山东2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案含解析.doc

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

课标要求考情分析

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的

位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两

圆的位置关系．

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问

题．

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

1.本节是高考中的重点考查内容，主要涉及直线与圆的位

置关系、弦长问题、最值问题等．

2．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称

性等性质结合考查．

3．题型以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，

属中低档题.

知识点一直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，

圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

直线与圆的位置关系的常用结论

(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线

段构成一个直角三角形．

(2)弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|

＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].

知识点二圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).

两圆相交时公共弦的方程求法：

设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①

圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②

若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方

程．( × )

(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) 2．小题热身

(1)已知直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，则m 值为( D ) A ．±3 B ．±33

C ．±3

2

D ．±1

(2)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( B )

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

(3)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围为[－3,1]． (4)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝2 2. (5)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为2 2.

解析：(1)将y ＝mx 代入x 2＋y 2－4x ＋2＝0，得(1＋m 2)x 2－4x ＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m 2)×2＝8(1－m 2)＝0，解得m ＝±1.

(2)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2

(3)由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴

|a －0＋1|

12＋(－1)2

≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.

(4)由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|－1－1|

2

＝2，所以|AB |＝222－(2)2＝2 2.

(5)由⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，

得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4

的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为2

2

＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.

考点一 直线与圆的位置关系

命题方向1 位置关系的判断

【例1】 在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

【解析】 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.

故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |

a 2＋b

2

＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A.

【答案】 A 命题方向2 弦长问题

【例2】 (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )

A.12 B ．1 C.2

2

D. 2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )

A ．4π

B ．2π

C ．9π

D ．22π

【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2

＝|c |2|c |＝2

2，因此

根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于

1－⎝⎛

⎭⎫222

＝22

，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝

|a |

2

，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 2

2

＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.

【答案】 (1)D (2)A 命题方向3 切线问题

【例3】 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；

(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 【解】 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－22－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝

2－2－22＋1－1

＝－1，∴切线的斜率k ＝－1

k PC ＝1.

∴过点P 的圆C 的切线方程是 y －(2－2)＝x －(2＋1)，