多自由度系统的运动方程
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
第06课 多自由度系统的运动方程
m2x1 k2 x1 x2 c2x1 x2 k3x2 c3x2 F2 (t)
将方程(1)、（2）整理可得
（1） （2）
m1x1 c1 c2 x1 c2x2 k1 k2 x1 k2x2 F1(t)
n
1
kn2
k1n
k2n
k
n
n
刚度影响系数 作用力方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令 x1 1 x2 x3 0 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 k11、k21、k31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 k1 k2，k21 k2，k31 0
机械振动(Mechanical Vibration)
第七课 多自由度系统的运动方程
交通与车辆工程学院 刚宪约
2019年9月15日
单自由度系统回顾
单自由度系统运动方程的建模
• 牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理 • 能量方法d(U+T)=0 • 虚位移原理（虚功原理）
单自由度系统固有频率计算方法
T
对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。
应用叠加原理可得到 x1 (F1)11 (F2 )12 (F3 )13 x2 (F1) 21 (F2 ) 22 (F3 ) 23 x3 (F1) 31 (F2 ) 32 (F3 ) 33
0
k2 k1 k3
k3
0
k
3
k3
kij k ji
刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分 法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这 种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态 叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模 态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法 三种情形)。 时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可 分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法 假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主 振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统
3.3多自由度系统的固有频率和模态
2021/4/24
《机械动力学》
10
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn
固有振动方程： MX KX 0
（自由振动方程）
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，
建立动力学方程的影响系数法
2021/4/24
《机械动力学》
1
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
小结：
• 多自由度系统的位移方程： DMX X DF
• 柔度矩阵：
位移的量纲
柔度矩阵dij的含义为系统仅在第 j 个坐标受到单位 力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移
柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵
DK I
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法
2021/4/24
《机械动力学》
8
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn
固有振动方程：
（自由振动方程）
MX KX 0
和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率 为振动频率
方程解耦，变成了两个单自由度问题
使系统运动微分方程不存在耦合，成为相互独立方程的坐标 称为主坐标
2021/4/24
《机械动力学》
5
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
结论：
假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变
换关系：
X TY
其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程我们要找出多自由度体系在地面运动作用下的振动方程。
首先，我们需要了解多自由度体系的振动方程的基本形式。
多自由度体系的振动方程通常由以下形式给出：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = F(t)
其中：
M 是质量矩阵，
C 是阻尼矩阵，
K 是刚度矩阵，
x 是位移向量，
{dot x} 是速度向量，
{ddot x} 是加速度向量，
F(t) 是外部作用力向量。
对于地面运动作用下的振动，我们需要考虑地面的运动对体系的影响。
假设地面以速度 v 和加速度 a 运动，那么地面的运动可以表示为：
x_ground = vt + at^2
其中 x_ground 是地面的位移。
由于地面和体系是相互作用的，我们需要将地面的位移和加速度引入到振动方程中。
具体来说，我们需要将地面的位移和加速度作为外部作用力加入到方程的右边。
因此，多自由度体系在地面运动作用下的振动方程为：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = -Kx_ground
其中 x_ground 是地面的位移，由地面的速度和加速度决定。
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
第十三讲—多自由度系统的运动方程
−
ka2θ2
+
⎛ ⎜⎝
ka 2
+
1 2
mgl
⎞⎟⎠θ3
=
0
⎡ ⎢ ⎢
1 3
ml
2
⎢ ⎢
0
⎢
0 1 ml2 3
⎢ ⎢⎣
0
0
质量矩阵
0
⎤ ⎥ ⎥
⎡⎢ka2 ⎢
+
1 2
mgl
0
⎥⎢ ⎥⎢
−ka2
1
ml
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
3 ⎥⎦ ⎢⎣
−ka2 2ka2 + 1 mgl
2 −ka2
刚度矩阵
0
⎤ ⎥
⎥
−ka2
⎥ ⎥
θ12
+
θ
2 2
+ θ32
O1
O2
O3
a
k
k
势能
θ1
θ2
θ3
U
=
1 2
k
( aθ1
−
aθ2
)2
+
1 2
k
( aθ 2
−
aθ3 )2
+
mg
l 2
(1 −
cos θ1 )
+
mg
l 2
(1 −
cosθ2
)
+
mg
l 2
(1 −
cos θ1 )
( ) 1
2
k
( aθ1
−
aθ2
)2
+
1 2
k
( aθ 2
−
aθ3
2i
j
mij
第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
第2页 共20页
2010/9/5 21:47
第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
题4-2图
用瞬心法求 ：
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
自由度，选 为广 义坐标。 半圆柱体在任意位 置的动能为：
故 系统具有理想约束，重力的元功为
图中：kx、m 应反向。方程应为
4-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题4-9图所 示。试求机座在图示平面内的运动方程。
第13页 共20页
2010/9/5 21:47
第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
(h) 与运动方程
(i) 两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
4-7 应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
第10页 共20页
题4-7图
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
质量矩阵
刚度矩阵 位移列阵 4-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭 转弹簧的弹性系数为kT，如题4-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位 置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。
（b）
运动的分离体图如图（b）所示。 地震中可设q为微小角度，因此
应用动能定理的微分形式
等式两边同除 ，
，等式两边同除 故微分方程为
若为小摆动
，
动的微分方程为
① ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k3u2
c1u1
m1
c2 (u2 u1 ) c2 (u2 u1 )
m2
c3u2
受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.
根据牛顿第二定律，得到系统的运动方程：
m1u1 k1u1 k2 (u2 u1 ) c1u1 c2 (u2 u1 ) f1 (t ) m2u2 k2 (u2 u1 ) k3u2 c2 (u2 u1 ) c3u2 f2 (t )
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
返回
用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
D
C
M
质量影响系数
用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
Mu Cu Ku f
0 第j行 k1 j 0 k 2j 1 0 k Nj 0
0, u2 1
u1 0
u2 1
k12
m1
k2
k2
k22
m2
k3
k12 k2
k22 k2 k3 k1 k2 k2 刚度矩阵： K k 2 k2 k3
k11 K k21
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
激振力向量
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
4.1 多自由度系统的数学描述
4．1 多自由度系统的数学描述一、用柔度系数法和刚度系数法表示的运动方程下面以图4-1的系统为例说明多自由度系统的柔度系数及柔度矩阵。
柔度矩阵所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。
具体地说，系统第个坐标上作用的单位力在第个坐标上所引起的位移就定义为柔度系数r。
如在图4-1系统中，设在质量上沿方向作用一单位力，系统相应于它产生的位移为按柔度系数的定义，就有同理，一个自由度的系统一共有个独立坐标，对应于每个单位力就有个柔度系数；总共有个单位力，故系统总共有个柔度系数（。
它们组成一个柔度矩阵（4-1）假设在系统的各个坐标上分别作用有力，则由叠加原理，系统的各个位移可表示为写成矩阵表式，有（4-2）其中与分别代表位移列阵和力列阵：也就是说，系统的位移列阵就等于系统的柔度矩阵与力列阵的乘积。
方程（4-2）称为位移方程。
应注意，本书中的“力”与“位移”都是指广义的，“力”可以是力，也可以是力偶；而“位移”可以是线位移，也可以是角位移，等等。
下面举例说明怎样求系统的柔度矩阵。
例4-1 设有集中质量与以及长为与的无重刚杆构成的复合摆，如图4-2所示，假定摆在其铅垂稳定平衡位置附近作微振动。
取质量与的水平位置与作为坐标，求系统的柔度矩阵。
解：先仅在上作用一单位水平力。
由静力平衡条件可得：因而有再仅在上作用一单位水平力。
由静力平衡条件有：考虑到可得故系统的柔度矩阵为刚度矩阵所谓刚度是指产生单位“位移”所需的各个外加“力”。
具体地说使系统仅仅在第个坐标上产生单位位移，就需要在各个坐标方向分别加上适当的力，而在第个坐标上所需加的外力，就定义为刚度系数。
一个自由度系统有个独立的坐标，对应着个单位位移，而每个单位位移又对应着个刚度系数；所以系统总共有个刚度系数，它们组成一个刚度矩阵（4-3）例如在图4-1系统中，设有这时，弹簧与没有变形，而弹簧伸长了单位长度，作用于质量上的弹簧力为（向右为正），而作用于质量上的弹簧力为-（向左为负）。
第五章多自由自由度系统的数值解法
1 1 1 1 即： =
n1 11 22
nn
(8)
例：质量为 m1 ，长为 的均质悬臂梁，其端部有集 中质量 m ，试确定 n1 。假设梁的弯曲刚度为EI。 EI 1 解：对于端部带有质量m，而 m 略去梁本身质量的悬臂梁，其固频 为： 2 3EI 11 3 m 均质悬臂梁的第一阶固频为：
1 9 1.00 设 V 1 1 进行迭代： V 2 G V 1 15 9 1.67 9 1.00 1
[M ]{u} [K ]{u}
2 n
将上式两端前乘柔度矩阵[D]得：
[D][M]{u}={u}
或写成： ([D][M]1
(1) (2)
2 n
[I]){u}={0}
以两个自由度系统为例来说明二个自由度系统，其特 征值问题方程为：
d11 d12 m11 d 21 d 22 0
n 1 的求法 四、
而 n1 j 的解不可能由 n n1求得 。 由(11)知，要求得 n 1 ，关键是求得 n1 j ( j 1.2n)
除{u}1 外振型矩阵[u]中的其它列向量仍是未知 的。
为了得到n1 j (j=1,2,,n),利用特征向量的正交关系 ：
u M u M 1 T M u M u I
q1 n11 q2 0 q 0 3 n12 1 0 n3 0 1
1
0 0 0 q1 0 1 0 q 2 q 0 0 1 3
或{q} [n]1{q}
n11 [n]1 0 0
2 1 s 1
由方程(7)知：当S足够大时，级数(6)的第一项是决定 性的，级数将收敛于 c1u1 ，即vs 和vs 1 都可认为是 u1 1 满足方程(2)。vs 和vs 1 相互成比例，比例常数为 ，由 1 u1 和1 此得：
结构动力学多自由度
pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1
vi
v N
略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
多自由度的广义拉格朗日方程
多自由度的广义拉格朗日方程广义拉格朗日方程是描述物理系统运动规律的重要数学工具，它可以同时考虑系统中的多自由度，从而更全面地解释和预测系统的运动。
在广义拉格朗日力学中，自由度是指描述系统状态所需的独立变量个数。
对于 N 自由度的系统，我们需要 N 个广义坐标来完全描述其状态。
这些广义坐标可以是位置坐标、角度、形状参数等，但通常是与系统的运动有关的变量。
在广义拉格朗日力学中，拉格朗日函数 L 是一个与广义坐标和广义速度有关的函数，用来描述系统的动能和势能。
一般形式的拉格朗日函数可以写成 L = T - V，其中 T 表示系统的动能，V 表示系统的势能。
多自由度的广义拉格朗日方程可以从 Hamilton 原理出发推导得到。
根据 Hamilton 原理，系统在保持广义坐标和广义速度固定的条件下，其真实轨迹使得作用量 S 取驻值。
作用量 S 定义为S = ∫L dt，其中积分是在起始时间点到终止时间点之间进行的。
对于多自由度的情况，为了将广义坐标和广义速度引入到广义拉格朗日方程中，我们需要引入约束条件。
约束条件可以是完整约束（等式约束）或非完整约束（不等式约束），用来限制系统的自由度。
通过拉格朗日乘子法，我们可以将约束条件融入拉格朗日函数中，进而得到考虑约束情况下的广义拉格朗日方程。
对于 N 自由度的系统，广义拉格朗日方程可以表示为：d/dt (∂L/∂qᵢ) - (∂L/∂qᵢ) = Qᵢ (其中 i = 1, 2, ..., N)其中(∂L/∂qᵢ) 表示拉格朗日函数 L 对广义坐标 qᵢ的偏导数，Qᵢ表示系统所受到的广义力。
通过求解这个方程组，我们可以得到系统的运动方程，从而完整地描述多自由度系统的运动规律。
这些运动方程可以通过数值模拟或解析的手段进行求解，从而预测系统在不同条件下的运动行为。
总结起来，多自由度的广义拉格朗日方程是可以用来描述多自由度系统运动的方程组，在考虑广义坐标、广义速度和约束条件的基础上，可以精确地描述系统的运动规律。
(结构动力学6)多自由度体系运动方程49
k2N
k NN
uuN2
K
u
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}—称为位移向量。
6.1 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
k1 k2
K
k2
0
k2 k2 k3
k3
0
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
式中:
t2 (T V )dt
t1
t2 t1
直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直 接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给 出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表 达式。我们可以直接应用这些矩阵完成远动方程的建 立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程 后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和 分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由 度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是 花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、 质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布 参数系统分析方法中逐步得到学习。
多自由度运动方程的建立
几何刚度影响系数:
kGij 由j自由度单位位移和结构中由轴向力分量
引起的对应于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标的力
（9-16）
§9.3 轴向力的效应 引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为
cv+ kv- k G v = p(t) mv+
cv+ kv = p(t) mv+
或者
（9-18）
（9-13）
结构动力学
第九章
多自由度运动方程的建立
第九章 多自由度体系的运动方程
§9.1 自由度的选择 §9.2 动力平衡条件 §9.3 轴向力的效应
§9.1 自由度的选择
单自由度体系两种描述方法 • 单一的坐标 • 一个变形函数——广义坐标 影响近似分析的精度的因素 主要有： 荷载的空间分布 荷载的时间历程 结构自身的动力特性——刚度、质量及阻尼
§10.1 弹性特性 Betti定律
（10-13） 结构的变形与加荷次序无关，应变能也相等---唯一性、能量守恒
pa vb = pb va
T
T
图10-3 两组独立的荷载系与产生的变位
§10.1 弹性特性 它说明了功的互等定理
pa T vb = pb T va
= p Tfp pa Tfp b b a
1 1 T 荷载a: Waa = pia via = p a v a 2 2 荷载b: Wbb + Wab = 1 p b T v b + p a T v b 2 1 T 1 T T 总和： W1 = Waa + Wbb + Wab = pa va + p b v b + p a v b 2 2
正定/半正定矩阵
多自由度体系的动力响应分析
多自由度体系的动力响应分析多自由度体系的动力响应分析是研究多个质点或刚体组成的系统在外界作用下的运动规律和响应特性的一项重要课题。
多自由度体系是指由多个相对独立的质点或刚体组成的系统，其中每个质点或刚体都可以在三个方向上自由运动，因此系统具有多个自由度。
多自由度体系的动力学方程可由牛顿第二定律推导得出，即∑F = ma，其中∑F 表示作用在系统中各质点上的合力，m 表示质点的质量，a 表示质点的加速度。
根据每个质点的运动规律，可以得到系统在不同自由度上的运动方程。
为了简化多自由度体系动力学方程的求解，常采用试解法和模态分析法。
试解法是假设质点的位置和速度可以用特定的试解函数表示，然后将试解函数代入动力学方程中，从而得到未知系数的值。
模态分析法则是将系统的自由度进行正交分解，得到一组特征向量和特征值，将试解函数表示为特征向量的线性组合。
通过求解特征值问题，可以得到系统的固有频率和模态振型，从而分析系统的动力响应。
自由振动是指在没有外界作用的情况下，多自由度体系在初始时刻给定的初始条件下的运动。
通过求解系统的运动方程，可以得到质点位置随时间的变化规律。
自由振动的特点是系统在固有频率上做周期性的振动，同时各自由度之间存在能量的转移和耦合。
强迫振动是指在外界施加周期性的激励力下，多自由度体系的运动。
外界激励力的形式可以是单频、多频或宽频带等。
通过求解系统的运动方程，可以得到系统在激励力作用下的动力响应。
强迫振动的特点是系统在激励频率附近发生共振现象，振幅会显著增大。
阻尼振动是指当多自由度体系存在阻尼力的情况下的振动。
阻尼力可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种情况。
线性阻尼是指阻尼力与质点速度成正比的情况，非线性阻尼是指阻尼力与质点速度的高阶项有关的情况。
根据阻尼力的形式，可以得到不同类型的阻尼振动方程。
求解阻尼振动方程，可以得到系统的动力响应，包括振动幅值、相位和能量耗散等。
多自由度体系的动力响应分析在工程领域有广泛的应用。
matlab 多自由度运动微分方程求解
matlab 多自由度运动微分方程求解多自由度运动微分方程是描述多个物体在空间中运动的微分方程。
在多自由度系统中，每个物体都有自己的坐标和速度。
通过求解多自由度运动微分方程，可以得到每个物体的运动轨迹和速度变化规律。
在matlab中，可以使用符号计算工具箱来求解多自由度运动微分方程。
首先，需要定义每个物体的坐标和速度变量，以及相应的质量和力的表达式。
然后，利用牛顿第二定律和运动微分方程的定义，可以得到每个物体的运动微分方程。
对于一个简单的多自由度系统，我们可以以双摆系统为例进行讨论。
双摆系统由两个摆锤组成，每个摆锤都可以绕自己的摆点旋转，同时两个摆锤也可以相互影响。
我们可以定义两个坐标变量θ1和θ2，分别表示两个摆锤与竖直方向的夹角。
根据运动微分方程的定义，可以得到如下的运动微分方程：m1l1θ1'' + m2l2θ2''cos(θ1-θ2) + m2l2θ2'^2sin(θ1-θ2) + g(m1+m2)sin(θ1) = 0m2l2θ2'' + m2l1θ1''cos(θ1-θ2) - m2l1θ1'^2sin(θ1-θ2) + m2gsin(θ2) = 0其中，m1和m2分别表示两个摆锤的质量，l1和l2分别表示两个摆锤的长度，g表示重力加速度，θ1''和θ2''表示两个摆锤的角加速度，θ1'和θ2'表示两个摆锤的角速度。
利用matlab的符号计算工具箱，可以将上述运动微分方程转化为matlab的符号表达式。
然后，可以使用matlab的求解器来求解这个方程组。
通过求解方程组，可以得到θ1和θ2随时间变化的函数，从而得到摆锤的运动轨迹。
除了双摆系统，多自由度运动微分方程还可以用于描述更复杂的物体运动。
例如，可以用多自由度运动微分方程来描述机械臂的运动，或者描述多个粒子在空间中的运动。