多项式长除法精讲精练

多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

例计算

写成以下这种形式：

然后商和余数可以这样计算：

1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线

之上(x3÷x = x2).

2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下(x2·(x−3)

= x3−3x2).

3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写

在下面。((x3−12x2) −(x3−3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿

下来”。

4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项

5.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。除法变换

使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），

这种变换叫做除法变换，是从算数等式

.[1]得到的。

应用:多项式的因式分解

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x)

就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。 相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x 2-(r+s)x+rs 。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线

§2 一元多项式及整除性

下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。

学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。

定义4 设是一个数域，是一个文字，形式表达式

其中

是数域中的数，是非负整数）

称为数域上的一元多项式，通常记为。称为次项的系数。

例如： 是多项式

不是多项式，因为不是非负整数。

定义5 如果数域上多项式，同次项系数都相等，称与相等

记为：

=

一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定

定义6 在（1）中如果

，称为多项式的次数，记

P x )

1( 0111a x a x a x a n n n n ++++-- i

a P n P )(x f k

k x

a k x

x x f 521

)(3+=123)(-++=x x x x g 1-P )(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g i

i x x =⋅10

≠n a n 01)(a x a x a x f n n +++=

为。

零多项式不定义次数。

下面给出多项式加法与乘法：

设是数域是的多项式。规

定

。

易验证多项式加法与乘法满足下列算律：

加法交换律：

加法结合律： 乘法交换律 乘法结合律

乘法对加法的分配律

关于多项式次数，我们有

定理2 设，是数域上的两个多项式，则 (1) 当+时

+

(2) 当时

证明：略。

明显地利用定理5不难证明

推论：若 则

一个三位数 1：三个数相加为20。2：百位上的数字比十位上的数大5。3：个位上的数是十位上数的3倍，这个3位数是什么？

设十位数为x ，百位数（x+5），各位3x 。相加为20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.

第五讲 多项式

1.(一、多项式的整除概念)

2.(二、最大公因式)(本页)

3.(三、多项式的因式分解)

4.(四、重因式 五、多项式的函数)

5.(六、复与实系数多项式的因式分解)

6.(七、有理数域上的多项式)

)()(x f x f ，或次∂∑==n i i

i x a x f 1

)(∑==m

i i

i x b x g 1

)(P 0

0 ≠≠≤m n b a n m ∑=±=±n

i i

i i x b a x g x f 1

)()()(k k k k n

m i i

i n m b a b a b a c x c x g x f b b 011011 )()( 0 ++==∙===-+=+∑其中01)()()()(x f x g x g x f +=+02)]()([)()()]()([x h x g x f x h x g x f ++=++030405)(x f ,0)(≠x f P ,0)(≠x f 0)(≠x g )(x f 0)(≠x g )((x f ∂)}(),(max{))(x g x f x g ∂∂≤0)()(≠⋅x g x f ⋅∂)((x f )()())(x g x f x g ∂+∂=)()()()(x h x f x g x f =,0)(≠x f )()(x h x g =