律，然后将这个规律推广到其他情况，验证是否成立。
如果规律成立，就可以用它来解决问题。
3. 使用逆向思维有时候，为了找到某个数列或图形的规律，可以采用逆向思维，从目标结果出发，思考需要满足的条件或特征。
通过观察规律的逆向推导，可以更加直观地找到问题的解法。
4. 运用数学工具和方法解决规律探究问题时，可以灵活运用数学工具和方法。
可以通过建立方程、列出表格、绘制图形等方法来整理和归纳问题中的数据，从而发现问题的规律。
5. 多角度思考问题有时候，同一个问题可以从不同的角度进行思考，这样可以得到不同的解法。
在解决数学规律探究问题时，可以尝试不同的方法和思路，从而拓宽解题思路。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学规律探究问题是数学学习中的重要内容，它既能培养学生的逻辑思维能力，又能拓展他们的数学思维，因此在课堂教学中占有重要的地位。
在数学学习中，规律探究问题是一个重要的学习内容，通过解决这类问题，可以培养学生的逻辑思维能力，提高他们的解决问题的能力。
而初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析，可以帮助学生更好地理解这一学习内容，提高他们的数学学习能力。
初中数学规律探究问题的类型包括数列问题、几何图形的规律问题、函数规律问题等。
下面我们将对这些类型的规律探究问题进行详细的分析，同时探讨解题的技巧。
一、数列问题1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差为一个常数的数列。
解决等差数列问题的关键是找出数列中的公差，一般可以通过找出数列中的两项或者多项之间的关系来求得。
对于如下数列：2，5，8，11，14，……，可以得出数列的公差为3，之后就可以利用公差求和的方法，轻松计算数列的和。
二、几何图形的规律问题几何图形的规律问题是指在图形中寻找相似的特征或者关系，解决这类问题的关键是找出图形之间的规律。
对于如下图形：△，△△，△△△，△△△△……，可以发现每一项图形的边数逐次增加，因此可以通过找出图形之间的规律，求得任意项的图形。
三、函数规律问题函数规律问题是指通过数学函数的关系来寻找数值之间的规律。
解决这类问题的关键是找到数值之间的函数关系，可以通过列出函数表或者等式来求得函数关系。
对于如下函数：y=2x+1，可以通过给定x的值，求得对应的y值。
解题技巧分析1.找出规律解决规律探究问题的第一步是要找出规律，无论是数列问题、几何图形的规律问题还是函数规律问题，都需要学生通过观察和分析来找到其中的规律，这样才能有效地解决问题。
2.归纳总结找到规律之后，需要对规律进行总结归纳，例如找出数列中的公差或者公比，找到图形之间的关系，找到函数之间的关系等。
通过对规律进行总结归纳，可以更快地解决问题。
题型四 规律探索题
类型1数与式的规律探究1.[2021安徽中考]下面两个多位数1248624…、6248624…,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,假设积为一位数,将其写在第2位;假设积为两位数,那么将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进展如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进展如上操作得到的.当第一位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,那么这个多位数前100位的所有数字之和是2.[2021合肥蜀山区二模]观察以下等式:① 1=12;② 2+3+4=32;③ 3+4+5+6+7=52;④ 4+5+6+7+8+9+10=72;请根据上述规律判断以下等式正确的选项是()008+1 009+…+3 025=2 0162009+1 010+…+3 026=2 0172009+1 010+…+3 027=2 0182010+1 011+…+3 028=2 01923.[2021安徽中考]观察以下关于自然数的等式:32-4×12=5;①52-4×22=9;②72-4×32=13;③根据上述规律解决以下问题:(1)完成第四个等式:92-4×()2=();(2)写出你猜测的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.4.[2021合肥包河区二模]观察以下式子:①2×0+1=12;②4×2+1=32;③8×6+1=72;④16×14+1=152;(1)请按规律写出第⑤个式子: ;(2)根据你发现的规律写出第个式子(n为正整数),并验证其正确性.5.[2021芜湖二模]观察以下各个等式的规律:第1个等式:=1;第2个等式:=2;第3个等式:=3;请用上述等式反映出的规律解决以下问题:(1)直接写出第4个等式;(2)猜测第n个等式(用含n的代数式表示),并证明你猜测的等式是正确的.6.[2021合肥45中三模]一定数量的石子可以摆成如下图的三角形和四边形,古希腊科学家把数1,3,6,10,15,21,…称为“三角形数〞,把1,4,9,16,25,…称为“正方形数〞.同样,可以把数1,5,12,22,…称为“五边形数〞.将“三角形数〞、“正方形数〞、“五边形数〞按从小到大的顺序依次填在下面表格里:三角形数136101521a…正方形数1491625b49…五边形数151222c5170…(1)按照规律,表格中a=,b=,c=;(2)观察表中规律,第n(n为正整数)个“五边形数〞是.7.[2021安庆模拟]特殊两位数乘法的速算——假如两个两位数的十位数字一样,个位数字相加为10,那就能立即说出这两个两位数的乘积.假如这两个两位数分别写作AB和AC(即十位数字为A,个位数字分别为B,C,且B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个四位数,前两位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字是B和C的乘积.如47×43=2 021,61×69=4 209.(1)请你直接写出83×87的值;(2)设这两个两位数的十位数字为x(x>3),个位数字分别为y和z(y+z=10),通过计算验证这两个两位数的乘积为100x(x+1)+yz;(3)99 991×99 999=.8.[2021宣城模拟]阅读以下材料,并解决相关的问题.按照一定顺序排列着的一列数称为数列,排在第一位的数称为第1项,记为a1,依此类推,排在第n 位的数称为第n项,记为a n.一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),如:数列1,3,9,27,…为等比数列,其中a1=1,公比q=3.(1)等比数列3,6,12…的公比q为,第4项是;(2)假如一个数列a1,a2,a3,a4,…是等比数列,且公比为q,那么根据定义可得到=q,=q,=q,…,=q,所以a2=a1q,a3=a2q=a1q·q=a1q2,a4=a3q=a1q2·q=a1q3,由此可得a n=(用含a1,n和q的代数式表示);(3)假设一个等比数列的公比q=,第2项a2=,求它的第1项与第4项.9.[2021合肥高新区模拟]我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五〞.观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;发现:这些勾股数的勾都是奇数,从3起就没有连续过,而且股和弦是两个连续整数.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:;(2)假设第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,写出后两个数(用含n的代数式表示),并用所学知识说明它们是一组勾股数.类型2图形中的规律探究10.[2021六安地区二模]观察以下n×n的点阵与等式的关系,并填空:(1)根据你发现的规律,在(n×n)图的后面的横线上填上所对应的等式,并证明等式成立.(2)根据等式的性质,将上图所对应的前4个等式的左侧和右侧式子分别相加,等式仍然成立,即(22-12)+(32-22)+(42-32)+(52-42)=(1+2×1)+(1+2×2)+(1+2×3)+(1+2×4).经化简,变形后得到52-12=4+2×(1+2+3+4),即1+2+3+4=,这种方法叫等式叠加法.假如将上图(2×2)到(n×n)所对应的(n-1)个等式进展叠加,经化简,变形后可以得到1+2+3+…+(n-1)=.11.[2021合肥瑶海区二模](1)观察下面的图案与等式的关系,并填空.(2)通过猜测,写出第n个图案相对应的等式.12.[2021安徽中考]【阅读理解】我们知道1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2的结果等于多少呢?在图(1)所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22……第n行n个圆圈中数的和为,即n2.这样,该三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.图(1)【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图(2)所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)=.因此,12+22+32+…+n2=.图(2)【解决问题】根据以上发现,计算的结果为.13.[2021安徽中考]在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.(1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察以下图形并完成下表:m n m+n f123213432354257347猜测:当m,n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是(不需证明);(2)当m,n不互质时,请画图验证你猜测的关系式是否仍然成立.参考答案2.D【解析】由①~④的等式规律可知,第n个等式的结果为(2n-1)2,故A,C中的等式错误.第n 个等式中等号左边的项数为2n-1,故B中的等式错误,D中的等式正确.3.(1)417(2)第n个等式为(2n+1)2-4×n2=4n+1.∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,∴第n个等式成立.4.(1)32×30+1=312(2)第个等式为:2n(2n-2)+1=(2n-1)2.验证:左边=2n×2n-2n×2+1=(2n)2-2×2n+1=(2n-1)2=右边,故2n(2n-2)+1=(2n-1)2是成立的.5.(1)第4个等式是=4.(2)第n个等式是=n.证明:∵===n=右边,∴第n个等式是=n.6.(1)283635解法提示:第n(n为正整数)个“三角形数〞为,故a==28;第n(n为正整数)个“正方形数〞为n2,故b=62=36;第n(n为正整数)个“五边形数〞为n2-n,故c=×25-=35.(2)n2-n7.(1)7 221.(2)验证:(10x+y)(10x+z)=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10x(y+z)+yz=100x2+100x+yz=100x(x+1)+yz.(3)9 999 000 009解法提示:由题中规律可得,假如两个n位数分别写作AB和AC(即前n-1位数字局部均可表示为A(A>3),个位数字分别为B,C,且B+C=10),那么它们的乘积是一个2n位数,前2n-2位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字是B和C的乘积. 故99 991×99 999=9 999 000 009.8.(1)224(2)a1q n-1(3)第1项a1==÷=,第4项a4=a1·q3=×()3=.9.(1)11,60,61(2),说明:∵n2+()2=n2+===()2,∴由勾股定理的逆定理可知,n,,是一组勾股数.10.(1)n2-(n-1)2=1+2(n-1).证明:∵左边=n2-n2+2n-1=2n-1,右边=1+2n-2=2n-1=右边,∴左边=右边,即n2-(n-1)2=1+2(n-1).(2)11.(1)22323242(2)1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=n2+(n+1)2.12.2n+1 1 34513.(1)6 6f=m+n-1注:假设猜测出的是其他关系式,只要这个关系式对表中5种情况都成立即可.(2)当m,n不互质时,f与m,n的关系式f=m+n-1不成立.例如:当m=2,n=2时,图形如图.对角线所穿过的小正方形的个数f=2,而m+n=4,等式f=m+n-1不成立.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题训练(四)数式规律探究问题的四种类型►类型一探索数字的变化规律探索数字的排列规律，关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题．数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数(设为某个字母)作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用含所设字母的式子表示出来，从而解决相关问题．1．在一列数：a1，a2，a3，…a n中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数之积的个位数字，则这个数中的第2020个数是()A．1 B．3 C．7 D．92．将正整数1～2020按一定规律排列如下表：上下平移表中带阴影的方框，则方框中五个数的和可以是()A．2018 B．2019 C．2020 D．20213．如图4－ZT－1，在2020年10月份的月历表上，任意圈出一个正方形，则下列等式中错误的是()图4－ZT－1A．a＋d＝b＋cB．a－c＝b－dC．a－b＝c－dD．d－a＝c－b4．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2020个格子中的数为( )A.4B ．3C ．0D ．－2► 类型二 探索单项式的变化规律单项式的变化规律由系数、字母以及字母的指数确定，探索一组单项式的变化规律，其中字母通常是固定不变的，因此需要探索的是系数和字母的指数的变化规律，这可以转化为探索有理数的变化规律．系数的符号正、负或负、正交替出现时，其规律用式子(－1)n ＋1或(－1)n 表示．5．观察下面的一列单项式：－x ，2x 2，－4x 3，8x 4，－16x 5，…，根据其中的规律，得出第10个单项式是( )A ．－29x 10B ．29x 10C ．－29x 9D ．29x 96．观察下列各式：0，x ，x 2，2x 3，3x 4，5x 5，8x 6，…，按此规律写出的第10个式子是________．7．一组按照规律排列的式子：x ，x 34，x 59，x 716，x 925，…，其中第8个式子是________，第n 个式子是________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．8．观察下列一串单项式的特点：xy ，－2x 2y ，4x 3y ，－8x 4y ，16x 5y ，…. (1)按此规律写出第9个单项式；(2)第n (n 为正整数)个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？►类型三探索图形的变化规律探索图形的变化规律有两种方法：一是从形着手，即比较前后图形的异同，找出由前一个图形到后一个图形的变化方式，从而确定图形的变化规律；二是从数着手，即分别计算出前面几个特殊图形的相关数据，然后探索这些数据的变化规律．9．用棋子摆出如图4－ZT－2所示的一组图形：图4－ZT－2()A．3n B．6nC．3n＋6 D．3n＋310．2019·大庆归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图4－ZT－3所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n(n为正整数)个“T”字形需要的棋子个数为________．图4－ZT－311．观察如图4－ZT－4所示的“蜂窝图”：图4－ZT－4则第n(n是正整数)个图案中“”的个数是________．(用含n的式子表示)12．如图4－ZT－5是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n(n是正整数)个图案中有________个涂有阴影的小正方形．(用含n的式子表示)图4－ZT－513．观察下列砌钢管的横截面(如图4－ZT－6)，则第n(n是正整数)个图中的钢管数是__________．(用含n的式子表示)图4－ZT －614．将一些半径相同的小圆按图4－ZT －7所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆……依此规律，第n (n 是正整数)个图形中有__________个小圆．(用含n 的式子表示)图4－ZT －7► 类型四 探索等式的变化规律探索等式的变化规律时，要注意观察等式两边数据的个数，分析各数据间的数量关系，然后用字母表示这组等式．注意：当字母在指定的范围内取最小值时，所得等式要恰好是第1个等式．15．已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，….根据以上等式，猜想：对于正整数n (n ≥4)，1＋2＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝________．16．已知2＋23＝22×23；3＋38＝32×38； 4＋415＝42×415；… 若10＋a b ＝102×ab (a ，b 为正整数)，则a ＋b ＝________．17．观察下列等式： 第一行：3＝4－1； 第二行：5＝9－4； 第三行：7＝16－9； 第四行：9＝25－16； … …按照上述规律，第n (n 为正整数)行的等式为________________．18．观察下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，….(1)说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系；(2)利用上述规律写出第n(n为正整数)个等式．教师详解详析1．C [解析] 依题意得：a 1＝7，a 2＝1，a 3＝7，a 4＝7，a 5＝9，a 6＝3，a 7＝7，a 8＝1，…， 周期为6，2020÷6＝336……4， 所以a 2020＝a 4＝7. 故选C.2．C [解析] 从表中正整数1～2020的排列情况来看，每一行是8个数，也就是每一列下面的数减去上面的数是8.随着方框的上下平移，可表示出其变化规律的表达式为：2＋8n ，3＋8n ，4＋8n ，5＋8n ，6＋8n ，将这五个数相加为40n ＋20，用四个答案中的数来尝试，可见只有40n ＋20＝2020时，n 为整数．故选C. 3．D4．A [解析] 因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，所以4＋a ＋b ＝a ＋b ＋c ，解得c ＝4，a ＋b ＋c ＝b ＋c ＋(－2)，解得a ＝－2.所以数据从左到右依次为4，－2，b ，4，－2，b ，第9个数与第三个数相同，即b ＝3.所以每3个数“4，－2，3”为一个循环组依次循环．因为2020÷3＝673……1，所以第2020个格子中的数与第1个格子中的数相同，为4.故选A.5．B6．34x 9 [解析] 从第二项起，字母的指数是连续的正整数；从第三项起，每一项的系数是它前面两项系数的和．所以第8，9，10项分别是13x 7，21x 8，34x 9.7.x 1564 x 2n －1n 2[解析] 根据分子的底数都是x ，而指数是从1开始的奇数；分母是从1开始的自然数的平方．因此第8个式子是x 2×8－182＝x 1564，第n 个式子是x 2n －1n 2.故答案为x 1564，x 2n －1n 2.8．解：(1)因为当n ＝1时，单项式为xy ， 当n ＝2时，单项式为－2x 2y ， 当n ＝3时，单项式为4x 3y ， 当n ＝4时，单项式为－8x 4y ， 当n ＝5时，单项式为16x 5y ，所以第9个单项式是29－1x 9y ，即256x 9y. (2)第n(n 为正整数)个单项式为 (－1)n ＋12n －1x n y ，它的系数是(－1)n ＋12n －1，次数是n ＋1.9．D [解析] 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上如何变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．因为第①个图形中棋子的个数为3＋3＝6； 第②个图形中棋子的个数为3×2＋3＝9； 第③个图形中棋子的个数为3×3＋3＝12；… 所以第○n 个图形中棋子的个数为3n ＋3.故选D.10．3n ＋2 [解析] 由图可得，图①中棋子的个数为3＋2＝5，图②中棋子的个数为5＋3＝8，图③中棋子的个数为7＋4＝11……则第n(n 为正整数)个“T”字形需要的棋子个数为(2n ＋1)＋(n ＋1)＝3n ＋2.11．3n ＋1 [解析] 根据题意可知，第1个图案中有4个“”，第2个图案中有7个“”，第3个图案中有10个“”，第4个图案中有13个“”，由此可得出后一个图案都比前一个图案多3个“，所以第n 个图案中“”的个数为4＋3(n －1)＝3n ＋1.故答案为3n ＋1.12．(4n ＋1) [解析] 第1个图中有5个阴影小正方形，从第2个图起，每个图中的阴影小正方形个数都比前一个图中多4，所以第n(n 为正整数)个图中阴影小正方形的个数＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.13.32n(n ＋1) [解析] 第1个图中钢管数为1＋2＝3， 第2个图中钢管数为2＋3＋4＝12×(2＋4)×3＝9，第3个图中钢管数为3＋4＋5＋6＝12×(3＋6)×4＝18，第4个图中钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝12×(4＋8)×5＝30，…依此类推，第n 个图中钢管数为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋(n ＋4)＋2n ＝12(n ＋2n)(n ＋1)＝32n(n ＋1)．14．(n 2＋n ＋4) [解析] 由题意可知第1个图形中有小圆4＋1×2＝6(个)；第2个图形中有小圆4＋2×3＝10(个)；第3个图形中有小圆4＋3×4＝16(个)；第4个图形中有小圆4＋4×5＝24(个)；第5个图形中有小圆4＋5×6＝34(个)；第6个图形中有小圆4＋6×7＝46(个)……第n 个图形中有小圆4＋n(n ＋1)＝(n 2＋n ＋4)个．15．n 2 [解析] 观察发现，等式右边是等式序号数的平方．16．109 [解析] 仔细观察式子特点可知：3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，故当a ＝10时，b ＝102－1＝99，则a ＋b ＝10＋99＝109.17．2n ＋1＝(n ＋1)2－n 218．解：(1)等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． (2)13＋23＋33＋…＋n 3＝[n （n ＋1）2]2.。